JEE Exam > JEE Notes > Mathematics (Maths) for JEE Main & Advanced > Indefinite Integration Solved Examples
Indefinite Integration Solved Examples | Mathematics (Maths) for JEE Main & Advanced PDF Download
| Download, print and study this document offline |
Please wait while the PDF view is loading
Page 1
Solved Examples on Indefinite Integrals
JEE Mains
Q1. ?
( ?? +?? )
?? ?? ( ?? ?? +?? )
???? is equal to
(a) ??????
?? ??
(b) ??????
?? ?? + ?? ?????? -?? ??
(c) ??????
??
?? ?? ?? +??
(d) ??????
?? {?? ( ?? ?? + ?? ) }
Ans: (b) ?
( ?? +1)
2
?? ( ?? 2
+1)
???? = ?
?? 2
+1+2?? ?? ( ( ?? 2
+1)
???? = ?
?? 2
+1
?? ( ?? 2
+1)
???? + 2?
?? ?? ( ?? 2
+1)
???? = ?
????
?? + 2?
????
?? 2
+1
= log
?? ?? + 2tan
-1
??
Q2. ?
?? ?? ?? +?? ?? ?? +?? ?? ?? ???? equals to
(a) ?? ?????? ?? +
?? ?? ?? +
?? ?? ?? ?? + ??
(b) ?? ?????? ?? +
?? ?? -
?? ?? ?? ?? + ??
(c) ?? ?????? ?? -
?? ?? -
?? ?? ?? ?? + ??
(c) None of these
Ans: (c) ?? = ?
?? ?? 3
+?? ?? 2
+?? ?? 4
???? = ? [
?? ?? +
?? ?? 2
+
?? ?? 4
] ???? = ?? log ?? -
?? ?? -
?? 3?? 3
+ ??
Q3. For any natural number ?? ?( ?? ?? ?? + ?? ?? ?? + ?? ?? ) ( ?? ?? ?? ?? + ?? ?? ?? + ?? )
?? /?? ???? , ( ?? > ?? )=
(a)
( ?? ?? ?? ?? +?? ?? ?? ?? +?? ?? ?? )
?? +?? ?? ?? ( ?? +?? )
(b)
( ?? ?? ?? ?? +?? ?? ?? ?? +?? ?? ?? )
?? ?? +?? ?? ( ?? +?? )
(c) -
( ?? ?? ?? ?? +?? ?? ?? ?? +?? ?? ?? )
?? +?? ?? ?? ( ?? +?? )
(d)
-( ?? ?? ?? ?? +?? ?? ?? ?? +?? ?? ?? )
?? ?? +?? ?? ( ?? +?? )
Ans: (a) ?? = ?( ?? 3?? -1
+ ?? 2?? -1
+ ?? ?? -1
) ( 2?? 3?? + 3?? 2?? + 6?? ?? )
1/?? ????
Put 2?? 3?? + 3?? 2?? + 6?? ?? = ?? ? 6?? ( ?? 3?? -1
+ ?? 2?? -1
+ ?? ?? -1
) ???? = ????
?? = ?
1
6?? ?? 1/?? ???? =
1
6?? ?? 1
?? +1
1
?? + 1
+ ?? =
1
6( ?? + 1)
?? ( ?? +1) /?? + ??
Again put the value of ?? , then we get option (a).
Q4. ?
????
?? +?? ?? =
(a) ?????? ( ?? + ?? ?? )
(b) -?????? ( ?? + ?? -?? )
(c) -?????? ( ?? - ?? -?? )
(d) ?????? ( ?? -?? + ?? -?? ?? )
Ans: (b) ?? = ?
????
1+?? ?? = ?
?? -?? ?? -?? +1
???? , Put ?? -?? + 1 = ?? ? -?? -?? ???? = ???? ? ?? = -?
????
?? = -log ?? = -log ( 1 + ?? -?? )
Page 2
Solved Examples on Indefinite Integrals
JEE Mains
Q1. ?
( ?? +?? )
?? ?? ( ?? ?? +?? )
???? is equal to
(a) ??????
?? ??
(b) ??????
?? ?? + ?? ?????? -?? ??
(c) ??????
??
?? ?? ?? +??
(d) ??????
?? {?? ( ?? ?? + ?? ) }
Ans: (b) ?
( ?? +1)
2
?? ( ?? 2
+1)
???? = ?
?? 2
+1+2?? ?? ( ( ?? 2
+1)
???? = ?
?? 2
+1
?? ( ?? 2
+1)
???? + 2?
?? ?? ( ?? 2
+1)
???? = ?
????
?? + 2?
????
?? 2
+1
= log
?? ?? + 2tan
-1
??
Q2. ?
?? ?? ?? +?? ?? ?? +?? ?? ?? ???? equals to
(a) ?? ?????? ?? +
?? ?? ?? +
?? ?? ?? ?? + ??
(b) ?? ?????? ?? +
?? ?? -
?? ?? ?? ?? + ??
(c) ?? ?????? ?? -
?? ?? -
?? ?? ?? ?? + ??
(c) None of these
Ans: (c) ?? = ?
?? ?? 3
+?? ?? 2
+?? ?? 4
???? = ? [
?? ?? +
?? ?? 2
+
?? ?? 4
] ???? = ?? log ?? -
?? ?? -
?? 3?? 3
+ ??
Q3. For any natural number ?? ?( ?? ?? ?? + ?? ?? ?? + ?? ?? ) ( ?? ?? ?? ?? + ?? ?? ?? + ?? )
?? /?? ???? , ( ?? > ?? )=
(a)
( ?? ?? ?? ?? +?? ?? ?? ?? +?? ?? ?? )
?? +?? ?? ?? ( ?? +?? )
(b)
( ?? ?? ?? ?? +?? ?? ?? ?? +?? ?? ?? )
?? ?? +?? ?? ( ?? +?? )
(c) -
( ?? ?? ?? ?? +?? ?? ?? ?? +?? ?? ?? )
?? +?? ?? ?? ( ?? +?? )
(d)
-( ?? ?? ?? ?? +?? ?? ?? ?? +?? ?? ?? )
?? ?? +?? ?? ( ?? +?? )
Ans: (a) ?? = ?( ?? 3?? -1
+ ?? 2?? -1
+ ?? ?? -1
) ( 2?? 3?? + 3?? 2?? + 6?? ?? )
1/?? ????
Put 2?? 3?? + 3?? 2?? + 6?? ?? = ?? ? 6?? ( ?? 3?? -1
+ ?? 2?? -1
+ ?? ?? -1
) ???? = ????
?? = ?
1
6?? ?? 1/?? ???? =
1
6?? ?? 1
?? +1
1
?? + 1
+ ?? =
1
6( ?? + 1)
?? ( ?? +1) /?? + ??
Again put the value of ?? , then we get option (a).
Q4. ?
????
?? +?? ?? =
(a) ?????? ( ?? + ?? ?? )
(b) -?????? ( ?? + ?? -?? )
(c) -?????? ( ?? - ?? -?? )
(d) ?????? ( ?? -?? + ?? -?? ?? )
Ans: (b) ?? = ?
????
1+?? ?? = ?
?? -?? ?? -?? +1
???? , Put ?? -?? + 1 = ?? ? -?? -?? ???? = ???? ? ?? = -?
