Properties of Inverse Trigonometric Functions JEE Notes | EduRev

Mathematics (Maths) Class 12

JEE : Properties of Inverse Trigonometric Functions JEE Notes | EduRev

 Page 1


 
   
  
  
D. PROPERTIES OF INVERSE TRIGONOMETRIC FUNCTIONS
P-1 (i) y = sin (sin
–1
 x) = x (ii) y = cos (cos
–1
 x) = x
x ? [–1, 1], y ? [–1, 1] x ? [–1, 1], y ? [–1, 1]
45º
0
y = x
1
x
y
–1
–1
1
45º
0
y = x
1
x
y
–1
–1
1
(iii) y = tan (tan
–1
 x) = x (iv) y = cot (cot
–1
 x) = x
x ? R, y ? R x ? R, y ? R
45º
0
y = x
x
y
45º
0
y = x
x
y
(v) y = cosec (cosec
–1
 x) = x (vi) y = sec (sec
–1
 x) = x
| x | ? 1, | y | ? 1 | x | ? 1 ; | y | ? 1
0
y = x
1
x
y
–1
–1
1
y = x
0
y = x
1
x
y
–1
–1
1
y = x
Page 2


 
   
  
  
D. PROPERTIES OF INVERSE TRIGONOMETRIC FUNCTIONS
P-1 (i) y = sin (sin
–1
 x) = x (ii) y = cos (cos
–1
 x) = x
x ? [–1, 1], y ? [–1, 1] x ? [–1, 1], y ? [–1, 1]
45º
0
y = x
1
x
y
–1
–1
1
45º
0
y = x
1
x
y
–1
–1
1
(iii) y = tan (tan
–1
 x) = x (iv) y = cot (cot
–1
 x) = x
x ? R, y ? R x ? R, y ? R
45º
0
y = x
x
y
45º
0
y = x
x
y
(v) y = cosec (cosec
–1
 x) = x (vi) y = sec (sec
–1
 x) = x
| x | ? 1, | y | ? 1 | x | ? 1 ; | y | ? 1
0
y = x
1
x
y
–1
–1
1
y = x
0
y = x
1
x
y
–1
–1
1
y = x
(vii) y = sin
–1
 (sin x), x ? R, y ? ?
?
?
?
?
? ? ?
?
2
,
2
, is periodic function with period 2 ? and it is an odd function
sin
–1
 (sin x) = 
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? ?
?
? ?
?
? ?
?
?
?
? ? ? ? ? ? ? ?
x
2
, x
2
x
2
, x
2
x , x
     
/2
y
0
?
?
? ?
–  /2
?
y=–( +x) ?
2
3 ?
?
? ?2
x
2
?
?
2
?
2
3 ?
y=2 +x ?
y=x
? 2
y=x–2 ?
y=  –x ?
(viii) y = cos
–1
 (cos x), x ? R, y ? [0, ?], is periodic function with period 2 ? and it is an even function
cos
–1
 (cos x) = 
x , x 0
x , 0 x
2 x , x 2
x 2 , 2 x 3
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
?
y=x+2 ?
y
?
?
2 ?
0 ? ?
–3 ?/2 –2 ?
– ?/2 ?/2 3 ?/2
y=–x
y=x
y=2 –x ?
2
?
(ix) y = tan
–1
 (tan x), x ? R – ?
(2n 1) , n I
2
? ? ?
? ?
? ?
? ?
;  y ? 
,
2 2
? ? ? ?
?
? ?
? ?
 is periodic function with period ? and it
is an odd function
     tan
–1
 (tan x) = 
3
x ; x
2 2
x ; x
2 2
3
x ; x
2 2
? ? ?
? ? ? ? ? ?
?
?
? ? ?
? ? ?
?
?
? ?
?
? ? ? ?
?
?
   
? ?2
? 2
0
y=x
y=x+ ?
2
3 ?
?
? ?
2
?
?
2
? ?
y=x– ?
2
3 ?
2
?
2
?
?
x
y
(x) y = cot
–1
 (cot x), x ? R – {n ?, n ? I}, y ? [0, ?], is periodic function with period ? and it is nei-
ther an even nor odd function
cot
–1
 (cot x) = 
?
?
?
?
?
? ? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ?
2 x ; x
x 0 ; x
0 x ; x
? ?2 ? 2 0
y=x
y=x+ ?
? ? ?
?
y=x– ?
x
y
y=x+2 ?
(xi) y = cosec
–1
 (cosec x), x ? R – {n ?, n ? I}, y ? 
?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
?
?
?
? ?
?
2
, 0 0 ,
2
 is periodic function with period
2 ? and it is an odd function
Page 3


