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Binomial Theorem and Its Application Solved Examples | Mathematics (Maths) for JEE Main & Advanced PDF Download
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Page 1 Solved Examples on Binomial Theorem and Its Application JEE Mains Q?? : ?? ?? + ???? ?? ?? ?? + ???? ?? ?? ?? ?? + ???? ?? ?? ?? ?? + ???? ?? ?? ?? + ???? ?? ?? = (a) ( ?? + ?? ) ?? (b) ( ?? ?? + ?? ) ?? (c) ( ?? + ?? ?? ) ?? (d) ( ?? + ?? ?? ) ?? Ans: (c) Conversely ( ?? + ?? ) ?? = ?? ?? 0 + ?? ?? 1 ?? ?? -1 ?? 1 + ?? ?? 2 ?? ?? -2 ?? 2 + ? . + ?? ?? ?? ?? 0 ?? ?? ( ?? + 2?? ) 5 = 5 ?? 0 ?? 5 + 5 ?? 1 ?? 4 ( 2?? ) 1 + 5 ?? 2 ?? 3 ( 2?? ) 2 + 5 ?? 3 ?? 2 ( 2?? ) 3 + 5 ?? 4 ?? 1 ( 2?? ) 4 + 5 ?? 5 ?? 0 ( 2?? ) 5 = ?? 5 + 10?? 4 ?? + 40?? 3 ?? 2 + 80?? 2 ?? 3 + 80?? ?? 4 + 32?? 5 . Q2 Sum of odd terms is ?? and sum of even terms is ?? in the expansion of ( ?? + ?? ) ?? , then (a) ???? = ?? ?? ( ?? - ?? ) ?? ?? - ( ?? + ?? ) ?? ?? (b) ?? ???? = ( ?? + ?? ) ?? ?? - ( ?? - ?? ) ?? ?? (c) ?? ???? = ( ?? + ?? ) ?? ?? - ( ?? - ?? ) ?? ?? (d) None of these Ans: (c) ( ?? + ?? ) ?? = ?? ?? 0 ?? ?? + ?? ?? 1 ?? ?? -1 ?? 1 + ?? ?? 2 ?? ?? -2 ?? 2 + ? + ?? ?? ?? ?? ?? -?? · ?? ?? = ( ?? ?? + ?? ?? 2 ?? ?? -2 ?? 2 +. . )+ ( ?? ?? 1 ?? ?? -1 ?? 1 + ?? ?? 3 ?? ?? -3 ?? 3 + ? )= ?? + ?? …. (i) Similarly, ( ?? - ?? ) ?? = ?? - ?? From (i) and (ii), we get 4???? = ( ?? + ?? ) 2?? - ( ?? - ?? ) 2?? Trick: Put ?? = 1 in ( ?? + ?? ) ?? . Then, ?? + ?? = ?? + ?? . Comparing both sides ?? = ?? , ?? = ?? . Option (c) L.H.S. 4???? = 4???? , R.H.S. ( ?? + ?? ) 2 - ( ?? - ?? ) 2 = 4???? . i.e., L.H.S. = R.H.S Q3 If the second, third and fourth term in the expansion of ( ?? + ?? ) ?? are 240, 720 and 1080 respectively, then the value of ?? is (a) 15 (b) 20 (c) 10 (d) 5 Ans: (d) It is given that ?? 2 = 240 , ?? 3 = 720 , ?? 4 = 1080 Now, ?? 2 = 240 ? ?? 2 = ?? ?? 1 ?? ?? -1 ?? 1 = 240 (i) and ?? 3 = 720 ? ?? 3 = ?? ?? 2 ?? ?? -2 ?? 2 = 720 ?? 4 = 1080? ?? 4 = ?? ?? 3 ?? ?? -3 ?? 3 = 1080 To eliminate ?? , ?? 2 ·?? 4 ?? 3 2 = 240.1080 720.720 = 1 2 ? ?? 2 ?? 3 · ?? 4 ?? 3 = 1 2 . Now ?? ?? +1 ?? ?? = ?? ?? ?? ?? ?? ?? -1 = ?? -?? +1 ?? . Putting ?? = 3 and 2 in above expression, we get ?? -2 3 · 2 ?? -1 = 1 2 ? ?? = 5 Q4. If ?? ?? ?? ?? in the expansion of ( ?? + ?? ) ?? and ?? ?? ?? ?? in the expansion of ( ?? + ?? ) ?? +?? are equal, then ?? = (a) 3 (b) 4 (c) 5 (d) 9 Ans: (c) Page 2 Solved Examples on Binomial Theorem and Its Application JEE Mains Q?? : ?? ?? + ???? ?? ?? ?? + ???? ?? ?? ?? ?? + ???? ?? ?? ?? ?? + ???? ?? ?? ?? + ???? ?? ?? = (a) ( ?? + ?? ) ?? (b) ( ?? ?? + ?? ) ?? (c) ( ?? + ?? ?? ) ?? (d) ( ?? + ?? ?? ) ?? Ans: (c) Conversely ( ?? + ?? ) ?? = ?? ?? 0 + ?? ?? 1 ?? ?? -1 ?? 1 + ?? ?? 2 ?? ?? -2 ?? 2 + ? . + ?? ?? ?? ?? 0 ?? ?? ( ?? + 2?? ) 5 = 5 ?? 0 ?? 5 + 5 ?? 1 ?? 4 ( 2?? ) 1 + 5 ?? 2 ?? 3 ( 2?? ) 2 + 5 ?? 3 ?? 2 ( 2?? ) 3 + 5 ?? 4 ?? 1 ( 2?? ) 4 + 5 ?? 5 ?? 0 ( 2?? ) 5 = ?? 5 + 10?? 4 ?? + 40?? 3 ?? 2 + 80?? 2 ?? 3 + 80?? ?? 4 + 32?? 5 . Q2 Sum of odd terms is ?? and sum of even terms is ?? in the expansion of ( ?? + ?? ) ?? , then (a) ???? = ?? ?? ( ?? - ?? ) ?? ?? - ( ?? + ?? ) ?? ?? (b) ?? ???? = ( ?? + ?? ) ?? ?? - ( ?? - ?? ) ?? ?? (c) ?? ???? = ( ?? + ?? ) ?? ?? - ( ?? - ?? ) ?? ?? (d) None of these Ans: (c) ( ?? + ?? ) ?? = ?? ?? 0 ?? ?? + ?? ?? 1 ?? ?? -1 ?? 1 + ?? ?? 2 ?? ?? -2 ?? 2 + ? + ?? ?? ?? ?? ?? -?? · ?? ?? = ( ?? ?? + ?? ?? 2 ?? ?? -2 ?? 2 +. . )+ ( ?? ?? 1 ?? ?? -1 ?? 1 + ?? ?? 3 ?? ?? -3 ?? 3 + ? )= ?? + ?? …. (i) Similarly, ( ?? - ?? ) ?? = ?? - ?? From (i) and (ii), we get 4???? = ( ?? + ?? ) 2?? - ( ?? - ?? ) 2?? Trick: Put ?? = 1 in ( ?? + ?? ) ?? . Then, ?? + ?? = ?? + ?? . Comparing both sides ?? = ?? , ?? = ?? . Option (c) L.H.S. 4???? = 4???? , R.H.S. ( ?? + ?? ) 2 - ( ?? - ?? ) 2 = 4???? . i.e., L.H.S. = R.H.S Q3 If the second, third and fourth term in the expansion of ( ?? + ?? ) ?? are 240, 720 and 1080 respectively, then the value of ?? is (a) 15 (b) 20 (c) 10 (d) 5 Ans: (d) It is given that ?? 