Solution:

Given that z1, z2, z3 are complex numbers such that

a) |z1| = |z2| = |z3| = 1

To prove: z1 + z2 + z3 is a pure imaginary number.

Let us assume that z1 = cosθ1 + i sinθ1, z2 = cosθ2 + i sinθ2, z3 = cosθ3 + i sinθ3.

Then, z1 + z2 + z3 = cosθ1 + cosθ2 + cosθ3 + i (sinθ1 + sinθ2 + sinθ3)

Since |z1| = |z2| = |z3| = 1, we have

cos²θ1 + sin²θ1 = cos²θ2 + sin²θ2 = cos²θ3 + sin²θ3 = 1

Adding the above three equations, we get

cos²θ1 + cos²θ2 + cos²θ3 + sin²θ1 + sin²θ2 + sin²θ3 = 3

=> 2(cos²θ1 + cos²θ2 + cos²θ3) + 2(sin²θ1 + sin²θ2 + sin²θ3) = 3 + 2(sinθ1 sinθ2 + sinθ2 sinθ3 + sinθ3 sinθ1)

=> 2[(cosθ1 cosθ2 + cosθ2 cosθ3 + cosθ3 cosθ1) + (sinθ1 sinθ2 + sinθ2 sinθ3 + sinθ3 sinθ1)] = 3 + 2(sinθ1 sinθ2 + sinθ2 sinθ3 + sinθ3 sinθ1)

=> 2 (z1z2 + z2z3 + z3z1) = 3 + 2(sinθ1 sinθ2 + sinθ2 sinθ3 + sinθ3 sinθ1)

=> z1z2 + z2z3 + z3z1 = (3 + 2(sinθ1 sinθ2 + sinθ2 sinθ3 + sinθ3 sinθ1))/2

Now, we have to prove that z1 + z2 + z3 is a pure imaginary number.

i.e., we need to prove that the real part of z1 + z2 + z3 is zero.

Real part of z1 + z2 + z3 = cosθ1 + cosθ2 + cosθ3.

From the equation z1z2 + z2z3 + z3z1 = (3 + 2(sinθ1 sinθ2 + sinθ2 sinθ3 + sinθ3 sinθ1))/2,

we know that the real part of z1z2 + z2z3 + z3z1 is (3 + 2(sinθ1 sinθ2 + sinθ2 sinθ3 + sinθ3 sinθ1))/2.

Also, we know that |z1z2 + z2z3 + z3z1| ≤ |z1||z2| + |z2||z3| + |z3||z1| = 3

Therefore, the real part of z1z2 + z2z3 + z3z1 can take values only in the interval