संक्षेप और उदाहरण: संख्या श्रृंखला | General Intelligence & Reasoning for RRB NTPC (Hindi) - RRB NTPC/ASM/CA/TA PDF Download

संख्यात्मक श्रृंखला प्रतियोगी परीक्षाओं में एक महत्वपूर्ण विषय है, जिसमें इस खंड के लिए विशेष रूप से पाँच प्रश्न समर्पित होते हैं। यह विभिन्न परीक्षाओं में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। प्रतियोगी परीक्षाओं की तैयारी करने वाले उम्मीदवार विभिन्न प्रकारों और संख्यात्मक श्रृंखलाओं के पैटर्न को समझकर केवल 2-3 मिनट में 4-5 अंक प्राप्त कर सकते हैं।

संख्यात्मक श्रृंखला क्या है?

• संख्यात्मक श्रृंखला एक प्रकार की अनुक्रम है, जहाँ कुछ संख्याओं को गलती से संख्याओं की श्रृंखला में डाला गया है और कुछ संख्या उस श्रृंखला में गायब है। हमें पहले अवलोकन करना होता है और फिर उस श्रृंखला के लिए सटीक संख्या का पता लगाना होता है।
• प्रश्न ऐसे भी हो सकते हैं जहाँ आपको श्रृंखला के निरंतरता का निर्धारण करना होता है या श्रृंखला का तुरंत अगला पद ढूँढना होता है। अनुक्रम उन संख्याओं की सूची है जो एक विशेष क्रम में लिखी जाती हैं।

संख्यात्मक श्रृंखला के सामान्य प्रकार

प्रकार 1: जोड़ना / घटाना या गुणा करना / भाग देना

ये श्रृंखलाएँ सम या विषम संख्याओं के जोड़ने या घटाने के पैटर्न का पालन करती हैं।

उदाहरण 1: निम्नलिखित श्रृंखला में प्रश्न चिह्न के स्थान पर क्या आना चाहिए: 19, 23, 39, 75, ?, 239।

• संख्यात्मक श्रृंखला को हल करने का सबसे सामान्य तरीका दो निकटवर्ती संख्याओं के बीच के अंतर को चेक करना है, लेकिन अंतर केवल जोड़ने/घटाने की ओर नहीं ले जा सकता, बल्कि यह गुणा/भाग के साथ भी हो सकता है। इसलिए, यह देखने के लिए कि बढ़ती श्रृंखला में जोड़ने या गुणा करने के बारे में सोचना चाहिए, पहले और अंतिम संख्या के बीच के अंतर की मदद से मान लेना चाहिए।
• यदि अंतर पहले और अंतिम संख्या को बनाने के लिए उपयोग किए गए कदमों की संख्या के अनुसार कम लगता है, तो हमें जोड़ने की जाँच करनी चाहिए। यदि अंतर बड़ा या बहुत बड़ा लगता है, तो हमें निकटवर्ती संख्याओं के बीच गुणा करने की ट्रिक की जाँच करनी चाहिए।

उदाहरण 1 में, ऊपर दिए गए, पहले संख्या (19) और अंतिम संख्या (239) के बीच का अंतर 220 है।

अब एक प्रश्न उठता है कि हम यह कैसे मानेंगे कि अंतर अधिक है या कम। हम इसे पहले संख्या से अंतिम संख्या तक पहुँचने के लिए आवश्यक चरणों की संख्या को ध्यान में रखकर मानेंगे। उदाहरण 1 में, 19 को 239 में पहुँचने के लिए पांच चरण लगते हैं, क्योंकि उनके बीच में चार और संख्याएँ हैं, जिनमें से हमें एक का पता लगाना है। 19 और 239 के बीच का 220 का अंतर पांच चरणों में, इस तरह की बढ़ती श्रृंखला में गुणन के मुकाबले जोड़ने को प्राथमिकता देते हुए तार्किक रूप से प्राप्त होता है।

• 75 + 64 = 139, 139 + 100 = 239, 139 सही उत्तर है।

उदाहरण 2: निम्नलिखित श्रृंखला में प्रश्न चिह्न के स्थान पर क्या आना चाहिए: 10, 31, 95, 288, ?, 2609।

जैसा कि हम ऊपर के उदाहरण में देख सकते हैं, पहले संख्या (10) और अंतिम संख्या (2609) के बीच का अंतर 2599 है, जो हमें संख्याओं के बीच गुणन की चाल को जांचने का संकेत देता है।

