Courses

# Properties of Inverse Trigonometric Functions JEE Notes | EduRev

## JEE : Properties of Inverse Trigonometric Functions JEE Notes | EduRev

``` Page 1

D. PROPERTIES OF INVERSE TRIGONOMETRIC FUNCTIONS
P-1 (i) y = sin (sin
â€“1
x) = x (ii) y = cos (cos
â€“1
x) = x
x ? [â€“1, 1], y ? [â€“1, 1] x ? [â€“1, 1], y ? [â€“1, 1]
45º
0
y = x
1
x
y
â€“1
â€“1
1
45º
0
y = x
1
x
y
â€“1
â€“1
1
(iii) y = tan (tan
â€“1
x) = x (iv) y = cot (cot
â€“1
x) = x
x ? R, y ? R x ? R, y ? R
45º
0
y = x
x
y
45º
0
y = x
x
y
(v) y = cosec (cosec
â€“1
x) = x (vi) y = sec (sec
â€“1
x) = x
| x | ? 1, | y | ? 1 | x | ? 1 ; | y | ? 1
0
y = x
1
x
y
â€“1
â€“1
1
y = x
0
y = x
1
x
y
â€“1
â€“1
1
y = x
Page 2

D. PROPERTIES OF INVERSE TRIGONOMETRIC FUNCTIONS
P-1 (i) y = sin (sin
â€“1
x) = x (ii) y = cos (cos
â€“1
x) = x
x ? [â€“1, 1], y ? [â€“1, 1] x ? [â€“1, 1], y ? [â€“1, 1]
45º
0
y = x
1
x
y
â€“1
â€“1
1
45º
0
y = x
1
x
y
â€“1
â€“1
1
(iii) y = tan (tan
â€“1
x) = x (iv) y = cot (cot
â€“1
x) = x
x ? R, y ? R x ? R, y ? R
45º
0
y = x
x
y
45º
0
y = x
x
y
(v) y = cosec (cosec
â€“1
x) = x (vi) y = sec (sec
â€“1
x) = x
| x | ? 1, | y | ? 1 | x | ? 1 ; | y | ? 1
0
y = x
1
x
y
â€“1
â€“1
1
y = x
0
y = x
1
x
y
â€“1
â€“1
1
y = x
(vii) y = sin
â€“1
(sin x), x ? R, y ? ?
?
?
?
?
? ? ?
?
2
,
2
, is periodic function with period 2 ? and it is an odd function
sin
â€“1
(sin x) =
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? ?
?
? ?
?
? ?
?
?
?
? ? ? ? ? ? ? ?
x
2
, x
2
x
2
, x
2
x , x

/2
y
0
?
?
? ?
â€“  /2
?
y=â€“( +x) ?
2
3 ?
?
? ?2
x
2
?
?
2
?
2
3 ?
y=2 +x ?
y=x
? 2
y=xâ€“2 ?
y=  â€“x ?
(viii) y = cos
â€“1
(cos x), x ? R, y ? [0, ?], is periodic function with period 2 ? and it is an even function
cos
â€“1
(cos x) =
x , x 0
x , 0 x
2 x , x 2
x 2 , 2 x 3
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
?
y=x+2 ?
y
?
?
2 ?
0 ? ?
â€“3 ?/2 â€“2 ?
â€“ ?/2 ?/2 3 ?/2
y=â€“x
y=x
y=2 â€“x ?
2
?
(ix) y = tan
â€“1
(tan x), x ? R â€“ ?
(2n 1) , n I
2
? ? ?
? ?
? ?
? ?
;  y ?
,
2 2
? ? ? ?
?
? ?
? ?
is periodic function with period ? and it
is an odd function
tan
â€“1
(tan x) =
3
x ; x
2 2
x ; x
2 2
3
x ; x
2 2
? ? ?
? ? ? ? ? ?
?
?
? ? ?
? ? ?
?
?
? ?
?
? ? ? ?
?
?

? ?2
? 2
0
y=x
y=x+ ?
2
3 ?
?
? ?
2
?
?
2
? ?
y=xâ€“ ?
2
3 ?
2
?
2
?
?
x
y
(x) y = cot
â€“1
(cot x), x ? R â€“ {n ?, n ? I}, y ? [0, ?], is periodic function with period ? and it is nei-
ther an even nor odd function
cot
â€“1
(cot x) =
?
?
?
?
?
? ? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ?
2 x ; x
x 0 ; x
0 x ; x
? ?2 ? 2 0
y=x
y=x+ ?
? ? ?
?
y=xâ€“ ?
x
y
y=x+2 ?
