Detailed Notes: Limits | Mathematics (Maths) for JEE Main & Advanced PDF Download

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LIMITS 
1. INTRODUCTION 
The concept of limit of a function is one of the fundamental ideas that distinguishes calculus from 
algebra and trigonometry. We use limits to describe the way a function ?? varies. Some functions vary 
continuously; small changes in ?? produce only small changes in ?? ( ?? ) . Other functions can have values 
that jump or vary erratically. We also use limits to define tangent lines to graphs of functions. This 
geometric application leads at once to the important concept of derivative of a function. 
2. DEFINITION 
Let ?? ( ?? ) be defined on an open interval about ' ?? ' except possibly at ' ?? ' itself. If ?? ( ?? ) gets arbitrarily 
close to ?? (a finite number) for all ?? sufficiently close to ' ?? ' we say that ?? ( ?? ) approaches the limit ?? as ?? 
approaches ' ?? ' and we write ?? ?? ?? ?? ? ?? ?? ( ?? ) = ?? and say "the limit of ?? ( ?? ) , as ?? approaches a, equals ?? ". 
This implies if we can make the value of ?? ( ?? ) arbitrarily close to ?? (as close to ?? as we like) by taking ?? 
to be sufficiently close to a (on either side of a) but not equal to a. 
3. LEFT HAND LIMIT AND RIGHT HAND 
LIMIT OF A FUNCTION : 
 
 
hand limit of ?? ( ?? ) at ?? = ?? . Symbolically, ?????? = ?? ?? ?? ?? ? ?? - ?? ( ?? ) = ?? ?? ?? h ? 0
?? ( ?? - h ) . 
The value to which ?? ( ?? ) approaches, as ?? tends to ' ?? ' from the right hand side ( ?? ? ?? +
) is called right 
hand limit of ?? ( ?? ) at ?? = ?? . Symbolically, ?? ?? ?? = ?? ?? ?? ?? ? ?? + ?? ( ?? ) = ?? ?? ?? h ? 0
?? ( ?? + h ) . 
Limit of a function ?? ( ?? ) is said to exist as, ?? ? a when ?? ?? ?? ?? ? ?? - ? ?? ( ?? ) = ?? ?? ?? ?? ? ?? + ? ?? ( ?? ) = Finite quantity. 
Example : 
 
? ?? ?? ?? ?? ? 1
+ ? ?? ( ?? ) = ?? ?? ?? h ? 0
? ?? ( - 1 + h ) = ?? ( - 1
+
) = - 1 ? ? ?? ?? ?? ?? ? 0
- ? ?? ( ?? ) = ?? ?? ?? h ? 0
? ?? ( 0 - h ) = ?? ( 0
-
)
= 0 ? ? ?? ?? ?? ? ?? ( ?? ) = ?? ?? ?? ?? ? 0
? ?? ( 0 + h ) = ?? ( 0
+
) = 0 ? ? ?? ?? ?? ?? ? 1
- ? ?? ( ?? ) = ?? ?? ?? h ? 0
?? ( 1 - h ) = ?? ( 1
-
)
= - 1 ? ? ?? ?? ?? ?? ? 1
+ ? ?? ( ?? ) = ?? ?? ?? h ? 0
? ?? ( 1 + h ) = ?? ( 1
+
) = 0 ? ? ?? ?? ?? ?? ? 2
- ? ?? ( ?? ) = ?? ?? ?? h ? 0
?? ( 2 - h )
= ?? ( 2
-
) = 1 ? 
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LIMITS 
1. INTRODUCTION 
The concept of limit of a function is one of the fundamental ideas that distinguishes calculus from 
algebra and trigonometry. We use limits to describe the way a function ?? varies. Some functions vary 
continuously; small changes in ?? produce only small changes in ?? ( ?? ) . Other functions can have values 
that jump or vary erratically. We also use limits to define tangent lines to graphs of functions. This 
geometric application leads at once to the important concept of derivative of a function. 
2. DEFINITION 
Let ?? ( ?? ) be defined on an open interval about ' ?? ' except possibly at ' ?? ' itself. If ?? ( ?? ) gets arbitrarily 
close to ?? (a finite number) for all ?? sufficiently close to ' ?? ' we say that ?? ( ?? ) approaches the limit ?? as ?? 
approaches ' ?? ' and we write ?? ?? ?? ?? ? ?? ?? ( ?? ) = ?? and say "the limit of ?? ( ?? ) , as ?? approaches a, equals ?? ". 
This implies if we can make the value of ?? ( ?? ) arbitrarily close to ?? (as close to ?? as we like) by taking ?? 
to be sufficiently close to a (on either side of a) but not equal to a. 
3. LEFT HAND LIMIT AND RIGHT HAND 
LIMIT OF A FUNCTION : 
 
 
hand limit of ?? ( ?? ) at ?? = ?? . Symbolically, ?????? = ?? ?? ?? ?? ? ?? - ?? ( ?? ) = ?? ?? ?? h ? 0
?? ( ?? - h ) . 
The value to which ?? ( ?? ) approaches, as ?? tends to ' ?? ' from the right hand side ( ?? ? ?? +
) is called right 
hand limit of ?? ( ?? ) at ?? = ?? . Symbolically, ?? ?? ?? = ?? ?? ?? ?? ? ?? + ?? ( ?? ) = ?? ?? ?? h ? 0
?? ( ?? + h ) . 
Limit of a function ?? ( ?? ) is said to exist as, ?? ? a when ?? ?? ?? ?? ? ?? - ? ?? ( ?? ) = ?? ?? ?? ?? ? ?? + ? ?? ( ?? ) = Finite quantity. 
Example : 
 
