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CBSE XII | Mathematics
Board Paper 2018 – Delhi Set 3 Solution
CBSE Board
Class XII Mathematics
Board Paper 2018 Solution
SECTION – A
1. Given that the magnitude of each of the two vectors a and b have same magnitude.
2
2
a b ..........(i)
the angle between a and b is 60
60 ........(ii)
9
and a b .........(iii)
2
Since,
a b a b cos
9
a a cos60 From (i),(ii) and (iii)
2
19
a
22
a9
a3
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11
1 1 1 1
11
11
11
tan 3 cot 3
tan 3 cot 3 cot x cot x
tan 3 cot 3
tan 3 cot 3
tan x cot x
22
2
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Board Paper 2018 – Delhi Set 3 Solution
CBSE Board
Class XII Mathematics
Board Paper 2018 Solution
SECTION – A
1. Given that the magnitude of each of the two vectors a and b have same magnitude.
2
2
a b ..........(i)
the angle between a and b is 60
60 ........(ii)
9
and a b .........(iii)
2
Since,
a b a b cos
9
a a cos60 From (i),(ii) and (iii)
2
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a
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a9
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1 1 1 1
11
11
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tan 3 cot 3
tan 3 cot 3 cot x cot x
tan 3 cot 3
tan 3 cot 3
tan x cot x
22
2
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Board Paper 2018 – Delhi Set 3 Solution
3. Given that ? ab denotes the larger of ‘a’ and ‘b’.
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and a b a b 3
5 10 5 10 3 10 3 13
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a 0 1 2 0 1
3 1 0 b 1 0
By equality of Matrices,
a 2 and b 3
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CBSE Board
Class XII Mathematics
Board Paper 2018 Solution
SECTION – A
1. Given that the magnitude of each of the two vectors a and b have same magnitude.
2
2
a b ..........(i)
the angle between a and b is 60
60 ........(ii)
9
and a b .........(iii)
2
Since,
a b a b cos
9
a a cos60 From (i),(ii) and (iii)
2
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11
1 1 1 1
11
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tan 3 cot 3
tan 3 cot 3 cot x cot x
tan 3 cot 3
tan 3 cot 3
tan x cot x
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2
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3. Given that ? ab denotes the larger of ‘a’ and ‘b’.
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and a b a b 3
5 10 5 10 3 10 3 13
4. Given that
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is skew symmetric matrix.
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0 2 b 0 a 3
a 0 1 2 0 1
3 1 0 b 1 0
By equality of Matrices,
a 2 and b 3
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SECTION B
5. A black and a red die are rolled together.
? S =
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
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1, 1 , 1, 2 , 1, 3 , 1, 4 , 1, 5 , 1, 6 ,
2, 1 , 2, 2 , 2, 3 , 2, 4 , 2, 5 , 2, 6 ,
3, 1 , 3, 2 , 3, 3 , 3, 4 , 3, 5 , 3, 6
4, 1 , 4, 2 , 4, 3 , 4, 4 , 4, 5 , 4, 6 ,
5, 1 , 5, 2 , 5, 3 , 5, 4 , 5, 5 , 5, 6 ,
6, 1 , 6
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, 2 , 6
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, 3 , 6, 4 , 6, 5 , 6, 6
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We need to find the probability of obtaining the sum 8, given that red die resulted in a
number less than 4.
Let A be the event that a number on red die is less than 4.
Let B be the event that the sum of the numbers is 8.