(xi) y = cosec
â€“1
(cosec x), x ? R â€“ {n ?, n ? I}, y ?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
?
?
?
? ?
?
2
, 0 0 ,
2
is periodic function with period
2 ? and it is an odd function
Page 3

D. PROPERTIES OF INVERSE TRIGONOMETRIC FUNCTIONS
P-1 (i) y = sin (sin
â€“1
x) = x (ii) y = cos (cos
â€“1
x) = x
x ? [â€“1, 1], y ? [â€“1, 1] x ? [â€“1, 1], y ? [â€“1, 1]
45º
0
y = x
1
x
y
â€“1
â€“1
1
45º
0
y = x
1
x
y
â€“1
â€“1
1
(iii) y = tan (tan
â€“1
x) = x (iv) y = cot (cot
â€“1
x) = x
x ? R, y ? R x ? R, y ? R
45º
0
y = x
x
y
45º
0
y = x
x
y
(v) y = cosec (cosec
â€“1
x) = x (vi) y = sec (sec
â€“1
x) = x
| x | ? 1, | y | ? 1 | x | ? 1 ; | y | ? 1
0
y = x
1
x
y
â€“1
â€“1
1
y = x
0
y = x
1
x
y
â€“1
â€“1
1
y = x
(vii) y = sin
â€“1
(sin x), x ? R, y ? ?
?
?
?
?
? ? ?
?
2
,
2
, is periodic function with period 2 ? and it is an odd function
sin
â€“1
(sin x) =
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? ?
?
? ?
?
? ?
?
?
?
? ? ? ? ? ? ? ?
x
2
, x
2
x
2
, x
2
x , x

/2
y
0
?
?
? ?
â€“  /2
?
y=â€“( +x) ?
2
3 ?
?
? ?2
x
2
?
?
2
?
2
3 ?
y=2 +x ?
y=x
? 2
y=xâ€“2 ?
y=  â€“x ?
(viii) y = cos
â€“1
(cos x), x ? R, y ? [0, ?], is periodic function with period 2 ? and it is an even function
cos
â€“1
(cos x) =
x , x 0
x , 0 x
2 x , x 2
x 2 , 2 x 3
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
?
y=x+2 ?
y
?
?
2 ?
0 ? ?
â€“3 ?/2 â€“2 ?
â€“ ?/2 ?/2 3 ?/2
y=â€“x
y=x
y=2 â€“x ?
2
?
(ix) y = tan
â€“1
(tan x), x ? R â€“ ?
(2n 1) , n I
2
? ? ?
? ?
? ?
? ?
;  y ?
,
2 2
? ? ? ?
?
? ?
? ?
is periodic function with period ? and it
is an odd function
tan
â€“1
(tan x) =
3
x ; x
2 2
x ; x
2 2
3
x ; x
2 2
? ? ?
? ? ? ? ? ?
?
?
? ? ?
? ? ?
?
?
? ?
?
? ? ? ?
?
?

? ?2
? 2
0
y=x
y=x+ ?
2
3 ?
?
? ?
2
?
?
2
? ?
y=xâ€“ ?
2
3 ?
2
?
2
?
?
x
y
(x) y = cot
â€“1
(cot x), x ? R â€“ {n ?, n ? I}, y ? [0, ?], is periodic function with period ? and it is nei-
ther an even nor odd function
cot
â€“1
(cot x) =
?
?
?
?
?
? ? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ?
2 x ; x
x 0 ; x
0 x ; x
? ?2 ? 2 0
y=x
y=x+ ?
? ? ?
?
y=xâ€“ ?
x
y
y=x+2 ?
(xi) y = cosec
â€“1
(cosec x), x ? R â€“ {n ?, n ? I}, y ?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
?
?
?
? ?
?
2
, 0 0 ,
2
is periodic function with period
2 ? and it is an odd function
/2
y
0
?
?
? ?
â€“  /2
?
y=â€“( +x) ?
2
3 ?
?
? ?2
x
2
?
?
2
?
2
3 ?
y=2 +x ?
y=x
? 2
y=xâ€“2 ?
y=  â€“x ?
(xii) y = sec
â€“1
(sec x), x ? R â€“ ?
?
?
?
?
?
?
?
?
? I n ,
2
) 1 n 2 (
, y ?
0, ,
2 2
? ? ? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
is periodic function with period 2 ?
and it is an even function

y=x+2 ?
y
?
?
2 ?
0 ? ?
â€“3 ?/2 â€“2 ?
â€“ ?/2 ?/2 3 ?/2
y=â€“x
y=x
y=2 â€“x ?
2
?
