The Direct Stiffness Method: Temperature Changes & Fabrication Errors in Truss Analysis - 2 GATE Notes | EduRev

Structural Analysis

GATE : The Direct Stiffness Method: Temperature Changes & Fabrication Errors in Truss Analysis - 2 GATE Notes | EduRev

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= = p p (as no joint loads are applied).Thus, 
 
                                                         
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The support reactions are shown in Fig.26.2c.The member forces can be easily 
calculated from reactions. The member end forces can also be calculated by 
using equation (26.10a) and (26.10b). For example, for member (1), 
o
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7.763 10
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    (13) 
      = 77.763 kN. Thus the member (1) is in tension. 
 
Member (2) 
o
45 = ? 
281 . 94 10
3 '
2
× = p [-0.707 -0.707 0.707 0.707]
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3
3
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10 2942 . 3
0
0
 
kN. 78 . 109
2
- = ' p 
 
Thus member (2) is in compression 
 
 
 
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411
3
33
0000
01 0 1
15 10 2 10
0000 3 x 10 10
010 1
k
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×××
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    (7)  
 
The global stiffness matrix is of the order 8 8 × ,assembling the three member 
stiffness matrices, one gets 
 
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0 0 14 . 47 14 . 47 0 0 14 . 47 14 . 47
0 0 14 . 47 14 . 47 0 0 14 . 47 14 . 47
0 0 0 0 100 0 100 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 14 . 47 14 . 47 100 0 14 . 147 14 . 47
0 100 14 . 47 14 . 47 0 0 14 . 47 14 . 147
10
3
k  (8) 
 
Writing the load displacement equation for the truss 
 
 
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0 0 14 . 47 14 . 47 0 0 14 . 47 14 . 47
0 0 14 . 47 14 . 47 0 0 14 . 47 14 . 47
0 0 0 0 100 0 100 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 14 . 47 14 . 47 100 0 14 . 147 14 . 47
0 100 14 . 47 14 . 47 0 0 14 . 47 14 . 147
10
3
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0
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1
1
0
0
1
1
640           
(9) 
 
In the present case, the displacements 
1
u and 
2
u are not known. All other 
displacements are zero. Also 0
2 1
= = p p (as no joint loads are applied).Thus, 
 
                                                         
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0 0 14 . 47 14 . 47 0 0 14 . 47 14 . 47
0 0 14 . 47 14 . 47 0 0 14 . 47 14 . 47
0 0 0 0 100 0 100 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 14 . 47 14 . 47 100 0 14 . 147 14 . 47
0 100 14 . 47 14 . 47 0 0 14 . 47 14 . 147
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4
3
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1
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Thus unknown displacements are 
 
1
1
3
2
147.14 47.14 0 1
1
(150.82 )
47.14 147.14 0 1 10
u
u
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    (11) 
 
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7.763 10
7.763 10
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=×
=×
 
 
Now reactions are calculated as 
 
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0 100 0 0 0 0
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0 0 14 . 47 14 . 47 0 0
0 0 0 0 100 0
0 0 0 0 0 0
0 0
0 100
14 . 47 14 . 47
14 . 47 14 . 47
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0 0
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1 3
8
7
6
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p
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p
p
 
 
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0
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The support reactions are shown in Fig.26.2c.The member forces can be easily 
calculated from reactions. The member end forces can also be calculated by 
using equation (26.10a) and (26.10b). For example, for member (1), 
o
0 = ? 
100 10
3 '
2
× = p [] 0 1 0 1 - 4
4
0
0
7.763 10
7.763 10
-
-
? ?
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×
? ?
? ?
×
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    (13) 
      = 77.763 kN. Thus the member (1) is in tension. 
 
Member (2) 
o
45 = ? 
281 . 94 10
3 '
2
× = p [-0.707 -0.707 0.707 0.707]
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×
×
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kN. 78 . 109
2
- = ' p 
 
Thus member (2) is in compression 
 
 
 
                                                         
Example  26.2  
Analyze the truss shown in Fig.26.3a, if the member BC is made 0.01m too short 
before placing it in the truss. Assume AE=300 kN for all members. 
 