2 = 240 , ?? 3 = 720 , ?? 4 = 1080 Now, ?? 2 = 240 ? ?? 2 = ?? ?? 1 ?? ?? -1 ?? 1 = 240 (i) and ?? 3 = 720 ? ?? 3 = ?? ?? 2 ?? ?? -2 ?? 2 = 720 ?? 4 = 1080? ?? 4 = ?? ?? 3 ?? ?? -3 ?? 3 = 1080 To eliminate ?? , ?? 2 ·?? 4 ?? 3 2 = 240.1080 720.720 = 1 2 ? ?? 2 ?? 3 · ?? 4 ?? 3 = 1 2 . Now ?? ?? +1 ?? ?? = ?? ?? ?? ?? ?? ?? -1 = ?? -?? +1 ?? . Putting ?? = 3 and 2 in above expression, we get ?? -2 3 · 2 ?? -1 = 1 2 ? ?? = 5 Q4. If ?? ?? ?? ?? in the expansion of ( ?? + ?? ) ?? and ?? ?? ?? ?? in the expansion of ( ?? + ?? ) ?? +?? are equal, then ?? = (a) 3 (b) 4 (c) 5 (d) 9 Ans: (c) ? ?? 2 ?? 3 = 2 ?? - 2 + 1 · ?? ?? = 2 ?? - 1 ( ?? ?? ) and ?? 3 ?? 4 = 3 ?? + 3 - 3 + 1 · ( ?? ?? )= 3 ?? + 1 ( ?? ?? ) ? ?? 2 ?? 3 = ?? 3 ?? 4 (given) ; ? 2 ?? - 1 ( ?? ?? )= 3 ?? + 1 ( ?? ?? )? 2?? + 2 = 3?? - 3 ? ?? = 5 Q5. If the coefficients of second, third and fourth term in the expansion of ( ?? + ?? ) ?? ?? are in A.P., then ?? ?? ?? - ?? ?? + ?? is equal to (a) -1 (b) ?? (c) 1 (d) ?? /?? Ans: (b) ?? 2 = 2?? ?? 1 , ?? 3 = 2?? ?? 2 , ?? 4 = 2?? ?? 3 are in A.P. then, 2. 2?? ?? 2 = 2?? ?? 1 + 2?? ?? 3 2. 2?? ( .2?? -1) 2.1 = 2?? 1 + 2?? ( 2?? -1) ( 2?? -2) 3.2.1 On solving, 2?? 2 - 9?? + 7 = 0 Q6. If ?? and ?? are the coefficient of ?? ?? in the expansions of ( ?? + ?? ) ?? ?? and ( ?? + ?? ) ?? ?? -?? respectively, then (a) ?? = ?? (b) ?? = ?? ?? (c) ?? ?? = ?? (d) None of these Ans: (b) ?? = coefficient of ?? ?? in ( 1 + ?? ) 2?? = 2?? ?? ?? = ( 2?? ) ! ?? !?? ! = 2·( 2?? -1) ! ( ?? -1) !?? ! ?? = coefficient of ?? ?? in ( 1 + ?? ) 2?? -1 = 2?? -1 ?? ?? = ( 2?? -1) ! ?? !( ?? -1) ! By (i) and (ii) we get, ?? = 2?? Q7. The middle term in the expansion of ( ?? + ?? ) ?? ?? is (a) ?? .?? .?? …….( ?? ?? -?? ) ?? ! ?? ?? ?? +?? (b) ?? .?? .?? …….?? ?? ?? ! ?? ?? ?? +?? (c) ?? .?? .?? …….( ?? ?? -?? ) ?? ! ?? ?? (d) ?? .?? .?? …….( ?? ?? -?? ) ?? ! ?? ?? · ?? ?? Ans: (d) Since 2?? is even, so middle term = ?? 2?? 2 +1 = ?? ?? +1 ? ?? ?? +1 = 2?? ?? ?? ?? ?? = ( 2?? ) ! ?? !·?? ! ?? ?? = 1·3·5……….( 2?? -1) ?? ! · 2 ?? ?? ?? . Q 8 The largest term in the expansion of ( ?? + ?? ?? ) ???? , where ?? = ?? ?? is (a) ?? th (b) ?? th (c) ?? th (d) ?? th Ans: ( c, d) ( 3 + 2?? ) 50 = 3 50 [1 + 2?? 3 ] 50 , Now greatest term in ( 1 + 2?? 3 ) 50 ?? = | ?? ( ?? + 1) 1 + ?? | = | 2?? 3 ( 50 + 1) 2?? 3 + 1 | = 2 · 1 5 3 ( 51) 2 15 + 1 = 6 (an integer) ? ?? ?? and ?? [?? ]+1 = ?? 6 and ?? [6]+1 = ?? 6 and ?? 7 are numerically greatest terms Page 3 Solved Examples on Binomial Theorem and Its Application JEE Mains Q?? : ?? ?? + ???? ?? ?? ?? + ???? ?? ?? ?? ?? + ???? ?? ?? ?? ?? + ???? ?? ?? ?? + ???? ?? ?? = (a) ( ?? + ?? ) ?? (b) ( ?? ?? + ?? ) ?? (c) ( ?? + ?? ?? ) ?? (d) ( ?? + ?? ?? ) ?? Ans: (c) Conversely ( ?? + ?? ) ?? = ?? ?? 0 + ?? ?? 1 ?? ?? -1 ?? 1 + ?? ?? 2 ?? ?? -2 ?? 2 + ? . + ?? ?? ?? ?? 0 ?? ?? ( ?? + 2?? ) 5 = 5 ?? 0 ?? 5 + 5 ?? 1 ?? 4 ( 2?? ) 1 + 5 ?? 2 ?? 3 ( 2?? ) 2 + 5 ?? 3 ?? 2 ( 2?? ) 3 + 5 ?? 4 ?? 1 ( 2?? ) 4 + 5 ?? 5 ?? 0 ( 2?? ) 5 = ?? 5 + 10?? 4 ?? + 40?? 3 ?? 2 + 80?? 2 ?? 3 + 80?? ?? 4 + 32?? 5 . Q2 Sum of odd terms is ?? and sum of even terms is ?? in the expansion of ( ?? + ?? ) ?? , then (a) ???? = ?? ?? ( ?? - ?? ) ?? ?? - ( ?? + ?? ) ?? ?? (b) ?? ???? = ( ?? + ?? ) ?? ?? - ( ?? - ?? ) ?? ?? (c) ?? ???? = ( ?? + ?? ) ?? ?? - ( ?? - ?? ) ?? ?? (d) None of these Ans: (c) ( ?? + ?? ) ?? = ?? ?? 0 ?? ?? + ?? ?? 1 ?? ?? -1 ?? 1 + ?? ?? 2 ?? ?? -2 ?? 2 + ? + ?? ?? ?? ?? ?? -?? · ?? ?? = ( ?? ?? + ?? ?? 2 ?? ?? -2 ?? 2 +. . )+ ( ?? ?? 1 ?? ?? -1 ?? 1 + ?? ?? 3 ?? ?? -3 ?? 