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JEE Solved Example on Inverse Trigonometric Function
JEE Mains
Q?? : ?????? ?????? -?? ?? is equal to
(A)
v ?? -?? ?? ??
(B)
?? v ?? +?? ??
(C)
v ?? +?? ?? ??
(D) ?? v?? + ?? ??
Ans: ( ?? )= tan cos
-1
?? =
v1-?? 2
??
Q?? : |?????? -?? ?? |
?? + |?????? -?? ?? |
?? + ?? |?????? -?? ?? ||?????? -?? ?? | = ?? ?? then ?? ?? + ?? ?? is equal to
(A) 1
(B) ?? /??
(C) 2
(D) ½
Ans: (C) ( |sin
-1
?? | + |sin
-1
?? |
2
)= ?? 2
? ( |sin
-1
?? | + |sin
-1
?? |)= ?? ? |sin
-1
?? | =
?? 2
= |sin
-1
?? |
? ?? = ±?? = ±1
? ?? 2
+ ?? 2
= 2
Q3: Number of solution(s) of the equation ?????? -?? v?? ?? + ???? + ?? + ?????? -?? v ?? ?? - ???? - ?? =
?? ?? is
(A) 2
(B) 1
(C) 4
(D) Infinite
Ans: (A)
cot
-1
v( ?? - 1) ( ?? - 2)+ cos
-1
v
( ?? -
3
4
)
2
+
3
4
=
?? 2
Domain for cot
-1
v( ?? - 1) ( ?? - 2) is
?? ? ( -8, 1] ? [2, 8)
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JEE Mains
Q?? : ?????? ?????? -?? ?? is equal to
(A)
v ?? -?? ?? ??
(B)
?? v ?? +?? ??
(C)
v ?? +?? ?? ??
(D) ?? v?? + ?? ??
Ans: ( ?? )= tan cos
-1
?? =
v1-?? 2
??
Q?? : |?????? -?? ?? |
?? + |?????? -?? ?? |
?? + ?? |?????? -?? ?? ||?????? -?? ?? | = ?? ?? then ?? ?? + ?? ?? is equal to
(A) 1
(B) ?? /??
(C) 2
(D) ½
Ans: (C) ( |sin
-1
?? | + |sin
-1
?? |
2
)= ?? 2
? ( |sin
-1
?? | + |sin
-1
?? |)= ?? ? |sin
-1
?? | =
?? 2
= |sin
-1
?? |
? ?? = ±?? = ±1
? ?? 2
+ ?? 2
= 2
Q3: Number of solution(s) of the equation ?????? -?? v?? ?? + ???? + ?? + ?????? -?? v ?? ?? - ???? - ?? =
?? ?? is
(A) 2
(B) 1
(C) 4
(D) Infinite
Ans: (A)
cot
-1
v( ?? - 1) ( ?? - 2)+ cos
-1
v
( ?? -
3
4
)
2
+
3
4
=
?? 2
Domain for cot
-1
v( ?? - 1) ( ?? - 2) is
?? ? ( -8, 1] ? [2, 8)
while cos
-1
v
( ?? -
3
2
)
2
+
3
4
is defined for ?? = [1,2]
At ?? = 1
? cot
-1
( 0)+ cos
-1
( 1)=
?? 2
At ?? = 2
? cot
-1
( 0)+ cot
-1
( 1)=
?? 2
Hence two solutions.
Q4: If ?????? ( ?????? -?? ?? )= ?? , then ?? ?? is equal to
(A)
v ?? +?? ??
(B)
v ?? -?? ??
(C)
v ?? +?? ??
(D)
v ?? -?? ??
Ans: (D) cos ( tan
-1
?? )=
1
v 1 + ?? 2
= ?? 1
1 + ?? 2
= ?? 2
? ?? 4
+ ?? 2
- 1 = 0
?? 2
= ?? ? ?? 2
+ ?? - 1 = 0
? ( ?? +
1
2
)
2
=
5
4
?? 2
= -
1
2
±
v 5
2
= positive
?? 2
=
v 5 - 1
2
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Q?? : ?????? ?????? -?? ?? is equal to
(A)
v ?? -?? ?? ??
