चिकनापन के माप, व्यवसाय गणित और सांख्यिकी | SSC CGL Tier 2 - Study Material, Online Tests, Previous Year (Hindi) PDF Download

खिचाव का माप

अंकगणित में, हम प्रबंधन, अवलोकन और सामान्यतः बड़े संख्यात्मक डेटा की गणना का अध्ययन करते हैं। एक सर्वेक्षण या अनुसंधान के सांख्यिकीय विश्लेषण में, एक शोधकर्ता को वितरण, केंद्रीय प्रवृत्ति, फैलाव आदि के बारे में जानकारी होनी आवश्यक है। यह जानना भी आवश्यक है कि दिए गए डेटा सेट की विविधता और स्थिति क्या होगी। इसमें डेटा के खिचाव का माप शामिल है, क्योंकि सभी दिए गए डेटा वितरण सममित नहीं होते हैं।

महत्वपूर्ण

खिचाव यह मापता है कि वितरण कितना असममित है। हम कह सकते हैं कि खिचाव डेटा की असममितता का माप है। यह यह भी निर्धारित करता है कि डेटा बाएं या दाएं खिचा हुआ है। खिचाव का माप कई क्षेत्रों में उपयोग किया जाता है। हम जानते हैं कि एक सामान्य वितरित डेटा, अपने औसत के चारों ओर सममित कहा जाता है। इसका खिचाव शून्य के बराबर होता है। लेकिन आमतौर पर, वितरण सममित नहीं होते हैं।

इसलिए, खिचाव का विश्लेषण अनिवार्य हो जाता है, क्योंकि यह औसत स्थिति से विचलनों को परिभाषित करता है। असममित या खींचा हुआ डेटा औसत के चारों ओर एक उत्तम दर्पण छवि नहीं है। खिचाव के माप से, कोई यह निर्धारित कर सकता है कि औसत, माध्यिका और बहुलक एक दूसरे से कैसे जुड़े हुए हैं। चलिए इस पृष्ठ पर आगे बढ़ते हैं और खिचाव, इसके माप और अनुप्रयोगों के बारे में विस्तार से सीखते हैं।

परिभाषा

झुकाव का माप असमानता या सममिति की कमी के स्तर को निर्धारित करता है। जब किसी वितरण का ग्राफ केंद्र स्थिति के चारों ओर दाएं और बाएं समान नहीं दिखता है, तो उसे असमान माना जाता है। अधिक सांख्यिकी भाषा में, झुकाव यह मापता है कि किसी दिए गए वास्तविक मान वाले यादृच्छिक चर का संभावना वितरण औसत के चारों ओर कितना असमान है। जब अवलोकनों की संख्या कम होती है, तो दिए गए डेटा में झुकाव को देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए: जब संख्याएँ 9, 10, 11 दी जाती हैं, तो हम आसानी से देख सकते हैं कि ये मान औसत 10 के चारों ओर समान रूप से वितरित हैं। लेकिन यदि हम एक संख्या 5 जोड़ते हैं, जिससे डेटा 5, 9, 10, 11 हो जाता है, तो हम कह सकते हैं कि वितरण सममित नहीं है या यह झुका हुआ है। झुकाव को ग्राफ को देखकर देखा जा सकता है। झुकाव का माप दो प्रकार का हो सकता है: सकारात्मक झुकाव और नकारात्मक झुकाव।

सकारात्मक झुकाव: जब दिए गए वितरण का ध्यान ग्राफ में बाईं ओर केंद्रित होता है, तो इसे सकारात्मक झुकाव कहा जाता है। निम्नलिखित वक्र में, हम आसानी से देख सकते हैं कि दाईं पूंछ बड़ी है। इसे दाईं ओर झुका हुआ वितरण कहा जा सकता है।

नकारात्मक झुकाव: यदि ग्राफ में, वक्र का ध्यान दाईं ओर अधिक है या बाईं पूंछ बड़ी है, तो दिए गए वितरण को बाईं ओर झुका हुआ या नकारात्मक झुकाव वाला कहा जाएगा। यह निम्नलिखित चित्र में दिखाया गया है:

सूत्र

आंकड़ों की स्क्यूनेस के विभिन्न माप होते हैं। एकल चर डेटा के लिए, स्क्यूनेस के माप का सूत्र निम्नलिखित है:

जहाँ, xi = दिए गए अवलोकन = mean s = standard deviation n = अवलोकनों की संख्या। सामान्य वितरण के लिए, स्क्यूनेस का माप शून्य होता है। जब स्क्यूनेस नकारात्मक होता है, तो इसका मतलब है कि डेटा बाईं ओर झुका हुआ है। यदि यह सकारात्मक है, तो डेटा को दाईं ओर झुका हुआ कहा जाता है।

पीयरसन का स्क्यूनेस गुणांक

स्क्यूनेस ज्ञात करने की विधि भी कार्ल पीयरसन द्वारा विकसित की गई है। इस विधि को "पीयरसन का स्क्यूनेस गुणांक" कहा जाता है। इस विधि के अनुसार, स्क्यूनेस के माप के लिए दो सूत्र होते हैं। सूत्र है:

जहाँ, $\\bar{x} डेटा का mean दर्शाता है, s standard deviation है और Mo दिए गए नमूने के लिए mode को दर्शाता है।

यह सूत्र mode का उपयोग करता है, इसलिए इसे "पीयरसन मोड स्क्यूनेस" कहा जाता है। एक और सूत्र है जो median का उपयोग करता है और अंततः इसे "पीयरसन मीडियन स्क्यूनेस" कहा जाता है। यह सूत्र निम्नलिखित है:

जहाँ, Md median के लिए खड़ा है और सभी अन्य प्रतीक ऊपर के अनुसार हैं। इन सूत्रों का उपयोग दिए गए मानों के अनुसार किया जाता है, अर्थात जब mode ज्ञात होता है, तब पीयरसन मोड स्क्यूनेस का उपयोग किया जाता है और जब median दिया होता है, तब पीयरसन मीडियन स्क्यूनेस लागू होता है।

M3 = दिए गए डेटा का तीसरा क्षण है और इसे निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है:

M2 = डेटा का दूसरा क्षण या variance है जिसे निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके मापा जाता है:

अनुप्रयोग

skewness (झुकाव) का माप बहुत सामान्यतः लागू किया जाता है, क्योंकि झुकी हुई डेटा विभिन्न परिस्थितियों में अक्सर देखी जाती है। वाणिज्य में, जब आय दाएं या बाएं झुकी होती है, तो skewness को बहुत बार मापना पड़ता है। दूसरी ओर, कुछ वस्तु जैसे की ट्यूब लाइट के जीवनकाल का वर्णन करने वाले डेटा का झुकाव दाएं की ओर होता है। सबसे छोटा जीवनकाल शून्य हो सकता है, जबकि लंबे समय तक चलने वाली ट्यूब लाइट्स वितरण को सकारात्मक झुकाव प्रदान करती हैं।