Important Trignometric Ratios, Functions & Equations Formulas for JEE and NEET

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Trigonometrical Ratios & Identities
1. Basic Trigonometric Identities:
(A) sin²
?
? + cos²
?
?  = 1;  ?1 ? sin ? ? 1;  ?1 ? cos ? ? 1  ? ? ? ? R
(B) sec²
?
? ? tan²
?
?  = 1  ;  ?sec
 
? ? ? 1   ??  ? ? R – ? ?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
? n ,
2
1 n 2
(C) cosec²
?
? ? cot²
?
? = 1  ;  ?cosec
 
? ? ? 1  ?  ? ? R – ? ? ? ? ? n , n
2. Circular Definition Of Trigonometric Functions:
sin ? =
OP
P M
cos ? = 
OP
OM
tan ? =
?
?
cos
s i n
, cos ? ? ? 0
cot ? =
?
?
s i n
cos
, sin ? ? ? 0
sec ? =
? cos
1
, cos ? ? ? 0cosec ? =
? s i n
1
, sin ? ? ? 0
3. Trigonometric Functions Of Allied Angles:
If ? is any angle, then ? ? ? ? 90 ± ?, 180 ± ?, 270 ± ?, 360 ± ? etc. are called ALLIED ANGLES.
(A) sin ( ? ?) = ? sin
 
? ; cos ( ? ?) = cos
 
?
(B)  sin (90° ? ?) = cos
 
? ;cos (90°
 
? ?) = sin
 
?
(C)  sin (90° + ?) = cos
 
? ;cos (90° + ?) = ? sin
 
?
(D)  sin (180° ? ?) = sin
 
? ;cos (180° ? ?) = ? cos
 
?
(e)  sin (180° + ?) = ? sin
 
? ;cos (180° + ?) = ? cos
 
?
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Trigonometrical Ratios & Identities
1. Basic Trigonometric Identities:
(A) sin²
?
? + cos²
?
?  = 1;  ?1 ? sin ? ? 1;  ?1 ? cos ? ? 1  ? ? ? ? R
(B) sec²
?
? ? tan²
?
?  = 1  ;  ?sec
 
? ? ? 1   ??  ? ? R – ? ?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
? n ,
2
1 n 2
(C) cosec²
?
? ? cot²
?
? = 1  ;  ?cosec
 
? ? ? 1  ?  ? ? R – ? ? ? ? ? n , n
2. Circular Definition Of Trigonometric Functions:
sin ? =
OP
P M
cos ? = 
OP
OM
tan ? =
?
?
cos
s i n
, cos ? ? ? 0
cot ? =
?
?
s i n
cos
, sin ? ? ? 0
sec ? =
? cos
1
, cos ? ? ? 0cosec ? =
? s i n
1
, sin ? ? ? 0
3. Trigonometric Functions Of Allied Angles:
If ? is any angle, then ? ? ? ? 90 ± ?, 180 ± ?, 270 ± ?, 360 ± ? etc. are called ALLIED ANGLES.
(A) sin ( ? ?) = ? sin
 
? ; cos ( ? ?) = cos
 
?
(B)  sin (90° ? ?) = cos
 
? ;cos (90°
 
? ?) = sin
 
?
(C)  sin (90° + ?) = cos
 
? ;cos (90° + ?) = ? sin
 
?
(D)  sin (180° ? ?) = sin
 
? ;cos (180° ? ?) = ? cos
 
?
(e)  sin (180° + ?) = ? sin
 
? ;cos (180° + ?) = ? cos
 
?
(f)  sin (270° ? ?) = ? cos
 
? ;cos (270° ? ?) = ? sin
 
?
(g)  sin (270° + ?) = ? cos
 
? ;cos (270° + ?) = sin
 
?
(h)  tan (90° ? ? ?) = cot
 
? ;cot (90° ? ? ?) = tan
 
?
4. Graphs of Trigonometric functions:
(A)  y = sin x x ? R;  y ? [–1, 1]
(B)  y = cos x x ? R;  y ? [ – 1, 1]
(C)  y = tan x   x ? R – (2n + 1) ? ?/2, n ?? ? ;  y ? R
(D)  y = cot x  x ? R – n ? , n ?? ?;  y ? R
(e)  y = cosec xx ? R  – n ? , n ?? ? ;  y ? ( ? ? ?, ? 1] ? [1, ?)
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Trigonometrical Ratios & Identities
1. Basic Trigonometric Identities:
(A) sin²
?
? + cos²
?
?  = 1;  ?1 ? sin ? ? 1;  ?1 ? cos ? ? 1  ? ? ? ? R
(B) sec²
?
? ? tan²
?
?  = 1  ;  ?sec
 
