टिप्स और ट्रिक्स: लोगारिदम (Logarithms) | Mathematics for RRB NTPC (Hindi) - RRB NTPC/ASM/CA/TA PDF Download

परिभाषा

एक लॉगरिदम घातांक के विपरीत कार्य के रूप में काम करता है। यह उस शक्ति को दर्शाता है, जिसके लिए एक विशेष संख्या को बढ़ाना आवश्यक है ताकि एक अन्य दी गई संख्या प्राप्त हो सके। इसे 17वीं शताब्दी के प्रारंभ में जॉन नैपियर द्वारा पेश किया गया था, जिसका उद्देश्य गणनाओं को सरल बनाना था।

लॉगरिदम को दो प्रकारों में वर्गीकृत किया जाता है:

• सामान्य लॉगरिदम: जिनका आधार 10 होता है, उन्हें सामान्य लॉगरिदम कहा जाता है।
• प्राकृतिक लॉगरिदम: जिनका आधार 'e' होता है, उन्हें प्राकृतिक लॉगरिदम कहा जाता है।

लॉगरिदम का उदाहरण:

उदाहरण: log 100 = 2
एलएचएस को लेते हुए log 102 = 2 log 10 = 2 × 1 (∴ Log 10 = 1) = 2।

आइए कुछ प्रश्नों पर नज़र डालते हैं जो लॉगरिदम को बेहतर समझने में मदद करेंगे।

लॉगरिदम और प्राकृतिक लॉगरिदम के बीच मूलभूत अंतर:

• लॉगरिदम: कल्पना कीजिए कि आपके पास एक संख्या है और आप सोच रहे हैं कि एक निर्धारित "आधार" संख्या को उस दी गई संख्या तक पहुंचने के लिए कितनी बार गुणा करना होगा। इस प्रश्न का उत्तर उस विशेष संख्या का लॉगरिदम है।
• प्राकृतिक लॉगरिदम: यह लॉगरिदम का एक विशेष प्रकार है, जो एक विशेष आधार 'e' (एक अद्वितीय संख्या जो लगभग 2.71828 के बराबर होती है) का उपयोग करता है। यह दर्शाता है कि आपको "e" को एक विशेष संख्या प्राप्त करने के लिए कितनी बार गुणा करना होगा।

लॉगरिदम के टिप्स, ट्रिक्स और शॉर्टकट्स

प्रश्न 1: निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही नहीं है?
(a) log (1 2 3) = log 1 + log 2 + log 3
(b) log( 2 3) = log (2×3)
(c) log10 1 = 0
(d) log10 10 = 1
उत्तर: (b)
(a) log( 1 2 3) = log6 = log (1×2×3) = log1 + log2 + log3
(b) log (2 3) = log 5 और log (2 × 3) = log 6 = log 2 + log 3, log (2 3) ≠ log (2 × 3)
(c) चूंकि, loga 1 = 0, इसलिए log10 1 = 0
(d) चूंकि, loga a = 1, इसलिए log10 10 = 1।

प्रश्न 3: x के लिए हल करें: log2 (x 3) + log2 (x – 1) = 3
समाधान: लॉगरिदम गुण के अनुसार लॉगरिदम को जोड़ें: log(a) + log(b) = log(a * b): log2 ((x 3)×(x − 1)) = 3
23 =(x 3)×(x−1)
8 = (x 3) × (x − 1)
8 = x² + 2x − 3
x² + 2x − 11 = 0
(x + 4)(x - 2) = 0
x = -4, 2

प्रश्न 2: यदि X एक पूर्णांक है, तो हल करें: (log2 X)² – log2 x⁴ - 32 = 0
समाधान: मान लेते हैं, (log2 X)² – log2 x⁴ - 32 = 0 —— समीकरण 1
मान लेते हैं log2 x = y, समीकरण 1 = y² – 4y - 32 = 0
y² - 8y + 4y - 32 = 0
y(y - 8) + 4(y - 8) = 0
(y - 8)(y + 4) = 0
y = 8, y = -4
log2 X = 8 या log2 X = -4
X = 2⁸ = 256, या चूंकि, X एक पूर्णांक है, इसलिए X = 256।