A =
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1, 1 , 1, 2 , 1, 3 , 1, 4 , 1, 5 , 1, 6 ,
2, 1 , 2, 2 , 2, 3 , 2, 4 , 2, 5 , 2, 6
3, 1 , 3, 2 , 3, 3 , 3, 4 , 3, 5 , 3, 6
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and
B = {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}
?A ? B = {(2, 6), (3, 5)}
n (A) = 18, n (B) = 5, n (A ? B ) = 2, and n(S) = 36
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18 5 2
P A , P B and P A B
36 36 36
The conditional probability of obtaining the sum equal to 8, given that the red die
resulted in a number less than 4 is given by,
2
P A B
1
36
P B / A
18
P A 9
36
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CBSE Board
Class XII Mathematics
Board Paper 2018 Solution
SECTION – A
1. Given that the magnitude of each of the two vectors a and b have same magnitude.
2
2
a b ..........(i)
the angle between a and b is 60
60 ........(ii)
9
and a b .........(iii)
2
Since,
a b a b cos
9
a a cos60 From (i),(ii) and (iii)
2
19
a
22
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a b 3 ............... From (i)
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1 1 1 1
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tan 3 cot 3
tan 3 cot 3 cot x cot x
tan 3 cot 3
tan 3 cot 3
tan x cot x
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2
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Board Paper 2018 – Delhi Set 3 Solution
3. Given that ? ab denotes the larger of ‘a’ and ‘b’.
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and a b a b 3
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4. Given that
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is skew symmetric matrix.
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0 2 b 0 a 3
a 0 1 2 0 1
3 1 0 b 1 0
By equality of Matrices,
a 2 and b 3
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Board Paper 2018 – Delhi Set 3 Solution
SECTION B
5. A black and a red die are rolled together.
? S =
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2, 1 , 2, 2 , 2, 3 , 2, 4 , 2, 5 , 2, 6 ,
3, 1 , 3, 2 , 3, 3 , 3, 4 , 3, 5 , 3, 6
4, 1 , 4, 2 , 4, 3 , 4, 4 , 4, 5 , 4, 6 ,
5, 1 , 5, 2 , 5, 3 , 5, 4 , 5, 5 , 5, 6 ,
6, 1 , 6
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We need to find the probability of obtaining the sum 8, given that red die resulted in a
number less than 4.
Let A be the event that a number on red die is less than 4.
Let B be the event that the sum of the numbers is 8.
A =
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1, 1 , 1, 2 , 1, 3 , 1, 4 , 1, 5 , 1, 6 ,
2, 1 , 2, 2 , 2, 3 , 2, 4 , 2, 5 , 2, 6
3, 1 , 3, 2 , 3, 3 , 3, 4 , 3, 5 , 3, 6
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and
B = {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}
?A ? B = {(2, 6), (3, 5)}
n (A) = 18, n (B) = 5, n (A ? B ) = 2, and n(S) = 36
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18 5 2
P A , P B and P A B
36 36 36
The conditional probability of obtaining the sum equal to 8, given that the red die
resulted in a number less than 4 is given by,
2
P A B
1
36
P B / A
18
P A 9
36
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6. Given two vectors are ?? i 2j 3k and ?? 3i 2j k .
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2 2 2 2 2 2
ab
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To find a b
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a b 1 2 3
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a b 4i 8j 4k
a b 4 8 4 96 4 6............(i)
a 1 ( 2) 3 14 ........(ii) and b 3 ( 2) 3 14......
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14 14
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7
14 14
7. Given
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bx 5
y ae
Differentiating with y with respect to x,
bx 5
bx 5
2
2
2
2
2
2
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Diffrentiating (i) with respect to x,
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d y dy
y
dx dx
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CBSE Board
Class XII Mathematics
Board Paper 2018 Solution
SECTION – A
1. Given that the magnitude of each of the two vectors a and b have same magnitude.
2
2
a b ..........(i)
the angle between a and b is 60
60 ........(ii)
9
and a b .........(iii)
2
Since,
a b a b cos
9
a a cos60 From (i),(ii) and (iii)
2
19
a
22
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a b 3 ............... From (i)
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11
1 1 1 1
11
11
11
tan 3 cot 3
tan 3 cot 3 cot x cot x
tan 3 cot 3
tan 3 cot 3
tan x cot x
22
2
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3. Given that ? ab denotes the larger of ‘a’ and ‘b’.