 
   
  
  
D. PROPERTIES OF INVERSE TRIGONOMETRIC FUNCTIONS
P-1 (i) y = sin (sin
–1
 x) = x (ii) y = cos (cos
–1
 x) = x
x ? [–1, 1], y ? [–1, 1] x ? [–1, 1], y ? [–1, 1]
45º
0
y = x
1
x
y
–1
–1
1
45º
0
y = x
1
x
y
–1
–1
1
(iii) y = tan (tan
–1
 x) = x (iv) y = cot (cot
–1
 x) = x
x ? R, y ? R x ? R, y ? R
45º
0
y = x
x
y
45º
0
y = x
x
y
(v) y = cosec (cosec
–1
 x) = x (vi) y = sec (sec
–1
 x) = x
| x | ? 1, | y | ? 1 | x | ? 1 ; | y | ? 1
0
y = x
1
x
y
–1
–1
1
y = x
0
y = x
1
x
y
–1
–1
1
y = x
(vii) y = sin
–1
 (sin x), x ? R, y ? ?
?
?
?
?
? ? ?
?
2
,
2
, is periodic function with period 2 ? and it is an odd function
sin
–1
 (sin x) = 
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? ?
?
? ?
?
? ?
?
?
?
? ? ? ? ? ? ? ?
x
2
, x
2
x
2
, x
2
x , x
     
/2
y
0
?
?
? ?
–  /2
?
y=–( +x) ?
2
3 ?
?
? ?2
x
2
?
?
2
?
2
3 ?
y=2 +x ?
y=x
? 2
y=x–2 ?
y=  –x ?
(viii) y = cos
–1
 (cos x), x ? R, y ? [0, ?], is periodic function with period 2 ? and it is an even function
cos
–1
 (cos x) = 
x , x 0
x , 0 x
2 x , x 2
x 2 , 2 x 3
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
?
y=x+2 ?
y
?
?
2 ?
0 ? ?
–3 ?/2 –2 ?
– ?/2 ?/2 3 ?/2
y=–x
y=x
y=2 –x ?
2
?
(ix) y = tan
–1
 (tan x), x ? R – ?
(2n 1) , n I
2
? ? ?
? ?
? ?
? ?
;  y ? 
,
2 2
? ? ? ?
?
? ?
? ?
 is periodic function with period ? and it
is an odd function
     tan
–1
 (tan x) = 
3
x ; x
2 2
x ; x
2 2
3
x ; x
2 2
? ? ?
? ? ? ? ? ?
?
?
? ? ?
? ? ?
?
?
? ?
?
? ? ? ?
?
?
   
? ?2
? 2
0
y=x
y=x+ ?
2
3 ?
?
? ?
2
?
?
2
? ?
y=x– ?
2
3 ?
2
?
2
?
?
x
y
(x) y = cot
–1
 (cot x), x ? R – {n ?, n ? I}, y ? [0, ?], is periodic function with period ? and it is nei-
ther an even nor odd function
cot
–1
 (cot x) = 
?
?
?
?
?
? ? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ?
2 x ; x
x 0 ; x
0 x ; x
? ?2 ? 2 0
y=x
y=x+ ?
? ? ?
?
y=x– ?
x
y
y=x+2 ?
(xi) y = cosec
–1
 (cosec x), x ? R – {n ?, n ? I}, y ? 
?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
?
?
?
? ?
?
2
, 0 0 ,
2
 is periodic function with period
2 ? and it is an odd function
/2
y
0
?
?
? ?
–  /2
?
y=–( +x) ?
2
3 ?
?
? ?2
x
2
?
?
2
?
2
3 ?
y=2 +x ?
y=x
? 2
y=x–2 ?
y=  –x ?
(xii) y = sec
–1
 (sec x), x ? R – ?
?
?
?
?
?
?
?
?
? I n ,
2
) 1 n 2 (
, y ? 
0, ,
2 2
? ? ? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
 is periodic function with period 2 ?
and it is an even function
       
y=x+2 ?
y
?
?
2 ?
0 ? ?
–3 ?/2 –2 ?
– ?/2 ?/2 3 ?/2
y=–x
y=x
y=2 –x ?
2
?
Ex.3 Evaluate following
(i) sin(cos
–1
 3/5) (ii) cos(tan
–1
 3/4) (iii) sin 
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
2
1
sin
2
1
Sol. (i) Let cos
–1
 3/5 = ? then cos ? = 3/5  ?  sin ? = 4/5 ? ?? ? ?  sin(cos
–1
 3/5) = sin ? = 4/5
(ii) Let tan
–1
 3/4 = ? then tan ? = 3/4  ?  cos ? = 4/5 ? ? ? ? ?  cos(tan
–1
 3/4) = cos ? = 4/5
(iii) sin 
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
2
1
sin
2
1
 = sin ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
6 2
 = sin 
3
2 ?
 = 
2
3
Ex.4 Define the function,  f(x) = cos
 ?1
 (cos x) ? sin
 ?1
 (sin x)  in  [0, 2
 