? ?? ?? ?? ?? ? 1
+ ? ?? ( ?? ) = ?? ?? ?? h ? 0
? ?? ( - 1 + h ) = ?? ( - 1
+
) = - 1 ? ? ?? ?? ?? ?? ? 0
- ? ?? ( ?? ) = ?? ?? ?? h ? 0
? ?? ( 0 - h ) = ?? ( 0
-
)
= 0 ? ? ?? ?? ?? ? ?? ( ?? ) = ?? ?? ?? ?? ? 0
? ?? ( 0 + h ) = ?? ( 0
+
) = 0 ? ? ?? ?? ?? ?? ? 1
- ? ?? ( ?? ) = ?? ?? ?? h ? 0
?? ( 1 - h ) = ?? ( 1
-
)
= - 1 ? ? ?? ?? ?? ?? ? 1
+ ? ?? ( ?? ) = ?? ?? ?? h ? 0
? ?? ( 1 + h ) = ?? ( 1
+
) = 0 ? ? ?? ?? ?? ?? ? 2
- ? ?? ( ?? ) = ?? ?? ?? h ? 0
?? ( 2 - h )
= ?? ( 2
-
) = 1 ? 
Fig. 1 
?? ?? ?? ?? ? 0
? ?? ( ?? ) = 0 and ?? ?? ?? ?? ? 1
? ?? ( ?? ) does not exist. 
Important Note : 
In ?? ?? ?? ?? ? ?? ?? ( ?? ) , ?? ? a necessarily implies ?? ? ?? . That is while evaluating limit at ?? = ?? , we are not 
concerned with the value of the function at ?? = ?? . In fact the function may or may not be defined at ?? =
?? . 
Also it is necessary to note that if ?? ( ?? ) is defined only on one side of ' ?? = ?? ', one sided limits are good 
enough to establish the existence of limits, & if ?? ( ?? ) is defined on either side of ' ?? ' both sided limits are 
to be considered. 
As in ?? ?? ?? ?? ? 1
?? ?? ?? - 1
? ?? = 0, though ?? ( ?? ) is not defined for ?? > 1, even in it's immediate vicinity. 
Problem 1: ? Consider the adjacent graph of ?? = ?? ( ?? ) Find the following : 
(a) ?? ?? ?? ?? ? 0
- ? ?? ( ?? ) 
(b) ?? ?? ?? ?? ? 0
+ ? ?? ( ?? ) 
(c) ?? ?? ?? ?? ? 1
- ? ?? ( ?? ) 
(d) ?? ?? ?? ?? ? 1
+ ? ?? ( ?? ) 
(e) ?? ?? ?? ?? ? 2
- ? ?? ( ?? ) 
(f) ?? ?? ?? ?? ? 2
+ ? ?? ( ?? ) 
(g) ?? ?? ?? ?? ? 3
- ? ?? ( ?? ) 
(h) ?? ?? ?? ?? ? 3
+ ? ?? ( ?? ) 
(i) ?? ?? ?? ?? ? 4
- ? ?? ( ?? ) 
(j) ?? ?? ?? ?? ? 4
+ ? ?? ( ?? ) 
(k) ?? ?? ?? ?? ? 8
? ?? ( ?? ) = 2 
(l) ?? ?? ?? ?? ? 6
- ? ?? ( ?? ) = - 8 
 
Solution: (a) As ?? ? 0
-
: limit does not exist (the function is not defined to the left of ?? = 0 ) 
(b) As ?? ? 0
+
: ?? ( ?? ) ? - 1 ? ?? ?? ?? ?? ? 0
+ ? ?? ( ?? ) = - 1. (c) As ?? ? 1
-
: ?? ( ?? ) ? 1 ? ?? ?? ?? ?? ? 1
- ? ?? ( ?? ) = 1. 
(d) As ?? ? 1
+
: ?? ( ?? ) ? 2 ? ?? ?? ?? ?? ? 1
+ ? ?? ( ?? ) = 2. 
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LIMITS 
1. INTRODUCTION 
The concept of limit of a function is one of the fundamental ideas that distinguishes calculus from 
algebra and trigonometry. We use limits to describe the way a function ?? varies. Some functions vary 
continuously; small changes in ?? produce only small changes in ?? ( ?? ) . Other functions can have values 
that jump or vary erratically. We also use limits to define tangent lines to graphs of functions. This 
geometric application leads at once to the important concept of derivative of a function. 
2. DEFINITION 
Let ?? ( ?? ) be defined on an open interval about ' ?? ' except possibly at ' ?? ' itself. If ?? ( ?? ) gets arbitrarily 
close to ?? (a finite number) for all ?? sufficiently close to ' ?? ' we say that ?? ( ?? ) approaches the limit ?? as ?? 
approaches ' ?? ' and we write ?? ?? ?? ?? ? ?? ?? ( ?? ) = ?? and say "the limit of ?? ( ?? ) , as ?? approaches a, equals ?? ". 
This implies if we can make the value of ?? ( ?? ) arbitrarily close to ?? (as close to ?? as we like) by taking ?? 
to be sufficiently close to a (on either side of a) but not equal to a. 
3. LEFT HAND LIMIT AND RIGHT HAND 
LIMIT OF A FUNCTION : 
 
 
hand limit of ?? ( ?? ) at ?? = ?? . Symbolically, ?????? = ?? ?? ?? ?? ? ?? - ?? ( ?? ) = ?? ?? ?? h ? 0
?? ( ?? - h ) . 
The value to which ?? ( ?? ) approaches, as ?? tends to ' ?? ' from the right hand side ( ?? ? ?? +
) is called right 
hand limit of ?? ( ?? ) at ?? = ?? . Symbolically, ?? ?? ?? = ?? ?? ?? ?? ? ?? + ?? ( ?? ) = ?? ?? ?? h ? 0
?? ( ?? + h ) . 
Limit of a function ?? ( ?? ) is said to exist as, ?? ? a when ?? ?? ?? ?? ? ?? - ? ?? ( ?? ) = ?? ?? ?? ?? ? ?? + ? ?? ( ?? ) = Finite quantity. 
Example : 
 