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and a b a b 3
5 10 5 10 3 10 3 13
4. Given that
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is skew symmetric matrix.
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2 0 1 a 0 1
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0 2 b 0 a 3
a 0 1 2 0 1
3 1 0 b 1 0
By equality of Matrices,
a 2 and b 3
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SECTION B
5. A black and a red die are rolled together.
? S =
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1, 1 , 1, 2 , 1, 3 , 1, 4 , 1, 5 , 1, 6 ,
2, 1 , 2, 2 , 2, 3 , 2, 4 , 2, 5 , 2, 6 ,
3, 1 , 3, 2 , 3, 3 , 3, 4 , 3, 5 , 3, 6
4, 1 , 4, 2 , 4, 3 , 4, 4 , 4, 5 , 4, 6 ,
5, 1 , 5, 2 , 5, 3 , 5, 4 , 5, 5 , 5, 6 ,
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We need to find the probability of obtaining the sum 8, given that red die resulted in a
number less than 4.
Let A be the event that a number on red die is less than 4.
Let B be the event that the sum of the numbers is 8.
A =
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1, 1 , 1, 2 , 1, 3 , 1, 4 , 1, 5 , 1, 6 ,
2, 1 , 2, 2 , 2, 3 , 2, 4 , 2, 5 , 2, 6
3, 1 , 3, 2 , 3, 3 , 3, 4 , 3, 5 , 3, 6
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B = {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}
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n (A) = 18, n (B) = 5, n (A ? B ) = 2, and n(S) = 36
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18 5 2
P A , P B and P A B
36 36 36
The conditional probability of obtaining the sum equal to 8, given that the red die
resulted in a number less than 4 is given by,
2
P A B
1
36
P B / A
18
P A 9
36
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6. Given two vectors are ?? i 2j 3k and ?? 3i 2j k .
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2 2 2
2 2 2 2 2 2
ab
sin .........(i)
ab
To find a b
i j k
a b 1 2 3
3 2 1
a b 2 6 i 1 9 j 2 6 k
a b 4i 8j 4k
a b 4 8 4 96 4 6............(i)
a 1 ( 2) 3 14 ........(ii) and b 3 ( 2) 3 14......
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.....(iii)
ab
Since sin
ab
46
sin ......From (i), (ii) and (iii)
14 14
4 6 2 6
sin
7
14 14
7. Given
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bx 5
y ae
Differentiating with y with respect to x,
bx 5
bx 5
2
2
2
2
2
2
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dx
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by ....(i)( y ae )
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Diffrentiating (i) with respect to x,
d y dy
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d y 1 dy dy
.....from (i)
dx y dx dx
d y dy
y
dx dx
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8. Given
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2
2
cos2x 2sin x
I dx
cos x
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22
2
2
cos2x 2sin x
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cos x
cos x sin x 2sin x
I dx ..... cos2x cos x sin x
cos x
cos x sin x
I dx
cos x
1
I dx .... cos x sin x 1
cos x
I sec x dx
I tan x c
9. Given
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32
C x 0.005x 0.02x 30x 5000
Marginal cost is the rate of change of total cost with respect to output.
??
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? ? ? ? ? ?
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22
2
dC
Marg inal cost
dx
Marg inal cost 0.005(3x ) 0.02(2x) 30 0.015x 0.04x 30
Marg inal cost at x 3
Marg inal cost 0.015 3 0.04 3 30
Marg inal cost 30.015
Therefore Marg inal cost is Rs. 30.015.
10. Given
?
???
?
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1
1 cosx
y tan
sinx
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2
2
1
1
1
1
x
x
1 cosx 2cos
2cos
2
2
y tan
xx
xx
2sin .cos
and sin x 2sin cos
22
22
x
y tan cot
2
x
y tan tan
22
x
y tan tan x x
22
Differentiating with respect to x,
dy 1 1
0
dx 2 2
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