?]  and  find the area bounded by the
graph of the function and the  x
 
?
 
axis.
Sol. cos
 ?1
 (cos x)  =  
x
x
x
x 2
0
2 ?
?
? ? ?
? ?
? ?
?
?
?
; sin
 ?1
 (sin x)  =  
x
x
x
x
x
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
2
0
2
2
2
3
2
3
2
Hence    f
 
(x) =  
? ?
? ?
? ?
? ?
0 0
2
4 2 2
2
2
3
2
3
2
i f x
x i f x
i f x
x i f x
?
? ?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
,
,
,
,
?
?
?
?
? ?
? ?
? ?
Area =  
3
2 2
? ?
?
?
?
?
?
?
? ? 
?
2
=  ?
2
Ex.5 Let  y = sin
–1
(sin 8) – tan
–1
(tan 10) + cos
–1
(cos 12) – sec
–1
(sec 9) + cot
–1
(cot 6) – cosec
–1
(cosec 7).
If  y  simplifies to  a ? + b  then find ( a – b).
Page 4


 
   
  
  
D. PROPERTIES OF INVERSE TRIGONOMETRIC FUNCTIONS
P-1 (i) y = sin (sin
–1
 x) = x (ii) y = cos (cos
–1
 x) = x
x ? [–1, 1], y ? [–1, 1] x ? [–1, 1], y ? [–1, 1]
45º
0
y = x
1
x
y
–1
–1
1
45º
0
y = x
1
x
y
–1
–1
1
(iii) y = tan (tan
–1
 x) = x (iv) y = cot (cot
–1
 x) = x
x ? R, y ? R x ? R, y ? R
45º
0
y = x
x
y
45º
0
y = x
x
y
(v) y = cosec (cosec
–1
 x) = x (vi) y = sec (sec
–1
 x) = x
| x | ? 1, | y | ? 1 | x | ? 1 ; | y | ? 1
0
y = x
1
x
y
–1
–1
1
y = x
0
y = x
1
x
y
–1
–1
1
y = x
(vii) y = sin
–1
 (sin x), x ? R, y ? ?
?
?
?
?
? ? ?
?
2
,
2
, is periodic function with period 2 ? and it is an odd function
sin
–1
 (sin x) = 
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? ?
?
? ?
?
? ?
?
?
?
? ? ? ? ? ? ? ?
x
2
, x
2
x
2
, x
2
x , x
     
/2
y
0
?
?
? ?
–  /2
?
y=–( +x) ?
2
3 ?
?
? ?2
x
2
?
?
2
?
2
3 ?
y=2 +x ?
y=x
? 2
y=x–2 ?
y=  –x ?
(viii) y = cos
–1
 (cos x), x ? R, y ? [0, ?], is periodic function with period 2 ? and it is an even function
cos
–1
 (cos x) = 
x , x 0
x , 0 x
2 x , x 2
x 2 , 2 x 3
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
?
y=x+2 ?
y
?
?
2 ?
0 ? ?
–3 ?/2 –2 ?
– ?/2 ?/2 3 ?/2
y=–x
y=x
y=2 –x ?
2
?
(ix) y = tan
–1
 (tan x), x ? R – ?
(2n 1) , n I
2
? ? ?
? ?
? ?
? ?
;  y ? 
,
2 2
? ? ? ?
?
? ?
? ?
 is periodic function with period ? and it
is an odd function
     tan
–1
 (tan x) = 
3
x ; x
2 2
x ; x
2 2
3
x ; x
2 2
? ? ?
? ? ? ? ? ?
?
?
? ? ?
? ? ?
?
?
? ?
?
? ? ? ?
?
?
   