(B)
?? v ?? +?? ??
(C)
v ?? +?? ?? ??
(D) ?? v?? + ?? ??
Ans: ( ?? )= tan cos
-1
?? =
v1-?? 2
??
Q?? : |?????? -?? ?? |
?? + |?????? -?? ?? |
?? + ?? |?????? -?? ?? ||?????? -?? ?? | = ?? ?? then ?? ?? + ?? ?? is equal to
(A) 1
(B) ?? /??
(C) 2
(D) ½
Ans: (C) ( |sin
-1
?? | + |sin
-1
?? |
2
)= ?? 2
? ( |sin
-1
?? | + |sin
-1
?? |)= ?? ? |sin
-1
?? | =
?? 2
= |sin
-1
?? |
? ?? = ±?? = ±1
? ?? 2
+ ?? 2
= 2
Q3: Number of solution(s) of the equation ?????? -?? v?? ?? + ???? + ?? + ?????? -?? v ?? ?? - ???? - ?? =
?? ?? is
(A) 2
(B) 1
(C) 4
(D) Infinite
Ans: (A)
cot
-1
v( ?? - 1) ( ?? - 2)+ cos
-1
v
( ?? -
3
4
)
2
+
3
4
=
?? 2
Domain for cot
-1
v( ?? - 1) ( ?? - 2) is
?? ? ( -8, 1] ? [2, 8)
while cos
-1
v
( ?? -
3
2
)
2
+
3
4
is defined for ?? = [1,2]
At ?? = 1
? cot
-1
( 0)+ cos
-1
( 1)=
?? 2
At ?? = 2
? cot
-1
( 0)+ cot
-1
( 1)=
?? 2
Hence two solutions.
Q4: If ?????? ( ?????? -?? ?? )= ?? , then ?? ?? is equal to
(A)
v ?? +?? ??
(B)
v ?? -?? ??
(C)
v ?? +?? ??
(D)
v ?? -?? ??
Ans: (D) cos ( tan
-1
?? )=
1
v 1 + ?? 2
= ?? 1
1 + ?? 2
= ?? 2
? ?? 4
+ ?? 2
- 1 = 0
?? 2
= ?? ? ?? 2
+ ?? - 1 = 0
? ( ?? +
1
2
)
2
=
5
4
?? 2
= -
1
2
±
v 5
2
= positive
?? 2
=
v 5 - 1
2
Q5: The value of a for which ?? ?? + ???? + ?????? -?? ( ?? ?? - ?? ?? + ?? )+ ?????? -?? ( ?? ?? - ?? ?? + ?? )= ?? , is
(A)
?? ?? + ??
(B)
?? ?? + ??
(C) - |
?? ?? + ?? |
(D) - (
?? ?? + ?? )
Ans: (D) ?? 2
- 4?? + 5 = ( ?? - 2)
2
+ 1
?? = 2, to define sin
-1
( ?? 2
- 4?? + 5)
So 4 + 2?? +
?? 2
+ 0 = 0 ? ?? = -
?? 4
- 2
Q6: Domain of the function ?? ( ?? )= v?????? -?? ( ?????? ?? )+ v?????? -?? ( ?????? ?? ) is
(A) |?? ???? , ?? ???? +
?? ?? | , ?? ? ??
(B) [( ?? ?? + ?? ) ?? , ( ?? ?? + ?? ) ?? ], ?? ? ??
(C) [?? ???? , ( ?? ?? + ?? ) ?? ], ?? ? ??
(D) |?? ???? +
?? ?? , ?? ???? +
?? ?? ?? | , ?? ? ??
Ans: (C) ?? ( ?? )= v sin
-1
sin ?? + vcos
-1
cos ??
sin ?? must not be negative to define ?? ( ?? ) . So the domain is ?? ? [2???? , ( 2?? + 1) ?? ], ?? ? ??