Ex.3 Evaluate following
(i) sin(cos
â€“1
3/5) (ii) cos(tan
â€“1
3/4) (iii) sin
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
2
1
sin
2
1
Sol. (i) Let cos
â€“1
3/5 = ? then cos ? = 3/5  ?  sin ? = 4/5 ? ?? ? ?  sin(cos
â€“1
3/5) = sin ? = 4/5
(ii) Let tan
â€“1
3/4 = ? then tan ? = 3/4  ?  cos ? = 4/5 ? ? ? ? ?  cos(tan
â€“1
3/4) = cos ? = 4/5
(iii) sin
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
2
1
sin
2
1
= sin ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
6 2
= sin
3
2 ?
=
2
3
Ex.4 Define the function,  f(x) = cos
?1
(cos x) ? sin
?1
(sin x)  in  [0, 2

?]  and  find the area bounded by the
graph of the function and the  x

?

axis.
Sol. cos
?1
(cos x)  =
x
x
x
x 2
0
2 ?
?
? ? ?
? ?
? ?
?
?
?
; sin
?1
(sin x)  =
x
x
x
x
x
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
2
0
2
2
2
3
2
3
2
Hence    f

(x) =
? ?
? ?
? ?
? ?
0 0
2
4 2 2
2
2
3
2
3
2
i f x
x i f x
i f x
x i f x
?
? ?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
,
,
,
,
?
?
?
?
? ?
? ?
? ?
Area =
3
2 2
? ?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
2
=  ?
2
Ex.5 Let  y = sin
â€“1
(sin 8) â€“ tan
â€“1
(tan 10) + cos
â€“1
(cos 12) â€“ sec
â€“1
(sec 9) + cot
â€“1
(cot 6) â€“ cosec
â€“1
(cosec 7).
If  y  simplifies to  a ? + b  then find ( a â€“ b).
Page 4

D. PROPERTIES OF INVERSE TRIGONOMETRIC FUNCTIONS
P-1 (i) y = sin (sin
â€“1
x) = x (ii) y = cos (cos
â€“1
x) = x
x ? [â€“1, 1], y ? [â€“1, 1] x ? [â€“1, 1], y ? [â€“1, 1]
45º
0
y = x
1
x
y
â€“1
â€“1
1
45º
0
y = x
1
x
y
â€“1
â€“1
1
(iii) y = tan (tan
â€“1
x) = x (iv) y = cot (cot
â€“1
x) = x
x ? R, y ? R x ? R, y ? R
45º
0
y = x
x
y
45º
0
y = x
x
y
(v) y = cosec (cosec
â€“1
x) = x (vi) y = sec (sec
â€“1
x) = x
| x | ? 1, | y | ? 1 | x | ? 1 ; | y | ? 1
0
y = x
1
x
y
â€“1
â€“1
1
y = x
0
y = x
1
x
y
â€“1
â€“1
1
y = x
(vii) y = sin
â€“1
(sin x), x ? R, y ? ?
?
?
?
?
? ? ?
?
2
,
2
, is periodic function with period 2 ? and it is an odd function
sin
â€“1
(sin x) =
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? ?
?
? ?
?
? ?
?
?
?
? ? ? ? ? ? ? ?
x
2
, x
2
x
2
, x
2
x , x

/2
y
0
?
?
? ?
â€“  /2
?
y=â€“( +x) ?
2
3 ?
?
? ?2
x
2
?
?
2
?
2
3 ?
y=2 +x ?
y=x
? 2
y=xâ€“2 ?
y=  â€“x ?
(viii) y = cos
â€“1
(cos x), x ? R, y ? [0, ?], is periodic function with period 2 ? and it is an even function
cos
â€“1
(cos x) =
x , x 0
x , 0 x
2 x , x 2
x 2 , 2 x 3
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
?
y=x+2 ?
y
?
?
2 ?
0 ? ?
â€“3 ?/2 â€“2 ?
â€“ ?/2 ?/2 3 ?/2
y=â€“x
y=x
y=2 â€“x ?
2
?
(ix) y = tan
â€“1
(tan x), x ? R â€“ ?
(2n 1) , n I
2
? ? ?
? ?
? ?
? ?
;  y ?
,
2 2
? ? ? ?
?
? ?
? ?
is periodic function with period ? and it
is an odd function
tan
â€“1
(tan x) =
3
x ; x
2 2
x ; x
2 2
3
x ; x
2 2
? ? ?
? ? ? ? ? ?
?
?
? ? ?
? ? ?
?
?
? ?
?
? ? ? ?
?
?

? ?2
? 2
0
y=x
y=x+ ?
