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Miscellaneous Exercise
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Miscellaneous Exercise
Class XI Chapter 13 – Limits and Derivatives Maths
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0
1
0
lim 1 1
1 1 1
Let . Accordingly, f x+h
By first principle,
' lim
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1 1 1
lim
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h x h x
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h x x h
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(iii) Let f(x) = sin (x + 1). Accordingly, f x+h sin 1
By first principle,
' lim
1
lim sin 1 sin 1
1 1 1 1 1
lim 2cos sin
22
h
h
h
xh
f x h f x
fx
h
x h x
h
x h x x h x
h
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22
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x h h
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Miscellaneous Exercise
Class XI Chapter 13 – Limits and Derivatives Maths
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0
1
0
lim 1 1
1 1 1
Let . Accordingly, f x+h
By first principle,
' lim
h
h
ii f x x
x x x h
f x h f x
fx
h
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0
1 1 1
lim
1 1 1
lim
1
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h x h x
h x h x
x x h
h x x h
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1
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1
lim
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x x h
h x x h
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h x x h
x x h
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0
0
(iii) Let f(x) = sin (x + 1). Accordingly, f x+h sin 1
By first principle,
' lim
1
lim sin 1 sin 1
1 1 1 1 1
lim 2cos sin
22
h
h
h
xh
f x h f x
fx
h
x h x
h
x h x x h x
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lim 2cos sin
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x h h
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Class XI Chapter 13 – Limits and Derivatives Maths
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1 2 2 1 2
lim cos .lim [ 0 0]
22
2
h h
h
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cos .1 lim 1
2
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(iv) Let f x =cos x- . Accordingly, f x+h cos
88
By first principle,
' lim
h
h
xx
x
x
xh
f x h f x
fx
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x h x
x h x
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h
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h
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h
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h
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8
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Miscellaneous Exercise
Class XI Chapter 13 – Limits and Derivatives Maths
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0
1
0
lim 1 1
1 1 1
Let . Accordingly, f x+h
By first principle,
' lim
h
h
ii f x x
x x x h
f x h f x
fx
h
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1 1 1
lim
1
lim
h
h
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h x h x
h x h x
x x h
h x x h
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lim
1
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h x x h
h
h x x h
x x h
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(iii) Let f(x) = sin (x + 1). Accordingly, f x+h sin 1
By first principle,
' lim
1
lim sin 1 sin 1
1 1 1 1 1
lim 2cos sin
22
h
h
h
xh
f x h f x
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h
x h x
h
x h x x h x
h
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Class XI Chapter 13 – Limits and Derivatives Maths
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0
0
2
sin
1 2 2 1 2
lim cos .lim [ 0 0]
22
2
h h
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cos .1 lim 1
2
cos 1
(iv) Let f x =cos x- . Accordingly, f x+h cos
88
By first principle,
' lim
h
h
xx
x
x
xh
f x h f x
fx
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1 88
88
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x h x
x h x
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2
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h
h
h
xh
h
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lim sin .lim As h 0 0
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sin .1
2
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h
xh
h
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sin
8
x
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Class XI Chapter 13 – Limits and Derivatives Maths
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Question 2:
Find the derivative of the following functions (it is to be understood that a, b, c, d, p, q, r and s
are fixed non-zero constants and m and n are integers): (x + a)
Solution 2:
Let f(x) = x + a. Accordingly, f(x + h) = x + h + a
By first principle,
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0
0
0
0
' lim
lim
lim
lim 1
1
h
h
h
h
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h
h
h
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Question 3:
Find the derivative of the following functions (it is to be understood that a, b, c, d, p, q, r and s
are fixed non- zero constants and m and n are integers):
? ?
r
px q s
x
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Solution 3:
Let f(x) =
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r
px q s
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By Leibnitz product rule,
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1
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Miscellaneous Exercise
Class XI Chapter 13 – Limits and Derivatives Maths
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0
1
0
lim 1 1
1 1 1
Let . Accordingly, f x+h
By first principle,
' lim
h
h
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x x x h
f x h f x
fx
h
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0
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0
1 1 1
lim
1 1 1
lim
1
lim
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h
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h x h x
h x h x
x x h
h x x h
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1
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1
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h
h x x h
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0
(iii) Let f(x) = sin (x + 1). Accordingly, f x+h sin 1
By first principle,
' lim
1
lim sin 1 sin 1
1 1 1 1 1
lim 2cos sin
22
h
h
h
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f x h f x
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lim 2cos sin
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h
xh
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Class XI Chapter 13 – Limits and Derivatives Maths
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0
2
sin
1 2 2 1 2
lim cos .lim [ 0 0]
22
2
h h
h
x h h
As h
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0
0
2 0 2 sin
cos .1 lim 1
2
cos 1
(iv) Let f x =cos x- . Accordingly, f x+h cos
88
By first principle,
' lim
h
h
xx
x
x
xh
f x h f x
fx
h
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1
lim cos cos
88
1 88
88
lim 2sin sin
22
h
h
x h x
h
x h x
x h x
h
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1
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lim 2sin sin
22
sin
2
2
4
lim sin
2
2
h
h
xh
h
h
h
xh
h
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sin
2
h 2
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lim sin .lim As h 0 0
22
2
20
4
sin .1
2
hh
h
xh
h
x
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sin
8
x
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Class XI Chapter 13 – Limits and Derivatives Maths
______________________________________________________________________________
Question 2:
Find the derivative of the following functions (it is to be understood that a, b, c, d, p, q, r and s
are fixed non-zero constants and m and n are integers): (x + a)
Solution 2:
Let f(x) = x + a. Accordingly, f(x + h) = x + h + a
By first principle,
? ?
? ? ? ?
? ?
0
0
0
0
' lim
lim
lim
lim 1
1
h
h
h
h
f x h f x
fx
h
x h a x a
h
h
h
?
?
?
?
??
?
? ? ? ?
?
??
?
??
??
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?
Question 3:
Find the derivative of the following functions (it is to be understood that a, b, c, d, p, q, r and s
are fixed non- zero constants and m and n are integers):
? ?
r
px q s
x
??
??
??
??
Solution 3:
Let f(x) =
? ?
r
px q s
x
??
??
??
??
By Leibnitz product rule,
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? ?
1
2
2
'
rr
f x px q s s px q
xx
r
px q rx s s p
x
r
px q rx s p
x
rr
px q s p
xx
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Class XI Chapter 13 – Limits and Derivatives Maths
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2
2
pr qr pr
ps
x x x
qr
ps
x
?
? ? ? ?
??
Question 4:
Find the derivative of the following functions (it is to be understood that a, b, c, d, p, q, r and s
are fixed nonzero constants and m and n are integers): (ax + b) (cx + d)
2
Solution 4:
Let ? ? ? ? ' f x ax b ?? ? ?
2
cx d ?
By Leibnitz product rule,
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? ? ? ? ? ? ? ?
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22
2
2 2 2
2
2 2 2
2
2
2
'
2
2
22
2
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f x ax b cx d cx d ax b
dx dx
dd
ax b c x cdx d cx d ax b
dx dx
d d d d d
ax b c x cdx d cx d ax b
dx dx dx dx dx
ax b c x cd cx d a
c ax b cx d a cx d
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Question 5:
Find the derivative of the following functions (it is to be understood that a, b, c, d, p, q, r and s
are fixed non
zero constants and m and n are integers):
ax b
cx d
?
?
Solution 5:
Let f(x) =
ax b
cx d
?
?
By quotient rule,
? ?
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? ?
2
'
dd
cx d ax b ax b cx d
dx dx
fx
cx d
? ? ? ? ?
?
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