(288 × 3) + 4 = 868, सही उत्तर है।

नोट: गुणन की चाल की जांच करते समय हमेशा श्रृंखला के दाहिने छोर से शुरू करें।

उदाहरण 3: निम्नलिखित श्रृंखला में प्रश्न चिह्न के स्थान पर क्या आना चाहिए: 30, 34, 43, 59, 84, 120, ?। (क) 169 (ख) 148 (ग) 153 (घ) 176 (ङ) इनमें से कोई नहीं

सही उत्तर विकल्प (क) है। दिए गए पैटर्न हैं:

4, 9, 16, 25 आदि। तो, गायब संख्या 169 = 120 + 49 है।

उदाहरण 4: निम्नलिखित श्रृंखला में प्रश्न चिह्न के स्थान पर क्या आना चाहिए: 40, 54, 82, ?, 180, 250। (क) 142 (ख) 124 (ग) 136 (घ) 163 (ङ) इनमें से कोई नहीं

सही उत्तर विकल्प (c) है। पैटर्न है: 14, 28, 42, 56, 70 इसलिए, गायब संख्या 82 है। 42 = 124

उदाहरण 5: नीचे दी गई श्रृंखला में गलत संख्या खोजें: 0, 1, 3, 8, 18, 35, 264 (क) 62 (ख) 35 (ग) 18 (घ) 8 (ङ) इनमें से कोई नहीं

लगातार संख्याओं के बीच में अंतर का एक पैटर्न है:

• 0 - 1 = 1 ← 02
• 1 - 3 = 2 ← 12
• 3 - 8 = 5 ← 22
• 8 - 18 = 10 ← 32
• 18 - 35 = 17 ← 42

अगला अंतर 52 होना चाहिए अर्थात् 26। 35 - 61 = 26 ← 52

इसलिए सही अनुक्रम होगा: 0, 1, 3, 8, 18, 35, 61 और इसलिए, गलत संख्या है: 264

उदाहरण 6: नीचे दी गई श्रृंखला में गलत संख्या खोजें: 5531, 5506, 5425, 5304, 5135, 4910, 4621 (क) 5531 (ख) 5425 (ग) 4621 (घ) 5135 (ङ) 5506

संख्या 5531 के स्थान पर 5555 होनी चाहिए। -72, -92, -112, -132, -152, -172…

उदाहरण 7: नीचे दी गई श्रृंखला में गलत संख्या खोजें: 6, 7, 9, 13, 26, 37, 69 (क) 7 (ख) 26 (ग) 69 (घ) 37 (ङ) 9

सही उत्तर विकल्प (ख) है।

संख्या 26 के स्थान पर 21 होनी चाहिए। पैटर्न है: 1, 2, 4, 8, 16, 32

उदाहरण 8: नीचे दी गई श्रृंखला में गलत संख्या खोजें: 1, 3, 10, 36, 152, 760, 4632 (क) 3 (ख) 36 (ग) 4632 (घ) 760 (ङ) 152

सही उत्तर विकल्प (घ) है।

संख्या 760 के स्थान पर 770 होनी चाहिए। पैटर्न है: ×1 2, ×2 4, ×3 6, ×4 8, ×5 10, ×6 12, …

प्रकार 2: पूर्ण वर्ग या पूर्ण घन

प्रकार 2: पूर्ण वर्ग या पूर्ण घन

प्रश्न: 4, 18, 48, 100, 180, ___।

• यदि प्रकार-1 किसी अनुक्रम में लागू नहीं होता है, तो अगले चरण में हमें दिए गए संख्याओं या उनके अंतर की तुलना स्वाभाविक संख्याओं के वर्ग या घन से करनी चाहिए, जैसा कि ऊपर के उदाहरण में किया गया है। इसलिए, (7)3 - (7)2 = 294, सही उत्तर है।

(क) पूर्ण वर्ग श्रृंखला:

(क) पूर्ण वर्ग श्रृंखला:

यह प्रकार की श्रृंखला एक संख्या के वर्ग पर आधारित होती है जो उसी क्रम में होती है और उस दिए गए श्रृंखला में एक वर्ग संख्या गायब होती है।

उदाहरण 11: निम्नलिखित विकल्पों में, कुछ संख्या श्रृंखलाएँ उपस्थित हैं। इनमें से एक में त्रुटि है, गलत संख्या चुनें:

(क) 3, 9, 15, 21

(ख) 9, 81, 225, 441

(ग) 441, 529, 676, 841

(घ) 900, 841, 784, 729

उत्तर: (ग)

समाधान: पहली श्रृंखला केवल एक ए.पी. है जिसमें सामान्य अंतर 6 है। अब, हम देख सकते हैं कि दूसरी अनुक्रम पूर्ण वर्ग अनुक्रम है। यह श्रृंखला विकल्प (क) में दिए गए श्रृंखला से बनाई जा सकती है। तीसरी श्रृंखला दो-स्तरीय वर्ग श्रृंखला है लेकिन 841 के स्थान पर हमें 900 होना चाहिए। यह गलत श्रृंखला है। अंतिम श्रृंखला भी एक वर्ग श्रृंखला है। इसलिए चार प्रस्तुत विकल्पों में सही विकल्प या गलत श्रृंखला है (ग) 441, 529, 676, 841।

उदाहरण 12: निम्नलिखित श्रृंखला में प्रश्न चिह्न के स्थान पर क्या आना चाहिए: 841, ?, 2401, 3481, 4761 उत्तर: ये संख्याएँ कुछ पूर्णांकों के वर्ग हैं:

292, 392, 492, 592, 692

इसलिए, गायब संख्या 392 = 1521 है।

उदाहरण 13: निम्नलिखित श्रृंखला में प्रश्न चिह्न के स्थान पर क्या आना चाहिए: 1, 9, 25, ?, 81, 121 उत्तर: 12, 32, 52, 72, 92, 112 गायब संख्या 49 है।

उदाहरण 14: निम्नलिखित श्रृंखला में प्रश्न चिह्न के स्थान पर क्या आना चाहिए: 289, 225, 169, ?, 81

उत्तर: 172, 152, 132, 112, 92

अज्ञात संख्या 121 है।

(b) पूर्ण घन श्रृंखला:

यह प्रकार की श्रृंखला एक संख्या के घन पर आधारित होती है जो समान क्रम में होती है और उस दी गई श्रृंखला में एक घन संख्या गायब होती है।

उदाहरण 15: निम्नलिखित श्रृंखला में प्रश्न चिह्न के स्थान पर क्या आना चाहिए: 3375, ?, 24389, 46656, 79507

उत्तर: 153, 223, 293, 363, 433 (प्रत्येक घन अंक को सात जोड़ने पर अगली घन संख्या बनती है)

अज्ञात संख्या 10648 है।

उदाहरण 16: निम्नलिखित श्रृंखला में प्रश्न चिह्न के स्थान पर क्या आना चाहिए: 729, 6859, 24389, ?, 117649, 205379

उत्तर: 93, 193, 293, 393, 493, 593

अज्ञात संख्या 59319 है।

उदाहरण 17: निम्नलिखित श्रृंखला में प्रश्न चिह्न के स्थान पर क्या आना चाहिए: 1000, 8000, 27000, 64000, ?

उत्तर: 103, 203, 303, 403, 503

अज्ञात संख्या 125000 है।

प्रकार 3: गुणनखंड / प्रमुख गुणनखंड

प्रकार 3: गुणनखंड / प्राथमिक गुणनखंड

• यदि प्रकार 1 और प्रकार 2 किसी अनुक्रम में लागू नहीं होते हैं, तो अगले चरण में संख्याओं के गुणनखंड बनाने का प्रयास करना चाहिए।

उदाहरण 18: 6, 15, 35, 77, 143, __। उपरोक्त उदाहरण में, सभी पूर्ववर्ती तकनीकें उत्तर प्राप्त करने के लिए लागू नहीं होती हैं। इसलिए, हम दिए गए संख्याओं के गुणनखंड बनाएंगे। (2, 3, 5, 7, 11, 13) सभी क्रमबद्ध प्राथमिक संख्याएँ हैं। इसलिए, 13*17 = 221, सही उत्तर है।

प्रकार 4: फ़िबोनाच्ची श्रृंखला

प्रकार 4: फ़िबोनाच्ची श्रृंखला

• एक श्रृंखला जिसमें एक संख्या पिछले दो संख्याओं का उपयोग करके बनाई जाती है, उसे फ़िबोनाच्ची श्रृंखला कहा जाता है।