? ?2
? 2
0
y=x
y=x+ ?
2
3 ?
?
? ?
2
?
?
2
? ?
y=x– ?
2
3 ?
2
?
2
?
?
x
y
(x) y = cot
–1
 (cot x), x ? R – {n ?, n ? I}, y ? [0, ?], is periodic function with period ? and it is nei-
ther an even nor odd function
cot
–1
 (cot x) = 
?
?
?
?
?
? ? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ?
2 x ; x
x 0 ; x
0 x ; x
? ?2 ? 2 0
y=x
y=x+ ?
? ? ?
?
y=x– ?
x
y
y=x+2 ?
(xi) y = cosec
–1
 (cosec x), x ? R – {n ?, n ? I}, y ? 
?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
?
?
?
? ?
?
2
, 0 0 ,
2
 is periodic function with period
2 ? and it is an odd function
/2
y
0
?
?
? ?
–  /2
?
y=–( +x) ?
2
3 ?
?
? ?2
x
2
?
?
2
?
2
3 ?
y=2 +x ?
y=x
? 2
y=x–2 ?
y=  –x ?
(xii) y = sec
–1
 (sec x), x ? R – ?
?
?
?
?
?
?
?
?
? I n ,
2
) 1 n 2 (
, y ? 
0, ,
2 2
? ? ? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
 is periodic function with period 2 ?
and it is an even function
       
y=x+2 ?
y
?
?
2 ?
0 ? ?
–3 ?/2 –2 ?
– ?/2 ?/2 3 ?/2
y=–x
y=x
y=2 –x ?
2
?
Ex.3 Evaluate following
(i) sin(cos
–1
 3/5) (ii) cos(tan
–1
 3/4) (iii) sin 
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
2
1
sin
2
1
Sol. (i) Let cos
–1
 3/5 = ? then cos ? = 3/5  ?  sin ? = 4/5 ? ?? ? ?  sin(cos
–1
 3/5) = sin ? = 4/5
(ii) Let tan
–1
 3/4 = ? then tan ? = 3/4  ?  cos ? = 4/5 ? ? ? ? ?  cos(tan
–1
 3/4) = cos ? = 4/5
(iii) sin 
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
2
1
sin
2
1
 = sin ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
6 2
 = sin 
3
2 ?
 = 
2
3
Ex.4 Define the function,  f(x) = cos
 ?1
 (cos x) ? sin
 ?1
 (sin x)  in  [0, 2
 
?]  and  find the area bounded by the
graph of the function and the  x
 
?
 
axis.
Sol. cos
 ?1
 (cos x)  =  
x
x
x
x 2
0
2 ?
?
? ? ?
? ?
? ?
?
?
?
; sin
 ?1
 (sin x)  =  
x
x
x
x
x
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
2
0
2
2
2
3
2
3
2
Hence    f
 
(x) =  
? ?
? ?
? ?
? ?
0 0
2
4 2 2
2
2
3
2
3
2
i f x
x i f x
i f x
x i f x
?
? ?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
,
,
,
,
?
?
?
?
? ?
? ?
? ?
Area =  
3
2 2
? ?
?
?
?
?
?
?
? ? 
?
2
=  ?
2
Ex.5 Let  y = sin
–1
(sin 8) – tan
–1
(tan 10) + cos
–1
(cos 12) – sec
–1
(sec 9) + cot
–1
(cot 6) – cosec
–1
(cosec 7).
If  y  simplifies to  a ? + b  then find ( a – b).
Sol. sin
–1
(sin 8) = 
? ? ) 8 3 s i n( s i n
1
? ?
?
 = 3 ? – 8
tan
–1
(tan 10) = 
? ? ) 3 10 t a n( t a n
1
? ?
?
 = 10 – 3 ?
cos
–1
(cos 12) = 
? ? ) 1 2 4 c o s( c o s
1
? ?
?
 = 4 ? – 12
sec
–1
(sec 9) = 
? ? ) 2 9 s e c ( s e c
1
? ?
?
 = 9 – 2 ?
cot
–1
(cot 6) = 
? ? ) 6 c ot ( c ot
1
? ?
?
 = 6 – ?
cosec
–1
(cosec 7) = 
? ? ) 2 7 ( c o s e c c o s e c
1
? ?
?
 = 7 – 2 ?
y = (3 ? – 8) + (3 ? ?– 10) + (4 ? – 12) + (2 ? – 9) + (– ? + 6 ) + (2 ? ?– 7) = 13 ? – 40
? a = 13  and  b = – 40 ? a – b = 13 – (– 40) = 53
P-2 (i) cosec
–1
x
 