Q7: If ?? - ?????? -?? ?? + ?????? -?? ?? - ?????? -?? ?? , ?? ? [?? , ?? ] Then the interval in which ?? lies is given by
(A) [?? ,
?? ?? ]
(B) [
?? ?? ,
?? ?? ]
(C) [?? ,
?? ?? ]
(D) [
?? ?? ,
?? ?? ?? ]
Ans: (B) 0 = sin
-1
?? + cos
-1
?? - tan
-1
?? =
?? 2
- tan
-1
?? ?? ? [0,1] ?
?? 4
? 0 =
?? 2
Q8: The function
?? ( ?? )= ?????? -?? v( ?? + ?? ) ?? + ?????? -?? v?? ?? + ?? ?? + ??
is defined on the set ?? where ?? =
(A) {?? , ?? }
(B) ( ?? , ?? )
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JEE Mains
Q?? : ?????? ?????? -?? ?? is equal to
(A)
v ?? -?? ?? ??
(B)
?? v ?? +?? ??
(C)
v ?? +?? ?? ??
(D) ?? v?? + ?? ??
Ans: ( ?? )= tan cos
-1
?? =
v1-?? 2
??
Q?? : |?????? -?? ?? |
?? + |?????? -?? ?? |
?? + ?? |?????? -?? ?? ||?????? -?? ?? | = ?? ?? then ?? ?? + ?? ?? is equal to
(A) 1
(B) ?? /??
(C) 2
(D) ½
Ans: (C) ( |sin
-1
?? | + |sin
-1
?? |
2
)= ?? 2
? ( |sin
-1
?? | + |sin
-1
?? |)= ?? ? |sin
-1
?? | =
?? 2
= |sin
-1
?? |
? ?? = ±?? = ±1
? ?? 2
+ ?? 2
= 2
Q3: Number of solution(s) of the equation ?????? -?? v?? ?? + ???? + ?? + ?????? -?? v ?? ?? - ???? - ?? =
?? ?? is
(A) 2
(B) 1
(C) 4
(D) Infinite
Ans: (A)
cot
-1
v( ?? - 1) ( ?? - 2)+ cos
-1
v
( ?? -
3
4
)
2
+
3
4
=
?? 2
Domain for cot
-1
v( ?? - 1) ( ?? - 2) is
?? ? ( -8, 1] ? [2, 8)
while cos
-1
v
( ?? -
3
2
)
2
+
3
4
is defined for ?? = [1,2]
At ?? = 1
? cot
-1
( 0)+ cos
-1
( 1)=
?? 2
At ?? = 2
? cot
-1
( 0)+ cot
-1
( 1)=
?? 2
Hence two solutions.
Q4: If ?????? ( ?????? -?? ?? )= ?? , then ?? ?? is equal to
(A)
v ?? +?? ??
(B)
v ?? -?? ??
(C)
v ?? +?? ??
(D)
v ?? -?? ??
Ans: (D) cos ( tan
-1
?? )=
1
v 1 + ?? 2
= ?? 1
1 + ?? 2
= ?? 2
? ?? 4
+ ?? 2
- 1 = 0
?? 2
= ?? ? ?? 2
+ ?? - 1 = 0
? ( ?? +
1
2
)
2
=
5
4
?? 2
= -
1
2
±
v 5
2
= positive
?? 2
=
v 5 - 1
2
Q5: The value of a for which ?? ?? + ???? + ?????? -?? ( ?? ?? - ?? ?? + ?? )+ ?????? -?? ( ?? ?? - ?? ?? + ?? )= ?? , is
(A)
?? ?? + ??
(B)
?? ?? + ??
(C) - |
?? ?? + ?? |
(D) - (
?? ?? + ?? )
Ans: (D) ?? 2
- 4?? + 5 = ( ?? - 2)
2
+ 1
?? = 2, to define sin
-1
( ?? 2
- 4?? + 5)
So 4 + 2?? +
?? 2
+ 0 = 0 ? ?? = -
?? 4
- 2
Q6: Domain of the function ?? ( ?? )= v?????? -?? ( ?????? ?? )+ v?????? -?? ( ?????? ?? ) is
(A) |?? ???? , ?? ???? +
?? ?? | , ?? ? ??