????
?? = -log ?? = -log ( 1 + ?? -?? )
Q5.??? v?? + ?? ?? ???? =
(a)
?? +?? ?? ?? v ?? +?? ?? + ??
(b) v?? + ?? ?? + ??
(c) ?? ( ?? + ?? ?? )
?? /?? + ??
(d)
?? ?? ( ?? + ?? ?? )
?? /?? + ??
Ans: (d) Put 1 + ?? 2
= ?? ? 2?????? = ???? , ??? v1 + ?? 2
???? =
1
2
??? 1/2
???? =
1
2
·
?? 3/2
3/2
+ ?? =
1
3
( 1 + ?? 2
)
3/2
+ ??
Q7.?
v ?????? ?? ?????? ?? ·?????? ?? ????
(a) ?? v ?????? ?? + ??
(b) ?? v ?????? ?? + ??
(c)
?? v ?????? ?? + ??
(d)
?? v ?????? ?? + ??
Ans: (b) ?
v tan ?? sin ?? ·cos ?? ???? = ?
tan ?? v tan ?? ·sin ?? cos ?? ???? = ?
sin ?? ·sec ?? v tan ?? sin ?? cos ?? ???? = ?
sec
2
?? v tan ?? ????
Put ?? = tan ?? ? ???? = sec
2
?????? , then it reduces to, ?
1
v ?? ???? = 2?? 1/2
+ ?? = 2v tan ?? + ??
Q8. ?
?? ?? v ?? +?? ?? ????
(a)
?? ?? ( ?? + ?? ?? )
?? /?? + ??
(b)
?? ?? ( ?? + ?? ?? )
?? /?? +
?? ?? ( ?? + ?? ?? )
?? /?? + ??
(c)
?? ?? ( ?? + ?? ?? )
?? /?? -
?? ?? ( ?? + ?? ?? )
?? /?? + ??
(d) None of these
Ans: (c) ?
?? 5
v1+?? 3
???? = ?
?? 3
·?? 2
v1+?? 3
???? . Put 1 + ?? 3
= ?? ? 3?? 2
???? = ???? ? ?? 2
???? =
????
3
=
1
3
?
( ?? - 1)
v ?? ???? =
1
3
? ( v ?? -
1
v ?? )???? =
1
3
[
?? 3/2
3/2
- 2v ?? ] + ?? =
2
9
( 1 + ?? 3
)
3/2
-
2
3
( 1 + ?? 3
)
1/2
+ ??
Q9. ?v
?? -?? ?? +?? ???? =
(a) ?????? -?? ?? -
?? ?? v?? - ?? ?? + ??
(b) ?????? -?? ?? +
?? ?? v?? - ?? ?? + ??
(c) ?????? -?? ?? - v?? - ?? ?? + ??
(d) ?????? -?? ?? + v?? - ?? ?? + ??
Ans: (d) Put ?? = cos 2?? , then ?? =
1
2
cos
-1
?? ? ???? = -2sin 2??????
? ?? = -2 ? v
1-cos2?? 1+cos2?? · sin 2?????? ? ?? = -2 ? v
2 sin
2
?? 2 cos
2
?? · sin 2?? · ????
? ?? = -2 ? tan?? · 2 sin ?? cos ?????? ? ?? = -2 · 2 ? sin
2
?????? ? ?? = -2 ? ( 1 - cos 2?? ) ???? ? ?? = -2 [?? -
sin2?? 2
] + ?? 1
? ?? = -2?? + sin 2?? + ?? 1
? ?? = - cos
-1
?? + v1 - ?? 2
+ ?? 1
? ?? = -
?? 2
+ sin
-1
?? + v1 - ?? 2
+ ?? 1
? ?? = sin
-1
?? + v1 - ?? 2
+ ?? [wh ere ?? = ?? 1
-
?? 2
]
Page 3
Solved Examples on Indefinite Integrals
JEE Mains
Q1. ?
( ?? +?? )
?? ?? ( ?? ?? +?? )
???? is equal to
(a) ??????
?? ??
(b) ??????
?? ?? + ?? ?????? -?? ??
(c) ??????
??
?? ?? ?? +??
(d) ??????
?? {?? ( ?? ?? + ?? ) }
Ans: (b) ?
( ?? +1)
2
?? ( ?? 2
+1)
???? = ?
?? 2
+1+2?? ?? ( ( ?? 2
+1)
???? = ?
?? 2
+1
?? ( ?? 2
+1)
???? + 2?
?? ?? ( ?? 2
+1)
???? = ?
????
?? + 2?
????
?? 2
+1
= log
?? ?? + 2tan
-1
??
Q2. ?
?? ?? ?? +?? ?? ?? +?? ?? ?? ???? equals to
(a) ?? ?????? ?? +
?? ?? ?? +
?? ?? ?? ?? + ??
(b) ?? ?????? ?? +
?? ?? -
?? ?? ?? ?? + ??
(c) ?? ?????? ?? -
?? ?? -
?? ?? ?? ?? + ??
(c) None of these
Ans: (c) ?? = ?
?? ?? 3
+?? ?? 2
+?? ?? 4
???? = ? [
?? ?? +
?? ?? 2
+
?? ?? 4
] ???? = ?? log ?? -
?? ?? -
?? 3?? 3
+ ??
Q3. For any natural number ?? ?( ?? ?? ?? + ?? ?? ?? + ?? ?? ) ( ?? ?? ?? ?? + ?? ?? ?? + ?? )
?? /?? ???? , ( ?? > ?? )=
(a)
( ?? ?? ?? ?? +?? ?? ?? ?? +?? ?? ?? )
?? +?? ?? ?? ( ?? +?? )
(b)
( ?? ?? ?? ?? +?? ?? ?? ?? +?? ?? ?? )
?? ?? +?? ?? ( ?? +?? )
(c) -
( ?? ?? ?? ?? +?? ?? ?? ?? +?? ?? ?? )
?? +?? ?? ?? ( ?? +?? )
(d)
-( ?? ?? ?? ?? +?? ?? ?? ?? +?? ?? ?? )
?? ?? +?? ?? ( ?? +?? )
Ans: (a) ?? = ?( ?? 3?? -1
+ ?? 2?? -1
+ ?? ?? -1
) ( 2?? 3?? + 3?? 2?? + 6?? ?? )
1/?? ????
Put 2?? 3?? + 3?? 2?? + 6?? ?? = ?? ? 6?? ( ?? 3?? -1
+ ?? 2?? -1
+ ?? ?? -1
) ???? = ????
?? = ?
1
6?? ?? 1/?? ???? =
1
6?? ?? 1
?? +1
1
?? + 1
+ ?? =
1
6( ?? + 1)
?? ( ?? +1) /?? + ??
Again put the value of ?? , then we get option (a).
Q4. ?
????
?? +?? ?? =
(a) ?????? ( ?? + ?? ?? )
(b) -?????? ( ?? + ?? -?? )
(c) -?????? ( ?? - ?? -?? )
(d) ?????? ( ?? -?? + ?? -?? ?? )
Ans: (b) ?? = ?
????
1+?? ?? = ?
?? -?? ?? -?? +1
???? , Put ?? -?? + 1 = ?? ? -?? -?? ???? = ???? ? ?? = -?
????