 =  sin
–1
x
1
; |x| ? ?1     (ii) sec
–1
 x  = cos
–1
x
1
; |x| ? 1
(iii) cot
–1
 x =
?
?
?
?
?
?
?
? ? ?
?
0 x ,
x
1
tan
0 x ,
x
1
tan
1 –
1 –
P-3  (i)  sin
–1
 (–x) = – sin
–1
 x  ;  – 1 ? x ? 1 (ii) cosec
–1
 (–x) = – cosec
–1
 x  ;  |x| ? 1
        (iii) tan
–1
 (–x) = – tan
–1
x  ;  x ? R (iv) cot
–1 
(–x) = ? ?– cot
–1
 x  ;  x ? R
        (v) cos
–1
 (–x) = ? ?– cos
–1
 x  ;  – 1 ? x ? 1 (vi) sec
–1 
(–x) = ? – sec
–1
 x  ;  |x| ? 1
P-4  (i) sin
–1
 x + cos
–1
 x = 
2
?
  ;  |x| ? 1 (ii) tan
–1
 x + cot
–1
 x  = 
2
?
  ;  x ? R
 (iii) sec
–1
x + cosec
–1
 x  =  
2
?
  ;  |x| ? ?1
Ex.6 Find the value of sin
–1
 (– 2 / 3 ) + cos
–1
 (cos (7 ?/6).
Sol. sin
–1
(– 2 / 3 ) = – sin
–1
 ( 2 / 3 ) = – ?/3 and cos
–1
(cos (7 ?/6) = cos
–1
 cos (2 ? – 5 ?/6) = cos
–1
 cos(5 ?/6) = 5 ?/6
hence sin
–1
 (– 2 / 3 ) + cos
–1
 (cos (7 ?/6) = – 
3
?
 + 
6
5 ?
 = 
2
?
Ex.7 Prove that,  sin
–1
 
1
3
 
 
+  sin
–1
 
1
3 1 1
 
 
+  sin
–1
 
3
1 1
 
 
= 
 
?
2
.
Sol. tan
–1
 
1
2 2
 
 
+ 
 
tan
–1
 
1
7 2
 
 
+ 
 
tan
–1
 
3
2
 = tan
–1
  
1
2 2
1
7 2
1
1
2 8
?
?
 
 
+ 
 
tan
–1
 
3
2
=  tan
–1
 
9 2
2 7
 
 
+ 
 
tan
–1
 
3
2
 =  tan
–1
 
2
3
 
 
+ 
 
tan
–1
 
3
2
 =  cot
–1
 
3
2
 
 
+ 
 
tan
–1
 
3
2
 = 
?
2
Ex.8 Find the value of  sin
 ?1
 
73
3
 
 
+  cos
 ?1
 
146
11
 
 
+  cot
 ?1
 3 .
Sol. tan
 ?1
 
3
8
  +  tan
 ?1
 
11
5
 
 
+  cot
 ?1
 3 =  tan
 ?1
 
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
11
5
8
3
11
5
8
3
. 1
 + cot
 ?1
 3 =  tan
 ?1
 (1) 
 
+
 
?
6
 = 
?
4
 + 
 
?
6
  = 
 
5
12
?
Ex.9 If tan
–1
 x + tan
–1
 y + tan
–1
 z = 
2
3 ?
 then prove that xy  + yz + zx = 1
Page 5


 
   
  
  
D. PROPERTIES OF INVERSE TRIGONOMETRIC FUNCTIONS
P-1 (i) y = sin (sin
–1
 x) = x (ii) y = cos (cos
–1
 x) = x
x ? [–1, 1], y ? [–1, 1] x ? [–1, 1], y ? [–1, 1]
45º
0
y = x
1
x
y
–1
–1
1
45º
0
y = x
1
x
y
–1
–1
1
(iii) y = tan (tan
–1
 x) = x (iv) y = cot (cot
–1
 x) = x
x ? R, y ? R x ? R, y ? R
45º
0
y = x
x
y
45º
0
y = x
x
y
(v) y = cosec (cosec
–1
 x) = x (vi) y = sec (sec
–1
 x) = x
| x | ? 1, | y | ? 1 | x | ? 1 ; | y | ? 1
0
y = x
1
x
y
–1
–1
1
y = x
0
y = x
1
x
y
–1
–1
1
y = x
(vii) y = sin
–1
 (sin x), x ? R, y ? ?
?
?
?
?
? ? ?
?
2
,
2
, is periodic function with period 2 ? and it is an odd function
sin
–1
 (sin x) = 
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? ?
?
? ?
?
? ?
?
?
?
? ? ? ? ? ? ? ?
x
2
, x
2
x
2
, x
2
x , x
     