? ? ? 1   ??  ? ? R – ? ?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
? n ,
2
1 n 2
(C) cosec²
?
? ? cot²
?
? = 1  ;  ?cosec
 
? ? ? 1  ?  ? ? R – ? ? ? ? ? n , n
2. Circular Definition Of Trigonometric Functions:
sin ? =
OP
P M
cos ? = 
OP
OM
tan ? =
?
?
cos
s i n
, cos ? ? ? 0
cot ? =
?
?
s i n
cos
, sin ? ? ? 0
sec ? =
? cos
1
, cos ? ? ? 0cosec ? =
? s i n
1
, sin ? ? ? 0
3. Trigonometric Functions Of Allied Angles:
If ? is any angle, then ? ? ? ? 90 ± ?, 180 ± ?, 270 ± ?, 360 ± ? etc. are called ALLIED ANGLES.
(A) sin ( ? ?) = ? sin
 
? ; cos ( ? ?) = cos
 
?
(B)  sin (90° ? ?) = cos
 
? ;cos (90°
 
? ?) = sin
 
?
(C)  sin (90° + ?) = cos
 
? ;cos (90° + ?) = ? sin
 
?
(D)  sin (180° ? ?) = sin
 
? ;cos (180° ? ?) = ? cos
 
?
(e)  sin (180° + ?) = ? sin
 
? ;cos (180° + ?) = ? cos
 
?
(f)  sin (270° ? ?) = ? cos
 
? ;cos (270° ? ?) = ? sin
 
?
(g)  sin (270° + ?) = ? cos
 
? ;cos (270° + ?) = sin
 
?
(h)  tan (90° ? ? ?) = cot
 
? ;cot (90° ? ? ?) = tan
 
?
4. Graphs of Trigonometric functions:
(A)  y = sin x x ? R;  y ? [–1, 1]
(B)  y = cos x x ? R;  y ? [ – 1, 1]
(C)  y = tan x   x ? R – (2n + 1) ? ?/2, n ?? ? ;  y ? R
(D)  y = cot x  x ? R – n ? , n ?? ?;  y ? R
(e)  y = cosec xx ? R  – n ? , n ?? ? ;  y ? ( ? ? ?, ? 1] ? [1, ?)
(f)  y = sec x x ? ? R – (2n + 1) ? ?/2, n ?? ? ;  y ? ( ? ? ?, ? 1] ? [1, ?)
5. Trigonometric Functions of Sum or Difference of Two Angles:
(A) sin (A ± B) = sinA cosB ± cosA sinB
(B) cos (A ± B) = cosA cosB ? sinA sinB
(C) sin²A ? sin²B = cos²B ? cos²A = sin (A+B). sin (A ? B)
(D) cos²A ? sin²B = cos²B ? sin²A = cos (A+B). cos (A
 
? B)
(e) tan
 
(A ± B) = 
B tan A tan 1
B tan A tan
?
?
(f) cot (A ± B) =
A cot B cot
1 B cot A cot
?
?
(g) tan (A + B + C)
=
A tan C tan C tan B tan B tan A tan 1
C tan B tan A tan C tan B tan A tan
? ? ?
? ? ?
.
6. Factorisation of the Sum or Difference of Two Sines or Cosines:
(A) sinC + sinD = 2 sin
2
D C ?
 cos
2
D C ?
(B) sinC ? sinD = 2 cos
2
D C ?
 sin
2
D C ?
(C) cosC + cosD = 2 cos
2
D C ?
 cos
2
D C ?
(D) cosC
 
?
 
cosD = ?
 