?? = -log ?? = -log ( 1 + ?? -?? )
Q5.??? v?? + ?? ?? ???? =
(a)
?? +?? ?? ?? v ?? +?? ?? + ??
(b) v?? + ?? ?? + ??
(c) ?? ( ?? + ?? ?? )
?? /?? + ??
(d)
?? ?? ( ?? + ?? ?? )
?? /?? + ??
Ans: (d) Put 1 + ?? 2
= ?? ? 2?????? = ???? , ??? v1 + ?? 2
???? =
1
2
??? 1/2
???? =
1
2
·
?? 3/2
3/2
+ ?? =
1
3
( 1 + ?? 2
)
3/2
+ ??
Q7.?
v ?????? ?? ?????? ?? ·?????? ?? ????
(a) ?? v ?????? ?? + ??
(b) ?? v ?????? ?? + ??
(c)
?? v ?????? ?? + ??
(d)
?? v ?????? ?? + ??
Ans: (b) ?
v tan ?? sin ?? ·cos ?? ???? = ?
tan ?? v tan ?? ·sin ?? cos ?? ???? = ?
sin ?? ·sec ?? v tan ?? sin ?? cos ?? ???? = ?
sec
2
?? v tan ?? ????
Put ?? = tan ?? ? ???? = sec
2
?????? , then it reduces to, ?
1
v ?? ???? = 2?? 1/2
+ ?? = 2v tan ?? + ??
Q8. ?
?? ?? v ?? +?? ?? ????
(a)
?? ?? ( ?? + ?? ?? )
?? /?? + ??
(b)
?? ?? ( ?? + ?? ?? )
?? /?? +
?? ?? ( ?? + ?? ?? )
?? /?? + ??
(c)
?? ?? ( ?? + ?? ?? )
?? /?? -
?? ?? ( ?? + ?? ?? )
?? /?? + ??
(d) None of these
Ans: (c) ?
?? 5
v1+?? 3
???? = ?
?? 3
·?? 2
v1+?? 3
???? . Put 1 + ?? 3
= ?? ? 3?? 2
???? = ???? ? ?? 2
???? =
????
3
=
1
3
?
( ?? - 1)
v ?? ???? =
1
3
? ( v ?? -
1
v ?? )???? =
1
3
[
?? 3/2
3/2
- 2v ?? ] + ?? =
2
9
( 1 + ?? 3
)
3/2
-
2
3
( 1 + ?? 3
)
1/2
+ ??
Q9. ?v
?? -?? ?? +?? ???? =
(a) ?????? -?? ?? -
?? ?? v?? - ?? ?? + ??
(b) ?????? -?? ?? +
?? ?? v?? - ?? ?? + ??
(c) ?????? -?? ?? - v?? - ?? ?? + ??
(d) ?????? -?? ?? + v?? - ?? ?? + ??
Ans: (d) Put ?? = cos 2?? , then ?? =
1
2
cos
-1
?? ? ???? = -2sin 2??????
? ?? = -2 ? v
1-cos2?? 1+cos2?? · sin 2?????? ? ?? = -2 ? v
2 sin
2
?? 2 cos
2
?? · sin 2?? · ????
? ?? = -2 ? tan?? · 2 sin ?? cos ?????? ? ?? = -2 · 2 ? sin
2
?????? ? ?? = -2 ? ( 1 - cos 2?? ) ???? ? ?? = -2 [?? -
sin2?? 2
] + ?? 1
? ?? = -2?? + sin 2?? + ?? 1
? ?? = - cos
-1
?? + v1 - ?? 2
+ ?? 1
? ?? = -
?? 2
+ sin
-1
?? + v1 - ?? 2
+ ?? 1
? ?? = sin
-1
?? + v1 - ?? 2
+ ?? [wh ere ?? = ?? 1
-
?? 2
]
[where ?? = ?? 1
-
?? 2
]
Q10. If ?? ?? = ?( ?????? ?? )
?? ???? , then ?? ?? + ?? ?? ?? -?? =
(a) ?? ( ?????? ?? )
??
(b) ( ?? ?????? ?? )
??
(c) ( ?????? ?? )
?? -??
(d) ?? ( ?????? ?? )
??
Ans: (a) ?? ?? = ?( log ?? )
?? ???? , ? ?? ?? -1
= ?( log ?? )
?? -1
????
Now ?? ?? = ?( log ?? )
?? · 1???? = ( log ?? )
?? · ?? - ?? ?( log ?? )
?? -1
·
1
?? · ?????? = ( log ?? )
?? · ?? - ?? ?( log ?? )
?? -1
????
?? ?? = ?? ( log ?? )
?? - ?? ?? ?? -1
? ?? ?? + ?? ?? ?? -1
= ?? ( log ?? )
??
Q11. ?[?? ( ?? ) ?? ''
( ?? )- ?? ''
( ?? ) ?? ( ?? ) ]???? is equal to
(a)
?? ( ?? )
?? '
( ?? )
(b) ?? '
( ?? ) ?? ( ?? )- ?? ( ?? ) ?? '
( ?? )
(c) ?? ( ?? ) ?? '
( ?? )- ?? '
( ?? ) ?? ( ?? )
(d) ?? ( ?? ) ?? '
( ?? )+ ?? '
( ?? ) ?? ( ?? )
Ans: ( c )
? [?? ( ?? ) ?? ''
( ?? )- ?? ''
( ?? ) ?? ( ?? ) ]???? = ? ?? ( ?? ) ?? ''
( ?? ) ???? - ? ?? ''
( ?? ) ?? ( ?? ) ????
= [?? ( ?? ) ?? '
( ?? )- ? ?? '
( ?? ) ?? '
( ?? ) ???? ] - [?? ( ?? ) ?? '
( ?? )- ? ?? '
( ?? ) ?? '
( ?? ) ???? ] = ?? ( ?? ) ?? '
( ?? )- ?? '
( ?? ) ?? ( ?? )
Q12. ?
?? ?? ?????? -?? ?? ( ?? +?? )
?? ?? +?? ?? ???? =
(a) ?? ?? ?????? -?? ?? + ??
(b) ?? ?? ?? ?????? -?? ?? + ??
(c) ?? ?? ?? ?????? -?? ?? + ??
(d) None of these
Ans: (b) Put tan
-1
?? = ?? ?
1
1+?? 2
???? = ????
? ?? = ?
?? 2tan
-1
?? ( 1 + ?? )
2
1 + ?? 2
???? = ? ?? 2?? ( 1 + tan ?? )
2
???? = ? ?? 2?? ( sec
2
?? + 2tan ?? ) ????
?? = ? ?? 2?? sec
2
?????? + 2 [tan ?? ?? 2?? 2
- ? sec
2
?? ·
?? 2?? 2
???? ] ? ?? = ? ?? 2?? sec
2
?????? + ?? 2?? tan ?? - ? ?? 2?? sec
2
?????? + ?? ?? = ?? 2?? tan ?? + ?? ? ?? = ?? ?? 2tan
-1
?? + ??
Q13. ?
?? +?????? ?? ?? +?????? ?? ???? =
(a) -?? ?????? ?? /?? + ??
Page 4
Solved Examples on Indefinite Integrals
JEE Mains
Q1. ?