2
3 ?
?
? ?
2
?
?
2
? ?
y=xâ€“ ?
2
3 ?
2
?
2
?
?
x
y
(x) y = cot
â€“1
(cot x), x ? R â€“ {n ?, n ? I}, y ? [0, ?], is periodic function with period ? and it is nei-
ther an even nor odd function
cot
â€“1
(cot x) =
?
?
?
?
?
? ? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ?
2 x ; x
x 0 ; x
0 x ; x
? ?2 ? 2 0
y=x
y=x+ ?
? ? ?
?
y=xâ€“ ?
x
y
y=x+2 ?
(xi) y = cosec
â€“1
(cosec x), x ? R â€“ {n ?, n ? I}, y ?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
?
?
?
? ?
?
2
, 0 0 ,
2
is periodic function with period
2 ? and it is an odd function
/2
y
0
?
?
? ?
â€“  /2
?
y=â€“( +x) ?
2
3 ?
?
? ?2
x
2
?
?
2
?
2
3 ?
y=2 +x ?
y=x
? 2
y=xâ€“2 ?
y=  â€“x ?
(xii) y = sec
â€“1
(sec x), x ? R â€“ ?
?
?
?
?
?
?
?
?
? I n ,
2
) 1 n 2 (
, y ?
0, ,
2 2
? ? ? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
is periodic function with period 2 ?
and it is an even function

y=x+2 ?
y
?
?
2 ?
0 ? ?
â€“3 ?/2 â€“2 ?
â€“ ?/2 ?/2 3 ?/2
y=â€“x
y=x
y=2 â€“x ?
2
?
Ex.3 Evaluate following
(i) sin(cos
â€“1
3/5) (ii) cos(tan
â€“1
3/4) (iii) sin
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
2
1
sin
2
1
Sol. (i) Let cos
â€“1
3/5 = ? then cos ? = 3/5  ?  sin ? = 4/5 ? ?? ? ?  sin(cos
â€“1
3/5) = sin ? = 4/5
(ii) Let tan
â€“1
3/4 = ? then tan ? = 3/4  ?  cos ? = 4/5 ? ? ? ? ?  cos(tan
â€“1
3/4) = cos ? = 4/5
(iii) sin
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
2
1
sin
2
1
= sin ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
6 2
= sin
3
2 ?
=
2
3
Ex.4 Define the function,  f(x) = cos
?1
(cos x) ? sin
?1
(sin x)  in  [0, 2

?]  and  find the area bounded by the
graph of the function and the  x

?

axis.
Sol. cos
?1
(cos x)  =
x
x
x
x 2
0
2 ?
?
? ? ?
? ?
? ?
?
?
?
; sin
?1
(sin x)  =
x
x
x
x
x
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
2
0
2
2
2
3
2
3
2
Hence    f

(x) =
? ?
? ?
? ?
? ?
0 0
2
4 2 2
2
2
3
2
3
2
i f x
x i f x
i f x
x i f x
?
? ?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
,
,
,
,
?
?
?
?
? ?
? ?
? ?
Area =
3
2 2
? ?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
2
=  ?
2
Ex.5 Let  y = sin
â€“1
(sin 8) â€“ tan
â€“1
(tan 10) + cos
â€“1
(cos 12) â€“ sec
â€“1
(sec 9) + cot
â€“1
(cot 6) â€“ cosec
â€“1
(cosec 7).
If  y  simplifies to  a ? + b  then find ( a â€“ b).
Sol. sin
â€“1
(sin 8) =
? ? ) 8 3 s i n( s i n
1
? ?
?
= 3 ? â€“ 8
tan
â€“1
(tan 10) =
? ? ) 3 10 t a n( t a n
1
? ?
?
= 10 â€“ 3 ?
cos
â€“1
(cos 12) =
? ? ) 1 2 4 c o s( c o s
1
? ?
?
= 4 ? â€“ 12
sec
â€“1
(sec 9) =
? ? ) 2 9 s e c ( s e c
1
? ?
?
= 9 â€“ 2 ?
cot
â€“1
(cot 6) =
? ? ) 6 c ot ( c ot
1
? ?
?
= 6 â€“ ?
cosec
â€“1
(cosec 7) =
? ? ) 2 7 ( c o s e c c o s e c
1
? ?
?