3 + ? )= ?? + ?? …. (i) Similarly, ( ?? - ?? ) ?? = ?? - ?? From (i) and (ii), we get 4???? = ( ?? + ?? ) 2?? - ( ?? - ?? ) 2?? Trick: Put ?? = 1 in ( ?? + ?? ) ?? . Then, ?? + ?? = ?? + ?? . Comparing both sides ?? = ?? , ?? = ?? . Option (c) L.H.S. 4???? = 4???? , R.H.S. ( ?? + ?? ) 2 - ( ?? - ?? ) 2 = 4???? . i.e., L.H.S. = R.H.S Q3 If the second, third and fourth term in the expansion of ( ?? + ?? ) ?? are 240, 720 and 1080 respectively, then the value of ?? is (a) 15 (b) 20 (c) 10 (d) 5 Ans: (d) It is given that ?? 2 = 240 , ?? 3 = 720 , ?? 4 = 1080 Now, ?? 2 = 240 ? ?? 2 = ?? ?? 1 ?? ?? -1 ?? 1 = 240 (i) and ?? 3 = 720 ? ?? 3 = ?? ?? 2 ?? ?? -2 ?? 2 = 720 ?? 4 = 1080? ?? 4 = ?? ?? 3 ?? ?? -3 ?? 3 = 1080 To eliminate ?? , ?? 2 ·?? 4 ?? 3 2 = 240.1080 720.720 = 1 2 ? ?? 2 ?? 3 · ?? 4 ?? 3 = 1 2 . Now ?? ?? +1 ?? ?? = ?? ?? ?? ?? ?? ?? -1 = ?? -?? +1 ?? . Putting ?? = 3 and 2 in above expression, we get ?? -2 3 · 2 ?? -1 = 1 2 ? ?? = 5 Q4. If ?? ?? ?? ?? in the expansion of ( ?? + ?? ) ?? and ?? ?? ?? ?? in the expansion of ( ?? + ?? ) ?? +?? are equal, then ?? = (a) 3 (b) 4 (c) 5 (d) 9 Ans: (c) ? ?? 2 ?? 3 = 2 ?? - 2 + 1 · ?? ?? = 2 ?? - 1 ( ?? ?? ) and ?? 3 ?? 4 = 3 ?? + 3 - 3 + 1 · ( ?? ?? )= 3 ?? + 1 ( ?? ?? ) ? ?? 2 ?? 3 = ?? 3 ?? 4 (given) ; ? 2 ?? - 1 ( ?? ?? )= 3 ?? + 1 ( ?? ?? )? 2?? + 2 = 3?? - 3 ? ?? = 5 Q5. If the coefficients of second, third and fourth term in the expansion of ( ?? + ?? ) ?? ?? are in A.P., then ?? ?? ?? - ?? ?? + ?? is equal to (a) -1 (b) ?? (c) 1 (d) ?? /?? Ans: (b) ?? 2 = 2?? ?? 1 , ?? 3 = 2?? ?? 2 , ?? 4 = 2?? ?? 3 are in A.P. then, 2. 2?? ?? 2 = 2?? ?? 1 + 2?? ?? 3 2. 2?? ( .2?? -1) 2.1 = 2?? 1 + 2?? ( 2?? -1) ( 2?? -2) 3.2.1 On solving, 2?? 2 - 9?? + 7 = 0 Q6. If ?? and ?? are the coefficient of ?? ?? in the expansions of ( ?? + ?? ) ?? ?? and ( ?? + ?? ) ?? ?? -?? respectively, then (a) ?? = ?? (b) ?? = ?? ?? (c) ?? ?? = ?? (d) None of these Ans: (b) ?? = coefficient of ?? ?? in ( 1 + ?? ) 2?? = 2?? ?? ?? = ( 2?? ) ! ?? !?? ! = 2·( 2?? -1) ! ( ?? -1) !?? ! ?? = coefficient of ?? ?? in ( 1 + ?? ) 2?? -1 = 2?? -1 ?? ?? = ( 2?? -1) ! ?? !( ?? -1) ! By (i) and (ii) we get, ?? = 2?? Q7. The middle term in the expansion of ( ?? + ?? ) ?? ?? is (a) ?? .?? .?? …….( ?? ?? -?? ) ?? ! ?? ?? ?? +?? (b) ?? .?? .?? …….?? ?? ?? ! ?? ?? ?? +?? (c) ?? .?? .?? …….( ?? ?? -?? ) ?? ! ?? ?? (d) ?? .?? .?? …….( ?? ?? -?? ) ?? ! ?? ?? · ?? ?? Ans: (d) Since 2?? is even, so middle term = ?? 2?? 2 +1 = ?? ?? +1 ? ?? ?? +1 = 2?? ?? ?? ?? ?? = ( 2?? ) ! ?? !·?? ! ?? ?? = 1·3·5……….( 2?? -1) ?? ! · 2 ?? ?? ?? . Q 8 The largest term in the expansion of ( ?? + ?? ?? ) ???? , where ?? = ?? ?? is (a) ?? th (b) ?? th (c) ?? th (d) ?? th Ans: ( c, d) ( 3 + 2?? ) 50 = 3 50 [1 + 2?? 3 ] 50 , Now greatest term in ( 1 + 2?? 3 ) 50 ?? = | ?? ( ?? + 1) 1 + ?? | = | 2?? 3 ( 50 + 1) 2?? 3 + 1 | = 2 · 1 5 3 ( 51) 2 15 + 1 = 6 (an integer) ? ?? ?? and ?? [?? ]+1 = ?? 6 and ?? [6]+1 = ?? 6 and ?? 7 are numerically greatest terms Q9. If ?? ?? = ? ?? =?? ?? ? ?? ?? ?? ?? and ?? ?? = ? ?? =?? ?? ? ?? ?? ?? ?? . Then ?? ?? ?? ?? is equal to (a) ?? ?? -?? ?? (b) ?? ?? ?? - ?? (c) ?? - ?? (d) ?? ?? Ans: (d) Take ?? = 2?? , then, ?? ?? = 1 2?? ?? 0 + 1 2?? ?? 1 + ? … + 1 2?? ?? 2?? = 2 [ 1 2?? ?? 0 + 1 2?? ?? 1 + ? … . + 1 2?? ?? ?? -1 ] + 1 2?? ?? ?? ?? ?? = ? ? ?? ?? =0 ?? ?? ?? ?? = ? ? 2?? ?? =0 ?? 2?? ?? ?? = 1 2?? ?? 1 + 2 2?? ?? 2 + ? … + 2?? 2?? ?? 2?? ?? ?? = ( 1 2?? ?? 1 + 2?? -1 2?? ?? 2?? -1 )+ ( 2 2?? ?? 2 + 2?? -2 2?? ?? 2?? -2 )+ ? … + ( ?? -1 2?? ?? ?? -1 + ?? +1 2?? ?? ?? +1 )+ ?? 2?? ?? ?? + 2?? 2?? ?? 2?? = 2?? [ 1 2?? ?? 1 + 1 2?? ?? 2 + ? . . ] + ?? 2?? ?? ?? + 2?? = 2?? [ 1 2?? ?? 0 + 1 2?? ?? 1 + ? + 1 2?? ?? ?? -1 ] + ?? 2?? ?? ?? = ?? [?? ?? - 1 2?? ?? ?? ] + ?? 2?? ?? ?? = ?????? ?? ?? = ?? ?? ?? ? ?? ?? ?? ?? = ?? = ?? 2 Q10. If ?? ?? stands for ?? ?? ?? , the sum of given series ?? ( ?? /?? ) !