( ?? +?? )
?? ?? ( ?? ?? +?? )
???? is equal to
(a) ??????
?? ??
(b) ??????
?? ?? + ?? ?????? -?? ??
(c) ??????
??
?? ?? ?? +??
(d) ??????
?? {?? ( ?? ?? + ?? ) }
Ans: (b) ?
( ?? +1)
2
?? ( ?? 2
+1)
???? = ?
?? 2
+1+2?? ?? ( ( ?? 2
+1)
???? = ?
?? 2
+1
?? ( ?? 2
+1)
???? + 2?
?? ?? ( ?? 2
+1)
???? = ?
????
?? + 2?
????
?? 2
+1
= log
?? ?? + 2tan
-1
??
Q2. ?
?? ?? ?? +?? ?? ?? +?? ?? ?? ???? equals to
(a) ?? ?????? ?? +
?? ?? ?? +
?? ?? ?? ?? + ??
(b) ?? ?????? ?? +
?? ?? -
?? ?? ?? ?? + ??
(c) ?? ?????? ?? -
?? ?? -
?? ?? ?? ?? + ??
(c) None of these
Ans: (c) ?? = ?
?? ?? 3
+?? ?? 2
+?? ?? 4
???? = ? [
?? ?? +
?? ?? 2
+
?? ?? 4
] ???? = ?? log ?? -
?? ?? -
?? 3?? 3
+ ??
Q3. For any natural number ?? ?( ?? ?? ?? + ?? ?? ?? + ?? ?? ) ( ?? ?? ?? ?? + ?? ?? ?? + ?? )
?? /?? ???? , ( ?? > ?? )=
(a)
( ?? ?? ?? ?? +?? ?? ?? ?? +?? ?? ?? )
?? +?? ?? ?? ( ?? +?? )
(b)
( ?? ?? ?? ?? +?? ?? ?? ?? +?? ?? ?? )
?? ?? +?? ?? ( ?? +?? )
(c) -
( ?? ?? ?? ?? +?? ?? ?? ?? +?? ?? ?? )
?? +?? ?? ?? ( ?? +?? )
(d)
-( ?? ?? ?? ?? +?? ?? ?? ?? +?? ?? ?? )
?? ?? +?? ?? ( ?? +?? )
Ans: (a) ?? = ?( ?? 3?? -1
+ ?? 2?? -1
+ ?? ?? -1
) ( 2?? 3?? + 3?? 2?? + 6?? ?? )
1/?? ????
Put 2?? 3?? + 3?? 2?? + 6?? ?? = ?? ? 6?? ( ?? 3?? -1
+ ?? 2?? -1
+ ?? ?? -1
) ???? = ????
?? = ?
1
6?? ?? 1/?? ???? =
1
6?? ?? 1
?? +1
1
?? + 1
+ ?? =
1
6( ?? + 1)
?? ( ?? +1) /?? + ??
Again put the value of ?? , then we get option (a).
Q4. ?
????
?? +?? ?? =
(a) ?????? ( ?? + ?? ?? )
(b) -?????? ( ?? + ?? -?? )
(c) -?????? ( ?? - ?? -?? )
(d) ?????? ( ?? -?? + ?? -?? ?? )
Ans: (b) ?? = ?
????
1+?? ?? = ?
?? -?? ?? -?? +1
???? , Put ?? -?? + 1 = ?? ? -?? -?? ???? = ???? ? ?? = -?
????
?? = -log ?? = -log ( 1 + ?? -?? )
Q5.??? v?? + ?? ?? ???? =
(a)
?? +?? ?? ?? v ?? +?? ?? + ??
(b) v?? + ?? ?? + ??
(c) ?? ( ?? + ?? ?? )
?? /?? + ??
(d)
?? ?? ( ?? + ?? ?? )
?? /?? + ??
Ans: (d) Put 1 + ?? 2
= ?? ? 2?????? = ???? , ??? v1 + ?? 2
???? =
1
2
??? 1/2
???? =
1
2
·
?? 3/2
3/2
+ ?? =
1
3
( 1 + ?? 2
)
3/2
+ ??
Q7.?
v ?????? ?? ?????? ?? ·?????? ?? ????
(a) ?? v ?????? ?? + ??
(b) ?? v ?????? ?? + ??
(c)
?? v ?????? ?? + ??
(d)
?? v ?????? ?? + ??
Ans: (b) ?
v tan ?? sin ?? ·cos ?? ???? = ?
tan ?? v tan ?? ·sin ?? cos ?? ???? = ?
sin ?? ·sec ?? v tan ?? sin ?? cos ?? ???? = ?
sec
2
?? v tan ?? ????
Put ?? = tan ?? ? ???? = sec
2
?????? , then it reduces to, ?
1
v ?? ???? = 2?? 1/2
+ ?? = 2v tan ?? + ??
Q8. ?
?? ?? v ?? +?? ?? ????
(a)
?? ?? ( ?? + ?? ?? )
?? /?? + ??
(b)
?? ?? ( ?? + ?? ?? )
?? /?? +
?? ?? ( ?? + ?? ?? )
?? /?? + ??
(c)
?? ?? ( ?? + ?? ?? )
?? /?? -
?? ?? ( ?? + ?? ?? )
?? /?? + ??
(d) None of these
Ans: (c) ?
?? 5
v1+?? 3
???? = ?
?? 3
·?? 2
v1+?? 3
???? . Put 1 + ?? 3
= ?? ? 3?? 2
???? = ???? ? ?? 2
???? =
????
3
=
1
3
?
( ?? - 1)
v ?? ???? =
1
3
? ( v ?? -
1
v ?? )???? =
1
3
[
?? 3/2
3/2
- 2v ?? ] + ?? =
2
9
( 1 + ?? 3
)
3/2
-
2
3
( 1 + ?? 3
)
1/2
+ ??
Q9. ?v
?? -?? ?? +?? ???? =
(a) ?????? -?? ?? -
?? ?? v?? - ?? ?? + ??
(b) ?????? -?? ?? +
?? ?? v?? - ?? ?? + ??
(c) ?????? -?? ?? - v?? - ?? ?? + ??
(d) ?????? -?? ?? + v?? - ?? ?? + ??
Ans: (d) Put ?? = cos 2?? , then ?? =
1
2
cos
-1
?? ? ???? = -2sin 2??????
? ?? = -2 ? v
1-cos2?? 1+cos2?? · sin 2?????? ? ?? = -2 ? v
2 sin
2
?? 2 cos
2
?? · sin 2?? · ????
? ?? = -2 ? tan?? · 2 sin ?? cos ?????? ? ?? = -2 · 2 ? sin
2
?????? ? ?? = -2 ? ( 1 - cos 2?? ) ???? ? ?? = -2 [?? -
sin2?? 2
] + ?? 1
? ?? = -2?? + sin 2?? + ?? 1
? ?? = - cos
-1
?? + v1 - ?? 2
+ ?? 1
? ?? = -
?? 2
+ sin
-1
?? + v1 - ?? 2
+ ?? 1
? ?? = sin
-1
?? + v1 - ?? 2
+ ?? [wh ere ?? = ?? 1
-
?? 2
]
[where ?? = ?? 1
-
?? 2
]
Q10. If ?? ?? = ?( ?????? ?? )
?? ???? , then ?? ?? + ?? ?? ?? -?? =
(a) ?? ( ?????? ?? )
??
