Important Inverse Trignometric Functions Formulas for JEE and NEET

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INVERSE TRIGONOMETRIC FUNCTIONS
1. Principal Values & Domains of Inverse Trigonometric/Circular
Functions:
Function Domain Range
(i) y = sin
?1 
x  where ? 1 ? x ? 1 ? ? ?
? ?
2 2
y
(ii) y = cos
?1 
x where ? 1 ? x ? 1 0 ? y ? ?
(iii) y = tan
?1 
x where x ? R
2
y
2
?
? ?
?
?
(iv) y = cosec
?1 
x  where x ? ?
 
1 or x ? 1 ? ? ?
? ?
2 2
y , y ? 0
(v) y = sec
?1 
x  where x ? ?1 or x ? 1 0 ? y ? ?; y ?
?
2
(vi) y = cot
?1 
x  where x ? R 0 < y < ?
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INVERSE TRIGONOMETRIC FUNCTIONS
1. Principal Values & Domains of Inverse Trigonometric/Circular
Functions:
Function Domain Range
(i) y = sin
?1 
x  where ? 1 ? x ? 1 ? ? ?
? ?
2 2
y
(ii) y = cos
?1 
x where ? 1 ? x ? 1 0 ? y ? ?
(iii) y = tan
?1 
x where x ? R
2
y
2
?
? ?
?
?
(iv) y = cosec
?1 
x  where x ? ?
 
1 or x ? 1 ? ? ?
? ?
2 2
y , y ? 0
(v) y = sec
?1 
x  where x ? ?1 or x ? 1 0 ? y ? ?; y ?
?
2
(vi) y = cot
?1 
x  where x ? R 0 < y < ?
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P - 2 (i) sin
?1 
(sin x) = x,    
? ? ?
? ?
2 2
x
(ii) cos
?1 
(cos x) = x;   0 ? x ? ?
(iii) tan
?1 
(tan x) = x;   ? ? ?
? ?
2 2
x
(iv) cot
?1 
(cot x) = x;     0 < x < ?
(v) sec
?1 
(sec x) = x;   0 ? x ? ?, x ?
2
?
(vi) cosec
?1 
(cosec x) = x;    x ? 0,
? ? ?
? ?
2 2
x
P - 3 (i) sin
?1 
( ?x) = ? sin
?1 
x, ??????????1 ? x ? 1
(ii) tan
?1 
( ?x) = ? tan
?1 
x,       x ? R
(iii) cos
?1 
( ?x) = ? ? cos
?1 
x, ???1 ? x ? 1
(iv) cot
?1 
( ?x) = ? ? cot
?1 
x,    x ? R
P - 5 (i) sin
?1 
x + cos
?1 
x =
?
2
, ?1 ? x ? 1
(ii) tan
?1 
x + cot
?1 
x =
?
2
,  x ? R
(iii) cosec
?1 
x + sec
?1 
x =
?
2
, ?x ? ? 1
2. Identities of Addition and Substraction:
I - 1 (i) sin
?1 
x + sin
?1 
y
= sin
?1
x y y x 1 1
2 2
? ? ?
?
?
?
?
?
?
, x ? 0, y ? 0 & (x
2
 + y
2
) ? 1
= ? ? sin
?1
x y y x 1 1
2 2
? ? ?
?
?
?
?
?
?
, x ? 0, y ? 0 & x
2 
+ y
2
 > 1
(ii) cos
?1 
x + cos
?1 
y = cos
?1
x y x y ? ? ?
?
?
?
?
?
?
1 1
2 2
,  x ? 0, y ? 0
(iii) tan
?1 
x + tan
?1 
y = tan
?1
x y
xy
?
? 1
, x > 0, y > 0 & xy < 1
= ? + tan
?1
x y
xy
?
? 1
, x > 0, y > 0 & xy > 1
=
?
2
, x > 0, y > 0 & xy = 1
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INVERSE TRIGONOMETRIC FUNCTIONS
1. Principal Values & Domains of Inverse Trigonometric/Circular
Functions:
Function Domain Range
(i) y = sin
?1 
x  where ? 1 ? x ? 1 ? ? ?
? ?
2 2
y
(ii) y = cos
?1 
x where ? 1 ? x ? 1 0 ? y ? ?
(iii) y = tan
?1 
x where x ? R
2
y
2
?
? ?
?
?
(iv) y = cosec
?1 
x  where x ? ?
 