/2
y
0
?
?
? ?
–  /2
?
y=–( +x) ?
2
3 ?
?
? ?2
x
2
?
?
2
?
2
3 ?
y=2 +x ?
y=x
? 2
y=x–2 ?
y=  –x ?
(viii) y = cos
–1
 (cos x), x ? R, y ? [0, ?], is periodic function with period 2 ? and it is an even function
cos
–1
 (cos x) = 
x , x 0
x , 0 x
2 x , x 2
x 2 , 2 x 3
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
?
y=x+2 ?
y
?
?
2 ?
0 ? ?
–3 ?/2 –2 ?
– ?/2 ?/2 3 ?/2
y=–x
y=x
y=2 –x ?
2
?
(ix) y = tan
–1
 (tan x), x ? R – ?
(2n 1) , n I
2
? ? ?
? ?
? ?
? ?
;  y ? 
,
2 2
? ? ? ?
?
? ?
? ?
 is periodic function with period ? and it
is an odd function
     tan
–1
 (tan x) = 
3
x ; x
2 2
x ; x
2 2
3
x ; x
2 2
? ? ?
? ? ? ? ? ?
?
?
? ? ?
? ? ?
?
?
? ?
?
? ? ? ?
?
?
   
? ?2
? 2
0
y=x
y=x+ ?
2
3 ?
?
? ?
2
?
?
2
? ?
y=x– ?
2
3 ?
2
?
2
?
?
x
y
(x) y = cot
–1
 (cot x), x ? R – {n ?, n ? I}, y ? [0, ?], is periodic function with period ? and it is nei-
ther an even nor odd function
cot
–1
 (cot x) = 
?
?
?
?
?
? ? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ?
2 x ; x
x 0 ; x
0 x ; x
? ?2 ? 2 0
y=x
y=x+ ?
? ? ?
?
y=x– ?
x
y
y=x+2 ?
(xi) y = cosec
–1
 (cosec x), x ? R – {n ?, n ? I}, y ? 
?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
?
?
?
? ?
?
2
, 0 0 ,
2
 is periodic function with period
2 ? and it is an odd function
/2
y
0
?
?
? ?
–  /2
?
y=–( +x) ?
2
3 ?
?
? ?2
x
2
?
?
2
?
2
3 ?
y=2 +x ?
y=x
? 2
y=x–2 ?
y=  –x ?
(xii) y = sec
–1
 (sec x), x ? R – ?
?
?
?
?
?
?
?
?
? I n ,
2
) 1 n 2 (
, y ? 
0, ,
2 2
? ? ? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
 is periodic function with period 2 ?
and it is an even function
       
y=x+2 ?
y
?
?
2 ?
0 ? ?
–3 ?/2 –2 ?
– ?/2 ?/2 3 ?/2
y=–x
y=x
y=2 –x ?
2
?
Ex.3 Evaluate following
(i) sin(cos
–1
 3/5) (ii) cos(tan
–1
 3/4) (iii) sin 
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
2
1
sin
2
1
Sol. (i) Let cos
–1
 3/5 = ? then cos ? = 3/5  ?  sin ? = 4/5 ? ?? ? ?  sin(cos
–1
 3/5) = sin ? = 4/5
(ii) Let tan
–1
 3/4 = ? then tan ? = 3/4  ?  cos ? = 4/5 ? ? ? ? ?  cos(tan
–1
 3/4) = cos ? = 4/5
(iii) sin 
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
2
1
sin
2
1
 = sin ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
6 2
 = sin 
3
2 ?
 = 
2
3
Ex.4 Define the function,  f(x) = cos
 ?1
 (cos x) ? sin
 ?1
 (sin x)  in  [0, 2
 
?]  and  find the area bounded by the
graph of the function and the  x
 
?
 
axis.
Sol. cos
 ?1
 (cos x)  =  
x
x
x
x 2
0
2 ?
?
? ? ?
? ?
? ?
?
?
?
; sin
 ?1
 (sin x)  =  
x
x
x
x
x
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
2
0
2
2
2
3
2
3
2
Hence    f
 
