परिचय और उदाहरण: संख्या श्रृंखला | General Intelligence & Reasoning for RRB NTPC (Hindi) - RRB NTPC/ASM/CA/TA PDF Download

संख्याओं की श्रृंखला क्या है?

एक श्रृंखला अनौपचारिक रूप से संख्याओं का एक समूह है। यह एक अनुक्रम के पदों का योग है। सीमित पद और श्रृंखलाएँ पहले और अंतिम पद द्वारा परिभाषित होती हैं, जबकि अनंत श्रृंखला समाप्त नहीं होती है।

• संख्या श्रृंखला एक प्रकार की श्रृंखला है जिसमें विशेष संख्याएँ विशेष क्रम में होती हैं और अनुपस्थित संख्याओं को खोजना होता है। आजकल, संख्या श्रृंखला हर सरकारी परीक्षा का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है, विशेषकर बैंक परीक्षाओं में। यह उच्च वजन रखती है।
• एक श्रृंखला को विशेष संख्या श्रृंखला के ट्रिक्स, सूत्रों और व्यक्ति के दृष्टिकोण द्वारा हल किया जाता है। परीक्षा में विभिन्न प्रकार की श्रृंखलाएँ होती हैं। श्रृंखला प्राकृतिक संख्याओं, पूर्ण संख्याओं, निरंतर संख्याओं आदि के कई प्रकार की हो सकती है। एक अनुक्रम को एक विशेष क्रम में तत्वों की सूची के रूप में वर्णित किया जाता है।

संख्या श्रृंखला के प्रकार

संख्या श्रृंखला के कई प्रकार उपलब्ध हैं:

• (i) पूर्णांक संख्या अनुक्रम: संख्या श्रृंखला को हल करने के लिए विशेष सूत्र और ट्रिक्स होती हैं। प्रत्येक संख्या श्रृंखला प्रश्न को एक विशेष तरीके से हल किया जाता है। यह श्रृंखला वास्तविक संख्याओं, दशमलवों और भिन्नों का अनुक्रम है। इस श्रृंखला का एक उदाहरण है 1, 3, 5, 9... आदि, जिसमें अगले में क्या आना चाहिए, इसे संख्या श्रृंखला शॉर्टकट ट्रिक्स द्वारा हल किया जाता है।
• (ii) यथार्थ संख्या अनुक्रम: ये वे संख्याएँ हैं जिन्हें भिन्न या भागफल के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ अंश और हर दोनों पूर्णांक होते हैं। इस श्रृंखला का एक उदाहरण है ½, ¾, 1.75 और 3.25।
• (iii) अर्थमैटिक अनुक्रम: यह एक गणितीय अनुक्रम है जिसमें अगला पद अपने पूर्ववर्ती में एक स्थिरांक जोड़कर उत्पन्न होता है। इसे गणित द्वारा दिए गए विशेष सूत्र Xn = x1 (n – 1)d द्वारा हल किया जाता है। इस श्रृंखला का एक उदाहरण है 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, जिसमें 5 को इसके अगले नंबर में जोड़ा जाता है।

गणितीय अनुक्रम: यह एक अनुक्रम है जिसमें एक निश्चित गुणांक से अगले पद की गणना की जाती है, जिसे गुणन के माध्यम से प्राप्त किया जाता है। इस श्रृंखला का सूत्र है Xn = x1 rn-1। इस प्रकार के संख्यात्मक अनुक्रम का एक उदाहरण निम्नलिखित हो सकता है: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, जिसमें 2 के गुणांक मौजूद हैं।

वर्ग संख्या: इन्हें पूर्ण वर्ग भी कहा जाता है, जिसमें एक पूर्णांक उस पूर्णांक के साथ स्वयं के गुणन का परिणाम होता है। सूत्र = Xn = n2। इस प्रकार के संख्यात्मक अनुक्रम का एक उदाहरण निम्नलिखित हो सकता है: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ..