= 7 â€“ 2 ?
y = (3 ? â€“ 8) + (3 ? ?â€“ 10) + (4 ? â€“ 12) + (2 ? â€“ 9) + (â€“ ? + 6 ) + (2 ? ?â€“ 7) = 13 ? â€“ 40
? a = 13  and  b = â€“ 40 ? a â€“ b = 13 â€“ (â€“ 40) = 53
P-2 (i) cosec
â€“1
x

=  sin
â€“1
x
1
; |x| ? ?1     (ii) sec
â€“1
x  = cos
â€“1
x
1
; |x| ? 1
(iii) cot
â€“1
x =
?
?
?
?
?
?
?
? ? ?
?
0 x ,
x
1
tan
0 x ,
x
1
tan
1 â€“
1 â€“
P-3  (i)  sin
â€“1
(â€“x) = â€“ sin
â€“1
x  ;  â€“ 1 ? x ? 1 (ii) cosec
â€“1
(â€“x) = â€“ cosec
â€“1
x  ;  |x| ? 1
(iii) tan
â€“1
(â€“x) = â€“ tan
â€“1
x  ;  x ? R (iv) cot
â€“1
(â€“x) = ? ?â€“ cot
â€“1
x  ;  x ? R
(v) cos
â€“1
(â€“x) = ? ?â€“ cos
â€“1
x  ;  â€“ 1 ? x ? 1 (vi) sec
â€“1
(â€“x) = ? â€“ sec
â€“1
x  ;  |x| ? 1
P-4  (i) sin
â€“1
x + cos
â€“1
x =
2
?
;  |x| ? 1 (ii) tan
â€“1
x + cot
â€“1
x  =
2
?
;  x ? R
(iii) sec
â€“1
x + cosec
â€“1
x  =
2
?
;  |x| ? ?1
Ex.6 Find the value of sin
â€“1
(â€“ 2 / 3 ) + cos
â€“1
(cos (7 ?/6).
Sol. sin
â€“1
(â€“ 2 / 3 ) = â€“ sin
â€“1
( 2 / 3 ) = â€“ ?/3 and cos
â€“1
(cos (7 ?/6) = cos
â€“1
cos (2 ? â€“ 5 ?/6) = cos
â€“1
cos(5 ?/6) = 5 ?/6
hence sin
â€“1
(â€“ 2 / 3 ) + cos
â€“1
(cos (7 ?/6) = â€“
3
?
+
6
5 ?
=
2
?
Ex.7 Prove that,  sin
â€“1

1
3

+  sin
â€“1

1
3 1 1

+  sin
â€“1

3
1 1

=

?
2
.
Sol. tan
â€“1

1
2 2

+

tan
â€“1

1
7 2

+

tan
â€“1

3
2
= tan
â€“1

1
2 2
1
7 2
1
1
2 8
?
?

+

tan
â€“1

3
2
=  tan
â€“1

9 2
2 7

+

tan
â€“1

3
2
=  tan
â€“1

2
3

+

tan
â€“1

3
2
=  cot
â€“1

3
2

+

tan
â€“1

3
2
=
?
2
Ex.8 Find the value of  sin
?1

73
3

+  cos
?1

146
11

+  cot
?1
3 .
Sol. tan
?1

3
8
+  tan
?1

11
5

+  cot
?1
3 =  tan
?1

?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
11
5
8
3
11
5
8
3
. 1
+ cot
?1
3 =  tan
?1
(1)

+

?
6
=
?
4
+

?
6
=

5
12
?
Ex.9 If tan
â€“1
x + tan
â€“1
y + tan
â€“1
z =
2
3 ?
then prove that xy  + yz + zx = 1
Page 5

D. PROPERTIES OF INVERSE TRIGONOMETRIC FUNCTIONS
P-1 (i) y = sin (sin
â€“1
x) = x (ii) y = cos (cos
â€“1
x) = x
x ? [â€“1, 1], y ? [â€“1, 1] x ? [â€“1, 1], y ? [â€“1, 1]
45º
0
y = x
1
x
y
â€“1
â€“1
1
45º
0
y = x
1
x
y
â€“1
â€“1
1
(iii) y = tan (tan
â€“1
x) = x (iv) y = cot (cot
â€“1
x) = x
x ? R, y ? R x ? R, y ? R
45º
0
y = x
x
y
45º
0
y = x
x
y
(v) y = cosec (cosec
â€“1
x) = x (vi) y = sec (sec
â€“1
x) = x
| x | ? 1, | y | ? 1 | x | ? 1 ; | y | ? 1
0
y = x
1
x
y
â€“1
â€“1
1
y = x
0
y = x
1
x
y
â€“1
â€“1
1
y = x
(vii) y = sin
â€“1
(sin x), x ? R, y ? ?
?
?
?
?