(x) =  
? ?
? ?
? ?
? ?
0 0
2
4 2 2
2
2
3
2
3
2
i f x
x i f x
i f x
x i f x
?
? ?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
,
,
,
,
?
?
?
?
? ?
? ?
? ?
Area =  
3
2 2
? ?
?
?
?
?
?
?
? ? 
?
2
=  ?
2
Ex.5 Let  y = sin
–1
(sin 8) – tan
–1
(tan 10) + cos
–1
(cos 12) – sec
–1
(sec 9) + cot
–1
(cot 6) – cosec
–1
(cosec 7).
If  y  simplifies to  a ? + b  then find ( a – b).
Sol. sin
–1
(sin 8) = 
? ? ) 8 3 s i n( s i n
1
? ?
?
 = 3 ? – 8
tan
–1
(tan 10) = 
? ? ) 3 10 t a n( t a n
1
? ?
?
 = 10 – 3 ?
cos
–1
(cos 12) = 
? ? ) 1 2 4 c o s( c o s
1
? ?
?
 = 4 ? – 12
sec
–1
(sec 9) = 
? ? ) 2 9 s e c ( s e c
1
? ?
?
 = 9 – 2 ?
cot
–1
(cot 6) = 
? ? ) 6 c ot ( c ot
1
? ?
?
 = 6 – ?
cosec
–1
(cosec 7) = 
? ? ) 2 7 ( c o s e c c o s e c
1
? ?
?
 = 7 – 2 ?
y = (3 ? – 8) + (3 ? ?– 10) + (4 ? – 12) + (2 ? – 9) + (– ? + 6 ) + (2 ? ?– 7) = 13 ? – 40
? a = 13  and  b = – 40 ? a – b = 13 – (– 40) = 53
P-2 (i) cosec
–1
x
 
 =  sin
–1
x
1
; |x| ? ?1     (ii) sec
–1
 x  = cos
–1
x
1
; |x| ? 1
(iii) cot
–1
 x =
?
?
?
?
?
?
?
? ? ?
?
0 x ,
x
1
tan
0 x ,
x
1
tan
1 –
1 –
P-3  (i)  sin
–1
 (–x) = – sin
–1
 x  ;  – 1 ? x ? 1 (ii) cosec
–1
 (–x) = – cosec
–1
 x  ;  |x| ? 1
        (iii) tan
–1
 (–x) = – tan
–1
x  ;  x ? R (iv) cot
–1 
(–x) = ? ?– cot
–1
 x  ;  x ? R
        (v) cos
–1
 (–x) = ? ?– cos
–1
 x  ;  – 1 ? x ? 1 (vi) sec
–1 
(–x) = ? – sec
–1
 x  ;  |x| ? 1
P-4  (i) sin
–1
 x + cos
–1
 x = 
2
?
  ;  |x| ? 1 (ii) tan
–1
 x + cot
–1
 x  = 
2
?
  ;  x ? R
 (iii) sec
–1
x + cosec
–1
 x  =  
2
?
  ;  |x| ? ?1
Ex.6 Find the value of sin
–1
 (– 2 / 3 ) + cos
–1
 (cos (7 ?/6).
Sol. sin
–1
(– 2 / 3 ) = – sin
–1
 ( 2 / 3 ) = – ?/3 and cos
–1
(cos (7 ?/6) = cos
–1
 cos (2 ? – 5 ?/6) = cos
–1
 cos(5 ?/6) = 5 ?/6
hence sin
–1
 (– 2 / 3 ) + cos
–1
 (cos (7 ?/6) = – 
3
?
 + 
6
5 ?
 = 
2
?
Ex.7 Prove that,  sin
–1
 
1
3
 
 
+  sin
–1
 
1
3 1 1
 
 
+  sin
–1
 
3
1 1
 
 
= 
 
?
2
.
Sol. tan
–1
 
1
2 2
 
 
+ 
 
tan
–1
 
1
7 2
 
 
+ 
 
tan
–1
 
3
2
 = tan
–1
  
1
2 2
1
7 2
1
1
2 8
?
?
 
 
+ 
 
tan
–1
 
3
2
=  tan
–1
 
9 2
2 7
 
 
+ 
 
tan
–1
 
3
2
 =  tan
–1
 
2
3
 
 
+ 
 
tan
–1
 
3
2
 =  cot
–1
 
3
2
 
 
+ 
 
tan
–1
 
3
2
 = 
?
2
Ex.8 Find the value of  sin
 ?1
 
73
3
 
 
+  cos
 ?1
 
146
11
 
 
+  cot
 ?1
 3 .
Sol. tan
 ?1
 
3
8
  +  tan
 ?1
 
11
5
 
 
+  cot
 ?1
 3 =  tan
 ?1
 
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
11
5
8
3
11
5
8
3
. 1
 + cot
 ?1
 3 =  tan
 ?1
 (1) 
 