? ?? ?? ?? ?? ? 1
+ ? ?? ( ?? ) = ?? ?? ?? h ? 0
? ?? ( - 1 + h ) = ?? ( - 1
+
) = - 1 ? ? ?? ?? ?? ?? ? 0
- ? ?? ( ?? ) = ?? ?? ?? h ? 0
? ?? ( 0 - h ) = ?? ( 0
-
)
= 0 ? ? ?? ?? ?? ? ?? ( ?? ) = ?? ?? ?? ?? ? 0
? ?? ( 0 + h ) = ?? ( 0
+
) = 0 ? ? ?? ?? ?? ?? ? 1
- ? ?? ( ?? ) = ?? ?? ?? h ? 0
?? ( 1 - h ) = ?? ( 1
-
)
= - 1 ? ? ?? ?? ?? ?? ? 1
+ ? ?? ( ?? ) = ?? ?? ?? h ? 0
? ?? ( 1 + h ) = ?? ( 1
+
) = 0 ? ? ?? ?? ?? ?? ? 2
- ? ?? ( ?? ) = ?? ?? ?? h ? 0
?? ( 2 - h )
= ?? ( 2
-
) = 1 ? 
Fig. 1 
?? ?? ?? ?? ? 0
? ?? ( ?? ) = 0 and ?? ?? ?? ?? ? 1
? ?? ( ?? ) does not exist. 
Important Note : 
In ?? ?? ?? ?? ? ?? ?? ( ?? ) , ?? ? a necessarily implies ?? ? ?? . That is while evaluating limit at ?? = ?? , we are not 
concerned with the value of the function at ?? = ?? . In fact the function may or may not be defined at ?? =
?? . 
Also it is necessary to note that if ?? ( ?? ) is defined only on one side of ' ?? = ?? ', one sided limits are good 
enough to establish the existence of limits, & if ?? ( ?? ) is defined on either side of ' ?? ' both sided limits are 
to be considered. 
As in ?? ?? ?? ?? ? 1
?? ?? ?? - 1
? ?? = 0, though ?? ( ?? ) is not defined for ?? > 1, even in it's immediate vicinity. 
Problem 1: ? Consider the adjacent graph of ?? = ?? ( ?? ) Find the following : 
(a) ?? ?? ?? ?? ? 0
- ? ?? ( ?? ) 
(b) ?? ?? ?? ?? ? 0
+ ? ?? ( ?? ) 
(c) ?? ?? ?? ?? ? 1
- ? ?? ( ?? ) 
(d) ?? ?? ?? ?? ? 1
+ ? ?? ( ?? ) 
(e) ?? ?? ?? ?? ? 2
- ? ?? ( ?? ) 
(f) ?? ?? ?? ?? ? 2
+ ? ?? ( ?? ) 
(g) ?? ?? ?? ?? ? 3
- ? ?? ( ?? ) 
(h) ?? ?? ?? ?? ? 3
+ ? ?? ( ?? ) 
(i) ?? ?? ?? ?? ? 4
- ? ?? ( ?? ) 
(j) ?? ?? ?? ?? ? 4
+ ? ?? ( ?? ) 
(k) ?? ?? ?? ?? ? 8
? ?? ( ?? ) = 2 
(l) ?? ?? ?? ?? ? 6
- ? ?? ( ?? ) = - 8 
 
Solution: (a) As ?? ? 0
-
: limit does not exist (the function is not defined to the left of ?? = 0 ) 
(b) As ?? ? 0
+
: ?? ( ?? ) ? - 1 ? ?? ?? ?? ?? ? 0
+ ? ?? ( ?? ) = - 1. (c) As ?? ? 1
-
: ?? ( ?? ) ? 1 ? ?? ?? ?? ?? ? 1
- ? ?? ( ?? ) = 1. 
(d) As ?? ? 1
+
: ?? ( ?? ) ? 2 ? ?? ?? ?? ?? ? 1
+ ? ?? ( ?? ) = 2. 
(e) As ?? ? 2
-
: ?? ( ?? ) ? 3 ? ?? ?? ?? ?? ? 2
- ? ?? ( ?? ) = 3. 
(f) As ?? ? 2
+
: ?? ( ?? ) ? 3 ? ?? ?? ?? ?? ? 2
- ? ?? ( ?? ) = 3. 
(g) As ?? ? 3
-
: ?? ( ?? ) ? 2 ? ?? ?? ?? ?? ? 3
- ? ?? ( ?? ) = 2. 
(h) As ?? ? 3
+
: ?? ( ?? ) ? 3 ? ?? ?? ?? ?? ? 3
+ ? ?? ( ?? ) = 3. 
(i) As ?? ? 4
-
: ?? ( ?? ) ? 4 ? ?? ?? ?? ?? ? 4
- ? ?? ( ?? ) = 4. 
(j) As ?? ? 4
+
: ?? ( ?? ) ? 4 ? ?? ?? ?? ?? ? 4
+ ? ?? ( ?? ) = 4. 
(k) As ?? ? 8 : ?? ( ?? ) ? 2 ? ?? ?? ?? ?? ? 8
? ?? ( ?? ) = 2. 
(l) As ?? ? 6
-
, ?? ( ?? ) ? - 8 ? ?? ?? ?? ?? ? 6
- ? ?? ( ?? ) = - 8 limit does not exist because it is not finite. 
 