? ? ?
?
2
,
2
, is periodic function with period 2 ? and it is an odd function
sin
â€“1
(sin x) =
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? ?
?
? ?
?
? ?
?
?
?
? ? ? ? ? ? ? ?
x
2
, x
2
x
2
, x
2
x , x

/2
y
0
?
?
? ?
â€“  /2
?
y=â€“( +x) ?
2
3 ?
?
? ?2
x
2
?
?
2
?
2
3 ?
y=2 +x ?
y=x
? 2
y=xâ€“2 ?
y=  â€“x ?
(viii) y = cos
â€“1
(cos x), x ? R, y ? [0, ?], is periodic function with period 2 ? and it is an even function
cos
â€“1
(cos x) =
x , x 0
x , 0 x
2 x , x 2
x 2 , 2 x 3
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
?
y=x+2 ?
y
?
?
2 ?
0 ? ?
â€“3 ?/2 â€“2 ?
â€“ ?/2 ?/2 3 ?/2
y=â€“x
y=x
y=2 â€“x ?
2
?
(ix) y = tan
â€“1
(tan x), x ? R â€“ ?
(2n 1) , n I
2
? ? ?
? ?
? ?
? ?
;  y ?
,
2 2
? ? ? ?
?
? ?
? ?
is periodic function with period ? and it
is an odd function
tan
â€“1
(tan x) =
3
x ; x
2 2
x ; x
2 2
3
x ; x
2 2
? ? ?
? ? ? ? ? ?
?
?
? ? ?
? ? ?
?
?
? ?
?
? ? ? ?
?
?

? ?2
? 2
0
y=x
y=x+ ?
2
3 ?
?
? ?
2
?
?
2
? ?
y=xâ€“ ?
2
3 ?
2
?
2
?
?
x
y
(x) y = cot
â€“1
(cot x), x ? R â€“ {n ?, n ? I}, y ? [0, ?], is periodic function with period ? and it is nei-
ther an even nor odd function
cot
â€“1
(cot x) =
?
?
?
?
?
? ? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ?
2 x ; x
x 0 ; x
0 x ; x
? ?2 ? 2 0
y=x
y=x+ ?
? ? ?
?
y=xâ€“ ?
x
y
y=x+2 ?
(xi) y = cosec
â€“1
(cosec x), x ? R â€“ {n ?, n ? I}, y ?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
?
?
?
? ?
?
2
, 0 0 ,
2
is periodic function with period
2 ? and it is an odd function
/2
y
0
?
?
? ?
â€“  /2
?
y=â€“( +x) ?
2
3 ?
?
? ?2
x
2
?
?
2
?
2
3 ?
y=2 +x ?
y=x
? 2
y=xâ€“2 ?
y=  â€“x ?
(xii) y = sec
â€“1
(sec x), x ? R â€“ ?
?
?
?
?
?
?
?
?
? I n ,
2
) 1 n 2 (
, y ?
0, ,
2 2
? ? ? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
is periodic function with period 2 ?
and it is an even function

y=x+2 ?
y
?
?
2 ?
0 ? ?
â€“3 ?/2 â€“2 ?
â€“ ?/2 ?/2 3 ?/2
y=â€“x
y=x
y=2 â€“x ?
2
?
Ex.3 Evaluate following
(i) sin(cos
â€“1
3/5) (ii) cos(tan
â€“1
3/4) (iii) sin
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
2
1
sin
2
1
Sol. (i) Let cos
â€“1
3/5 = ? then cos ? = 3/5  ?  sin ? = 4/5 ? ?? ? ?  sin(cos
â€“1
3/5) = sin ? = 4/5
(ii) Let tan
â€“1
3/4 = ? then tan ? = 3/4  ?  cos ? = 4/5 ? ? ? ? ?  cos(tan
â€“1
3/4) = cos ? = 4/5
(iii) sin
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
2
1
sin
2
1
= sin ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
6 2
= sin
3
2 ?
=
2
3
Ex.4 Define the function,  f(x) = cos
?1
(cos x) ? sin
?1
(sin x)  in  [0, 2

?]  and  find the area bounded by the
graph of the function and the  x

?

axis.
Sol. cos
?1
(cos x)  =
x
x
x
x 2
0
2 ?
?
? ? ?
? ?
? ?
?
?
?
; sin
?1
(sin x)  =
x
x
x
x
x
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
2
0
2
2
2
3
2
3
2
Hence    f

(x) =
? ?
? ?
? ?
? ?
0 0
2
4 2 2
2
2
3
2
3
2
i f x
x i f x
i f x
x i f x
?