2 sin
2
D C ?
 
sin
2
D C ?
7. Transformation of Products into Sum or Difference of Sines & Cosines:
(A) 2 sinA cosB = sin(A+B) + sin(A ?B)
(B) 2 cosA sinB = sin(A+B) ? sin(A ?B)
(C) 2 cosA cosB = cos(A+B) + cos(A ?B)
(D) 2 sinA sinB = cos(A ?B) ? cos(A+B)
8. Multiple and Sub-multiple Angles :
(A) sin 2A = 2 sinA cosA ;  sin
 
? = 2 sin
?
2
 cos
?
2
(B) cos 2A = cos²A ? sin²A = 2cos²A
 
?
 
1 = 1 ? 2 sin²A;
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Trigonometrical Ratios & Identities
1. Basic Trigonometric Identities:
(A) sin²
?
? + cos²
?
?  = 1;  ?1 ? sin ? ? 1;  ?1 ? cos ? ? 1  ? ? ? ? R
(B) sec²
?
? ? tan²
?
?  = 1  ;  ?sec
 
? ? ? 1   ??  ? ? R – ? ?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
? n ,
2
1 n 2
(C) cosec²
?
? ? cot²
?
? = 1  ;  ?cosec
 
? ? ? 1  ?  ? ? R – ? ? ? ? ? n , n
2. Circular Definition Of Trigonometric Functions:
sin ? =
OP
P M
cos ? = 
OP
OM
tan ? =
?
?
cos
s i n
, cos ? ? ? 0
cot ? =
?
?
s i n
cos
, sin ? ? ? 0
sec ? =
? cos
1
, cos ? ? ? 0cosec ? =
? s i n
1
, sin ? ? ? 0
3. Trigonometric Functions Of Allied Angles:
If ? is any angle, then ? ? ? ? 90 ± ?, 180 ± ?, 270 ± ?, 360 ± ? etc. are called ALLIED ANGLES.
(A) sin ( ? ?) = ? sin
 
? ; cos ( ? ?) = cos
 
?
(B)  sin (90° ? ?) = cos
 
? ;cos (90°
 
? ?) = sin
 
?
(C)  sin (90° + ?) = cos
 
? ;cos (90° + ?) = ? sin
 
?
(D)  sin (180° ? ?) = sin
 
? ;cos (180° ? ?) = ? cos
 
?
(e)  sin (180° + ?) = ? sin
 
? ;cos (180° + ?) = ? cos
 
?
(f)  sin (270° ? ?) = ? cos
 
? ;cos (270° ? ?) = ? sin
 
?
(g)  sin (270° + ?) = ? cos
 
? ;cos (270° + ?) = sin
 
?
(h)  tan (90° ? ? ?) = cot
 
? ;cot (90° ? ? ?) = tan
 
?
4. Graphs of Trigonometric functions:
(A)  y = sin x x ? R;  y ? [–1, 1]
(B)  y = cos x x ? R;  y ? [ – 1, 1]
(C)  y = tan x   x ? R – (2n + 1) ? ?/2, n ?? ? ;  y ? R
(D)  y = cot x  x ? R – n ? , n ?? ?;  y ? R
(e)  y = cosec xx ? R  – n ? , n ?? ? ;  y ? ( ? ? ?, ? 1] ? [1, ?)
(f)  y = sec x x ? ? R – (2n + 1) ? ?/2, n ?? ? ;  y ? ( ? ? ?, ? 1] ? [1, ?)
5. Trigonometric Functions of Sum or Difference of Two Angles:
(A) sin (A ± B) = sinA cosB ± cosA sinB
(B) cos (A ± B) = cosA cosB ? sinA sinB
(C) sin²A ? sin²B = cos²B ? cos²A = sin (A+B). sin (A ? B)
(D) cos²A ? sin²B = cos²B ? sin²A = cos (A+B). cos (A
 
? B)
(e) tan
 
(A ± B) = 
B tan A tan 1
B tan A tan
?
?
(f) cot (A ± B) =
A cot B cot
1 B cot A cot
?
?
(g) tan (A + B + C)
=
A tan C tan C tan B tan B tan A tan 1
C tan B tan A tan C tan B tan A tan
? ? ?
? ? ?
.
6. Factorisation of the Sum or Difference of Two Sines or Cosines:
(A) sinC + sinD = 2 sin
2
D C ?
 cos
2
D C ?
(B) sinC ? sinD = 2 cos
2
D C ?
 sin
2
D C ?
(C) cosC + cosD = 2 cos
2
D C ?
 cos
2
D C ?
(D) cosC
 
?
 
cosD = ?
 