घन संख्या: यह वर्ग संख्याओं की तरह ही होती हैं, लेकिन इन श्रंखलाओं में एक पूर्णांक उस पूर्णांक के तीन बार गुणन का परिणाम होता है। सूत्र = Xn = n3। उदाहरण:- 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, …

फिबोनाच्ची श्रृंखला: यह एक अनुक्रम है जिसमें अगला पद पिछले दो पदों का जोड़ होता है। सूत्र = F0 = 0, F1 = 1, Fn = Fn-1 + Fn-2। इस प्रकार के संख्यात्मक अनुक्रम का एक उदाहरण निम्नलिखित हो सकता है: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

संख्यात्मक श्रृंखला के लिए शॉर्टकट - ट्रिक्स

संख्यात्मक श्रृंखला पहेलियाँ विभिन्न गणितीय ट्रिक्स द्वारा हल की जा सकती हैं। सबसे पहले प्रत्यक्ष सूत्रों की जांच करें जैसे:

• (i) यदि सभी संख्याएँ प्राइम, सम या असाम हैं।
• (ii) यदि सभी संख्याएँ पूर्ण वर्ग या घन हैं।
• (iii) यदि सभी संख्याओं में कोई विशेष भाज्यता है।
• (iv) यदि सभी संख्याएँ किसी विशेष संख्या के द्वारा जोड़ने, घटाने, गुणा करने या भाग देने के माध्यम से क्रम में हैं।

संख्यात्मक श्रृंखला के तरीके एक पेशेवर द्वारा छात्रों को सिखाए जाते हैं ताकि संख्यात्मक श्रृंखला को जल्दी और सही तरीके से हल किया जा सके। अब IBPS परीक्षा के लिए संख्यात्मक श्रृंखला के प्रश्न आते हैं।

1. संख्यात्मक श्रृंखला समस्या को कैसे हल करें? उत्तर: जैसा कि पहले बताया गया, संख्यात्मक श्रृंखला की समस्याएँ कुछ विशेष नियमों के अनुसार तार्किक रूप से हल की जाती हैं। अगली संख्या की भविष्यवाणी करने के लिए विभिन्न तरीकों का उपयोग किया जा सकता है, जैसे जोड़ना, घटाना आदि या विभिन्न शॉर्टकट ट्रिक्स लागू करना।

2. बैंक परीक्षाओं में संख्यात्मक श्रृंखला से संबंधित किस प्रकार के प्रश्न पूछे जाते हैं? उत्तर: बैंक परीक्षाओं में विभिन्न प्रकार के प्रश्न पूछे जाते हैं।

प्रकार I

इस प्रकार की पूछताछ में, संख्याओं की एक श्रृंखला दी जाती है जिसमें एक संख्या गुम होती है, जिसे प्रश्न चिह्न (?) द्वारा दर्शाया गया है। उम्मीदवार को उपलब्ध विकल्पों में से सही विकल्प का चयन करना होता है जो प्रश्न चिह्न के स्थान पर होगा।

दी गई संख्याओं की श्रृंखलाएँ इस प्रकार होंगी कि प्रत्येक संख्या अपने पूर्ववर्ती के अनुसार एक विशेष पैटर्न के अनुसार बढ़ती है। उम्मीदवारों को यह पता लगाना होता है कि श्रृंखला का निर्माण किस प्रकार किया गया है और फिर व्यवस्था को पूरा करने के लिए संख्या ज्ञात करनी होती है।

उदाहरण 1:
(i) 30, 34, 43, 59, 84, 120,?
(a) 169
(b) 148
(c) 153
(d) 176
(e) इनमें से कोई नहीं
उत्तर: (a)
समाधान: यह श्रृंखला 4, 9, 16, 25 आदि के पैटर्न का अनुसरण करती है। इसलिए, अंत में 120 + 49 = 169।

(ii) 40, 54, 82, ?, 180, 250
(a) 142
(b) 124
(c) 136
(d) 163
(e) इनमें से कोई नहीं
उत्तर: (b)
समाधान: मान लेते हैं कि गुम संख्या P है। दी गई श्रृंखला 40, 54, 82, P, 180, 250 है। चलिए श्रृंखला में संख्याओं के बीच के संबंध पर ध्यान देते हैं। संख्याएँ बढ़ती क्रम में हैं। इसलिए 82 < p="" />< 180।="" पहले="" और="" दूसरे="" संख्या="" के="" बीच="" का="" अंतर="" है="" 54="" –="" 40="14।" दूसरे="" और="" तीसरे="" संख्या="" के="" बीच="" का="" अंतर="" है="" 82="" –="" 54="28।" तीसरी="" और="" चौथी="" संख्याओं="" के="" बीच="" का="" अंतर="" p="" –="" 82="" है।="" चौथी="" और="" पांचवी="" संख्याओं="" के="" बीच="" का="" अंतर="" 180="" –="" p="" है।="" श्रृंखला="" की="" अंतिम="" दो="" संख्याओं="" के="" बीच="" का="" अंतर="" 250="" –="" 180="70" है।="" यदि="" हम="" इन="" अंतरालों="" पर="" ध्यान="" दें,="" तो="" ये="" 14="" के="" गुणांक="" हैं।="" पहला="" अंतर="" 14="" है।="" दूसरा="" अंतर="" 14="" ×="" 2="28" है।="" पांचवा="" अंतर="" 14="" ×="" 5="70" है।="" ⇒="" तीसरा="" अंतर="" होगा="" p="" −="" 82="14" ×="" 3="" ⇒="" p="" −="" 82="42" ⇒="" p="42" +="" 82="" ∴="" गुम="" मान="" p="124" />