? ?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
,
,
,
,
?
?
?
?
? ?
? ?
? ?
Area =
3
2 2
? ?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
2
=  ?
2
Ex.5 Let  y = sin
â€“1
(sin 8) â€“ tan
â€“1
(tan 10) + cos
â€“1
(cos 12) â€“ sec
â€“1
(sec 9) + cot
â€“1
(cot 6) â€“ cosec
â€“1
(cosec 7).
If  y  simplifies to  a ? + b  then find ( a â€“ b).
Sol. sin
â€“1
(sin 8) =
? ? ) 8 3 s i n( s i n
1
? ?
?
= 3 ? â€“ 8
tan
â€“1
(tan 10) =
? ? ) 3 10 t a n( t a n
1
? ?
?
= 10 â€“ 3 ?
cos
â€“1
(cos 12) =
? ? ) 1 2 4 c o s( c o s
1
? ?
?
= 4 ? â€“ 12
sec
â€“1
(sec 9) =
? ? ) 2 9 s e c ( s e c
1
? ?
?
= 9 â€“ 2 ?
cot
â€“1
(cot 6) =
? ? ) 6 c ot ( c ot
1
? ?
?
= 6 â€“ ?
cosec
â€“1
(cosec 7) =
? ? ) 2 7 ( c o s e c c o s e c
1
? ?
?
= 7 â€“ 2 ?
y = (3 ? â€“ 8) + (3 ? ?â€“ 10) + (4 ? â€“ 12) + (2 ? â€“ 9) + (â€“ ? + 6 ) + (2 ? ?â€“ 7) = 13 ? â€“ 40
? a = 13  and  b = â€“ 40 ? a â€“ b = 13 â€“ (â€“ 40) = 53
P-2 (i) cosec
â€“1
x

=  sin
â€“1
x
1
; |x| ? ?1     (ii) sec
â€“1
x  = cos
â€“1
x
1
; |x| ? 1
(iii) cot
â€“1
x =
?
?
?
?
?
?
?
? ? ?
?
0 x ,
x
1
tan
0 x ,
x
1
tan
1 â€“
1 â€“
P-3  (i)  sin
â€“1
(â€“x) = â€“ sin
â€“1
x  ;  â€“ 1 ? x ? 1 (ii) cosec
â€“1
(â€“x) = â€“ cosec
â€“1
x  ;  |x| ? 1
(iii) tan
â€“1
(â€“x) = â€“ tan
â€“1
x  ;  x ? R (iv) cot
â€“1
(â€“x) = ? ?â€“ cot
â€“1
x  ;  x ? R
(v) cos
â€“1
(â€“x) = ? ?â€“ cos
â€“1
x  ;  â€“ 1 ? x ? 1 (vi) sec
â€“1
(â€“x) = ? â€“ sec
â€“1
x  ;  |x| ? 1
P-4  (i) sin
â€“1
x + cos
â€“1
x =
2
?
;  |x| ? 1 (ii) tan
â€“1
x + cot
â€“1
x  =
2
?
;  x ? R
(iii) sec
â€“1
x + cosec
â€“1
x  =
2
?
;  |x| ? ?1
Ex.6 Find the value of sin
â€“1
(â€“ 2 / 3 ) + cos
â€“1
(cos (7 ?/6).
Sol. sin
â€“1
(â€“ 2 / 3 ) = â€“ sin
â€“1
( 2 / 3 ) = â€“ ?/3 and cos
â€“1
(cos (7 ?/6) = cos
â€“1
cos (2 ? â€“ 5 ?/6) = cos
â€“1
cos(5 ?/6) = 5 ?/6
hence sin
â€“1
(â€“ 2 / 3 ) + cos
â€“1
(cos (7 ?/6) = â€“
3
?
+
6
5 ?
=
2
?
Ex.7 Prove that,  sin
â€“1

1
3

+  sin
â€“1

1
3 1 1

+  sin
â€“1

3
1 1

=

?
2
.
Sol. tan
â€“1

1
2 2

+

tan
â€“1

1
7 2

+

tan
â€“1

3
2
= tan
â€“1

1
2 2
1
7 2
1
1
2 8
?
?

+

tan
â€“1

3
2
=  tan
â€“1

9 2
2 7

+

tan
â€“1

3
2
=  tan
â€“1

2
3

+

tan
â€“1

3
2
=  cot
â€“1

3
2

+

tan
â€“1

3
2
=
?
2
Ex.8 Find the value of  sin
?1

73
3

+  cos
?1

146
11

+  cot
?1
3 .