(B) [( ?? ?? + ?? ) ?? , ( ?? ?? + ?? ) ?? ], ?? ? ??
(C) [?? ???? , ( ?? ?? + ?? ) ?? ], ?? ? ??
(D) |?? ???? +
?? ?? , ?? ???? +
?? ?? ?? | , ?? ? ??
Ans: (C) ?? ( ?? )= v sin
-1
sin ?? + vcos
-1
cos ??
sin ?? must not be negative to define ?? ( ?? ) . So the domain is ?? ? [2???? , ( 2?? + 1) ?? ], ?? ? ??
Q7: If ?? - ?????? -?? ?? + ?????? -?? ?? - ?????? -?? ?? , ?? ? [?? , ?? ] Then the interval in which ?? lies is given by
(A) [?? ,
?? ?? ]
(B) [
?? ?? ,
?? ?? ]
(C) [?? ,
?? ?? ]
(D) [
?? ?? ,
?? ?? ?? ]
Ans: (B) 0 = sin
-1
?? + cos
-1
?? - tan
-1
?? =
?? 2
- tan
-1
?? ?? ? [0,1] ?
?? 4
? 0 =
?? 2
Q8: The function
?? ( ?? )= ?????? -?? v( ?? + ?? ) ?? + ?????? -?? v?? ?? + ?? ?? + ??
is defined on the set ?? where ?? =
(A) {?? , ?? }
(B) ( ?? , ?? )
(C) {?? , -?? }
(D) ( -?? , ?? )
Ans: (C) ?? ( ?? )= cot
-1
v( ?? + 3) ?? + cos
-1
v?? 2
+ 3?? + 1
= cot
-1
v?? ( ?? + 3)+ cos
-1
v
( ?? +
3
2
)
2
-
5
4
?? ( ?? + 3)= 0 ? ?? ? ( -8, -3] ? [0, 8)
( ?? +
3
2
)
2
-
5
4
? 0
? ?? ? (-8,
-3
2
-
v 5
2
] ? [
-3
2
+
v 5
2
, 8)
( ?? +
3
2
)
2
-
5
4
= 1 ? ?? ? [-3,0]
So the answer ?? ? {0, -3}
Q9: ?? = ?????? -?? ( ?????? ( ?????? -?? ?? ) ) and ?? = ?????? -?? ( ?????? ( ?????? -?? ?? ) ) then
(A) ?????? ?? - ?????? ??
(B) ?????? ?? - -?????? ??
(C) ?????? ?? = ?????? ??
(D) ?????? ?? = -?????? ??
Ans: (A) ?? = sin
-1
cos sin
-1
x
?? = cos
-1
sin cos
-1
?? tan ?? = tan sin
-1
cos sin
-1
?? = tan sin
-1
v1 - ?? 2
=
v 1 - ?? 2
?? tan ?? = tan cos
-1
sin cos
-1
?? = tan cos
-1
v1 - ?? 2
=
?? v 1 - ?? 2
cot ?? = tan ??
Q10: If ?? = ?? ?????? -?? (
?? ?? )+ ?????? -?? (
?? ?? )+ ?????? -?? ( v ?? ) and ?? = ?????? (
?? ?? ?????? -?? ( ??????
?? ?? ) ) then which of
the following statements hold good?
(A) ?? = ??????
?? ?? ????
(B) ?? = ??????
?? ?? ????
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JEE Mains
Q?? : ?????? ?????? -?? ?? is equal to
(A)
v ?? -?? ?? ??
(B)
?? v ?? +?? ??
(C)
v ?? +?? ?? ??
(D) ?? v?? + ?? ??
Ans: ( ?? )= tan cos
-1
?? =
v1-?? 2
??
