MCQ: संख्या प्रणाली - 2 - Bank Exams MCQ

गुणकों की संख्या = (P₁ +1)(P₂+1)(P₃+1)......(P_n+1)।
जहाँ P₁,P₂,P₃... P_n प्राइम गुणकों की शक्तियाँ हैं।
तो,
120= 2³ x 3¹ x 5¹
गुणक=(3+1)(1+1)(1+1)=16।

n = 1 के लिए:
7⁶ⁿ - 6⁶ⁿ = 7⁶ - 6⁶
⇒ ( 7³ )² - ( 6³ )²
⇒ ( 7³ - 6³ )( 7³ + 6³ )
= ( 343 - 216 )( 343 + 216 )
= 127 x 559
=127×13×43
∴ यह स्पष्ट रूप से 127 द्वारा विभाज्य है।

पहले n प्राकृतिक संख्याओं के वर्ग का योग = n(n+1)(2n+1) / 6
दी गई n = 35
∴ आवश्यक योग = ( 35 x 36 x 71 ) / 6
= 14910

पहले n सम संख्याओं का योग = n( n +1 )
दी गई n = 84
∴ आवश्यक योग = 84 ( 84 + 1 )
= 84 x 85
= 7140

8 के पहले 15 गुणांक हैं 8, 16, 24, ......, 120
योग = 8 (1 + 2 + 3 + 4 ......+ 15)
= 8 [ n(n + 1) / 2]
= 8 x 15 x 8
960

3⁴ का इकाई अंक = 1
∴ ( 3⁴ )¹⁶ का इकाई अंक = 1
∴ 3⁶⁵ का इकाई अंक = 3
6⁵⁹ का इकाई अंक = 6
7⁷¹ का इकाई अंक = 3
∴ आवश्यक इकाई अंक = ( 3 x 6 x 3 ) का इकाई अंक
= 54 का इकाई अंक
= 4

यदि हम संख्या को 357 से विभाजित करते हैं और शेषफल 39 मिलता है, तो हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं: संख्या = 357k + 39 (जहाँ k एक पूर्णांक है)। अब हम जानते हैं कि 39 को 17 से विभाजित करने पर शेषफल 5 होता है। इसलिए, जब हम संख्या को 17 से विभाजित करते हैं, तो शेषफल 5 होगा।

मान लें कि भाजक x है और भागफल y है।
तब, संख्या = xy + 24
दो गुना संख्या = 2xy + 48
अब 2xy x द्वारा पूरी तरह से विभाजित है।
जब 48 को x द्वारा विभाजित किया जाता है, तो शेष x होता है।
इसलिए, x = 48 - 11
= 37

0 और 11 के बीच के वे संख्याएँ जो 2 या 3 के गुणनखंड हैं
= 11/2 + 11/3 - 11/6 = 5 + 3 - 1
= 7
0 और -11 के बीच के वे संख्याएँ जो 2 या 3 के गुणनखंड हैं
= 11/2 + 11/3 - 11/6 = 5 + 3 - 1
= 7
अर्थात् संख्या 15, जिसमें 0 शामिल है

हमें पता है कि, ( x^m - a^m ) ( x + a ) द्वारा विभाज्य है, जब m का मान सम होता है।
इसलिए, 17²⁰⁰ - 1²⁰⁰ 17 + 1 द्वारा विभाज्य है।
अतः 17²⁰⁰ - 1 18 द्वारा विभाज्य है।
इसलिए जब 17²⁰⁰ को 18 द्वारा विभाजित किया जाता है, तो शेषफल 1 है।

हमें पता है कि जब m एक विषम संख्या होती है, तो (x^m + a^m) को (x + a) द्वारा विभाजित किया जा सकता है।
∴ हर एक (41 + 43) द्वारा विभाजित होता है।
इसलिए सामान्य गुणांक = (41 + 43)।

19¹⁰⁰ = ( 20 -1 )¹⁰⁰
⇒ ( -1 )¹⁰⁰ / 20
⇒ 1 / 20
∴ आवश्यक शेषफल = 1

xⁿ - yⁿ हर n के लिए x + y और x - y से विभाज्य होता है।
7¹² - 4¹² 7 + 4 और 7 - 4 से विभाज्य है।
⇒ 7¹² - 4¹² 11 x 3 = 33 से विभाज्य है।

हम 19⁵ + 21⁵  के 10 से विभाज्य होने की जांच कर सकते हैं, इसके लिए हम 9⁵ + 1⁵  का इकाई अंक जोड़ते हैं, जो 9 + 1 = 10 के बराबर है।
इसलिए यह 10 से विभाज्य होना चाहिए।
अब, 20 से विभाज्यता के लिए हम 19 और 21 को जोड़ते हैं, जो 40 के बराबर है। इसलिए, यह स्पष्ट है कि यह 20 से भी विभाज्य है।
इसलिए 19⁵ + 21⁵  10 और 20 दोनों से विभाज्य है।

जब N एक प्राकृतिक संख्या है, तो केवल एक संभावित मामला है जब N, N + 2, N + 4 सभी अभाज्य संख्या हैं।
जब N = 3 है, तब N, N + 2, N + 4 = 3, 5, 7 सभी अभाज्य हैं।
इसलिए N के केवल 1 मान के लिए यह संभव है।