1 or x ? 1 ? ? ?
? ?
2 2
y , y ? 0
(v) y = sec
?1 
x  where x ? ?1 or x ? 1 0 ? y ? ?; y ?
?
2
(vi) y = cot
?1 
x  where x ? R 0 < y < ?
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P - 2 (i) sin
?1 
(sin x) = x,    
? ? ?
? ?
2 2
x
(ii) cos
?1 
(cos x) = x;   0 ? x ? ?
(iii) tan
?1 
(tan x) = x;   ? ? ?
? ?
2 2
x
(iv) cot
?1 
(cot x) = x;     0 < x < ?
(v) sec
?1 
(sec x) = x;   0 ? x ? ?, x ?
2
?
(vi) cosec
?1 
(cosec x) = x;    x ? 0,
? ? ?
? ?
2 2
x
P - 3 (i) sin
?1 
( ?x) = ? sin
?1 
x, ??????????1 ? x ? 1
(ii) tan
?1 
( ?x) = ? tan
?1 
x,       x ? R
(iii) cos
?1 
( ?x) = ? ? cos
?1 
x, ???1 ? x ? 1
(iv) cot
?1 
( ?x) = ? ? cot
?1 
x,    x ? R
P - 5 (i) sin
?1 
x + cos
?1 
x =
?
2
, ?1 ? x ? 1
(ii) tan
?1 
x + cot
?1 
x =
?
2
,  x ? R
(iii) cosec
?1 
x + sec
?1 
x =
?
2
, ?x ? ? 1
2. Identities of Addition and Substraction:
I - 1 (i) sin
?1 
x + sin
?1 
y
= sin
?1
x y y x 1 1
2 2
? ? ?
?
?
?
?
?
?
, x ? 0, y ? 0 & (x
2
 + y
2
) ? 1
= ? ? sin
?1
x y y x 1 1
2 2
? ? ?
?
?
?
?
?
?
, x ? 0, y ? 0 & x
2 
+ y
2
 > 1
(ii) cos
?1 
x + cos
?1 
y = cos
?1
x y x y ? ? ?
?
?
?
?
?
?
1 1
2 2
,  x ? 0, y ? 0
(iii) tan
?1 
x + tan
?1 
y = tan
?1
x y
xy
?
? 1
, x > 0, y > 0 & xy < 1
= ? + tan
?1
x y
xy
?
? 1
, x > 0, y > 0 & xy > 1
=
?
2
, x > 0, y > 0 & xy = 1
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I - 2 (i) sin
?1 
x ? sin
?1 
y = sin
?1
?
?
?
?
?
?
? ? ?
2 2
x1 y y1 x
, x ? 0, y ? 0
(ii) cos
?1 
x ? cos
?1 
y = cos
?1
?
?
?
?
?
?
? ? ?
2 2
y 1 x 1 y x
,
x ? 0, y ? 0, x ? y
(iii) tan
?1 
x ? tan
?1
y = tan
?1
y x 1
y x
?
?
, x ? 0, y ? 0
I - 3 (i) sin
?1
?
?
?
?
?
?
?
2
x 1 x 2 = 
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? ? ? ?
? ? ?
?
?
?
?
2
1
2
1
2
1
x if x sin 2
x if x sin 2
| x | if x sin 2
1
1
1
(ii) cos
?1
 (2 x
2
 ? 1) = 
?
?
?
?
? ? ? ? ?
? ?
?
?
0 x 1 if x cos 2 2
1 x 0 if x cos 2
1
1
(iii) tan
?1
2
x 1
x 2
?
= 
? ?
?
?
?
?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
?
?
?
?
1 x if x tan 2
1 x if x tan 2
1 | x | if x tan 2
1
1
1
(iv) sin
?1
2
1
2
x
x ?
= 
? ?
?
?
?
?
?
? ? ? ? ?
? ? ?
?
?
?
?
1 x if x tan 2
1 x if x tan 2
1 | x | if x tan 2
1
1
1
(v) cos
?1
2
2
x 1
x 1
?
?
= 
?
?
?
?
? ?
?
?
?
0 x if x tan 2
0 x if x tan 2
1
1
If tan
?1 
x + tan
?1 
y + tan
?1 
z = tan
?1
?
?
?
?
?
?
? ? ?
???
xz zy y x 1
zyx z y x
if, x > 0, y > 0, z >
0 & (xy + yz + zx) < 1
NOTE:
(i) If tan
?1 
x + tan
?1 
y + tan
?1 
z = ? then x + y + z = xyz
(ii) If tan
?1 
x + tan
?1 
y + tan
?1 
z =
?
2
 then xy + yz + zx = 1
(iii) tan
?1 
1 + tan
?1 
2 + tan
?1 
3 = ?