2 sin
2
D C ?
 
sin
2
D C ?
7. Transformation of Products into Sum or Difference of Sines & Cosines:
(A) 2 sinA cosB = sin(A+B) + sin(A ?B)
(B) 2 cosA sinB = sin(A+B) ? sin(A ?B)
(C) 2 cosA cosB = cos(A+B) + cos(A ?B)
(D) 2 sinA sinB = cos(A ?B) ? cos(A+B)
8. Multiple and Sub-multiple Angles :
(A) sin 2A = 2 sinA cosA ;  sin
 
? = 2 sin
?
2
 cos
?
2
(B) cos 2A = cos²A ? sin²A = 2cos²A
 
?
 
1 = 1 ? 2 sin²A;
2 cos²
2
?
 = 1 + cos
 
?, 2 sin²
2
?
 = 1 ? cos
 
?.
(C) tan 2A =
A tan 1
A tan 2
2
?
; tan
 
? =
2
2
2
t an 1
t an 2
?
?
?
(D) sin 2A =
A tan 1
A tan 2
2
?
, cos 2A =
A tan 1
A tan 1
2
2
?
?
(e) sin 3A = 3 sinA
 
? 4 sin
3
A
(f) cos 3A = 4 cos
3
A ? 3 cosA
(g) tan 3A = 
A tan 3 1
A tan A tan 3
2
3
?
?
9. Important Trigonometric Ratios:
(A) sin n
 
? = 0 ; cos n
 
? = ( ?1)
n
;  tan n
 
? = 0,  where n ? ?
(B) sin 15° or  sin
12
?
  = 
2 2
1 3 ?
 = cos 75° or  cos 
12
5 ?
;
 cos 15° or  cos
12
?
  = 
2 2
1 3 ?
 = sin 75°  or  sin 
12
5 ?
;
tan
 
15° =
1 3
1 3
?
?
 = 3 2 ? = cot 75° ; tan
 
75° =
1 3
1 3
?
?
 = 3 2 ? = cot 15°
(C) sin
10
?
 or sin 18° =
4
1 5 ?
  &  cos 36° or cos
5
?
 = 
4
1 5 ?
10. Conditional Identities:
If  A + B + C = ?  then :
(i) sin2A + sin2B + sin2C = 4 sinA sinB sinC
(ii) sinA + sinB + sinC = 4 cos
2
A
 cos
2
B
 cos
2
C
(iii) cos 2
 
A + cos 2
 
B + cos 2
 
C = ? 1 ? 4 cos A cos B cos C
(iv) cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin
2
A
 sin
2
B
 sin
2
C
(v) tanA + tanB + tanC = tanA tanB tanC
(vi) tan
2
A
 tan
2
B
 + tan
2
B
 tan
2
C
 + tan
2
C
 tan
2
A
 = 1
(vii) cot
2
A
 + cot
2
B
 + cot
2
C
 = cot
2
A
. cot
2
B
. cot
2
C
(viii) cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = 1
(ix) A + B + C =
?
2
  then  tan A tan B + tan B tan C + tan C tan A = 1
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Trigonometrical Ratios & Identities
1. Basic Trigonometric Identities:
(A) sin²
?
? + cos²
?
?  = 1;  ?1 ? sin ? ? 1;  ?1 ? cos ? ? 1  ? ? ? ? R
(B) sec²
?
? ? tan²
?
?  = 1  ;  ?sec
 
? ? ? 1   ??  ? ? R – ? ?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
? n ,
2
1 n 2
(C) cosec²
?
? ? cot²
?
? = 1  ;  ?cosec
 