( ?? /?? ) ! ?? ! [?? ?? ?? - ?? ?? ?? ?? + ?? ?? ?? ?? - ? … + ( -?? ) ?? ( ?? + ?? ) ?? ?? ?? ] where ?? is an even positive integer, is (a) 0 (b) ( -?? ) ?? /?? ( ?? + ?? ) (c) ( -?? ) ?? ( ?? + ?? ) (d) ( -?? ) ?? /?? ( ?? + ?? ) Ans: (d) We have ?? 0 2 - 2?? 1 2 + 3?? 2 2 - ? … . . +( -1) ?? ( ?? + 1) ?? ?? 2 = [?? 0 2 - ?? 1 2 + ?? 2 2 - ? … . +( -1) ?? ?? ?? 2 ? - [?? 1 2 - 2?? 2 2 + 3?? 3 2 … … . +( -1) ?? ?? . ?? ?? 2 ? = ( -1) ?? /2 · ?? ?? ?? /2 - ( -1) ?? /2-1 · 1 2 ?? · ?? ?? ?? /2 = ( -1) ?? /2 [1 + ?? 2 ] ?? ?? ?? /2 Therefore the value of given expression = 2· ?? 2 ! ?? 2 ! ?? ! [( -1) ?? /2 · ( 1 + ?? 2 ) ?? ! ?? 2 ! ?? 2 ! ] = ( -1) ?? /2 ( ?? + 2) Q???? . ?? ?? ?? + ?? ?? ?? ?? ?? + ?? ?? ?? ?? ?? + ? … + ?? ???? ???? ?? ???? = (a) ?? ???? -?? ???? (b) ?? ???? -?? ???? (c) ???? ?? -?? ???? (d) ???? ?? -?? ???? Ans: (a) It is clear that it is a expansion of ( 1 + ?? ) 10 = ?? 0 + ?? 1 ?? + ?? 2 ?? 2 + ? . . +?? 10 ?? 10 Integrating w.r.t. ?? both sides between the limit o to 2 . [ ( 1 + ?? ) 11 11 ] 0 2 = ?? 0 [?? ] 0 2 + ?? 1 [ ?? 2 2 ] 0 2 + ?? 2 [ ?? 3 3 ] 0 2 + ? … + ?? 10 [ ?? 11 11 ] 0 2 ? 3 11 - 1 11 = 2?? 0 + 2 2 2 · ?? 1 + 2 3 2 · ?? 2 + ? … + 2 11 11 ?? 10 Q12. Let ?? = ( ?? v?? + ???? ) ?? ?? +?? and ?? = ?? - [?? ] where [.] denotes the greatest integer function. The value of R.f is (a) ?? ?? ?? +?? (b) ?? ?? ?? (c) ?? ?? ?? -?? (d) ?? -?? ?? Page 4 Solved Examples on Binomial Theorem and Its Application JEE Mains Q?? : ?? ?? + ???? ?? ?? ?? + ???? ?? ?? ?? ?? + ???? ?? ?? ?? ?? + ???? ?? ?? ?? + ???? ?? ?? = (a) ( ?? + ?? ) ?? (b) ( ?? ?? + ?? ) ?? (c) ( ?? + ?? ?? ) ?? (d) ( ?? + ?? ?? ) ?? Ans: (c) Conversely ( ?? + ?? ) ?? = ?? ?? 0 + ?? ?? 1 ?? ?? -1 ?? 1 + ?? ?? 2 ?? ?? -2 ?? 2 + ? . + ?? ?? ?? ?? 0 ?? ?? ( ?? + 2?? ) 5 = 5 ?? 0 ?? 5 + 5 ?? 1 ?? 4 ( 2?? ) 1 + 5 ?? 2 ?? 3 ( 2?? ) 2 + 5 ?? 3 ?? 2 ( 2?? ) 3 + 5 ?? 4 ?? 1 ( 2?? ) 4 + 5 ?? 5 ?? 0 ( 2?? ) 5 = ?? 5 + 10?? 4 ?? + 40?? 3 ?? 2 + 80?? 2 ?? 3 + 80?? ?? 4 + 32?? 5 . Q2 Sum of odd terms is ?? and sum of even terms is ?? in the expansion of ( ?? + ?? ) ?? , then (a) ???? = ?? ?? ( ?? - ?? ) ?? ?? - ( ?? + ?? ) ?? ?? (b) ?? ???? = ( ?? + ?? ) ?? ?? - ( ?? - ?? ) ?? ?? (c) ?? ???? = ( ?? + ?? ) ?? ?? - ( ?? - ?? ) ?? ?? (d) None of these Ans: (c) ( ?? + ?? ) ?? = ?? ?? 0 ?? ?? + ?? ?? 1 ?? ?? -1 ?? 1 + ?? ?? 2 ?? ?? -2 ?? 2 + ? + ?? ?? ?? ?? ?? -?? · ?? ?? = ( ?? ?? + ?? ?? 2 ?? ?? -2 ?? 2 +. . )+ ( ?? ?? 1 ?? ?? -1 ?? 1 + ?? ?? 3 ?? ?? -3 ?? 3 + ? )= ?? + ?? …. (i) Similarly, ( ?? - ?? ) ?? = ?? - ?? From (i) and (ii), we get 4???? = ( ?? + ?? ) 2?? - ( ?? - ?? ) 2?? Trick: Put ?? = 1 in ( ?? + ?? ) ?? . Then, ?? + ?? = ?? + ?? . Comparing both sides ?? = ?? , ?? = ?? . Option (c) L.H.S. 4???? = 4???? , R.H.S. ( ?? + ?? ) 2 - ( ?? - ?? ) 2 = 4???? . i.e., L.H.S. = R.H.S Q3 If the second, third and fourth term in the expansion of ( ?? + ?? ) ?? are 240, 720 and 1080 respectively, then the value of ?? is (a) 15 (b) 20 (c) 10 (d) 5 Ans: (d) It is given that ?? 2 = 240 , ?? 3 = 720 , ?? 4 = 1080 Now, ?? 2 = 240 ? ?? 2 = ?? ?? 1 ?? ?? -1 ?? 1 = 240 (i) and ?? 3 = 720 ? ?? 3 = ?? ?? 2 ?? ?? -2 ?? 2 = 720 ?? 4 = 1080? ?? 4 = ?? ?? 3 ?? ?? -3 ?? 3 = 1080 To eliminate ?? , ?? 2 ·?? 4 ?? 3 2 = 240.1080 720.720 = 1 2 ? ?? 2 ?? 3 · ?? 4 ?? 3 = 1 2 . Now ?? ?? +1 ?? ?? = ?? ?? ?? ?? ?? ?? -1 = ?? -?? +1 ?? . Putting ?? = 3 and 2 in above expression, we get ?? -2 3 · 2 ?? -1 = 1 2 ? ?? = 5 Q4. If ?? ?? ?? ?? in the expansion of ( ?? + ?? ) ?? and ?? ?? ?? ?? in the expansion of ( ?? + ?? ) ?? +?? are equal, then ?? = (a) 3 (b) 4 (c) 5 (d) 9 Ans: (c) ? ?? 2 ?? 3 = 2 ?? - 2 + 1 · ?? ?? = 2 ?? - 1 ( ?? ?? ) and ?? 3 ?? 4 = 3 ?? + 3 - 3 + 1 · ( ?? ?? )= 3 ?? + 1 ( ?? ?? ) ? ?? 2 ?? 3 = ?? 3 ?? 4 (given) ; ? 2 ?? - 1 ( ?? ?? )= 3 ?? + 1 ( ?? ?? )? 