(b) ( ?? ?????? ?? )
??
(c) ( ?????? ?? )
?? -??
(d) ?? ( ?????? ?? )
??
Ans: (a) ?? ?? = ?( log ?? )
?? ???? , ? ?? ?? -1
= ?( log ?? )
?? -1
????
Now ?? ?? = ?( log ?? )
?? · 1???? = ( log ?? )
?? · ?? - ?? ?( log ?? )
?? -1
·
1
?? · ?????? = ( log ?? )
?? · ?? - ?? ?( log ?? )
?? -1
????
?? ?? = ?? ( log ?? )
?? - ?? ?? ?? -1
? ?? ?? + ?? ?? ?? -1
= ?? ( log ?? )
??
Q11. ?[?? ( ?? ) ?? ''
( ?? )- ?? ''
( ?? ) ?? ( ?? ) ]???? is equal to
(a)
?? ( ?? )
?? '
( ?? )
(b) ?? '
( ?? ) ?? ( ?? )- ?? ( ?? ) ?? '
( ?? )
(c) ?? ( ?? ) ?? '
( ?? )- ?? '
( ?? ) ?? ( ?? )
(d) ?? ( ?? ) ?? '
( ?? )+ ?? '
( ?? ) ?? ( ?? )
Ans: ( c )
? [?? ( ?? ) ?? ''
( ?? )- ?? ''
( ?? ) ?? ( ?? ) ]???? = ? ?? ( ?? ) ?? ''
( ?? ) ???? - ? ?? ''
( ?? ) ?? ( ?? ) ????
= [?? ( ?? ) ?? '
( ?? )- ? ?? '
( ?? ) ?? '
( ?? ) ???? ] - [?? ( ?? ) ?? '
( ?? )- ? ?? '
( ?? ) ?? '
( ?? ) ???? ] = ?? ( ?? ) ?? '
( ?? )- ?? '
( ?? ) ?? ( ?? )
Q12. ?
?? ?? ?????? -?? ?? ( ?? +?? )
?? ?? +?? ?? ???? =
(a) ?? ?? ?????? -?? ?? + ??
(b) ?? ?? ?? ?????? -?? ?? + ??
(c) ?? ?? ?? ?????? -?? ?? + ??
(d) None of these
Ans: (b) Put tan
-1
?? = ?? ?
1
1+?? 2
???? = ????
? ?? = ?
?? 2tan
-1
?? ( 1 + ?? )
2
1 + ?? 2
???? = ? ?? 2?? ( 1 + tan ?? )
2
???? = ? ?? 2?? ( sec
2
?? + 2tan ?? ) ????
?? = ? ?? 2?? sec
2
?????? + 2 [tan ?? ?? 2?? 2
- ? sec
2
?? ·
?? 2?? 2
???? ] ? ?? = ? ?? 2?? sec
2
?????? + ?? 2?? tan ?? - ? ?? 2?? sec
2
?????? + ?? ?? = ?? 2?? tan ?? + ?? ? ?? = ?? ?? 2tan
-1
?? + ??
Q13. ?
?? +?????? ?? ?? +?????? ?? ???? =
(a) -?? ?????? ?? /?? + ??
(b) ?? ?????? ?? /?? + ??
(c) ?? ?????? ?? + ??
(d)
?? ?? ?? ?????? ?? + ??
Ans: (b) ?
?? +sin ?? 1+cos ?? ???? =
1
2
??? sec
2
?? 2
???? + ?tan
?? 2
???? =
1
2
?? tan ?? /2
1/2
- ?tan
?? 2
???? + ?tan
?? 2
???? = ?? tan
?? 2
+ ??
Trick : By inspection,
?? ????
{?? tan
?? 2
+ ?? } = ?? sec
2
?? 2
+ tan
?? 2
=
1
2
[
?? cos
2
?? /2
+
2sin ?? /2
cos ?? /2
] =
?? +sin ?? 1+cos ??
Hence the result.
(4) Integrals of the form ??? ????
sin ???????? , ??? ????
cos ???????? :
Q14. If ?? = ??? ????
?????? ???????? and ?? = ??? ????
?????? ???????? , then ( ?? ?? + ?? ?? ) ( ?? ?? + ?? ?? )=
(a) ?? ?? ????
(b) ( ?? ?? + ?? ?? ) ?? ?? ????
(c) ?? ?? ????
(d) ( ?? ?? - ?? ?? ) ?? ?? ????
Ans: (c)
?? = ? ?? ????
cos ???????? = ?? ????
sin ????
?? -
?? ?? ? ?? ????
· ???????? =
?? ????
sin ????
?? -
?? ?? ?? ? ???? + ???? = ?? ????
sin ????
Similarly, ???? - ???? = -?? ????
cos ????
Squaring (i) and (ii) and adding. We get, ( ?? 2
+ ?? 2
) ( ?? 2
+ ?? 2
)= ?? 2????
.
Q15. ?
????
?? ?? ?? +?? +?? =
(a)
?? v?? ?????? -?? (
?? ?? +?? v ?? )+ ??
(b)
?? ?? v ?? ?????? -?? (
?? ?? +?? v ?? )+ ??
(c)
?? ?? ?????? -?? (
?? ?? +?? v ?? )+ ??
Ans: (d)
?? =
1
2
?
????
?? 2
+
?? 2
+
1
2
? ?? =
1
2
?
????
( ?? +
1
4
)
2
+ (
v7
4
)
2
?? =
1
2
·
4
v7
· tan
-1
[
?? +
1
4
( v7/4)
] + ?? ? ?? =
2
v7
tan
-1
[
4?? + 1
v7
] + ??
Q16. ?
????
v ?? ?? -?? ?? +?? =
(a) ?????? |?? - ?? + v?? ?? + ?? - ?? ?? | + ??
(b) ?????? |?? - ?? - v?? ?? + ?? - ?? ?? | + ??
(c) ?????? |?? - ?? + v?? ?? + ?? + ?? ?? | + ??
(d) ?????? |?? - ?? - v?? ?? + ?? + ?? ?? | + ??
Page 5
Solved Examples on Indefinite Integrals
JEE Mains
Q1. ?
( ?? +?? )
?? ?? ( ?? ?? +?? )
???? is equal to
(a) ??????
?? ??
(b) ??????
?? ?? + ?? ?????? -?? ??
(c) ??????
??
?? ?? ?? +??
(d) ??????
?? {?? ( ?? ?? + ?? ) }
Ans: (b) ?
( ?? +1)
2
?? ( ?? 2
+1)
???? = ?
?? 2
+1+2?? ?? ( ( ?? 2
+1)
???? = ?
?? 2
+1
?? ( ?? 2
+1)
???? + 2?
?? ?? ( ?? 2
+1)
???? = ?
????
?? + 2?
????
?? 2
+1
= log
?? ?? + 2tan
-1
??
Q2. ?
?? ?? ?? +?? ?? ?? +?? ?? ?? ???? equals to
(a) ?? ?????? ?? +
?? ?? ?? +
?? ?? ?? ?? + ??
(b) ?? ?????? ?? +
?? ?? -
?? ?? ?? ?? + ??
(c) ?? ?????? ?? -
?? ?? -
?? ?? ?? ?? + ??