? ? ? 1  ?  ? ? R – ? ? ? ? ? n , n
2. Circular Definition Of Trigonometric Functions:
sin ? =
OP
P M
cos ? = 
OP
OM
tan ? =
?
?
cos
s i n
, cos ? ? ? 0
cot ? =
?
?
s i n
cos
, sin ? ? ? 0
sec ? =
? cos
1
, cos ? ? ? 0cosec ? =
? s i n
1
, sin ? ? ? 0
3. Trigonometric Functions Of Allied Angles:
If ? is any angle, then ? ? ? ? 90 ± ?, 180 ± ?, 270 ± ?, 360 ± ? etc. are called ALLIED ANGLES.
(A) sin ( ? ?) = ? sin
 
? ; cos ( ? ?) = cos
 
?
(B)  sin (90° ? ?) = cos
 
? ;cos (90°
 
? ?) = sin
 
?
(C)  sin (90° + ?) = cos
 
? ;cos (90° + ?) = ? sin
 
?
(D)  sin (180° ? ?) = sin
 
? ;cos (180° ? ?) = ? cos
 
?
(e)  sin (180° + ?) = ? sin
 
? ;cos (180° + ?) = ? cos
 
?
(f)  sin (270° ? ?) = ? cos
 
? ;cos (270° ? ?) = ? sin
 
?
(g)  sin (270° + ?) = ? cos
 
? ;cos (270° + ?) = sin
 
?
(h)  tan (90° ? ? ?) = cot
 
? ;cot (90° ? ? ?) = tan
 
?
4. Graphs of Trigonometric functions:
(A)  y = sin x x ? R;  y ? [–1, 1]
(B)  y = cos x x ? R;  y ? [ – 1, 1]
(C)  y = tan x   x ? R – (2n + 1) ? ?/2, n ?? ? ;  y ? R
(D)  y = cot x  x ? R – n ? , n ?? ?;  y ? R
(e)  y = cosec xx ? R  – n ? , n ?? ? ;  y ? ( ? ? ?, ? 1] ? [1, ?)
(f)  y = sec x x ? ? R – (2n + 1) ? ?/2, n ?? ? ;  y ? ( ? ? ?, ? 1] ? [1, ?)
5. Trigonometric Functions of Sum or Difference of Two Angles:
(A) sin (A ± B) = sinA cosB ± cosA sinB
(B) cos (A ± B) = cosA cosB ? sinA sinB
(C) sin²A ? sin²B = cos²B ? cos²A = sin (A+B). sin (A ? B)
(D) cos²A ? sin²B = cos²B ? sin²A = cos (A+B). cos (A
 
? B)
(e) tan
 
(A ± B) = 
B tan A tan 1
B tan A tan
?
?
(f) cot (A ± B) =
A cot B cot
1 B cot A cot
?
?
(g) tan (A + B + C)
=
A tan C tan C tan B tan B tan A tan 1
C tan B tan A tan C tan B tan A tan
? ? ?
? ? ?
.
6. Factorisation of the Sum or Difference of Two Sines or Cosines:
(A) sinC + sinD = 2 sin
2
D C ?
 cos
2
D C ?
(B) sinC ? sinD = 2 cos
2
D C ?
 sin
2
D C ?
(C) cosC + cosD = 2 cos
2
D C ?
 cos
2
D C ?
(D) cosC
 
?
 
cosD = ?
 
2 sin
2
D C ?
 
sin
2
D C ?
7. Transformation of Products into Sum or Difference of Sines & Cosines:
(A) 2 sinA cosB = sin(A+B) + sin(A ?B)
(B) 2 cosA sinB = sin(A+B) ? sin(A ?B)
(C) 2 cosA cosB = cos(A+B) + cos(A ?B)
(D) 2 sinA sinB = cos(A ?B) ? cos(A+B)
8. Multiple and Sub-multiple Angles :
(A) sin 2A = 2 sinA cosA ;  sin
 
? = 2 sin
?
2
 cos
?
2
(B) cos 2A = cos²A ? sin²A = 2cos²A
 
?
 