2?? + 2 = 3?? - 3 ? ?? = 5 Q5. If the coefficients of second, third and fourth term in the expansion of ( ?? + ?? ) ?? ?? are in A.P., then ?? ?? ?? - ?? ?? + ?? is equal to (a) -1 (b) ?? (c) 1 (d) ?? /?? Ans: (b) ?? 2 = 2?? ?? 1 , ?? 3 = 2?? ?? 2 , ?? 4 = 2?? ?? 3 are in A.P. then, 2. 2?? ?? 2 = 2?? ?? 1 + 2?? ?? 3 2. 2?? ( .2?? -1) 2.1 = 2?? 1 + 2?? ( 2?? -1) ( 2?? -2) 3.2.1 On solving, 2?? 2 - 9?? + 7 = 0 Q6. If ?? and ?? are the coefficient of ?? ?? in the expansions of ( ?? + ?? ) ?? ?? and ( ?? + ?? ) ?? ?? -?? respectively, then (a) ?? = ?? (b) ?? = ?? ?? (c) ?? ?? = ?? (d) None of these Ans: (b) ?? = coefficient of ?? ?? in ( 1 + ?? ) 2?? = 2?? ?? ?? = ( 2?? ) ! ?? !?? ! = 2·( 2?? -1) ! ( ?? -1) !?? ! ?? = coefficient of ?? ?? in ( 1 + ?? ) 2?? -1 = 2?? -1 ?? ?? = ( 2?? -1) ! ?? !( ?? -1) ! By (i) and (ii) we get, ?? = 2?? Q7. The middle term in the expansion of ( ?? + ?? ) ?? ?? is (a) ?? .?? .?? …….( ?? ?? -?? ) ?? ! ?? ?? ?? +?? (b) ?? .?? .?? …….?? ?? ?? ! ?? ?? ?? +?? (c) ?? .?? .?? …….( ?? ?? -?? ) ?? ! ?? ?? (d) ?? .?? .?? …….( ?? ?? -?? ) ?? ! ?? ?? · ?? ?? Ans: (d) Since 2?? is even, so middle term = ?? 2?? 2 +1 = ?? ?? +1 ? ?? ?? +1 = 2?? ?? ?? ?? ?? = ( 2?? ) ! ?? !·?? ! ?? ?? = 1·3·5……….( 2?? -1) ?? ! · 2 ?? ?? ?? . Q 8 The largest term in the expansion of ( ?? + ?? ?? ) ???? , where ?? = ?? ?? is (a) ?? th (b) ?? th (c) ?? th (d) ?? th Ans: ( c, d) ( 3 + 2?? ) 50 = 3 50 [1 + 2?? 3 ] 50 , Now greatest term in ( 1 + 2?? 3 ) 50 ?? = | ?? ( ?? + 1) 1 + ?? | = | 2?? 3 ( 50 + 1) 2?? 3 + 1 | = 2 · 1 5 3 ( 51) 2 15 + 1 = 6 (an integer) ? ?? ?? and ?? [?? ]+1 = ?? 6 and ?? [6]+1 = ?? 6 and ?? 7 are numerically greatest terms Q9. If ?? ?? = ? ?? =?? ?? ? ?? ?? ?? ?? and ?? ?? = ? ?? =?? ?? ? ?? ?? ?? ?? . Then ?? ?? ?? ?? is equal to (a) ?? ?? -?? ?? (b) ?? ?? ?? - ?? (c) ?? - ?? (d) ?? ?? Ans: (d) Take ?? = 2?? , then, ?? ?? = 1 2?? ?? 0 + 1 2?? ?? 1 + ? … + 1 2?? ?? 2?? = 2 [ 1 2?? ?? 0 + 1 2?? ?? 1 + ? … . + 1 2?? ?? ?? -1 ] + 1 2?? ?? ?? ?? ?? = ? ? ?? ?? =0 ?? ?? ?? ?? = ? ? 2?? ?? =0 ?? 2?? ?? ?? = 1 2?? ?? 1 + 2 2?? ?? 2 + ? … + 2?? 2?? ?? 2?? ?? ?? = ( 1 2?? ?? 1 + 2?? -1 2?? ?? 2?? -1 )+ ( 2 2?? ?? 2 + 2?? -2 2?? ?? 2?? -2 )+ ? … + ( ?? -1 2?? ?? ?? -1 + ?? +1 2?? ?? ?? +1 )+ ?? 2?? ?? ?? + 2?? 2?? ?? 2?? = 2?? [ 1 2?? ?? 1 + 1 2?? ?? 2 + ? . . ] + ?? 2?? ?? ?? + 2?? = 2?? [ 1 2?? ?? 0 + 1 2?? ?? 1 + ? + 1 2?? ?? ?? -1 ] + ?? 2?? ?? ?? = ?? [?? ?? - 1 2?? ?? ?? ] + ?? 2?? ?? ?? = ?????? ?? ?? = ?? ?? ?? ? ?? ?? ?? ?? = ?? = ?? 2 Q10. If ?? ?? stands for ?? ?? ?? , the sum of given series ?? ( ?? /?? ) !( ?? /?? ) ! ?? ! [?? ?? ?? - ?? ?? ?? ?? + ?? ?? ?? ?? - ? … + ( -?? ) ?? ( ?? + ?? ) ?? ?? ?? ] where ?? is an even positive integer, is (a) 0 (b) ( -?? ) ?? /?? ( ?? + ?? ) (c) ( -?? ) ?? ( ?? + ?? ) (d) ( -?? ) ?? /?? ( ?? + ?? ) Ans: (d) We have ?? 0 2 - 2?? 1 2 + 3?? 2 2 - ? … . . +( -1) ?? ( ?? + 1) ?? ?? 2 = [?? 0 2 - ?? 1 2 + ?? 2 2 - ? … . +( -1) ?? ?? ?? 2 ? - [?? 1 2 - 2?? 2 2 + 3?? 3 2 … … . +( -1) ?? ?? . ?? ?? 2 ? = ( -1) ?? /2 · ?? ?? ?? /2 - ( -1) ?? /2-1 · 1 2 ?? · ?? ?? ?? /2 = ( -1) ?? /2 [1 + ?? 2 ] ?? ?? ?? /2 Therefore the value of given expression = 2· ?? 2 ! ?? 2 ! ?? ! [( -1) ?? /2 · ( 1 + ?? 2 ) ?? ! ?? 2 ! ?? 2 ! ] = ( -1) ?? /2 ( ?? + 2) Q???? . ?? ?? ?? + ?? ?? ?? ?? ?? + ?? ?? ?? ?? ?? + ? … + ?? ???? ???? ?? ???? = (a) ?? ???? -?? ???? (b) ?? ???? -?? ???? (c) ???? ?? -?? ???? (d) ???? ?? -?? ???? Ans: (a) It is clear that it is a expansion of ( 1 + ?? ) 10 = ?? 0 + ?? 1 ?? + ?? 2 ?? 2 + ? . . +?? 10 ?? 10 Integrating w.r.t. ?? both sides between the limit o to 2 . [ ( 1 + ?? ) 11 11 ] 0 2 = ?? 0 [?? ] 0 2 + ?? 1 [ ?? 2 2 ] 0 2 + ?? 2 [ ?? 3 3 ] 0 2 + ? … + ?? 10 [ ?? 11 11 ] 0 2 ? 3 11 - 1 11 = 2?? 0 + 2 2 2 · ?? 1 + 2 3 2 · ?? 2 + ? … + 2 11 11 ?? 