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Page 1 IIT-JAM Physics-2023 Solution-Mathematical Methods Page 2 IIT-JAM Physics-2023 Solution-Mathematical Methods 2 Section A: Q.1-Q.10 Carry ONE mark each. Q2. Which of the following fields has non-zero curl? (a) ˆ ˆˆ xi yj zk ?? (b) ? ? ? ? ? ? ˆ ˆˆ y z i x z j x y k ? ? ? ? ? (c) ? ? 22 ˆ ˆˆ 22 y i xy z j yzk ? ? ? (d) ˆ ˆˆ 23 xyi yzj xzk ?? Ans: (d) Solution.: (a) ? ? ? ? ? ? ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ 0 0 0 0 0 0 0 i j k i j k x y z x y z ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (b) ? ? ? ? ? ? ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ 1 1 1 1 1 1 0 i j k i j k x y z y z x z x y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? (c) ? ? ? ? ? ? 22 ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ 2 2 0 0 2 2 0 22 i j k i z z j k y y x y z y xy z yz ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (d) ? ? ? ? ? ? ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ 0 2 3 0 0 0 23 i j k i y j z k x x y z xy yz xz ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Page 3 IIT-JAM Physics-2023 Solution-Mathematical Methods 2 Section A: Q.1-Q.10 Carry ONE mark each. Q2. Which of the following fields has non-zero curl? (a) ˆ ˆˆ xi yj zk ?? (b) ? ? ? ? ? ? ˆ ˆˆ y z i x z j x y k ? ? ? ? ? (c) ? ? 22 ˆ ˆˆ 22 y i xy z j yzk ? ? ? (d) ˆ ˆˆ 23 xyi yzj xzk ?? Ans: (d) Solution.: (a) ? ? ? ? ? ? ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ 0 0 0 0 0 0 0 i j k i j k x y z x y z ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (b) ? ? ? ? ? ? ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ 1 1 1 1 1 1 0 i j k i j k x y z y z x z x y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? (c) ? ? ? ? ? ? 22 ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ 2 2 0 0 2 2 0 22 i j k i z z j k y y x y z y xy z yz ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (d) ? ? ? ? ? ? ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ 0 2 3 0 0 0 23 i j k i y j z k x x y z xy yz xz ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 Q4. The plot of the function ? ? 1 f x x ?? is (a) (b) (c) (d) Ans: (b) Solution. : ? ? 1 f x x ?? ? ? 0 0 1 1 f ? ? ? ? ? ? 1 1 1 0 f ? ? ? ; ? ? 1 1 1 1 1 0 f ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 1 1 f ? ? ? ; ? ? 2 2 1 2 1 1 f ? ? ? ? ? ? ? Thus option (b) is correct. x 1 ? ? fx 0 1 1 ? 1 ? x 1 ? ? fx 1 0 1 ? 1 ? 1 ? x ? ? fx 0 1 1 1 ? x 1 1 1 ? 1 ? 0 ? ? fx Page 4 IIT-JAM Physics-2023 Solution-Mathematical Methods 2 Section A: Q.1-Q.10 Carry ONE mark each. Q2. Which of the following fields has non-zero curl? (a) ˆ ˆˆ xi yj zk ?? (b) ? ? ? ? ? ? ˆ ˆˆ y z i x z j x y k ? ? ? ? ? (c) ? ? 22 ˆ ˆˆ 22 y i xy z j yzk ? ? ? (d) ˆ ˆˆ 23 xyi yzj xzk ?? Ans: (d) Solution.: (a) ? ? ? ? ? ? ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ 0 0 0 0 0 0 0 i j k i j k x y z x y z ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (b) ? ? ? ? ? ? ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ 1 1 1 1 1 1 0 i j k i j k x y z y z x z x y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? (c) ? ? ? ? ? ? 22 ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ 2 2 0 0 2 2 0 22 i j k i z z j k y y x y z y xy z yz ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (d) ? ? ? ? ? ? ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ 0 2 3 0 0 0 23 i j k i y j z k x x y z xy yz xz ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 Q4. The plot of the function ? ? 1 f x x ?? is (a) (b) (c) (d) Ans: (b) Solution. : ? ? 1 f x x ?? ? ? 0 0 1 1 f ? ? ? ? ? ? 1 1 1 0 f ? ? ? ; ? ? 1 1 1 1 1 0 f ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 1 1 f ? ? ? ; ? ? 2 2 1 2 1 1 f ? ? ? ? ? ? ? Thus option (b) is correct. x 1 ? ? fx 0 1 1 ? 1 ? x 1 ? ? fx 1 0 1 ? 1 ? 1 ? x ? ? fx 0 1 1 1 ? x 1 1 1 ? 1 ? 