MCQ: संख्या प्रणाली - 2 - Bank Exams MCQ

गुणांक का सूत्र = (P₁ +1)(P₂+1)(P₃+1)......(P_n+1)।
जहाँ P₁,P₂,P₃... P_n प्राथमिक गुणांक के संबंधित शक्तियाँ हैं।
तो,
120= 2³ x 3¹ x 5¹
गुणांक=(3+1)(1+1)(1+1)=16।

जब n = 1 हो
7⁶ⁿ - 6⁶ⁿ = 7⁶ - 6⁶
⇒ ( 7³ )² - ( 6³ )²
⇒ ( 7³ - 6³ )( 7³ + 6³ )
= ( 343 - 216 )( 343 + 216 )
= 127 x 559
= 127×13×43
∴ यह स्पष्ट रूप से 127 से विभाज्य है।

पहले n प्राकृतिक संख्याओं के वर्ग का योग = n(n+1)(2n+1) / 6
दिया गया n = 35
∴ आवश्यक योग = ( 35 x 36 x 71 ) / 6
= 14910

पहले n सम संख्याओं का योग = n( n +1 )
दिया गया n = 84
अतः आवश्यक योग = 84 ( 84 + 1 )
= 84 x 85
= 7140

8 के पहले 15 गुणांक हैं 8, 16, 24, ......, 120
योग = 8 (1 + 2 + 3 + 4 ......+ 15)
= 8 [ n(n + 1) / 2]
= 8 x 15 x 8
960

3⁴ का इकाई अंक = 1
अतः ( 3⁴ )¹⁶ का इकाई अंक = 1
अतः 3⁶⁵ का इकाई अंक = 3
6⁵⁹ का इकाई अंक = 6
7⁷¹ का इकाई अंक = 3
अतः आवश्यक इकाई अंक = ( 3 x 6 x 3 ) का इकाई अंक
= 54 का इकाई अंक
= 4

इस प्रश्न को हल करने के लिए, हम पहले यह समझते हैं कि यदि एक संख्या को 357 से विभाजित करने पर शेषफल 39 है, तो वह संख्या n = 357k + 39 हो सकती है, जहां k कोई पूर्णांक है। अब, इस संख्या को 17 से विभाजित करने पर शेषफल प्राप्त करने के लिए, हम 39 को 17 से घटाते हैं। 39 mod 17 = 5। इसलिए, 39 को 17 से विभाजित करने पर शेषफल 5 होगा।

मान लीजिए कि भाजक x है और गुणांक y है।
फिर, संख्या = xy + 24
संख्या का दुगना = 2xy + 48
अब 2xy पूरी तरह से x द्वारा विभाजित है।
जब 48 को x से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल x है।
अतः x = 48 - 11
= 37

0 से 11 के बीच जो संख्या 2 या 3 के गुणज हैं:
= 11/2 + 11/3 - 11/6 = 5 + 3 - 1
= 7
0 से -11 के बीच जो संख्या 2 या 3 के गुणज हैं:
= 11/2 + 11/3 - 11/6 = 5 + 3 - 1
= 7
इस प्रकार, कुल संख्या 15, जिसमें 0 शामिल है।

हमें पता है कि, ( x^m - a^m ) ( x + a ) द्वारा विभाज्य है, जब m का मान सम हो।
अतः 17²⁰⁰ - 1²⁰⁰  17 + 1 द्वारा विभाज्य है।
इसका अर्थ है कि 17²⁰⁰ - 1 18 द्वारा विभाज्य है।
इसलिए जब 17²⁰⁰ को 18 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल 1 है।

हमें पता है कि जब m एक विषम संख्या होती है (x^m + a^m) (x + a) द्वारा विभाजित होता है।
∴ प्रत्येक (41 + 43) द्वारा विभाजित होता है।
तो सामान्य गुणांक = (41 + 43)।

19¹⁰⁰ = ( 20 -1 )¹⁰⁰
⇒ ( -1 )¹⁰⁰ / 20
⇒ 1 / 20
∴ आवश्यक शेषफल = 1

xⁿ - yⁿ को x + y और x - y द्वारा सभी n के लिए विभाजित किया जा सकता है।
7¹² - 4¹² को 7 + 4 और 7 - 4 द्वारा विभाजित किया जा सकता है।
⇒ 7¹² - 4¹² को 11 x 3 = 33 द्वारा विभाजित किया जा सकता है।

हम 19⁵ + 21⁵ के 10 से विभाज्यता की जांच कर सकते हैं, जिसमें 9⁵ + 1⁵ के इकाई अंक को जोड़ना शामिल है, जो 9 + 1 = 10 के बराबर है।
इसलिए यह 10 से विभाज्य होना चाहिए।
अब, 20 से विभाज्यता के लिए हम 19 और 21 को जोड़ते हैं, जो 40 के बराबर है। इसलिए, यह स्पष्ट है कि यह 20 से भी विभाज्य है।
इसलिए 19⁵ + 21⁵ दोनों 10 और 20 से विभाज्य है।

जब N एक प्राकृतिक संख्या है, तब केवल एक संभावित मामला है जिसमें N, N + 2, N + 4 सभी अभाज्य संख्याएँ हैं।
जब N = 3 हो, तब N, N + 2, N + 4 = 3, 5, 7 सभी अभाज्य हैं।
इसलिए N के लिए केवल 1 मान के लिए यह संभव है।