(c) None of these
Ans: (c) ?? = ?
?? ?? 3
+?? ?? 2
+?? ?? 4
???? = ? [
?? ?? +
?? ?? 2
+
?? ?? 4
] ???? = ?? log ?? -
?? ?? -
?? 3?? 3
+ ??
Q3. For any natural number ?? ?( ?? ?? ?? + ?? ?? ?? + ?? ?? ) ( ?? ?? ?? ?? + ?? ?? ?? + ?? )
?? /?? ???? , ( ?? > ?? )=
(a)
( ?? ?? ?? ?? +?? ?? ?? ?? +?? ?? ?? )
?? +?? ?? ?? ( ?? +?? )
(b)
( ?? ?? ?? ?? +?? ?? ?? ?? +?? ?? ?? )
?? ?? +?? ?? ( ?? +?? )
(c) -
( ?? ?? ?? ?? +?? ?? ?? ?? +?? ?? ?? )
?? +?? ?? ?? ( ?? +?? )
(d)
-( ?? ?? ?? ?? +?? ?? ?? ?? +?? ?? ?? )
?? ?? +?? ?? ( ?? +?? )
Ans: (a) ?? = ?( ?? 3?? -1
+ ?? 2?? -1
+ ?? ?? -1
) ( 2?? 3?? + 3?? 2?? + 6?? ?? )
1/?? ????
Put 2?? 3?? + 3?? 2?? + 6?? ?? = ?? ? 6?? ( ?? 3?? -1
+ ?? 2?? -1
+ ?? ?? -1
) ???? = ????
?? = ?
1
6?? ?? 1/?? ???? =
1
6?? ?? 1
?? +1
1
?? + 1
+ ?? =
1
6( ?? + 1)
?? ( ?? +1) /?? + ??
Again put the value of ?? , then we get option (a).
Q4. ?
????
?? +?? ?? =
(a) ?????? ( ?? + ?? ?? )
(b) -?????? ( ?? + ?? -?? )
(c) -?????? ( ?? - ?? -?? )
(d) ?????? ( ?? -?? + ?? -?? ?? )
Ans: (b) ?? = ?
????
1+?? ?? = ?
?? -?? ?? -?? +1
???? , Put ?? -?? + 1 = ?? ? -?? -?? ???? = ???? ? ?? = -?
????
?? = -log ?? = -log ( 1 + ?? -?? )
Q5.??? v?? + ?? ?? ???? =
(a)
?? +?? ?? ?? v ?? +?? ?? + ??
(b) v?? + ?? ?? + ??
(c) ?? ( ?? + ?? ?? )
?? /?? + ??
(d)
?? ?? ( ?? + ?? ?? )
?? /?? + ??
Ans: (d) Put 1 + ?? 2
= ?? ? 2?????? = ???? , ??? v1 + ?? 2
???? =
1
2
??? 1/2
???? =
1
2
·
?? 3/2
3/2
+ ?? =
1
3
( 1 + ?? 2
)
3/2
+ ??
Q7.?
v ?????? ?? ?????? ?? ·?????? ?? ????
(a) ?? v ?????? ?? + ??
(b) ?? v ?????? ?? + ??
(c)
?? v ?????? ?? + ??
(d)
?? v ?????? ?? + ??
Ans: (b) ?
v tan ?? sin ?? ·cos ?? ???? = ?
tan ?? v tan ?? ·sin ?? cos ?? ???? = ?
sin ?? ·sec ?? v tan ?? sin ?? cos ?? ???? = ?
sec
2
?? v tan ?? ????
Put ?? = tan ?? ? ???? = sec
2
?????? , then it reduces to, ?
1
v ?? ???? = 2?? 1/2
+ ?? = 2v tan ?? + ??
Q8. ?
?? ?? v ?? +?? ?? ????
(a)
?? ?? ( ?? + ?? ?? )
?? /?? + ??
(b)
?? ?? ( ?? + ?? ?? )
?? /?? +
?? ?? ( ?? + ?? ?? )
?? /?? + ??
(c)
?? ?? ( ?? + ?? ?? )
?? /?? -
?? ?? ( ?? + ?? ?? )
?? /?? + ??
(d) None of these
Ans: (c) ?
?? 5
v1+?? 3
???? = ?
?? 3
·?? 2
v1+?? 3
???? . Put 1 + ?? 3
= ?? ? 3?? 2
???? = ???? ? ?? 2
???? =
????
3
=
1
3
?
( ?? - 1)
v ?? ???? =
1
3
? ( v ?? -
1
v ?? )???? =
1
3
[
?? 3/2
3/2
- 2v ?? ] + ?? =
2
9
( 1 + ?? 3
)
3/2
-
2
3
( 1 + ?? 3
)
1/2
+ ??
Q9. ?v
?? -?? ?? +?? ???? =
(a) ?????? -?? ?? -
?? ?? v?? - ?? ?? + ??
(b) ?????? -?? ?? +
?? ?? v?? - ?? ?? + ??
(c) ?????? -?? ?? - v?? - ?? ?? + ??
(d) ?????? -?? ?? + v?? - ?? ?? + ??
Ans: (d) Put ?? = cos 2?? , then ?? =
1
2
cos
-1
?? ? ???? = -2sin 2??????
? ?? = -2 ? v
1-cos2?? 1+cos2?? · sin 2?????? ? ?? = -2 ? v
2 sin
2
?? 2 cos
2
?? · sin 2?? · ????
? ?? = -2 ? tan?? · 2 sin ?? cos ?????? ? ?? = -2 · 2 ? sin
2
?????? ? ?? = -2 ? ( 1 - cos 2?? ) ???? ? ?? = -2 [?? -
sin2?? 2
] + ?? 1
? ?? = -2?? + sin 2?? + ?? 1
? ?? = - cos
-1
?? + v1 - ?? 2
+ ?? 1
? ?? = -
?? 2
+ sin
-1
?? + v1 - ?? 2
+ ?? 1
? ?? = sin
-1
?? + v1 - ?? 2
+ ?? [wh ere ?? = ?? 1
-
?? 2
]
[where ?? = ?? 1
-
?? 2
]
Q10. If ?? ?? = ?( ?????? ?? )
?? ???? , then ?? ?? + ?? ?? ?? -?? =
(a) ?? ( ?????? ?? )
??
(b) ( ?? ?????? ?? )
??
(c) ( ?????? ?? )
?? -??
(d) ?? ( ?????? ?? )
??
Ans: (a) ?? ?? = ?( log ?? )
?? ???? , ? ?? ?? -1
= ?( log ?? )
?? -1
????
Now ?? ?? = ?( log ?? )
?? · 1???? = ( log ?? )
?? · ?? - ?? ?( log ?? )
?? -1
·
1
?? · ?????? = ( log ?? )
?? · ?? - ?? ?( log ?? )
?? -1
????
?? ?? = ?? ( log ?? )
?? - ?? ?? ?? -1
? ?? ?? + ?? ?? ?? -1
= ?? ( log ?? )
??