0 ? ? fx Section A: Q.11-Q.30 Carry TWO marks each. Q13. The Jacobian matrix for transforming from ? ? , xy to another orthogonal coordinates system ? ? , uv as shown in the figure is (a) 11 1 11 2 ?? ?? ? ?? (b) 11 1 11 2 ?? ?? ? ?? (c) 11 1 11 2 ? ?? ?? ?? (d) 11 1 11 2 ? ?? ?? ? ?? Ans: (c) Solution.: cos sin sin cos ux vy ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 45 ? ? 00 00 11 cos 45 sin 45 1 11 sin 45 cos 45 2 ? ?? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? Q15. Inverse of the matrix 110 2 3 0 1 0 1 ?? ?? ?? ?? ?? is (a) 1 2 1 1 3 0 0 0 1 ? ?? ?? ? ?? ?? ?? (b) 3 1 0 2 1 0 3 1 1 ? ?? ?? ? ?? ?? ? ?? (c) 1 1 0 2 3 0 1 0 1 ?? ?? ?? ?? ?? ?? (d) 3 2 3 2 1 1 0 0 1 ?? ?? ?? ? ?? ?? ?? Ans: (b) Solution.: 110 3 0 2 0 det 2 3 0 1 1 0 3 2 1 0 1 1 1 1 0 1 A ? ? ? ? ? ? ? Cofactor Matrix 3 2 3 1 1 1 0 0 1 ij C ?? ?? ?? ???? ?? ?? ?? ?? 3 1 0 2 1 0 3 1 1 T ij C ? ?? ?? ?? ? ? ? ?? ?? ?? ? ?? Thus 1 3 1 0 1 2 1 0 det 3 1 1 T ij AC A ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ?? ?? ?? ? ?? 0 45 u ? ? 0,0 y v x Page 5 IIT-JAM Physics-2023 Solution-Mathematical Methods 2 Section A: Q.1-Q.10 Carry ONE mark each. Q2. Which of the following fields has non-zero curl? (a) ˆ ˆˆ xi yj zk ?? (b) ? ? ? ? ? ? ˆ ˆˆ y z i x z j x y k ? ? ? ? ? (c) ? ? 22 ˆ ˆˆ 22 y i xy z j yzk ? ? ? (d) ˆ ˆˆ 23 xyi yzj xzk ?? Ans: (d) Solution.: (a) ? ? ? ? ? ? ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ 0 0 0 0 0 0 0 i j k i j k x y z x y z ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (b) ? ? ? ? ? ? ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ 1 1 1 1 1 1 0 i j k i j k x y z y z x z x y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? (c) ? ? ? ? ? ? 22 ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ 2 2 0 0 2 2 0 22 i j k i z z j k y y x y z y xy z yz ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (d) ? ? ? ? ? ? ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ 0 2 3 0 0 0 23 i j k i y j z k x x y z xy yz xz ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 Q4. The plot of the function ? ? 1 f x x ?? is (a) (b) (c) (d) Ans: (b) Solution. : ? ? 1 f x x ?? ? ? 0 0 1 1 f ? ? ? ? ? ? 1 1 1 0 f ? ? ? ; ? ? 1 1 1 1 1 0 f ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 1 1 f ? ? ? ; ? ? 2 2 1 2 1 1 f ? ? ? ? ? ? ? Thus option (b) is correct. x 1 ? ? fx 0 1 1 ? 1 ? x 1 ? ? fx 1 0 1 ? 1 ? 1 ? x ? ? fx 0 1 1 1 ? x 1 1 1 ? 1 ? 0 ? ? fx Section A: Q.11-Q.30 Carry TWO marks each. Q13. The Jacobian matrix for transforming from ? ? , xy to another orthogonal coordinates system ? ? , uv as shown in the figure is (a) 11 1 11 2 ?? ?? ? ?? (b) 11 1 11 2 ?? ?? ? ?? (c) 11 1 11 2 ? ?? ?? ?? (d) 11 1 11 2 ? ?? ?? ? ?? Ans: (c) Solution.: cos sin sin cos ux vy ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 45 ? ? 00 00 11 cos 45 sin 45 1 11 sin 45 cos 45 2 ? ?? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? Q15. Inverse of the matrix 110 2 3 0 1 0 1 ?? ?? ?? ?? ?? is (a) 1 2 1 1 3 0 0 0 1 ? ?? ?? ? ?? ?? ?? (b) 3 1 0 2 1 0 3 1 1 ? ?? ?? ? ?? ?? ? ?? (c) 1 1 0 2 3 0 1 0 1 ?? ?? ?? ?? ?? ?? (d) 3 2 3 2 1 1 0 0 1 ?? ?? ?? ? ?? ?? ?? Ans: (b) Solution.: 110 3 0 2 0 det 2 3 0 1 1 0 3 2 1 0 1 1 1 1 0 1 A ? ? ? ? ? ? ? Cofactor Matrix 3 2 3 1 1 1 0 0 1 ij C ?? ?? ?? ???? ?? ?? ?? ?? 3 1 0 2 1 0 3 1 1 T ij C ? ?? ?? ?? ? ? ? ?? ?? ?? ? ?? Thus 1 3 1 0 1 2 1 0 det 3 1 1 T ij AC A ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ?? ?? ?? ? ?? 0 45 u ? ? 0,0 y v x Q21. For a given vector 2 ˆ ˆˆ F yi zj x k ? ? ? ? , the surface integral ? ? ˆ S F rdS ? ? ? ? over the surface S of a hemisphere of radius R with the centre of the base at the origin is (a) 2 R ? (b) 2 2 3 R ? (b) 2 R ? ? (d) 2 2 3 R ? ? Ans.: (a) Solution.: ? ? ˆ . S line F rdS F dl ? ? ? ? ?? 0 z ? , ˆˆ dl dxx dyy ?? . F dl ydx zdy ydx ? ? ? ? ? ? Let cos xR ? ? , sin yR ? ? and sin dx R d ?? ?? . Thus ? ? ? ? ? ? 22 22 00 . sin sin line line F dl ydx R R d R ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? X Y ZRead More
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