 
(h) ?? ?? ?? ?? ? ?? ? ?? ( ?? ) exists at every ?? ? ( 1 , 3 ) 
(i) ?? ?? ?? ?? ? 1
- ? ?? ( ?? ) = 0 ? (j) ?? ?? ?? ?? ? 3
+ ? ?? ( ?? ) does not exist. 
4.FUNDAMENTAL THEOREMS ON LIMITS 
Let ?? ?? ?? ?? ? ?? ? ?? ( ?? ) = ?? & ?? ?? ?? ?? ? ?? ? ?? ( ?? ) = ?? . If ?? & ?? exist finitely then : 
(a) Sum rule: ?? ?? ?? ?? ? ?? ? { ?? ( ?? ) + ?? ( ?? ) } = ?? + ?? 
(b) Difference rule : ?? ?? ?? ?? ? ?? ? { ?? ( ?? ) - ?? ( ?? ) } = ?? - ?? 
(c) Product rule : ?? ?? ?? ?? ? ?? ? ?? ( ?? ) . ?? ( ?? ) = ?? . ?? 
(d) Quotient rule : ?? ?? ?? ?? ? ?? ?? ( ?? )
?? ( ?? )
=
?? ? ?? , provided ?? ? 0 
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LIMITS 
1. INTRODUCTION 
The concept of limit of a function is one of the fundamental ideas that distinguishes calculus from 
algebra and trigonometry. We use limits to describe the way a function ?? varies. Some functions vary 
continuously; small changes in ?? produce only small changes in ?? ( ?? ) . Other functions can have values 
that jump or vary erratically. We also use limits to define tangent lines to graphs of functions. This 
geometric application leads at once to the important concept of derivative of a function. 
2. DEFINITION 
Let ?? ( ?? ) be defined on an open interval about ' ?? ' except possibly at ' ?? ' itself. If ?? ( ?? ) gets arbitrarily 
close to ?? (a finite number) for all ?? sufficiently close to ' ?? ' we say that ?? ( ?? ) approaches the limit ?? as ?? 
approaches ' ?? ' and we write ?? ?? ?? ?? ? ?? ?? ( ?? ) = ?? and say "the limit of ?? ( ?? ) , as ?? approaches a, equals ?? ". 
This implies if we can make the value of ?? ( ?? ) arbitrarily close to ?? (as close to ?? as we like) by taking ?? 
to be sufficiently close to a (on either side of a) but not equal to a. 
3. LEFT HAND LIMIT AND RIGHT HAND 
LIMIT OF A FUNCTION : 
 
 
hand limit of ?? ( ?? ) at ?? = ?? . Symbolically, ?????? = ?? ?? ?? ?? ? ?? - ?? ( ?? ) = ?? ?? ?? h ? 0
?? ( ?? - h ) . 
The value to which ?? ( ?? ) approaches, as ?? tends to ' ?? ' from the right hand side ( ?? ? ?? +
) is called right 
hand limit of ?? ( ?? ) at ?? = ?? . Symbolically, ?? ?? ?? = ?? ?? ?? ?? ? ?? + ?? ( ?? ) = ?? ?? ?? h ? 0
?? ( ?? + h ) . 
Limit of a function ?? ( ?? ) is said to exist as, ?? ? a when ?? ?? ?? ?? ? ?? - ? ?? ( ?? ) = ?? ?? ?? ?? ? ?? + ? ?? ( ?? ) = Finite quantity. 
Example : 
 
? ?? ?? ?? ?? ? 1
+ ? ?? ( ?? ) = ?? ?? ?? h ? 0
? ?? ( - 1 + h ) = ?? ( - 1
+
) = - 1 ? ? ?? ?? ?? ?? ? 0
- ? ?? ( ?? ) = ?? ?? ?? h ? 0
? ?? ( 0 - h ) = ?? ( 0
-
)
= 0 ? ? ?? ?? ?? ? ?? ( ?? ) = ?? ?? ?? ?? ? 0
? ?? ( 0 + h ) = ?? ( 0
+
) = 0 ? ? ?? ?? ?? ?? ? 1
- ? ?? ( ?? ) = ?? ?? ?? h ? 0
?? ( 1 - h ) = ?? ( 1
-
)
= - 1 ? ? ?? ?? ?? ?? ? 1
+ ? ?? ( ?? ) = ?? ?? ?? h ? 0
? ?? ( 1 + h ) = ?? ( 1
+
) = 0 ? ? ?? ?? ?? ?? ? 2
- ? ?? ( ?? ) = ?? ?? ?? h ? 0
?? ( 2 - h )
= ?? ( 2
-
) = 1 ? 
Fig. 1 
?? ?? ?? ?? ? 0
? ?? ( ?? ) = 0 and ?? ?? ?? ?? ? 1
? ?? ( ?? ) does not exist. 
Important Note : 
In ?? ?? ?? ?? ? ?? ?? ( ?? ) , ?? ? a necessarily implies ?? ? ?? . That is while evaluating limit at ?? = ?? , we are not 
concerned with the value of the function at ?? = ?? . In fact the function may or may not be defined at ?? =
?? . 
Also it is necessary to note that if ?? ( ?? ) is defined only on one side of ' ?? = ?? ', one sided limits are good 
enough to establish the existence of limits, & if ?? ( ?? ) is defined on either side of ' ?? ' both sided limits are 
to be considered. 
As in ?? ?? ?? ?? ? 1
?? ?? ?? - 1
? ?? = 0, though ?? ( ?? ) is not defined for ?? > 1, even in it's immediate vicinity. 
Problem 1: ? Consider the adjacent graph of ?? = ?? ( ?? ) Find the following : 
(a) ?? ?? ?? ?? ? 0
- ? ?? ( ?? ) 
(b) ?? ?? ?? ?? ? 0
+ ? ?? ( ?? ) 
(c) ?? ?? ?? ?? ? 1
- ? ?? ( ?? ) 
(d) ?? ?? ?? ?? ? 1
+ ? ?? ( ?? ) 
(e) ?? ?? ?? ?? ? 2
- ? ?? ( ?? ) 
(f) ?? ?? ?? ?? ? 2
+ ? ?? ( ?? ) 
(g) ?? ?? ?? ?? ? 3
- ? ?? ( ?? ) 
(h) ?? ?? ?? ?? ? 3
+ ? ?? ( ?? ) 
(i) ?? ?? ?? ?? ? 4
- ? ?? ( ?? ) 
(j) ?? ?? ?? ?? ? 4
+ ? ?? ( ?? ) 
(k) ?? ?? ?? ?? ? 8
? ?? ( ?? ) = 2 
(l) ?? ?? ?? ?? ? 6
- ? ?? ( ?? ) = - 8 
 