Q?? : |?????? -?? ?? |
?? + |?????? -?? ?? |
?? + ?? |?????? -?? ?? ||?????? -?? ?? | = ?? ?? then ?? ?? + ?? ?? is equal to
(A) 1
(B) ?? /??
(C) 2
(D) ½
Ans: (C) ( |sin
-1
?? | + |sin
-1
?? |
2
)= ?? 2
? ( |sin
-1
?? | + |sin
-1
?? |)= ?? ? |sin
-1
?? | =
?? 2
= |sin
-1
?? |
? ?? = ±?? = ±1
? ?? 2
+ ?? 2
= 2
Q3: Number of solution(s) of the equation ?????? -?? v?? ?? + ???? + ?? + ?????? -?? v ?? ?? - ???? - ?? =
?? ?? is
(A) 2
(B) 1
(C) 4
(D) Infinite
Ans: (A)
cot
-1
v( ?? - 1) ( ?? - 2)+ cos
-1
v
( ?? -
3
4
)
2
+
3
4
=
?? 2
Domain for cot
-1
v( ?? - 1) ( ?? - 2) is
?? ? ( -8, 1] ? [2, 8)
while cos
-1
v
( ?? -
3
2
)
2
+
3
4
is defined for ?? = [1,2]
At ?? = 1
? cot
-1
( 0)+ cos
-1
( 1)=
?? 2
At ?? = 2
? cot
-1
( 0)+ cot
-1
( 1)=
?? 2
Hence two solutions.
Q4: If ?????? ( ?????? -?? ?? )= ?? , then ?? ?? is equal to
(A)
v ?? +?? ??
(B)
v ?? -?? ??
(C)
v ?? +?? ??
(D)
v ?? -?? ??
Ans: (D) cos ( tan
-1
?? )=
1
v 1 + ?? 2
= ?? 1
1 + ?? 2
= ?? 2
? ?? 4
+ ?? 2
- 1 = 0
?? 2
= ?? ? ?? 2
+ ?? - 1 = 0
? ( ?? +
1
2
)
2
=
5
4
?? 2
= -
1
2
±
v 5
2
= positive
?? 2
=
v 5 - 1
2
Q5: The value of a for which ?? ?? + ???? + ?????? -?? ( ?? ?? - ?? ?? + ?? )+ ?????? -?? ( ?? ?? - ?? ?? + ?? )= ?? , is
(A)
?? ?? + ??
(B)
?? ?? + ??
(C) - |
?? ?? + ?? |
(D) - (
?? ?? + ?? )
Ans: (D) ?? 2
- 4?? + 5 = ( ?? - 2)
2
+ 1
?? = 2, to define sin
-1
( ?? 2
- 4?? + 5)
So 4 + 2?? +
?? 2
+ 0 = 0 ? ?? = -
?? 4
- 2
Q6: Domain of the function ?? ( ?? )= v?????? -?? ( ?????? ?? )+ v?????? -?? ( ?????? ?? ) is
(A) |?? ???? , ?? ???? +
?? ?? | , ?? ? ??
(B) [( ?? ?? + ?? ) ?? , ( ?? ?? + ?? ) ?? ], ?? ? ??
(C) [?? ???? , ( ?? ?? + ?? ) ?? ], ?? ? ??
(D) |?? ???? +
?? ?? , ?? ???? +
?? ?? ?? | , ?? ? ??
Ans: (C) ?? ( ?? )= v sin
-1
sin ?? + vcos
-1
cos ??
sin ?? must not be negative to define ?? ( ?? ) . So the domain is ?? ? [2???? , ( 2?? + 1) ?? ], ?? ? ??
Q7: If ?? - ?????? -?? ?? + ?????? -?? ?? - ?????? -?? ?? , ?? ? [?? , ?? ] Then the interval in which ?? lies is given by
(A) [?? ,
?? ?? ]
(B) [
?? ?? ,
?? ?? ]
(C) [?? ,
?? ?? ]
(D) [
?? ?? ,
?? ?? ?? ]
Ans: (B) 0 = sin
-1
?? + cos
-1
?? - tan
-1
?? =
?? 2
- tan
-1
?? ?? ? [0,1] ?