Sol. tan
?1

3
8
+  tan
?1

11
5

+  cot
?1
3 =  tan
?1

?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
11
5
8
3
11
5
8
3
. 1
+ cot
?1
3 =  tan
?1
(1)

+

?
6
=
?
4
+

?
6
=

5
12
?
Ex.9 If tan
â€“1
x + tan
â€“1
y + tan
â€“1
z =
2
3 ?
then prove that xy  + yz + zx = 1
Sol. Since tan
â€“1
x + tan
â€“1
y + tan
â€“1
z =
2
3 ?
?   tan
â€“1
x + tan
â€“1
y =
2
3 ?
â€“ tan
â€“1
z
?   tan (tan
â€“1
x + tan
â€“1
y) = tan
?
?
?
?
?
?
?
?
?
z tan
2
3
1
? ?
xy 1
y x
?
?
= cot (tan
â€“1
z) ...(1)
Case (I) : If z > 0 then tan
â€“1
z = cot
â€“1

?
?
?
?
?
?
z
1
?  cot (tan
â€“1
z) = cot
?
?
?
?
?
?
? ? ?
?
z
1
cot
1
=
z
1
...(2)
Case (II) : If z < 0 then tan
â€“1
z = â€“ ? + cot
â€“1
?
?
?
?
?
?
z
1
? cot (tan
â€“1
z) = cot
?
?
?
?
?
?
? ? ?
?
z
1
cot
1
= cot
?
?
?
?
?
?
?
z
1
cot
1
=
z
1
...(3)
From (1), (2) and (3) we get
z
1
xy 1
y x
?
?
?
or zx + yz = 1 â€“ xy or xy + yz + zx = 1.
Ex.10 If cos
â€“1
x/2 + cos
â€“1
y/3 = ?, prove that 9x
2
+ 12 xy cos ? + 4y
2
= 36sin
2
?
Sol. Let cos
â€“1
x/2 = ? ? and  cos
â€“1
y/3 = ? ? cos ? = x/2 and cos ? =  y/3.
Given, ? ? ? ? ? ? ? ? ? cos ( ? ? ? ? ?) = cos ?
or cos ? cos ? â€“ sin ? sin ? = ? or
9
y
1
4
x
1
3
y
.
2
x
2 2
? ? ? = cos ?
or
6
y 9 . x 4
6
xy
2 2
? ?
? = cos ? or (xy â€“ 6cos ?)
2
= (4 â€“ x
2
) (9 â€“ y
2
)
or x
2
y
2
+ 36cos
2
? â€“ 12xy cos ? = 36 â€“ 9x
2
â€“ 4y
2
+ x
2
y
2
or 9x
2
â€“ 12y cos ? + 4y
2
= 36 (1 â€“ cos
2
?) or 9x
2
â€“ 12xycos ? + 4y
2
= 36sin
2
?.
Ex.11 If u = cos
â€“1

? 2 cos
â€“ tan
â€“1

? 2 cos
, prove that sin u = tan
2
?
Sol. Given, u = tan
â€“1
? 2 cos
1
â€“ tan
â€“1
? 2 cos
= tan
â€“1

?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
2 cos .
2 cos
1
1
2 cos
2 cos
1
= tan
â€“1
?
?
?
?
?
?
?
? ?
2 cos 2
2 cos 1
= tan
â€“1

?
?
2 cos
sin
2
? tan u =
?
?
2 cos
sin
2
=
BC
AB
(say)
? 2 cos
C
B
A
cos
2
?
sin
2
?
u
Then AC =
? ? ? 2 cos sin
4
=
? ? ? ?
2 4
sin 2 1 sin
= cos
2
?
? sinu =
? ?
?
?
?
2
2
2
tan
cos
sin
AC
AB
.
Ex.12 Show that cos
â€“1

7
1
+ 2 cot
â€“1

3
1
=
4
5 ?
Sol. cot
â€“1

7
1
+ 2 cot
â€“1

3
1
=
2
?
â€“ tan
=1

7
1
+ 2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
1
tan
2
1
=
?
?
?
?
?
?
? ?
?
? ?
3
1
tan 2
7
1
tan
2
3
1 1
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
? ?
2
1 1
) 3 / 1 ( 1
3 / 1 . 2
tan 2
7
1
tan
2
3
?
?
?
?
?
?
? 1
3
1
?
```
Offer running on EduRev: Apply code STAYHOME200 to get INR 200 off on our premium plan EduRev Infinity!

## Mathematics (Maths) Class 12

209 videos|222 docs|124 tests

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

;