Solution: (a) As ?? ? 0
-
: limit does not exist (the function is not defined to the left of ?? = 0 ) 
(b) As ?? ? 0
+
: ?? ( ?? ) ? - 1 ? ?? ?? ?? ?? ? 0
+ ? ?? ( ?? ) = - 1. (c) As ?? ? 1
-
: ?? ( ?? ) ? 1 ? ?? ?? ?? ?? ? 1
- ? ?? ( ?? ) = 1. 
(d) As ?? ? 1
+
: ?? ( ?? ) ? 2 ? ?? ?? ?? ?? ? 1
+ ? ?? ( ?? ) = 2. 
(e) As ?? ? 2
-
: ?? ( ?? ) ? 3 ? ?? ?? ?? ?? ? 2
- ? ?? ( ?? ) = 3. 
(f) As ?? ? 2
+
: ?? ( ?? ) ? 3 ? ?? ?? ?? ?? ? 2
- ? ?? ( ?? ) = 3. 
(g) As ?? ? 3
-
: ?? ( ?? ) ? 2 ? ?? ?? ?? ?? ? 3
- ? ?? ( ?? ) = 2. 
(h) As ?? ? 3
+
: ?? ( ?? ) ? 3 ? ?? ?? ?? ?? ? 3
+ ? ?? ( ?? ) = 3. 
(i) As ?? ? 4
-
: ?? ( ?? ) ? 4 ? ?? ?? ?? ?? ? 4
- ? ?? ( ?? ) = 4. 
(j) As ?? ? 4
+
: ?? ( ?? ) ? 4 ? ?? ?? ?? ?? ? 4
+ ? ?? ( ?? ) = 4. 
(k) As ?? ? 8 : ?? ( ?? ) ? 2 ? ?? ?? ?? ?? ? 8
? ?? ( ?? ) = 2. 
(l) As ?? ? 6
-
, ?? ( ?? ) ? - 8 ? ?? ?? ?? ?? ? 6
- ? ?? ( ?? ) = - 8 limit does not exist because it is not finite. 
 
 
(h) ?? ?? ?? ?? ? ?? ? ?? ( ?? ) exists at every ?? ? ( 1 , 3 ) 
(i) ?? ?? ?? ?? ? 1
- ? ?? ( ?? ) = 0 ? (j) ?? ?? ?? ?? ? 3
+ ? ?? ( ?? ) does not exist. 
4.FUNDAMENTAL THEOREMS ON LIMITS 
Let ?? ?? ?? ?? ? ?? ? ?? ( ?? ) = ?? & ?? ?? ?? ?? ? ?? ? ?? ( ?? ) = ?? . If ?? & ?? exist finitely then : 
(a) Sum rule: ?? ?? ?? ?? ? ?? ? { ?? ( ?? ) + ?? ( ?? ) } = ?? + ?? 
(b) Difference rule : ?? ?? ?? ?? ? ?? ? { ?? ( ?? ) - ?? ( ?? ) } = ?? - ?? 
(c) Product rule : ?? ?? ?? ?? ? ?? ? ?? ( ?? ) . ?? ( ?? ) = ?? . ?? 
(d) Quotient rule : ?? ?? ?? ?? ? ?? ?? ( ?? )
?? ( ?? )
=
?? ? ?? , provided ?? ? 0 
(e) Constant multiple rule : ?? ?? ?? ?? ? ?? ? ???? ( ?? ) = ?? ?? ?? ?? ?? ? ?? ? ?? ( ?? ) ; where ?? is constant. 
(f) Power rule : If ?? and ?? are integers then ?? ?? ?? ?? ? ?? [ ?? ( ?? ) ]
?? / ?? = ?? ?? / ?? provided ?? ?? / ?? is a real number. 
(g) ?? ?? ?? ?? ? ?? ? ?? [ ?? ( ?? ) ] = ?? ( ?? ?? ?? ?? ? ?? ?? ( ?? ) ) = ?? ( ?? ) ; provided ?? ( ?? ) is continuous at ?? = ?? . 
For example : ?? ?? ?? ?? ? ?? ?? ( ?? ( ?? ) ) = ???? [ ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ( ?? ) ] 
= ???? ( ?? ) ; provided ?? ?? ?? is continuous at ?? = ?? , ?? = ?? ?? ?? ?? ? ?? ? ?? ( ?? ) . 
5. INDETERMINATE FORMS : 
0
0
,
8
8
, 8 - 8 , 0 × 8 , 1
8
, 0
0
, 8
0
 
