MCQ: शंकु - 2 - Bank Exams MCQ

एक समकोणीय गोलाकार शंकु की तिरछी ऊँचाई 13 सेमी है और आधार का क्षेत्रफल 144π सेमी² है।

उपयोग किया गया सिद्धांत:

शंकु का आयतन = (π x R² x H)/3
तिरछी ऊँचाई 
जहाँ R = आधार का त्रिज्या, H = ऊँचाई
गोलाई का क्षेत्रफल = πR² (जहाँ R गोलाई का त्रिज्या है)

गणना:

मान लें कि समकोणीय गोलाकार शंकु के आधार का त्रिज्या R सेमी है।
प्रश्न के अनुसार,
πR² = 144π
⇒ R² = 144
⇒ R = 12 (क्योंकि त्रिज्या नकारात्मक नहीं हो सकती)
समकोणीय गोलाकार शंकु की ऊँचाई, H

⇒ 5 सेमी (क्योंकि ऊँचाई नकारात्मक नहीं हो सकती)

अब, शंकु का आयतन

⇒ (π x 12² x 5)/3

⇒ 240π सेमी³

∴ शंकु का आयतन 240π सेमी³ है।

शंकु का आयतन = πr²h/3

शंकु का आयतन

⇒ [1/3] x π x r² x h

⇒ [1/3] x [22/7] x 7 x 7 x 15

⇒ 22 x 7 x 5

⇒ 770 सेमी³

दिया गया है

आधार की परिधि = 33 सेमी
ठोस कोन की ऊँचाई = 16 सेमी

गणना:

कोन के आधार की परिधि = 2πr

⇒ 2πr = 33

⇒ 2 x (22/7) × r = 33
⇒ r = 21/4

कोन की मात्रा = (1/3) πr²h

⇒ (1/3) x (22/7) x (21/4) x (21/4) × 16

⇒ 21 x 22 = 462 cm³

∴ कोन की मात्रा 462 cm³ है।

दी गई जानकारी:

शंकु का वक्र सतह क्षेत्रफल = 4664 सेमी²
व्यास = 28 सेमी

उपयोग किए गए सूत्र:

शंकु का वक्र सतह क्षेत्रफल = π × r × l

जहाँ l = झुकी हुई ऊँचाई; r = व्यास 

गणना:

वक्र सतह क्षेत्रफल = 4664
⇒ π × r × l = 4664
⇒ 22/7 × 28 × l = 4664 
⇒ l = 53 सेमी
∴ झुकी हुई ऊँचाई यानी l 53 सेमी है।

दी गई जानकारी:

शंकु की झुकी ऊँचाई l = 30 सेमी

शंकु की त्रिज्या r = 14 सेमी

सूत्र:

शंकु का कुल सतह क्षेत्रफल = πr (l + r)

गणना:

शंकु का कुल सतह क्षेत्रफल
⇒ πr(r + l)
⇒ [22/7] x 14 x (14 + 30)
⇒ 22 x 2 x 44
⇒ 1936 सेमी²

दिया गया:

फलक के आधार का व्यास = 12 सेमी।
फलक के शीर्ष का व्यास = 6 सेमी।
ऊँचाई = 8 सेमी

उपयोग में लाया गया सूत्र:
एक शंकु के फलक की तिरछी ऊँचाई,
एक शंकु के फलक का घुमावदार क्षेत्रफल, CSA = π × L(R + r)
जहाँ फलक के आधार का व्यास = R, फलक के शीर्ष का व्यास = r, ऊँचाई = H, और तिरछी ऊँचाई = L

गणना:
इसलिए, एक शंकु के फलक की तिरछी ऊँचाई, L 

इस प्रकार, एक शंकु के फलक का घुमावदार क्षेत्रफल, CSA
⇒ π x 10 x (12 + 6)
⇒ π x 10 x 18
⇒ 180π सेमी²

∴ फलक का घुमावदार क्षेत्रफल 180π सेमी² है।

दिया गया,

कोन के आधार का परिमाण = 132
कोन का त्रिज्या = 132 × 7/22 × 1/2 = 21 सेमी
तब,
कोन की झुकी हुई ऊँचाई = 21 + 8 = 29 सेमी
पाइथागोरस के प्रमेय का उपयोग करते हुए,
⇒ (झुकी हुई ऊँचाई)² = (ऊँचाई)² + (त्रिज्या)²
⇒ ऊँचाई² = 29² – 21²
⇒ ऊँचाई = 20 सेमी
कोन का आयतन = 1/3 × πr²h
= 1/3 × 22/7 × 21 × 21 × 20
= 9240 सेमी³

शंकु के घुमावदार सतह क्षेत्रफल का सूत्र = πrl

जहाँ r शंकु का व्यास और l शंकु की तिरछी ऊँचाई है।

⇒ r = √(l² – h²)

⇒ r = √(256 – 207)

⇒ r = √49 = 7 सेमी

∴ शंकु का घुमावदार सतह क्षेत्रफल = (22/7)x 7 x 16 = 352 सेमी²

उपयोग किया गया सूत्र:

शंक्वाकार खंड का आयतन 

जहाँ r₁ और r₂ शंक्वाकार खंड के आधार के त्रिज्याएँ हैं

दी गई जानकारी:

ऊपरी आधार की त्रिज्या (r₁) = 6/2 = 3 सेमी

निचले आधार की त्रिज्या (r₂) = 4/2 = 2 सेमी

ऊँचाई = 14 सेमी

गणना:

∴ गिलास की क्षमता = 88.67π सेमी³

दी गई जानकारी:

आधार का त्रिज्या (R) = 5 सेमी 
ऊपरी त्रिज्या (r) = 3 सेमी
फ्रस्टम की ऊँचाई (H) = 6 सेमी

उपयोग किया गया सूत्र:

फ्रस्टम का आयतन (V) = 1/3 πH (R² + Rr + r²)

गणनाएँ:

प्रश्न के अनुसार,

फ्रस्टम का आयतन = 1/3 π × 6 × [(5)² + (5 × 3) + (3)²]
⇒ V = π x2 x [25 + 15 + 9]
⇒ V = π x 2 x [49] = 98π सेमी³ 
∴ फ्रस्टम का आयतन 98π सेमी³ है।