उदाहरण 19: 1, 4, 5, 9, 14, 23, ___ उपरोक्त अनुक्रम में, सभी संख्याएँ पिछले दो संख्याओं का योग हैं। इसलिए, 23 + 14 = 37, सही उत्तर है।

प्रकार 5: अंकों का योग

प्रकार 5: अंकों का योग

उदाहरण 20: उपरोक्त अनुक्रम में, दो अंकों के बीच का अंतर पहले अंक के अंकों का योग है। इसलिए, 89 17 = 106, सही उत्तर है।

उदाहरण 21: सभी अंकों को उनके योग से गुणा किया जाता है या उनके योग से वैकल्पिक रूप से जोड़ा जाता है। इसलिए, 11788 25 = 11813, सही उत्तर है।

प्रकार 6: वैकल्पिक पैटर्न श्रृंखला

• जब प्रश्न में संकेत के रूप में दिए गए अंक अधिक होते हैं या जब कोई प्रश्न श्रृंखला के दो अंकों या एक ही अंक के दो बार आने के बारे में पूछता है, तो ये सभी वैकल्पिक पैटर्न श्रृंखला का संकेत देते हैं।

उदाहरण 22: इसलिए, अंक हैं 12 5 = 17, 53-6 = 47 उत्तर। 17, 47

उदाहरण 23: इसलिए, अंक है 24 3 = 27 उत्तर। 27

प्रकार 7: दशमलव पैटर्न श्रृंखला

जब अनुक्रम के अंक दशमलव रूप में दिए जाते हैं, तो इसे दशमलव पैटर्न श्रृंखला कहा जाता है। उदाहरण 24: इसलिए, उत्तर है 18 * 0.8 = 14.4

उदाहरण 25: 16, 24, 60, 210, 945, __ पैटर्न है: 16 x 1.5 = 24 24 x 2.5 = 60 60 x 3.5 = 210 210 x 4.5 = 945 945 x 5.5 = 5197.5

प्रकार 8: कोष्ठक पैटर्न श्रृंखला

जब हम कोष्ठक पैटर्न का उपयोग करते हैं, तो हम पहले बाहर से गुणा करते हैं और दिए गए संख्या के आधार पर या तो जोड़ते हैं या घटाते हैं।

उदाहरण 26: 3, 28, 180, ____, 3676 पैटर्न है: (3 1)x7 = 28 (28 2)x6 = 180 (180 3)x5 = 915 (915 4)x4 = 3676 उत्तर। 915

उदाहरण 27: 37, 31, 52, 144, __, 2810 पैटर्न है: (37-6)x1=31 (31-5)x2=52 (52-4)x3=144 (144-3)x4=564 (564-2)x5=2810 उत्तर। 564

प्रकार 9: द्वैध पैटर्न श्रृंखला

उदाहरण 28: 15, 9, 8, 12, 36, 170 19, a, b, __, d, e, पैटर्न है: (15-6)x1=9 (9-5)x2=8 (8-4)x3=12 इसी प्रकार: (19-6)x1=13 (13-5)x2=16 (16-4)x3=36 उत्तर। 36

प्रकार 10: फैक्टरियल आधारित श्रृंखला

यह नवीनतम परीक्षा में पूछे गए पैटर्न का प्रश्न है।

उदाहरण 29: उत्तर: 33

उदाहरण 30: उत्तर: 606 721 = 1327

प्रकार 11: अंकगणितीय श्रृंखला

एक श्रृंखला जिसमें अगला पद पिछले पद में एक समान संख्या जोड़ने या घटाने से प्राप्त होता है।

उदाहरण 1: अगला पद खोजें 7, 12, 17, 22, 27, ? समाधान: उपरोक्त श्रृंखला एक अंकगणितीय श्रृंखला है जहाँ प्रत्येक पद में 5 जोड़ा जाता है।

• 12 = 7 + 5
• 17 = 12 + 5
• 22 = 17 + 5
• 27 = 22 + 5

इसलिए अगला पद 27 + 5 = 32 होगा।

उदाहरण 2: गायब पद लिखें 29, 23, 17, 11, ? समाधान: उपरोक्त श्रृंखला एक अंकगणितीय श्रृंखला है जहाँ प्रत्येक पद से 6 घटाया जाता है।