Initially we will deal with first five forms only and the other two forms will come up after we have gone 
through differentiation. 
Note : (i) Here 0,1 are not exact, infact both are approaching to their corresponding values. 
(ii) We cannot plot 8 on the paper. Infinity ( 8 ) is a symbol & not a number It does not obey the laws 
of elementary algebra, 
(a) 8 + 8 ? 8 
(b) 
8 × 8 ? 8 
(c) 8
8
? 8 
(d) 0
8
? 0 
6. GENERAL METHODS TO BE USED TO 
EVALUATE LIMITS : 
(a) Factorization : 
Important factors : 
(i) ? ?? ?? - ?? ?? = ( ?? - ?? ) ( ?? ?? - 1
+ ?? ?? ?? - 2
+ ? … … . . + ?? ?? - 1
) , ?? ? ?? 
(ii) ?? ?? + ?? ?? = ( ?? + ?? ) ( ?? ?? - 1
- ?? ?? ?? - 2
+ ? … … . . + ?? ?? - 1
) , ?? is an odd natural number. 
Note : ?? ?? ?? ?? ? ?? ?
?? ?? - ?? ?? ?? - ?? = ?? ?? ?? - 1
 
Problem 2 : ? Evaluate : ?? ?? ?? ?? ? 2
? [
1
?? - 2
-
2 ( 2 ?? - 3 )
?? 3
- 3 ?? 2
+ 2 ?? ] 
Solution : We have 
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LIMITS 
1. INTRODUCTION 
The concept of limit of a function is one of the fundamental ideas that distinguishes calculus from 
algebra and trigonometry. We use limits to describe the way a function ?? varies. Some functions vary 
continuously; small changes in ?? produce only small changes in ?? ( ?? ) . Other functions can have values 
that jump or vary erratically. We also use limits to define tangent lines to graphs of functions. This 
geometric application leads at once to the important concept of derivative of a function. 
2. DEFINITION 
Let ?? ( ?? ) be defined on an open interval about ' ?? ' except possibly at ' ?? ' itself. If ?? ( ?? ) gets arbitrarily 
close to ?? (a finite number) for all ?? sufficiently close to ' ?? ' we say that ?? ( ?? ) approaches the limit ?? as ?? 
approaches ' ?? ' and we write ?? ?? ?? ?? ? ?? ?? ( ?? ) = ?? and say "the limit of ?? ( ?? ) , as ?? approaches a, equals ?? ". 
This implies if we can make the value of ?? ( ?? ) arbitrarily close to ?? (as close to ?? as we like) by taking ?? 
to be sufficiently close to a (on either side of a) but not equal to a. 
3. LEFT HAND LIMIT AND RIGHT HAND 
LIMIT OF A FUNCTION : 
 
 
hand limit of ?? ( ?? ) at ?? = ?? . Symbolically, ?????? = ?? ?? ?? ?? ? ?? - ?? ( ?? ) = ?? ?? ?? h ? 0
?? ( ?? - h ) . 
The value to which ?? ( ?? ) approaches, as ?? tends to ' ?? ' from the right hand side ( ?? ? ?? +
) is called right 
hand limit of ?? ( ?? ) at ?? = ?? . Symbolically, ?? ?? ?? = ?? ?? ?? ?? ? ?? + ?? ( ?? ) = ?? ?? ?? h ? 0
?? ( ?? + h ) . 
Limit of a function ?? ( ?? ) is said to exist as, ?? ? a when ?? ?? ?? ?? ? ?? - ? ?? ( ?? ) = ?? ?? ?? ?? ? ?? + ? ?? ( ?? ) = Finite quantity. 
Example : 
 
? ?? ?? ?? ?? ? 1
+ ? ?? ( ?? ) = ?? ?? ?? h ? 0
? ?? ( - 1 + h ) = ?? ( - 1
+
) = - 1 ? ? ?? ?? ?? ?? ? 0
- ? ?? ( ?? ) = ?? ?? ?? h ? 0
? ?? ( 0 - h ) = ?? ( 0
-
)
= 0 ? ? ?? ?? ?? ? ?? ( ?? ) = ?? ?? ?? ?? ? 0
? ?? ( 0 + h ) = ?? ( 0
+
) = 0 ? ? ?? ?? ?? ?? ? 1
- ? ?? ( ?? ) = ?? ?? ?? h ? 0
?? ( 1 - h ) = ?? ( 1
-
)
= - 1 ? ? ?? ?? ?? ?? ? 1
+ ? ?? ( ?? ) = ?? ?? ?? h ? 0
? ?? ( 1 + h ) = ?? ( 1
+
) = 0 ? ? ?? ?? ?? ?? ? 2
- ? ?? ( ?? ) = ?? ?? ?? h ? 0
?? ( 2 - h )
= ?? ( 2
-
) = 1 ? 
Fig. 1 
?? ?? ?? ?? ? 0
? ?? ( ?? ) = 0 and ?? ?? ?? ?? ? 1
? ?? ( ?? ) does not exist. 
Important Note : 
In ?? ?? ?? ?? ? ?? ?? ( ?? ) , ?? ? a necessarily implies ?? ? ?? . That is while evaluating limit at ?? = ?? , we are not 
concerned with the value of the function at ?? = ?? . In fact the function may or may not be defined at ?? =
?? . 
Also it is necessary to note that if ?? ( ?? ) is defined only on one side of ' ?? = ?? ', one sided limits are good 
enough to establish the existence of limits, & if ?? ( ?? ) is defined on either side of ' ?? ' both sided limits are 
to be considered. 
As in ?? ?? ?? ?? ? 1
?? ?? ?? - 1
? ?? = 0, though ?? ( ?? ) is not defined for ?? > 1, even in it's immediate vicinity. 
Problem 1: ? Consider the adjacent graph of ?? = ?? ( ?? ) Find the following : 
(a) ?? ?? ?? ?? ? 0
- ? ?? ( ?? ) 
(b) ?? ?? ?? ?? ? 0
+ ? ?? ( ?? ) 
(c) ?? ?? ?? ?? ? 1
- ? ?? ( ?? ) 
(d) ?? ?? ?? ?? ? 1
+ ? ?? ( ?? ) 
(e) ?? ?? ?? ?? ? 2
- ? ?? ( ?? ) 
(f) ?? ?? ?? ?? ? 2
+ ? ?? ( ?? ) 
(g) ?? ?? ?? ?? ? 3
- ? ?? ( ?? ) 
(h) ?? ?? ?? ?? ? 3
+ ? ?? ( ?? ) 
(i) ?? ?? ?? ?? ? 4
- ? ?? ( ?? ) 
(j) ?? ?? ?? ?? ? 4
+ ? ?? ( ?? ) 
(k) ?? ?? ?? ?? ? 8
? ?? ( ?? ) = 2 
(l) ?? ?? ?? ?? ? 6
- ? ?? ( ?? ) = - 8 
 