Q11. ?[?? ( ?? ) ?? ''
( ?? )- ?? ''
( ?? ) ?? ( ?? ) ]???? is equal to
(a)
?? ( ?? )
?? '
( ?? )
(b) ?? '
( ?? ) ?? ( ?? )- ?? ( ?? ) ?? '
( ?? )
(c) ?? ( ?? ) ?? '
( ?? )- ?? '
( ?? ) ?? ( ?? )
(d) ?? ( ?? ) ?? '
( ?? )+ ?? '
( ?? ) ?? ( ?? )
Ans: ( c )
? [?? ( ?? ) ?? ''
( ?? )- ?? ''
( ?? ) ?? ( ?? ) ]???? = ? ?? ( ?? ) ?? ''
( ?? ) ???? - ? ?? ''
( ?? ) ?? ( ?? ) ????
= [?? ( ?? ) ?? '
( ?? )- ? ?? '
( ?? ) ?? '
( ?? ) ???? ] - [?? ( ?? ) ?? '
( ?? )- ? ?? '
( ?? ) ?? '
( ?? ) ???? ] = ?? ( ?? ) ?? '
( ?? )- ?? '
( ?? ) ?? ( ?? )
Q12. ?
?? ?? ?????? -?? ?? ( ?? +?? )
?? ?? +?? ?? ???? =
(a) ?? ?? ?????? -?? ?? + ??
(b) ?? ?? ?? ?????? -?? ?? + ??
(c) ?? ?? ?? ?????? -?? ?? + ??
(d) None of these
Ans: (b) Put tan
-1
?? = ?? ?
1
1+?? 2
???? = ????
? ?? = ?
?? 2tan
-1
?? ( 1 + ?? )
2
1 + ?? 2
???? = ? ?? 2?? ( 1 + tan ?? )
2
???? = ? ?? 2?? ( sec
2
?? + 2tan ?? ) ????
?? = ? ?? 2?? sec
2
?????? + 2 [tan ?? ?? 2?? 2
- ? sec
2
?? ·
?? 2?? 2
???? ] ? ?? = ? ?? 2?? sec
2
?????? + ?? 2?? tan ?? - ? ?? 2?? sec
2
?????? + ?? ?? = ?? 2?? tan ?? + ?? ? ?? = ?? ?? 2tan
-1
?? + ??
Q13. ?
?? +?????? ?? ?? +?????? ?? ???? =
(a) -?? ?????? ?? /?? + ??
(b) ?? ?????? ?? /?? + ??
(c) ?? ?????? ?? + ??
(d)
?? ?? ?? ?????? ?? + ??
Ans: (b) ?
?? +sin ?? 1+cos ?? ???? =
1
2
??? sec
2
?? 2
???? + ?tan
?? 2
???? =
1
2
?? tan ?? /2
1/2
- ?tan
?? 2
???? + ?tan
?? 2
???? = ?? tan
?? 2
+ ??
Trick : By inspection,
?? ????
{?? tan
?? 2
+ ?? } = ?? sec
2
?? 2
+ tan
?? 2
=
1
2
[
?? cos
2
?? /2
+
2sin ?? /2
cos ?? /2
] =
?? +sin ?? 1+cos ??
Hence the result.
(4) Integrals of the form ??? ????
sin ???????? , ??? ????
cos ???????? :
Q14. If ?? = ??? ????
?????? ???????? and ?? = ??? ????
?????? ???????? , then ( ?? ?? + ?? ?? ) ( ?? ?? + ?? ?? )=
(a) ?? ?? ????
(b) ( ?? ?? + ?? ?? ) ?? ?? ????
(c) ?? ?? ????
(d) ( ?? ?? - ?? ?? ) ?? ?? ????
Ans: (c)
?? = ? ?? ????
cos ???????? = ?? ????
sin ????
?? -
?? ?? ? ?? ????
· ???????? =
?? ????
sin ????
?? -
?? ?? ?? ? ???? + ???? = ?? ????
sin ????
Similarly, ???? - ???? = -?? ????
cos ????
Squaring (i) and (ii) and adding. We get, ( ?? 2
+ ?? 2
) ( ?? 2
+ ?? 2
)= ?? 2????
.
Q15. ?
????
?? ?? ?? +?? +?? =
(a)
?? v?? ?????? -?? (
?? ?? +?? v ?? )+ ??
(b)
?? ?? v ?? ?????? -?? (
?? ?? +?? v ?? )+ ??
(c)
?? ?? ?????? -?? (
?? ?? +?? v ?? )+ ??
Ans: (d)
?? =
1
2
?
????
?? 2
+
?? 2
+
1
2
? ?? =
1
2
?
????
( ?? +
1
4
)
2
+ (
v7
4
)
2
?? =
1
2
·
4
v7
· tan
-1
[
?? +
1
4
( v7/4)
] + ?? ? ?? =
2
v7
tan
-1
[
4?? + 1
v7
] + ??
Q16. ?
????
v ?? ?? -?? ?? +?? =
(a) ?????? |?? - ?? + v?? ?? + ?? - ?? ?? | + ??
(b) ?????? |?? - ?? - v?? ?? + ?? - ?? ?? | + ??
(c) ?????? |?? - ?? + v?? ?? + ?? + ?? ?? | + ??
(d) ?????? |?? - ?? - v?? ?? + ?? + ?? ?? | + ??
Ans: (a) ?? = ?
????
v( ?? -2)
2
-2
? ?? = ?
????
v?? 2
-( v 2)
2
Put ?? - 2 = ?? ? ???? = ???? ? ?? = log |?? + v?? 2
- 2| + ?? ? ?? = log |?? - 2 + v?? 2
- 4?? + 2| + ??
Q17. ?
?? +?? v ?? ?? -?? ?? +?? equals
(a) v?? ?? - ?? ?? + ?? + ?? ???????? -?? [
( ?? -?? )
v ?? ] + ??
(b) v?? ?? - ?? ?? + ?? - ?? ???????? -?? [
( ?? -?? )
v ?? ] + ??
(c) v?? ?? - ?? ?? + ?? + ?? ???????? -?? [
( ?? -?? )
v ?? ] + ??
(d) v?? ?? - ?? ?? + ?? - ?? ???????? -?? [
( ?? -?? )
v ?? ] + ??
Ans: (a) ?
?? +2
v?? 2
-2?? +4
???? = ?
?? +2
v( ?? -1)
2
+( v 3)
2
???? = ?
?? -1+3
v( ?? -1)
2
+( v 3)
2
???? = ?
?? -1
v?? 2
-2?? +4
???? + ?
3????
v( ?? -1)
2
+( v 3)
2
Put ?? 2
- 2?? + 4 = ?? 2
in the first expression ? 2( ?? - 1) ???? = 2??????
? ( ?? - 1) ???? = ??????
?
?? + 2
v?? 2
- 2?? + 4
???? = ?
??????
?? + 3 ?
????
v
( ?? - 1)
2
+ ( v3)
2
?
?? + 2
v?? 2
- 2?? + 4
???? = v?? 2
- 2?? + 4 + 3sinh
-1
[
?? - 1
v3
] + ??
Q18. The value of ?
?? ?? ?? -?? ?? ?? +?? ?? +?? ?? ?? +?? ?? +?? ???? is
(a) ?? ?? + ?? ?? + ?????? |?? ?? + ?? ?? + ?? | + ????????
?? +?? ?? +?? + ??
(b) ?? + ?? ?? ?? + ?????? |?? + ?? | - ???????? ( ?? + ?? )+ ??