10 Q12. Let ?? = ( ?? v?? + ???? ) ?? ?? +?? and ?? = ?? - [?? ] where [.] denotes the greatest integer function. The value of R.f is (a) ?? ?? ?? +?? (b) ?? ?? ?? (c) ?? ?? ?? -?? (d) ?? -?? ?? Ans: (a) Since ?? = ?? - [?? ], ?? = ?? + [?? ] [5v5 + 11] 2?? +1 = ?? + [?? ], where [?? ] is integer Now let ?? ' = [5v5 - 11] 2?? +1 , 0 < ?? ' < 1 ?? + [?? ] - ?? ' = [5v5 + 11] 2?? +1 - [5v5 - 11] 2?? +1 = 2[ 2?? +1 ?? 1 ( 5v5) 2?? ( 11) 1 + 2?? +1 ?? 3 ( 5v5) 2?? -2 ( 11) 3 + ? … . . ] = 2. Integer )= 2?? ( ?? ? ?? )= Even integer Hence ?? - ?? ' = even integer -[?? ], but -1 < ?? - ?? ' < 1. Therefore, ?? - ?? ' = 0 ? ?? = ?? ' Hence R.f = ?? . ?? ' = ( 5v5 + 11) 2?? +1 ( 5v5 - 11) 2?? +1 = 4 2?? +1 . Q13. If the value of ?? is so small that ?? ?? and higher power can be neglected, then v?? +?? + v( ?? -?? ) ?? ?? ?? +?? +v?? +?? is equal to (a) ?? + ?? ?? ?? (b) ?? - ?? ?? ?? (c) ?? + ?? ?? ?? (d) ?? - ?? ?? ?? Ans: (b) Given expression can be written as = ( 1 + ?? ) 1/2 + ( 1 - ?? ) 2/3 1 + ?? + ( 1 + ?? ) 1/2 = ( 1 + 1 2 ?? + ( - 1 8 )?? 2 + ? . )+ ( 1 - 2 3 ?? - 1 9 ?? 2 - ? ) 1 + ?? + [1 + 1 2 ?? - 1 8 ?? 2 + ? . . ] = 1 - 1 12 ?? - 1 144 ?? 2 + ? . . 1 + 3 4 ?? - 1 16 ?? 2 + ? . . = 1 - 5 6 ?? + ? . . = 1 - 5 6 ?? , when ?? 2 , ?? 3 … . are neglected. Q14. Coefficient of ?? ?? in the expansion of ( ?? - ?? ?? ) -?? /?? (a) ( ?? ?? ) ! ( ?? !) ?? (b) ( ?? ?? ) ! ?? ?? ·( ?? !) ?? (c) ( ?? ?? ) ! ( ?? !) ?? ·?? ?? ?? (d) ( ?? ?? ) ! ?? ?? ·( ?? +?? ) !( ?? -?? ) ! Ans: (b) Coefficient of ?? ?? = ( - 1 2 )( - 1 2 - 1)( - 1 2 - 2)… ( - 1 2 - ?? + 1) ?? ! ( -2) ?? = 1.3 · 5 … ( 2?? - 1)· ( -1)· ( -1) ?? · 2 ?? 2 ?? ?? ! = 1.3 · 5 … ( 2?? - 1) ?? ! = ( 2?? ) ! ?? ! ?? ! 2 ?? Q15. If ?? is so small that its two and higher power can be neglected and ( ?? - ?? ?? ) -?? /?? ( ?? - ?? ?? ) -?? /?? = ?? + ???? then ?? = (a) 1 (b) -2 (c) 10 (d) 11 Ans: (d) ( 1 - 2?? ) -1/2 ( 1 - 4?? ) -5/2 = 1 + ???? Page 5 Solved Examples on Binomial Theorem and Its Application JEE Mains Q?? : ?? ?? + ???? ?? ?? ?? + ???? ?? ?? ?? ?? + ???? ?? ?? ?? ?? + ???? ?? ?? ?? + ???? ?? ?? = (a) ( ?? + ?? ) ?? (b) ( ?? ?? + ?? ) ?? (c) ( ?? + ?? ?? ) ?? (d) ( ?? + ?? ?? ) ?? Ans: (c) Conversely ( ?? + ?? ) ?? = ?? ?? 0 + ?? ?? 1 ?? ?? -1 ?? 1 + ?? ?? 2 ?? ?? -2 ?? 2 + ? . + ?? ?? ?? ?? 0 ?? ?? ( ?? + 2?? ) 5 = 5 ?? 0 ?? 5 + 5 ?? 1 ?? 4 ( 2?? ) 1 + 5 ?? 2 ?? 3 ( 2?? ) 2 + 5 ?? 3 ?? 2 ( 2?? ) 3 + 5 ?? 4 ?? 1 ( 2?? ) 4 + 5 ?? 5 ?? 0 ( 2?? ) 5 = ?? 5 + 10?? 4 ?? + 40?? 3 ?? 2 + 80?? 2 ?? 3 + 80?? ?? 4 + 32?? 5 . Q2 Sum of odd terms is ?? and sum of even terms is ?? in the expansion of ( ?? + ?? ) ?? , then (a) ???? = ?? ?? ( ?? - ?? ) ?? ?? - ( ?? + ?? ) ?? ?? (b) ?? ???? = ( ?? + ?? ) ?? ?? - ( ?? - ?? ) ?? ?? (c) ?? ???? = ( ?? + ?? ) ?? ?? - ( ?? - ?? ) ?? ?? (d) None of these Ans: (c) ( ?? + ?? ) ?? = ?? ?? 0 ?? ?? + ?? ?? 1 ?? ?? -1 ?? 1 + ?? ?? 2 ?? ?? -2 ?? 2 + ? + ?? ?? ?? ?? ?? -?? · ?? ?? = ( ?? ?? + ?? ?? 2 ?? ?? -2 ?? 2 +. . )+ ( ?? ?? 1 ?? ?? -1 ?? 1 + ?? ?? 3 ?? ?? -3 ?? 3 + ? )= ?? + ?? …. (i) Similarly, ( ?? - ?? ) ?? = ?? - ?? From (i) and (ii), we get 4???? = ( ?? + ?? ) 2?? - ( ?? - ?? ) 2?? Trick: Put ?? = 1 in ( ?? + ?? ) ?? . Then, ?? + ?? = ?? + ?? . Comparing both sides ?? = ?? , ?? = ?? . Option (c) L.H.S. 4???? = 4???? , R.H.S. ( ?? + ?? ) 2 - ( ?? - ?? ) 2 = 4???? . i.e., L.H.S. = R.H.S Q3 If the second, third and fourth term in the expansion of ( ?? + ?? ) ?? are 240, 720 and 1080 respectively, then the value of ?? is (a) 15 (b) 20 (c) 10 (d) 5 Ans: (d) It is given that ?? 2 = 240 , ?? 3 = 720 , ?? 4 = 1080 Now, ?? 2 = 240 ? ?? 2 = ?? ?? 1 ?? ?? -1 ?? 1 = 240 (i) and ?? 3 = 720 ? ?? 3 = ?? ?? 2 ?? ?? -2 ?? 2 = 720 ?? 4 = 1080? ?? 4 = ?? ?? 3 ?? ?? -3 ?? 3 = 1080 To eliminate ?? , ?? 2 ·?? 4 ?? 3 2 = 240.1080 720.720 = 1 2 ? ?? 2 ?? 3 · ?? 4 ?? 