(iii) 222, 350, 520, ? (a) 728 (b) 729 (c) 738 (d) 741 (e) इनमें से कोई नहीं उत्तर: (c) समाधान। हमें इस श्रृंखला के अनुक्रम इस प्रकार प्राप्त होते हैं ⇒ 222 = 63 6 ⇒ 350 = 73 7 ⇒ 520 = 83 8 ⇒ ? = 93 9 ⇒ ? = 729 9 ⇒ ? = 738

(iv) 1, 3, 7, 15, 31, ? (a) 63 (b) 64 (c) 53 (d) 74 (e) इनमें से कोई नहीं उत्तर: (a) समाधान। दिए गए श्रृंखला के अनुक्रम इस प्रकार हैं ⇒ 21 – 1 = 1 ⇒ 22 – 1 = 3 ⇒ 23 – 1 = 7 ⇒ 24 – 1 = 15 ⇒ 25 – 1 = 31 ⇒ ? = 26 – 1 = 63

प्रकार II

इसमें हमें संख्या का एक अनुक्रम दिया गया है। पूरा अनुक्रम, विषम संख्या को छोड़कर, एक निश्चित नियम का पालन करता है। आपको उस संख्या की खोज करनी है जो इस नियम का पालन नहीं करती है।

उदाहरण 2. (i) 0, 1, 3, 8, 18, 35, 264 (a) 62 (b) 35 (c) 18 (d) 8 (e) इनमें से कोई नहीं उत्तर: (a) समाधान। पैटर्न है (02 1), (12 1), (22 1), (32 1), (42 1), (52 1) इसलिए, 264 गलत है और इसे 35 (52 1) = 62 से बदला जाना चाहिए।

(ii) 1, 9, 125, 49, 729, 121, 2147 (a) 2147 (b) 729 (c) 125 (d) 1 (e) इनमें से कोई नहीं उत्तर: (a) समाधान। 13 = 1 32 = 9 53 = 125 72 = 49 93 = 729 112 = 121 133 = 2197 इसलिए विषम संख्या 149 और 2147 है।

(iii) 1050, 510, 242, 106, 46, 16, 3 (a) 510 (b) 242 (c) 106 (d) 46 (e) इनमें से कोई नहीं उत्तर: (c) समाधान। (1050 – 30)/2 = 510 (510 – 26)/2 = 242 (242 – 22)/2 = 110 (110 – 18)/2 = 46 (46 – 14)/2 = 16 (16 – 10)/2 = 3 ∴ 110 को 106 के स्थान पर होना चाहिए।

संख्यात्मक श्रृंखला के पिछले प्रश्नों में पूछे गए कुछ प्रश्न

संख्यात्मक श्रृंखला के पिछले प्रश्न पत्रों में पूछे गए कुछ प्रश्न

निर्देश: इन प्रश्नों में एक संख्यात्मक श्रृंखला दी गई है। प्रत्येक श्रृंखला में एक अद्वितीय संख्या गलत है। गलत संख्या का पता लगाएँ। (IBPS CWE PO/MT परीक्षा 2012) प्रश्न: 5531, 5506, 5425, 5304, 5135, 4910, 4621 (क) 5531 (ख) 5425 (ग) 4621 (घ) 5135 (ङ) 5506 उत्तर: (क) समाधान। 5531 - 52 = 5506 5506 - 92 = 5425 5425 - 112 = 5304 5134 - 132 = 5135 5135 - 152 = 4910 4910 - 172 = 4621 5531 के बाद प्रत्येक संख्या का अंतर एक वर्ग है। इसलिए 5531 गलत संख्या है।

(ii) 6, 7, 9, 13, 26, 37, 69 (क) 7 (ख) 26 (ग) 69 (घ) 37 (ङ) 9 उत्तर: (ख) समाधान। संख्या 26 के स्थान पर 21 होनी चाहिए।