(c) ( ?? ?? + ?? ?? )+ ??????
|?? +?? ( ?? +?? )
?? + ??
(d) None of these
Ans: (c)
?
2?? 3
- 3?? 2
+ 5?? + 6
?? 2
+ 3?? + 2
????
= ? ( ( 2?? + 3)-
8?? ?? 2
+ 3?? + 2
)???? = ? ( 2?? + 3)- 4 ?
( 2?? + 3) ????
?? 2
+ 3?? + 2
+ 12?
????
( ?? + 1) ( ?? + 2)
= ( ?? 2
+ 3?? )- 4ln |?? 2
+ 3?? + 2| + 12?
????
?? + 1
- 12?
????
?? + 2
= ( ?? 2
+ 3?? )- 4ln ( ?? + 1)- 4ln ( ?? + 2)+ 12ln
?? + 1
?? + 2
+ ?? = ?? 2
- 3?? + 8ln ( ?? + 1)- 16ln ( ?? + 2)+ ?? = ( ?? 2
- 3?? )+ 8ln
|?? + 1|
( ?? + 2)
2
+ ?? .
Q19. ?v ?????? ?? ???? =
(a)
?? v?? ?????? -?? (
?????? ?? -?? v ???????? ?? )+
?? ?? v ?? ?????? |
?????? ?? -v ???????? ?? +?? ?????? ?? +v ???????? ?? +?? | + ??
(b)
?? v?? ?????? -?? (
?????? ?? -?? v ???????? ?? )-
?? ?? v ?? ?????? |
?????? ?? -v ???????? ?? +?? ?????? ?? +v ???????? ?? +?? | + ??
(c) ?????? (
?????? ?? -?? v ???????? ?? )+ ??
(d) None of these
Read More
|
209 videos|443 docs|143 tests
|
Related Exams
About this Document
|
4.80/5 Rating |
|
Oct 24, 2024 Last updated |
Document Description: Indefinite Integration Solved Examples for JEE 2024 is part of Mathematics (Maths) for JEE Main & Advanced preparation.
The notes and questions for Indefinite Integration Solved Examples have been prepared according to the JEE exam syllabus. Information about Indefinite Integration Solved Examples covers topics
like and Indefinite Integration Solved Examples Example, for JEE 2024 Exam. Find important definitions, questions, notes, meanings, examples, exercises and tests below for Indefinite Integration Solved Examples.
Introduction of Indefinite Integration Solved Examples in English is available as part of our Mathematics (Maths) for JEE Main & Advanced
for JEE & Indefinite Integration Solved Examples in Hindi for Mathematics (Maths) for JEE Main & Advanced course.
Download more important topics related with notes, lectures and mock test series for JEE
Exam by signing up for free. JEE: Indefinite Integration Solved Examples | Mathematics (Maths) for JEE Main & Advanced
Description
Full syllabus notes, lecture & questions for Indefinite Integration Solved Examples | Mathematics (Maths) for JEE Main & Advanced - JEE | Plus excerises question with solution to help you revise complete syllabus for Mathematics (Maths) for JEE Main & Advanced | Best notes, free PDF download
Information about Indefinite Integration Solved Examples
In this doc you can find the meaning of Indefinite Integration Solved Examples defined & explained in the simplest way possible. Besides explaining types of
Indefinite Integration Solved Examples theory, EduRev gives you an ample number of questions to practice Indefinite Integration Solved Examples tests, examples and also practice JEE
tests
|
209 videos|443 docs|143 tests
|
Download as PDF
|
Explore Courses for JEE exam
|
|
Signup for Free!
Signup to see your scores go up within 7 days! Learn & Practice with 1000+ FREE Notes, Videos & Tests.
Related Searches
Important questions
,Semester Notes
,Exam
,Objective type Questions
,Free
,Indefinite Integration Solved Examples | Mathematics (Maths) for JEE Main & Advanced
,MCQs
,shortcuts and tricks
,Indefinite Integration Solved Examples | Mathematics (Maths) for JEE Main & Advanced
,past year papers
,video lectures
,study material
,Indefinite Integration Solved Examples | Mathematics (Maths) for JEE Main & Advanced
,Previous Year Questions with Solutions
,Sample Paper
,Summary
,Extra Questions
,ppt
,practice quizzes
,mock tests for examination
,Viva Questions
,
Additional Information about Indefinite Integration Solved Examples for JEE Preparation
Indefinite Integration Solved Examples Free PDF Download
The Indefinite Integration Solved Examples is an invaluable resource that delves deep into the core of the JEE exam.
These study notes are curated by experts and cover all the essential topics and concepts, making your preparation more efficient and effective.
With the help of these notes, you can grasp complex subjects quickly, revise important points easily,
and reinforce your understanding of key concepts. The study notes are presented in a concise and easy-to-understand manner,
allowing you to optimize your learning process. Whether you're looking for best-recommended books, sample papers, study material,
or toppers' notes, this PDF has got you covered. Download the Indefinite Integration Solved Examples now and kickstart your journey towards success in the JEE exam.
Importance of Indefinite Integration Solved Examples
The importance of Indefinite Integration Solved Examples cannot be overstated, especially for JEE aspirants.
This document holds the key to success in the JEE exam.
It offers a detailed understanding of the concept, providing invaluable insights into the topic.
By knowing the concepts well in advance, students can plan their preparation effectively.
Utilize this indispensable guide for a well-rounded preparation and achieve your desired results.
Indefinite Integration Solved Examples Notes
Indefinite Integration Solved Examples Notes offer in-depth insights into the specific topic to help you master it with ease.
This comprehensive document covers all aspects related to Indefinite Integration Solved Examples.
It includes detailed information about the exam syllabus, recommended books, and study materials for a well-rounded preparation.
Practice papers and question papers enable you to assess your progress effectively.
Additionally, the paper analysis provides valuable tips for tackling the exam strategically.
Access to Toppers' notes gives you an edge in understanding complex concepts.
Whether you're a beginner or aiming for advanced proficiency, Indefinite Integration Solved Examples Notes on EduRev are your ultimate resource for success.
Indefinite Integration Solved Examples JEE Questions
The "Indefinite Integration Solved Examples JEE Questions" guide is a valuable resource for all aspiring students preparing for the
JEE exam. It focuses on providing a wide range of practice questions to help students gauge
their understanding of the exam topics. These questions cover the entire syllabus, ensuring comprehensive preparation.
The guide includes previous years' question papers for students to familiarize themselves with the exam's format and difficulty level.
Additionally, it offers subject-specific question banks, allowing students to focus on weak areas and improve their performance.
Study Indefinite Integration Solved Examples on the App
Students of JEE can study Indefinite Integration Solved Examples alongwith tests & analysis from the EduRev app,
which will help them while preparing for their exam. Apart from the Indefinite Integration Solved Examples,
students can also utilize the EduRev App for other study materials such as previous year question papers, syllabus, important questions, etc.
The EduRev App will make your learning easier as you can access it from anywhere you want.
The content of Indefinite Integration Solved Examples is prepared as per the latest JEE syllabus.
|
© EduRev
|
Education Revolution
|
Follow Us
|
Signup to see your scores
go up within 7 days!
Access 1000+ FREE Docs, Videos and Tests
Takes less than 10 seconds to signup