Solution: (a) As ?? ? 0
-
: limit does not exist (the function is not defined to the left of ?? = 0 ) 
(b) As ?? ? 0
+
: ?? ( ?? ) ? - 1 ? ?? ?? ?? ?? ? 0
+ ? ?? ( ?? ) = - 1. (c) As ?? ? 1
-
: ?? ( ?? ) ? 1 ? ?? ?? ?? ?? ? 1
- ? ?? ( ?? ) = 1. 
(d) As ?? ? 1
+
: ?? ( ?? ) ? 2 ? ?? ?? ?? ?? ? 1
+ ? ?? ( ?? ) = 2. 
(e) As ?? ? 2
-
: ?? ( ?? ) ? 3 ? ?? ?? ?? ?? ? 2
- ? ?? ( ?? ) = 3. 
(f) As ?? ? 2
+
: ?? ( ?? ) ? 3 ? ?? ?? ?? ?? ? 2
- ? ?? ( ?? ) = 3. 
(g) As ?? ? 3
-
: ?? ( ?? ) ? 2 ? ?? ?? ?? ?? ? 3
- ? ?? ( ?? ) = 2. 
(h) As ?? ? 3
+
: ?? ( ?? ) ? 3 ? ?? ?? ?? ?? ? 3
+ ? ?? ( ?? ) = 3. 
(i) As ?? ? 4
-
: ?? ( ?? ) ? 4 ? ?? ?? ?? ?? ? 4
- ? ?? ( ?? ) = 4. 
(j) As ?? ? 4
+
: ?? ( ?? ) ? 4 ? ?? ?? ?? ?? ? 4
+ ? ?? ( ?? ) = 4. 
(k) As ?? ? 8 : ?? ( ?? ) ? 2 ? ?? ?? ?? ?? ? 8
? ?? ( ?? ) = 2. 
(l) As ?? ? 6
-
, ?? ( ?? ) ? - 8 ? ?? ?? ?? ?? ? 6
- ? ?? ( ?? ) = - 8 limit does not exist because it is not finite. 
 
 
(h) ?? ?? ?? ?? ? ?? ? ?? ( ?? ) exists at every ?? ? ( 1 , 3 ) 
(i) ?? ?? ?? ?? ? 1
- ? ?? ( ?? ) = 0 ? (j) ?? ?? ?? ?? ? 3
+ ? ?? ( ?? ) does not exist. 
4.FUNDAMENTAL THEOREMS ON LIMITS 
Let ?? ?? ?? ?? ? ?? ? ?? ( ?? ) = ?? & ?? ?? ?? ?? ? ?? ? ?? ( ?? ) = ?? . If ?? & ?? exist finitely then : 
(a) Sum rule: ?? ?? ?? ?? ? ?? ? { ?? ( ?? ) + ?? ( ?? ) } = ?? + ?? 
(b) Difference rule : ?? ?? ?? ?? ? ?? ? { ?? ( ?? ) - ?? ( ?? ) } = ?? - ?? 
(c) Product rule : ?? ?? ?? ?? ? ?? ? ?? ( ?? ) . ?? ( ?? ) = ?? . ?? 
(d) Quotient rule : ?? ?? ?? ?? ? ?? ?? ( ?? )
?? ( ?? )
=
?? ? ?? , provided ?? ? 0 
(e) Constant multiple rule : ?? ?? ?? ?? ? ?? ? ???? ( ?? ) = ?? ?? ?? ?? ?? ? ?? ? ?? ( ?? ) ; where ?? is constant. 
(f) Power rule : If ?? and ?? are integers then ?? ?? ?? ?? ? ?? [ ?? ( ?? ) ]
?? / ?? = ?? ?? / ?? provided ?? ?? / ?? is a real number. 
(g) ?? ?? ?? ?? ? ?? ? ?? [ ?? ( ?? ) ] = ?? ( ?? ?? ?? ?? ? ?? ?? ( ?? ) ) = ?? ( ?? ) ; provided ?? ( ?? ) is continuous at ?? = ?? . 
For example : ?? ?? ?? ?? ? ?? ?? ( ?? ( ?? ) ) = ???? [ ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ( ?? ) ] 
= ???? ( ?? ) ; provided ?? ?? ?? is continuous at ?? = ?? , ?? = ?? ?? ?? ?? ? ?? ? ?? ( ?? ) . 
5. INDETERMINATE FORMS : 
0
0
,
8
8
, 8 - 8 , 0 × 8 , 1
8
, 0
0
, 8
0
 