 
Page 5


                                                         
411
3
33
0000
01 0 1
15 10 2 10
0000 3 x 10 10
010 1
k
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    (7)  
 
The global stiffness matrix is of the order 8 8 × ,assembling the three member 
stiffness matrices, one gets 
 
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0 0 14 . 47 14 . 47 0 0 14 . 47 14 . 47
0 0 0 0 100 0 100 0
0 0 0 0 0 0 0 0
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0 100 14 . 47 14 . 47 0 0 14 . 47 14 . 147
10
3
k  (8) 
 
Writing the load displacement equation for the truss 
 
 
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0 0 14 . 47 14 . 47 0 0 14 . 47 14 . 47
0 0 14 . 47 14 . 47 0 0 14 . 47 14 . 47
0 0 0 0 100 0 100 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 14 . 47 14 . 47 100 0 14 . 147 14 . 47
0 100 14 . 47 14 . 47 0 0 14 . 47 14 . 147
10
3
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640           
(9) 
 
In the present case, the displacements 
1
u and 
2
u are not known. All other 
displacements are zero. Also 0
2 1
= = p p (as no joint loads are applied).Thus, 
 
                                                         
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0 0 14 . 47 14 . 47 0 0 14 . 47 14 . 47
0 0 0 0 100 0 100 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 14 . 47 14 . 47 100 0 14 . 147 14 . 47
0 100 14 . 47 14 . 47 0 0 14 . 47 14 . 147
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Thus unknown displacements are 
 
1
1
3
2
147.14 47.14 0 1
1
(150.82 )
47.14 147.14 0 1 10
u
u
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    (11) 
 
4
1
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2
7.763 10
7.763 10
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um
-
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=×
 
 
Now reactions are calculated as 
 
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0 0 14 . 47 14 . 47 0 0
0 0 0 0 100 0
0 0 0 0 0 0
0 0
0 100
14 . 47 14 . 47
14 . 47 14 . 47
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p
p
 
 
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The support reactions are shown in Fig.26.2c.The member forces can be easily 
calculated from reactions. The member end forces can also be calculated by 
using equation (26.10a) and (26.10b). For example, for member (1), 
o
0 = ? 
100 10
3 '
2
× = p [] 0 1 0 1 - 4
4
0
0
7.763 10
7.763 10
-
-
? ?
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? ?
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×
? ?
? ?
×
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    (13) 
      = 77.763 kN. Thus the member (1) is in tension. 
 
Member (2) 
o
45 = ? 
281 . 94 10
3 '
2
× = p [-0.707 -0.707 0.707 0.707]
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10 2942 . 3
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kN. 78 . 109
2
- = ' p 
 
Thus member (2) is in compression 
 
 
 
                                                         
Example  26.2  
Analyze the truss shown in Fig.26.3a, if the member BC is made 0.01m too short 
before placing it in the truss. Assume AE=300 kN for all members. 
 
 
                                                         
 
 
Solution 
A similar truss with different boundary conditions has already been solved in 
example 25.1. For the sake of completeness the member of nodes and members 
are shown in Fig.26.3b.The displacements 
6 5 4 3
, , , u u u u ,
7
u and 
8
u are zero due to 
boundary conditions. For the present problem the unconstrained degrees of 
freedom are 
1
u and 
2
u .The assembled stiffness matrix is of the order 8 8 × and is 
available in example 25.1. 
In the given problem the member (2) is short by 0.01m.The forces developed in 
member (2) in the global coordinate system due to fabrication error is 
 
()
()
()
()
()
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
-
-
-
=
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
sin
cos
sin
cos
4
01 . 0
0 2
0 1
0 4
0 3
AE
p
p
p
p
 
            =
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
-
75 . 0
0
75 . 0
0
kN        (1) 
Now force-displacement relations for the truss are  
 
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