3 = 1 2 . Now ?? ?? +1 ?? ?? = ?? ?? ?? ?? ?? ?? -1 = ?? -?? +1 ?? . Putting ?? = 3 and 2 in above expression, we get ?? -2 3 · 2 ?? -1 = 1 2 ? ?? = 5 Q4. If ?? ?? ?? ?? in the expansion of ( ?? + ?? ) ?? and ?? ?? ?? ?? in the expansion of ( ?? + ?? ) ?? +?? are equal, then ?? = (a) 3 (b) 4 (c) 5 (d) 9 Ans: (c) ? ?? 2 ?? 3 = 2 ?? - 2 + 1 · ?? ?? = 2 ?? - 1 ( ?? ?? ) and ?? 3 ?? 4 = 3 ?? + 3 - 3 + 1 · ( ?? ?? )= 3 ?? + 1 ( ?? ?? ) ? ?? 2 ?? 3 = ?? 3 ?? 4 (given) ; ? 2 ?? - 1 ( ?? ?? )= 3 ?? + 1 ( ?? ?? )? 2?? + 2 = 3?? - 3 ? ?? = 5 Q5. If the coefficients of second, third and fourth term in the expansion of ( ?? + ?? ) ?? ?? are in A.P., then ?? ?? ?? - ?? ?? + ?? is equal to (a) -1 (b) ?? (c) 1 (d) ?? /?? Ans: (b) ?? 2 = 2?? ?? 1 , ?? 3 = 2?? ?? 2 , ?? 4 = 2?? ?? 3 are in A.P. then, 2. 2?? ?? 2 = 2?? ?? 1 + 2?? ?? 3 2. 2?? ( .2?? -1) 2.1 = 2?? 1 + 2?? ( 2?? -1) ( 2?? -2) 3.2.1 On solving, 2?? 2 - 9?? + 7 = 0 Q6. If ?? and ?? are the coefficient of ?? ?? in the expansions of ( ?? + ?? ) ?? ?? and ( ?? + ?? ) ?? ?? -?? respectively, then (a) ?? = ?? (b) ?? = ?? ?? (c) ?? ?? = ?? (d) None of these Ans: (b) ?? = coefficient of ?? ?? in ( 1 + ?? ) 2?? = 2?? ?? ?? = ( 2?? ) ! ?? !?? ! = 2·( 2?? -1) ! ( ?? -1) !?? ! ?? = coefficient of ?? ?? in ( 1 + ?? ) 2?? -1 = 2?? -1 ?? ?? = ( 2?? -1) ! ?? !( ?? -1) ! By (i) and (ii) we get, ?? = 2?? Q7. The middle term in the expansion of ( ?? + ?? ) ?? ?? is (a) ?? .?? .?? …….( ?? ?? -?? ) ?? ! ?? ?? ?? +?? (b) ?? .?? .?? …….?? ?? ?? ! ?? ?? ?? +?? (c) ?? .?? .?? …….( ?? ?? -?? ) ?? ! ?? ?? (d) ?? .?? .?? …….( ?? ?? -?? ) ?? ! ?? ?? · ?? ?? Ans: (d) Since 2?? is even, so middle term = ?? 2?? 2 +1 = ?? ?? +1 ? ?? ?? +1 = 2?? ?? ?? ?? ?? = ( 2?? ) ! ?? !·?? ! ?? ?? = 1·3·5……….( 2?? -1) ?? ! · 2 ?? ?? ?? . Q 8 The largest term in the expansion of ( ?? + ?? ?? ) ???? , where ?? = ?? ?? is (a) ?? th (b) ?? th (c) ?? th (d) ?? th Ans: ( c, d) ( 3 + 2?? ) 50 = 3 50 [1 + 2?? 3 ] 50 , Now greatest term in ( 1 + 2?? 3 ) 50 ?? = | ?? ( ?? + 1) 1 + ?? | = | 2?? 3 ( 50 + 1) 2?? 3 + 1 | = 2 · 1 5 3 ( 51) 2 15 + 1 = 6 (an integer) ? ?? ?? and ?? [?? ]+1 = ?? 6 and ?? [6]+1 = ?? 6 and ?? 7 are numerically greatest terms Q9. If ?? ?? = ? ?? =?? ?? ? ?? ?? ?? ?? and ?? ?? = ? ?? =?? ?? ? ?? ?? ?? ?? . Then ?? ?? ?? ?? is equal to (a) ?? ?? -?? ?? (b) ?? ?? ?? - ?? (c) ?? - ?? (d) ?? ?? Ans: (d) Take ?? = 2?? , then, ?? ?? = 1 2?? ?? 0 + 1 2?? ?? 1 + ? … + 1 2?? ?? 2?? = 2 [ 1 2?? ?? 0 + 1 2?? ?? 1 + ? … . + 1 2?? ?? ?? -1 ] + 1 2?? ?? ?? ?? ?? = ? ? ?? ?? =0 ?? ?? ?? ?? = ? ? 2?? ?? =0 ?? 2?? ?? ?? = 1 2?? ?? 1 + 2 2?? ?? 2 + ? … + 2?? 2?? ?? 2?? ?? ?? = ( 1 2?? ?? 1 + 2?? -1 2?? ?? 2?? -1 )+ ( 2 2?? ?? 2 + 2?? -2 2?? ?? 2?? -2 )+ ? … + ( ?? -1 2?? ?? ?? -1 + ?? +1 2?? ?? ?? +1 )+ ?? 2?? ?? ?? + 2?? 2?? ?? 2?? = 2?? [ 1 2?? ?? 1 + 1 2?? ?? 2 + ? . . ] + ?? 2?? ?? ?? + 2?? = 2?? [ 1 2?? ?? 0 + 1 2?? ?? 1 + ? + 1 2?? ?? ?? -1 ] + ?? 2?? ?? ?? = ?? [?? ?? - 1 2?? ?? ?? ] + ?? 2?? ?? ?? = ?????? ?? ?? = ?? ?? ?? ? ?? ?? ?? ?? = ?? = ?? 2 Q10. If ?? ?? stands for ?? ?? ?? , the sum of given series ?? ( ?? /?? ) !( ?? /?? ) ! ?? ! [?? ?? ?? - ?? ?? ?? ?? + ?? ?? ?? ?? - ? … + ( -?? ) ?? ( ?? + ?? ) ?? ?? ?? ] where ?? is an even positive integer, is (a) 0 (b) ( -?? ) ?? /?? ( ?? + ?? ) (c) ( -?? ) ?? ( ?? + ?? ) (d) ( -?? ) ?? /?? ( ?? + ?? ) Ans: (d) We have ?? 0 2 - 2?? 1 2 + 3?? 2 2 - ? … . . +( -1) ?? ( ?? + 1) ?? ?? 2 = [?? 0 2 - ?? 1 2 + ?? 2 2 - ? … . +( -1) ?? ?? ?? 2 ? - [?? 1 2 - 2?? 2 2 + 3?? 3 2 … … . +( -1) ?? ?? . ?? ?? 2 ? = ( -1) ?? /2 · ?? ?? ?? /2 - ( -1) ?? /2-1 · 1 2 ?? · ?? ?? ?? /2 = ( -1) ?? /2 [1 + ?? 2 ] ?? ?? ?? /2 Therefore the value of given expression = 2· ?? 2 ! ?? 2 ! ?? ! [( -1) ?? /2 · ( 1 + ?? 2 ) ?? ! ?? 2 ! ?? 