+
 
?
6
 = 
?
4
 + 
 
?
6
  = 
 
5
12
?
Ex.9 If tan
–1
 x + tan
–1
 y + tan
–1
 z = 
2
3 ?
 then prove that xy  + yz + zx = 1
Sol. Since tan
–1
 x + tan
–1
 y + tan
–1
 z = 
2
3 ?
?   tan
–1
 x + tan
–1
 y = 
2
3 ?
 – tan
–1
 z
?   tan (tan
–1
 x + tan
–1
 y) = tan 
?
?
?
?
?
?
?
?
?
z tan
2
3
1
? ? 
xy 1
y x
?
?
 = cot (tan
–1
 z) ...(1)
Case (I) : If z > 0 then tan
–1
 z = cot
–1
 
?
?
?
?
?
?
z
1
?  cot (tan
–1
 z) = cot 
?
?
?
?
?
?
? ? ?
?
z
1
cot
1
 = 
z
1
...(2)
Case (II) : If z < 0 then tan
–1
 z = – ? + cot
–1 
?
?
?
?
?
?
z
1
? cot (tan
–1
 z) = cot 
?
?
?
?
?
?
? ? ?
?
z
1
cot
1
 = cot 
?
?
?
?
?
?
?
z
1
cot
1
 = 
z
1
...(3)
From (1), (2) and (3) we get  
z
1
xy 1
y x
?
?
?
or zx + yz = 1 – xy or xy + yz + zx = 1.
Ex.10 If cos
–1
 x/2 + cos
–1
 y/3 = ?, prove that 9x
2
 + 12 xy cos ? + 4y
2
 = 36sin
2
?
Sol. Let cos
–1
 x/2 = ? ? and  cos
–1
 y/3 = ? ? cos ? = x/2 and cos ? =  y/3.
Given, ? ? ? ? ? ? ? ? ? cos ( ? ? ? ? ?) = cos ?
or cos ? cos ? – sin ? sin ? = ? or 
9
y
1
4
x
1
3
y
.
2
x
2 2
? ? ? = cos ?
or 
6
y 9 . x 4
6
xy
2 2
? ?
? = cos ? or (xy – 6cos ?)
2
 = (4 – x
2
) (9 – y
2
)
or x
2
y
2
 + 36cos
2
? – 12xy cos ? = 36 – 9x
2
 – 4y
2
 + x
2
y
2
or 9x
2
 – 12y cos ? + 4y
2 
= 36 (1 – cos
2
?) or 9x
2
 – 12xycos ? + 4y
2
 = 36sin
2
?.
Ex.11 If u = cos
–1
 
? 2 cos
 – tan
–1
 
? 2 cos
, prove that sin u = tan
2
?
Sol. Given, u = tan
–1
? 2 cos
1
 – tan
–1 
? 2 cos
 = tan
–1
 
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
2 cos .
2 cos
1
1
2 cos
2 cos
1
= tan
–1
 ?
?
?
?
?
?
?
? ?
2 cos 2
2 cos 1
= tan
–1
 
?
?
2 cos
sin
2
   ? tan u = 
?
?
2 cos
sin
2
 = 
BC
AB
 (say)   
? 2 cos
C
B
A
cos
2
?
sin
2
?
u
Then AC = 
? ? ? 2 cos sin
4
 = 
? ? ? ?
2 4
sin 2 1 sin
 = cos
2 
?
? sinu = 
? ?
?
?
?
2
2
2
tan
cos
sin
AC
AB
.
Ex.12 Show that cos
–1
 
7
1
 + 2 cot
–1
 
3
1
 = 
4
5 ?
Sol. cot
–1
 
7
1
 + 2 cot
–1
 
3
1
 = 
2
?
 – tan
=1
 
7
1
 + 2 
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
1
tan
2
1
= 
?
?
?
?
?
?
? ?
?
? ?
3
1
tan 2
7
1
tan
2
3
1 1
= 
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
? ?
2
1 1
) 3 / 1 ( 1
3 / 1 . 2
tan 2
7
1
tan
2
3
?
?
?
?
?
?
? 1
3
1
?
Read More
Offer running on EduRev: Apply code STAYHOME200 to get INR 200 off on our premium plan EduRev Infinity!

Related Searches

Extra Questions

,

Viva Questions

,

Properties of Inverse Trigonometric Functions JEE Notes | EduRev

,

Important questions

,

past year papers

,

Properties of Inverse Trigonometric Functions JEE Notes | EduRev

,

Exam

,

practice quizzes

,

Semester Notes

,

Previous Year Questions with Solutions

,

pdf

,

mock tests for examination

,

Free

,

Properties of Inverse Trigonometric Functions JEE Notes | EduRev

,

Summary

,

video lectures

,

ppt

,

study material

,

MCQs

,

Sample Paper

,

shortcuts and tricks

,

Objective type Questions

;