1 = 1 ? 2 sin²A;
2 cos²
2
?
 = 1 + cos
 
?, 2 sin²
2
?
 = 1 ? cos
 
?.
(C) tan 2A =
A tan 1
A tan 2
2
?
; tan
 
? =
2
2
2
t an 1
t an 2
?
?
?
(D) sin 2A =
A tan 1
A tan 2
2
?
, cos 2A =
A tan 1
A tan 1
2
2
?
?
(e) sin 3A = 3 sinA
 
? 4 sin
3
A
(f) cos 3A = 4 cos
3
A ? 3 cosA
(g) tan 3A = 
A tan 3 1
A tan A tan 3
2
3
?
?
9. Important Trigonometric Ratios:
(A) sin n
 
? = 0 ; cos n
 
? = ( ?1)
n
;  tan n
 
? = 0,  where n ? ?
(B) sin 15° or  sin
12
?
  = 
2 2
1 3 ?
 = cos 75° or  cos 
12
5 ?
;
 cos 15° or  cos
12
?
  = 
2 2
1 3 ?
 = sin 75°  or  sin 
12
5 ?
;
tan
 
15° =
1 3
1 3
?
?
 = 3 2 ? = cot 75° ; tan
 
75° =
1 3
1 3
?
?
 = 3 2 ? = cot 15°
(C) sin
10
?
 or sin 18° =
4
1 5 ?
  &  cos 36° or cos
5
?
 = 
4
1 5 ?
10. Conditional Identities:
If  A + B + C = ?  then :
(i) sin2A + sin2B + sin2C = 4 sinA sinB sinC
(ii) sinA + sinB + sinC = 4 cos
2
A
 cos
2
B
 cos
2
C
(iii) cos 2
 
A + cos 2
 
B + cos 2
 
C = ? 1 ? 4 cos A cos B cos C
(iv) cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin
2
A
 sin
2
B
 sin
2
C
(v) tanA + tanB + tanC = tanA tanB tanC
(vi) tan
2
A
 tan
2
B
 + tan
2
B
 tan
2
C
 + tan
2
C
 tan
2
A
 = 1
(vii) cot
2
A
 + cot
2
B
 + cot
2
C
 = cot
2
A
. cot
2
B
. cot
2
C
(viii) cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = 1
(ix) A + B + C =
?
2
  then  tan A tan B + tan B tan C + tan C tan A = 1
 11. Range of Trigonometric Expression:
E = a sin
 
? + b cos
 
?
E =
2 2
b a ? sin ( ? + ?), where tan ? =
a
b
  =
2 2
b a ? cos (? ?? ??), where tan ? =
b
a
Hence for any real value of ? ?, 
2 2 2 2
ba E ba ? ? ? ? ?
12. Sine and Cosine Series:
sin
 
? + sin
 
( ??+ ? ?) + sin
 
( ? + 2 ? ) +...... + sin ? ? ? ? ? ? 1 n =
2
2
n
s i n
s i n
?
?
 sin
 
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
2
1 n
cos
 
? + cos
 
( ??+ ? ?) + cos
 
( ? + 2 ? ) +...... + cos ? ? ? ? ? ? 1 n =
2
2
n
s i n
s i n
?
?
 cos
 
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
2
1 n
 1. DEFINITION
The equations involving trigonometric function of unknown angles are known as Trigonometric equations
e.g.  cos ? = 0 , cos
2
? – 4cos ? =1 , sin
2
? + sin ? = 2 , cos
2
 ? – 4sin ? =1
A solution of a trigonometric equation is the value of the unknown angle that satisfies the equation.
e.g.,   
1 3 9 11
sin o r , , , .. . .. ....
4 4 4 4 4 2
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
 2. PERIODIC FUNCTION
A function f(x) is said to be periodic if there exists T > 0 such that f(x + T) = f(x) for all x in the domain of
definitions of f(x). If T is the smallest positive real numbers such that f(x + T) = f(x) , then it is called the period of
f(x)
Since sin (2n ? + x ) = sinx , cos (2n ? + x) = cos x     ;     tan (n ? + x) = tan x  for all  n ? Z
Therefore sinx , cosx and tanx are perodic function, the period of sinx and cos x is 2 ? and that of tanx is ? .
Function Period
sin (ax + b) , cos (ax +b), sec (ax + b) , cosec (ax +b ) 2 ?/a
tan (ax + b), cot (ax +b) ?/a
| sin (ax + b)| , | cos (ax +b) | , | sec (ax +b) | , | cosec (ax +b ) | ?/a
| tan (ax + b ) | , | cot (ax +b ) | ?/2a
Trigonometrical Equations