2 ! ] = ( -1) ?? /2 ( ?? + 2) Q???? . ?? ?? ?? + ?? ?? ?? ?? ?? + ?? ?? ?? ?? ?? + ? … + ?? ???? ???? ?? ???? = (a) ?? ???? -?? ???? (b) ?? ???? -?? ???? (c) ???? ?? -?? ???? (d) ???? ?? -?? ???? Ans: (a) It is clear that it is a expansion of ( 1 + ?? ) 10 = ?? 0 + ?? 1 ?? + ?? 2 ?? 2 + ? . . +?? 10 ?? 10 Integrating w.r.t. ?? both sides between the limit o to 2 . [ ( 1 + ?? ) 11 11 ] 0 2 = ?? 0 [?? ] 0 2 + ?? 1 [ ?? 2 2 ] 0 2 + ?? 2 [ ?? 3 3 ] 0 2 + ? … + ?? 10 [ ?? 11 11 ] 0 2 ? 3 11 - 1 11 = 2?? 0 + 2 2 2 · ?? 1 + 2 3 2 · ?? 2 + ? … + 2 11 11 ?? 10 Q12. Let ?? = ( ?? v?? + ???? ) ?? ?? +?? and ?? = ?? - [?? ] where [.] denotes the greatest integer function. The value of R.f is (a) ?? ?? ?? +?? (b) ?? ?? ?? (c) ?? ?? ?? -?? (d) ?? -?? ?? Ans: (a) Since ?? = ?? - [?? ], ?? = ?? + [?? ] [5v5 + 11] 2?? +1 = ?? + [?? ], where [?? ] is integer Now let ?? ' = [5v5 - 11] 2?? +1 , 0 < ?? ' < 1 ?? + [?? ] - ?? ' = [5v5 + 11] 2?? +1 - [5v5 - 11] 2?? +1 = 2[ 2?? +1 ?? 1 ( 5v5) 2?? ( 11) 1 + 2?? +1 ?? 3 ( 5v5) 2?? -2 ( 11) 3 + ? … . . ] = 2. Integer )= 2?? ( ?? ? ?? )= Even integer Hence ?? - ?? ' = even integer -[?? ], but -1 < ?? - ?? ' < 1. Therefore, ?? - ?? ' = 0 ? ?? = ?? ' Hence R.f = ?? . ?? ' = ( 5v5 + 11) 2?? +1 ( 5v5 - 11) 2?? +1 = 4 2?? +1 . Q13. If the value of ?? is so small that ?? ?? and higher power can be neglected, then v?? +?? + v( ?? -?? ) ?? ?? ?? +?? +v?? +?? is equal to (a) ?? + ?? ?? ?? (b) ?? - ?? ?? ?? (c) ?? + ?? ?? ?? (d) ?? - ?? ?? ?? Ans: (b) Given expression can be written as = ( 1 + ?? ) 1/2 + ( 1 - ?? ) 2/3 1 + ?? + ( 1 + ?? ) 1/2 = ( 1 + 1 2 ?? + ( - 1 8 )?? 2 + ? . )+ ( 1 - 2 3 ?? - 1 9 ?? 2 - ? ) 1 + ?? + [1 + 1 2 ?? - 1 8 ?? 2 + ? . . ] = 1 - 1 12 ?? - 1 144 ?? 2 + ? . . 1 + 3 4 ?? - 1 16 ?? 2 + ? . . = 1 - 5 6 ?? + ? . . = 1 - 5 6 ?? , when ?? 2 , ?? 3 … . are neglected. Q14. Coefficient of ?? ?? in the expansion of ( ?? - ?? ?? ) -?? /?? (a) ( ?? ?? ) ! ( ?? !) ?? (b) ( ?? ?? ) ! ?? ?? ·( ?? !) ?? (c) ( ?? ?? ) ! ( ?? !) ?? ·?? ?? ?? (d) ( ?? ?? ) ! ?? ?? ·( ?? +?? ) !( ?? -?? ) ! Ans: (b) Coefficient of ?? ?? = ( - 1 2 )( - 1 2 - 1)( - 1 2 - 2)… ( - 1 2 - ?? + 1) ?? ! ( -2) ?? = 1.3 · 5 … ( 2?? - 1)· ( -1)· ( -1) ?? · 2 ?? 2 ?? ?? ! = 1.3 · 5 … ( 2?? - 1) ?? ! = ( 2?? ) ! ?? ! ?? ! 2 ?? Q15. If ?? is so small that its two and higher power can be neglected and ( ?? - ?? ?? ) -?? /?? ( ?? - ?? ?? ) -?? /?? = ?? + ???? then ?? = (a) 1 (b) -2 (c) 10 (d) 11 Ans: (d) ( 1 - 2?? ) -1/2 ( 1 - 4?? ) -5/2 = 1 + ???? [1 + ( -1/2) ( -2?? ) 1! + ( -1/2) ( -3/2) ( -2?? ) 2 2! + ? … . ] [1 + ( -5/2) ( -4?? ) 1! + ( -5/2) ( -7/2) ( -4?? ) 2 2! + ? … . ] = 1 + ???? Higher power can be neglected. Then [1 + ?? 1! ] [1 + 10?? 1! ] = 1 + ???? ; 1 + 10?? + ?? = 1 + ???? ; ?? = 11 Q16. The number of irrational terms in the expansion of ( v?? ?? + v?? ?? ) ?????? is (a) 97 (b) 98 (c) 96 (d) 99 Ans: (a) ?? ?? +1 = 100 ?? ?? 5 100-?? 8 · 2 ?? 6 As 2 and 5 are co-prime. ?? ?? +1 will be rational if 100- ?? is multiple of 8 and ?? is multiple of 6 also 0 = ?? = 100 ? ?? = 0,6,12… … .96; ? 100- ?? = 4,10,16… . .100 But 100- ?? is to be multiple of 8 . So, 100- ?? = 0,8,16,24, … . .96 Common terms in (i) and (ii) are 16,40,64,88. ? ?? = 84,60,36,12 give rational terms ? The number of irrational terms = 101- 4 = 97. Q17. The sum of the series ( ?? ?? + ?? )· ?? ! + ( ?? ?? + ?? )· ?? ! + ( ?? ?? + ?? )· ?? ! + ? . +( ?? ?? + ?? )· ?? ! is (A) ( ?? + ?? )· ( ?? + ?? ) ! (B) n. ( ?? + ?? ) ! (C) ( ?? + ?? )· ( ?? + ?? ) ! (D) None of these Ans: (B) ( 1 2 + 1) 1! + ( 2 2 + 1) 2! + ( 3 2 + 1) 3! + ? … + ( ?? 2 + 1) ?? ! ?? ?? = ( ?? 2 + 1) ?? ! = ?? ( ?? + 1) ! - ( ?? - 1) ?? ! ?? ?? = ?? ( ?? + 1) ! Q18. The expression ?? v?? ?? + ?? [[ ?? + v?? ?? + ?? ?? ] ?? - [ ?? - v?? ?? + ?? ?? ] ?? ] is a polynomial in ?? of degree (A) 7 (B) 5 (C) 4 (D) 3 Ans: (D)Read More
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