(iii) 1, 3, 10, 36, 152, 760, 4632 (क) 3 (ख) 36 (ग) 4632 (घ) 760 (ङ) 152 उत्तर: (घ) समाधान। (1 x 1) 2 = 3 (3 x 2) 4 = 10 (10 x 3) 6 = 36 (36 x 4) 8 = 152 (152 x 5) 10 = 770 (770 x 6) 12 = 4632 इसलिए गलत संख्या 760 है।

(iv) 4, 3, 9, 34, 96, 219, 435 (क) 4 (ख) 9 (ग) 34 (घ) 435 (ङ) 219 उत्तर: (क) समाधान। 02 4 = 4 12 2 = 3 32 0 = 9 62 - 2 = 34 102 - 4 = 96 152 - 6 = 219 212 - 8 = 433 ≠ 435

(v) 157.5, 45, 15, 6, 3, 2, 1 (क) 1 (ख) 2 (ग) 6 (घ) 157.5 (ङ) 45 उत्तर: (क) समाधान। संख्या 1 के स्थान पर 2 होनी चाहिए।

संख्यात्मक श्रृंखलाओं के विभिन्न प्रकार

कुछ प्रारूप की श्रृंखलाएँ हैं जो परीक्षा में दी जाती हैं।

• पूर्ण वर्ग श्रृंखला: यह श्रृंखला एक संख्या के वर्ग पर आधारित होती है जो एक ही क्रम में होती है और उस दिए गए श्रृंखला में एक वर्ग संख्या गायब होती है। उदाहरण: (i) 841, ?, 2401, 3481, 4761 उत्तर: 292, 392, 492, 592, 692 (ii) 1, 9, 25, ?, 81, 121 उत्तर: 12, 32, 52, 72, 92, 112 (iii) 289, 225, 169, ?, 81 उत्तर: 172, 152, 132, 112, 92
• पूर्ण घन श्रृंखला: यह श्रृंखला एक संख्या के घन पर आधारित होती है जो एक ही क्रम में होती है और उस दिए गए श्रृंखला में एक घन संख्या गायब होती है। उदाहरण: (i) 3375, ?, 24389, 46656, 79507 उत्तर: 153, 223, 293, 363, 433 (प्रत्येक घन संख्या में सात जोड़कर अगली घन संख्या बनती है) (ii) 729, 6859, 24389, ?, 117649, 205379 उत्तर: 93, 193, 293, 393, 493, 593 (iii) 1000, 8000, 27000, 64000, ? उत्तर: 103, 203, 303, 403, 503
• अनुपात श्रृंखला: यह श्रृंखला अनुपात श्रृंखला पर आधारित होती है, जहाँ संख्याओं के बीच का अंतर अनुपात के रूप में होता है। सभी संख्याएँ अनुपात अनुक्रम क्रम में व्यवस्थित होती हैं।
• ज्यामितीय श्रृंखला: यह श्रृंखला संख्याओं के आरोही या अवरोही क्रम पर आधारित होती है और प्रत्येक निरंतर संख्या पिछले संख्या को स्थिर संख्या से गुणा या भाग देकर प्राप्त की जाती है। उदाहरण: (i) 3, ?, 45, 144, 585 उत्तर: 3 x 0 9 = 9, 9 x 1 9 = 18, 18 x 2 9 = 45, 45 x 3 9 = 144, 144 x 4 9 = 585। (ii) 5, 45, 405, 3645, ? उत्तर: 5 x 9 = 45, 45 x 9 = 405, 405 x 9 = 3645, 3645 x 9 = 32805। (iii) 73205, 6655, 605, 55, ? उत्तर: 5 x 11 = 55, 55 x 11 = 605, 605 x 11 = 6655, 6655 x 11 = 73205।
• दो चरण प्रकार श्रृंखला: एक दो चरणीय अंकगणितीय श्रृंखला एक ऐसी श्रृंखला होती है जिसमें अंकगणितीय श्रृंखला का निर्माण लगातार संख्याओं के अंतर से होता है। उदाहरण: (i) 3, 9, 18, 35, 58,...... (ii) 6, 9, 17, 23,......
• मिश्रित श्रृंखला: इस प्रकार की श्रृंखला में एक से अधिक भिन्न क्रम होते हैं, जो एकल श्रृंखला में वैकल्पिक रूप से व्यवस्थित होते हैं। इस मिश्रित श्रृंखला के उदाहरण अलग से वर्णित किए गए हैं।