संभाव्यता के प्रमेय - जोड़ और गुणा, व्यापार गणित और सांख्यिकी | SSC CGL Tier 2 - Study Material, Online Tests, Previous Year (Hindi) PDF Download

हमने यह अध्ययन किया है कि संभावना क्या है और इसे कैसे मापा जा सकता है। हमने सरल समस्याओं पर विचार किया। अब हम कुछ संभावना के नियमों पर विचार करेंगे ताकि जटिल स्थितियों का सामना कर सकें। दो महत्वपूर्ण प्रमेय हैं, अर्थात्, (1) जोड़ प्रमेय और (2) गुणा प्रमेय।

जोड़ प्रमेय : गणना में उपयोग किया जाने वाला सबसे सरल और महत्वपूर्ण नियम जोड़ के नियम हैं, जो यह कहते हैं, “यदि दो घटनाएँ आपसी अनन्य हैं, तो A या B के होने की संभावना A और B की संभावनाओं का योग है। इसलिए, P(A या B) = P(A) + P(B)।”

उदाहरण 9 :

एक थैले में 4 सफेद, 3 काले और 5 लाल गेंदें हैं। एक बार में यादृच्छिक रूप से सफेद या लाल गेंद पाने की संभावना क्या है?

हल : सफेद गेंद पाने की संभावना = 4/12

लाल गेंद पाने की संभावना =

सफेद या लाल गेंद पाने की संभावना =

जब घटनाएँ आपसी अनन्य नहीं होती हैं

ऊपर अध्ययन किया गया जोड़ प्रमेय तब लागू नहीं होता जब घटनाएँ आपसी अनन्य नहीं होती हैं। ऐसी स्थितियों में जहाँ घटनाएँ आपसी अनन्य नहीं हैं, संभावना है : P(A या B) = P(A) + P(B) - P(A और B)

उदाहरण 10 :

दो छात्र X और Y एक समस्या पर स्वतंत्र रूप से काम करते हैं। A द्वारा इसे हल करने की संभावना 3/4 है और Y द्वारा इसे हल करने की संभावना 2/3 है। समस्या के हल होने की संभावना क्या है?

P(A या B) = P(A) + P(B) - P(A और B)

समस्या को हल करने की संभावना कि X इसे हल करेगा = 3/4

समस्या को हल करने की संभावना कि Y इसे हल करेगा = 2/3

घटनाएँ आपसी अनन्य नहीं हैं क्योंकि दोनों इसे हल कर सकते हैं।

इसलिए, संभावना =

वैकल्पिक रूप से: संभावना कि X इसे हल करेगा और Y इसे हल नहीं करेगा = 3/4 x 1/3 = 3/12

∴ समस्या के हल होने की संभावना

वैकल्पिक रूप से: संभावना कि X हल नहीं करेगा और Y इसे हल करेगा

= 1/4 x 2/3 = 2/12

∴ समस्या के हल होने की संभावना =

वैकल्पिक रूप से: संभावना कि न तो X और न ही Y इसे हल करेंगे

इसलिए, समस्या के हल होने की संभावना

गुणन: जब लगातार घटनाओं के होने की संभावनाओं का अनुमान लगाना होता है, तो इन लगातार घटनाओं की अलग-अलग संभावनाओं को गुणा किया जाता है। यदि दो घटनाएँ A और B स्वतंत्र हैं, तो संभावना कि दोनों घटित होंगी, उनके संबंधित संभावनाओं के गुणन के बराबर होती है। हम दो या अधिक घटनाओं के लगातार होने की संभावना पाते हैं।

प्रतीकात्मक रूप से:

P(A और B)=P(A)xP(B)

उदाहरण 11: एक निष्पक्ष सिक्के के दो फेंकने में, दोनों में सिर होने की संभावनाएँ क्या हैं?

हल: पहले फेंके में सिर होने की संभावना = 1/2 दूसरे फेंके में सिर होने की संभावना = 1/2 दोनों फेंकने में सिर होने की संभावना = 1/2x1/2 = 1/4

उदाहरण 12:

संभावना कि X और Y दस साल बाद जीवित रहेंगे क्रमशः 0.5 और 0.8 है। संभावना कि दोनों दस साल बाद जीवित रहेंगे क्या है?

हल: X के दस साल बाद जीवित रहने की संभावना = 0.5 Y के दस साल बाद जीवित रहने की संभावना = 0.8 X और Y दोनों के दस साल बाद जीवित रहने की संभावना = 0.5x0.8=0.4

जब घटनाएँ निर्भर होती हैं: यदि घटनाएँ निर्भर होती हैं, तो संभावना शर्तीय होती है। दो घटनाएँ A और B निर्भर हैं; B तब होती है जब A पहले से घटित होती है। P (B|A) का अर्थ है कि A के घटित होने पर B की संभावना।

उदाहरण 13:

एक आदमी एक लड़की से शादी करना चाहता है जिसमें निम्नलिखित गुण हैं:

• गोरी रंगत - ऐसी लड़की मिलने की संभावना 1 में 20 है।
• सुंदर दहेज - ऐसी लड़की मिलने की संभावना 1 में 50 है।
• पश्चिमी शैली - संभावना 1 में 100 है।

उनकी शादी होने की संभावना ज्ञात कीजिए, जिसमें ये तीनों गुण हों।

हल: गोरी रंगत वाली लड़की की संभावना = 0.05। सुंदर दहेज वाली लड़की की संभावना = 0.02। पश्चिमी शैली वाली लड़की की संभावना = 0.01। चूंकि घटनाएँ स्वतंत्र हैं, सभी तीन गुणों के सह-घटन की संभावना =

= 0.05 x 0.02 x 0.01 = 0.00001

उदाहरण 14:

एक विश्वविद्यालय को 50 व्यक्तियों की सूची से एक परीक्षक का चयन करना है, जिनमें से 20 महिलाएँ और 30 पुरुष हैं, 10 हिंदी जानते हैं और 40 नहीं। 15 शिक्षक हैं और शेष 35 नहीं हैं। विश्वविद्यालय द्वारा एक हिंदी जानने वाली महिला शिक्षक के चयन की संभावना क्या है?

महिला का चयन करने की संभावना = 20/50

शिक्षक का चयन करने की संभावना =

हिंदी जानने वाले उम्मीदवार का चयन करने की संभावना =

चूंकि घटनाएँ स्वतंत्र हैं, विश्वविद्यालय द्वारा एक हिंदी जानने वाली महिला शिक्षक के चयन की संभावना है:

उदाहरण 15:

एक बॉक्स से यादृच्छिक रूप से एक गेंद निकाली जाती है जिसमें 6 लाल गेंदें, 4 सफेद गेंदें और 5 नीली गेंदें हैं। यह निर्धारित करें कि यह गेंद:

(i) लाल (ii) सफेद (iii) नीला, (iv) लाल नहीं और (v) लाल या सफेद।

(i) लाल होने की संभावना 6/15 = या 0.40 (ii) सफेद होने की संभावना 4/15 = या 0.267 (iii) नीला होने की संभावना 5/15 = या 0.333 (iv) लाल नहीं होने की संभावना 9/15 = या 0.60 (v) लाल और सफेद होने की संभावना 10/15 = या 0.667