?? 4
? 0 =
?? 2
Q8: The function
?? ( ?? )= ?????? -?? v( ?? + ?? ) ?? + ?????? -?? v?? ?? + ?? ?? + ??
is defined on the set ?? where ?? =
(A) {?? , ?? }
(B) ( ?? , ?? )
(C) {?? , -?? }
(D) ( -?? , ?? )
Ans: (C) ?? ( ?? )= cot
-1
v( ?? + 3) ?? + cos
-1
v?? 2
+ 3?? + 1
= cot
-1
v?? ( ?? + 3)+ cos
-1
v
( ?? +
3
2
)
2
-
5
4
?? ( ?? + 3)= 0 ? ?? ? ( -8, -3] ? [0, 8)
( ?? +
3
2
)
2
-
5
4
? 0
? ?? ? (-8,
-3
2
-
v 5
2
] ? [
-3
2
+
v 5
2
, 8)
( ?? +
3
2
)
2
-
5
4
= 1 ? ?? ? [-3,0]
So the answer ?? ? {0, -3}
Q9: ?? = ?????? -?? ( ?????? ( ?????? -?? ?? ) ) and ?? = ?????? -?? ( ?????? ( ?????? -?? ?? ) ) then
(A) ?????? ?? - ?????? ??
(B) ?????? ?? - -?????? ??
(C) ?????? ?? = ?????? ??
(D) ?????? ?? = -?????? ??
Ans: (A) ?? = sin
-1
cos sin
-1
x
?? = cos
-1
sin cos
-1
?? tan ?? = tan sin
-1
cos sin
-1
?? = tan sin
-1
v1 - ?? 2
=
v 1 - ?? 2
?? tan ?? = tan cos
-1
sin cos
-1
?? = tan cos
-1
v1 - ?? 2
=
?? v 1 - ?? 2
cot ?? = tan ??
Q10: If ?? = ?? ?????? -?? (
?? ?? )+ ?????? -?? (
?? ?? )+ ?????? -?? ( v ?? ) and ?? = ?????? (
?? ?? ?????? -?? ( ??????
?? ?? ) ) then which of
the following statements hold good?
(A) ?? = ??????
?? ?? ????
(B) ?? = ??????
?? ?? ????
(C) ?? - ?? ?????? -?? ??
(D) None of these
Ans: ( ?? ) ?? = 2cos
-1
(
1
2
)+ sin
-1
(
-1
2
)+ tan
-1
v 3
?? =
2?? 3
+
?? 4
+
?? 3
; ?? =
5?? 4
?? = cos (
1
2
sin
-1
( sin
?? 2
) ) = cos
1
2
sin
-1
sin
5?? 8
= cos
1
2
[?? -
5?? 8
] = cos
3?? 16
Q11: The set values of ?? satisfying the equation ?????? ?? ( ?????? -?? ?? )> ?? is
(A) [-?? , ?? ]
(B) [-
v ?? ?? ,
v ?? ?? ]
(C) ( -?? , ?? )- [-
v ?? ?? ,
v ?? ?? ]
(D [-?? , ?? ] - ( -
v ?? ?? ,
v ?? ?? )
Ans: ( ?? ) [tan ( sin
-1
?? ) ]
2
= [
?? v 1 - ?? 2
]
2
> 1
?
?? 2
1 - ?? 2
> 1
?
-1 + 2?? 2
1 - ?? 2
> 0
?
( v 2?? - 1) ( v 2?? + 1)
( ?? - 1) ( ?? + 1)
> 0
?? ? ( -1,1)- [-
v 2
2
,
v 2
2
]
Q12: The equation ?????? -?? ?? - ?? ?????? -?? a has a solution for
(A) All real values of ??
(B) ?? < -??
(C) ?? > ??
(D)
-?? v ?? = ?? =
?? v ??
Ans: (D) sin
-1
?? = 2sin
-1
??
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