Initially we will deal with first five forms only and the other two forms will come up after we have gone 
through differentiation. 
Note : (i) Here 0,1 are not exact, infact both are approaching to their corresponding values. 
(ii) We cannot plot 8 on the paper. Infinity ( 8 ) is a symbol & not a number It does not obey the laws 
of elementary algebra, 
(a) 8 + 8 ? 8 
(b) 
8 × 8 ? 8 
(c) 8
8
? 8 
(d) 0
8
? 0 
6. GENERAL METHODS TO BE USED TO 
EVALUATE LIMITS : 
(a) Factorization : 
Important factors : 
(i) ? ?? ?? - ?? ?? = ( ?? - ?? ) ( ?? ?? - 1
+ ?? ?? ?? - 2
+ ? … … . . + ?? ?? - 1
) , ?? ? ?? 
(ii) ?? ?? + ?? ?? = ( ?? + ?? ) ( ?? ?? - 1
- ?? ?? ?? - 2
+ ? … … . . + ?? ?? - 1
) , ?? is an odd natural number. 
Note : ?? ?? ?? ?? ? ?? ?
?? ?? - ?? ?? ?? - ?? = ?? ?? ?? - 1
 
Problem 2 : ? Evaluate : ?? ?? ?? ?? ? 2
? [
1
?? - 2
-
2 ( 2 ?? - 3 )
?? 3
- 3 ?? 2
+ 2 ?? ] 
Solution : We have 
? ? ?? ?? ?? ?? ? 2
? [
1
?? - 2
-
2 ( 2 ?? - 3 )
?? 3
- 3 ?? 2
+ 2 ?? ] = ?? ?? ?? ?? ? 2
? [
1
?? - 2
-
2 ( 2 ?? - 3 )
?? ( ?? - 1 ) ( ?? - 2 )
] = ?? ?? ?? ?? ? 2
? [
?? ( ?? - 1 ) - 2 ( 2 ?? - 3 )
?? ( ?? - 1 ) ( ?? - 2 )
] ? ? ?
= ?? ?? ?? ?? ? 2
? [
?? 2
- 5 ?? + 6
?? ( ?? - 1 ) ( ?? - 2 )
] = ?? ?? ?? ?? ? 2
? [
( ?? - 2 ) ( ?? - 3 )
?? ( ?? - 1 ) ( ?? - 2 )
] = ?? ?? ?? ?? ? 2
? [
?? - 3
?? ( ?? - 1 )
] = -
1
2
? 
Problem 3 : Evaluate : ?? ?? ?? ?? ? 1
?
4 - v 15 ?? + 1
2 - v 3 ?? + 1
 
Solution : ? ?? ?? ?? ?? ? 1
?
4 - v 15 ?? + 1
2 - v 3 ?? + 1
= ?? ?? ?? ?? ? 1
?
( 4 - v 15 ?? + 1 ) ( 2 + v 3 ?? + 1 ) ( 4 + v 15 ?? + 1 )
( 2 - v 3 ?? + 1 ) ( 4 + v 15 ?? + 1 ) ( 2 + v 3 ?? + 1 )
 
= ?? ?? ?? ?? ? 1
?
( 15 - 15 ?? )
( 3 - 3 ?? )
×
2 + v 3 ?? + 1
4 + v 15 ?? + 1
=
5
2
 
Problem 4 : Evaluate : ?? ?? ?? ?? ? 1
? (
v ?? 2
+ 8 - v 10 - ?? 2
v ?? 2
+ 3 - v 5 - ?? 2
) 
Solution : This is of the form 
3 - 3
2 - 2
=
0
0
 if we put ?? = 1 
To eliminate the 
0
0
 factor, multiply by the conjugate of numerator and the conjugate of the denominator 
? ? ?? ?? ?? ?? ?? = ?? ?? ?? ?? ? 1
? ( v ?? 2
+ 8 -
v
10 - ?? 2
)
( v ?? 2
+ 8 + v10 - ?? 2
)
( v ?? 2
+ 8 + v 10 - ?? 2
)
×
( v ?? 2
+ 3 + v 5 - ?? 2
)
( v ?? 2
+ 3 + v 5 - ?? 2
) ( v ?? 2
+ 3 - v 5 - ?? 2
)
? ? ?
= ?? ?? ?? ?? ? 1
?
v ?? 2
+ 3 + v 5 - ?? 2
v ?? 2
+ 8 + v 10 - ?? 2
×
( ?? 2
+ 8 ) - ( 10 - ?? 2
)
( ?? 2
+ 3 ) - ( 5 - ?? 2
)
= ?? ?? ?? ?? ? 1
? (
v ?? 2
+ 3 + v 5 - ?? 2
v ?? 2
+ 8 + v 10 - ?? 2
) × 1
=
2 + 2
3 + 3
=
2
3
? 
Do yourself - 3 : 
(i) Evaluate : ?? ?? ?? ?? ? 0
?
v ?? + ?? - v ?? - ?? v ?? + ?? - v ?? - ?? 
(ii) Evaluate : ?? ?? ?? ?? ? ?? ?
v ?? + 2 ?? - v 3 ?? v 3 ?? + ?? - 2 v ?? , ?? ? 0 
(iii) If ?? ( ?? ) = - v 25 - ?? 2
, then find the ?? ?? ?? ?? ? 1
? (
?? ( ?? ) - ?? ( 1 )
?? - 1
) 
(c) Limit when ?? ? 8 : 
(i) Divide by greatest power of ?? in numerator and denominator. 
(ii) Put ?? = 1 / ?? and apply ?? ? 0 
Problem 5 : Evaluate : ?
?? ? 8
?? 2
+ ?? + 1
3 ?? 2
+ 2 ?? - 5
 
Solution : ? ?? ?? ?? ?? ? 8
?
?? 2
+ ?? + 1
3 ?? 2
+ 2 ?? - 5
, (
8
8
 form )