• 29 – 6 = 23
• 23 – 6 = 17
• 17 – 6 = 11

इसलिए अगला पद 11 - 6 = 5 होगा।

प्रकार 11: ज्यामितीय श्रृंखला

एक श्रृंखला जहाँ प्रत्येक अगला संख्या पिछले संख्या को एक विशेष संख्या से गुणा या भाग देकर प्राप्त किया जाता है।

उदाहरण 1: गायब पद खोजें 3, 12, 48, 192, ? समाधान: यहाँ प्रत्येक संख्या को 4 से गुणा किया जाता है।

• 12 = 3 × 4
• 48 = 12 × 4
• 192 = 48 × 4

इसलिए अगला पद 192 × 4 = 768 होगा।

उदाहरण 2: अगला पद खोजें 729, 243, 81, 27, ? समाधान: यहाँ प्रत्येक संख्या को 3 से भाग दिया जाता है।

• 729/3 = 243
• 243/3 = 81
• 81/3 = 27

इसलिए अगला पद 27/3 = 9 होगा।

प्रकार 12: मिश्रित श्रृंखला

एक श्रृंखला जहाँ एकल श्रृंखला में एक से अधिक पैटर्न व्यवस्थित होते हैं।

उदाहरण 1: गायब शब्द खोजें 2, 8, 26, 80, 242, ? समाधान: यहाँ पैटर्न है (x 3 2)।

• 2 x 3 2 = 8
• 8 x 3 2 = 26
• 26 x 3 2 = 80
• 80 x 3 2 = 242

इसलिए गायब शब्द होगा 242 x 3 2 = 728

उदाहरण 2: अगला शब्द खोजें 5, 12, 27, 59, ? समाधान: यहाँ प्रत्येक शब्द को 2 से गुणा किया जाता है और लगातार प्राइम नंबर जोड़े जाते हैं।

• 5 x 2 + 2 = 12
• 12 x 2 + 3 = 27
• 27 x 2 + 5 = 59

इसलिए अगला शब्द होगा 59 x 2 + 7 = 125

प्रकार 13: अंकगणितीय – ज्यामितीय श्रृंखला

यह एक श्रृंखला है जो अंकगणितीय और ज्यामितीय श्रृंखलाओं का संयोजन है।

उदाहरण: अगला शब्द खोजें 3, 5, 10, 12, 24, 26, ? समाधान: यहाँ पैटर्न है (2, x 2, 2, x 2 …..)

• 3 + 2 = 5
• 5 x 2 = 10
• 10 + 2 = 12
• 12 x 2 = 24
• 24 + 2 = 26

इसलिए अगला शब्द होगा 26 x 2 = 52

प्रकार 14: वैकल्पिक श्रृंखला

प्रकार 14: वैकल्पिक श्रृंखला

एक श्रृंखला जहाँ दो श्रृंखलाएँ एकल श्रृंखला में मिलाई जाती हैं।

उदाहरण 1: अगला पद ज्ञात करें 2, 3, 5, 8, 8, 13, 11, ? समाधान: ► यहाँ 2 से शुरू होने वाले वैकल्पिक पद एक गणितीय श्रृंखला बनाते हैं जिसका सामान्य अंतर 3 है। (2, 5, 8, 11) ► इसके अलावा, 3 से शुरू होने वाले वैकल्पिक पद एक अन्य गणितीय श्रृंखला बनाते हैं जिसका सामान्य अंतर 5 है। (3, 8, 13,..)

अतः अगला पद 18 होगा।

उदाहरण 2: अगला पद ज्ञात करें 3, 5, 7, 10, 11, 15, 15, ? समाधान: यहाँ 3 से शुरू होने वाले वैकल्पिक पद एक गणितीय श्रृंखला बनाते हैं जिसका सामान्य अंतर 4 है। (3, 7, 11, 15) इसके अलावा, 5 से शुरू होने वाले वैकल्पिक पद एक ज्यामितीय श्रृंखला बनाते हैं जिसका सामान्य अनुपात 2 है। (5, 10, 15) अतः अगला पद 20 होगा।

महत्वपूर्ण बिंदुओं को याद रखें

• 1. अगर परिवर्तन धीरे-धीरे या क्रमिक है, तो यह एक अंतर श्रृंखला है।
• उदाहरण के लिए:

• 2. अगर परिवर्तन समान रूप से तेज है, तो यह एक अनुपात श्रृंखला है।

• 3. अगर प्रारंभ में वृद्धि तेज है, लेकिन बाद में धीमी हो जाती है, तो यह वर्ग या घन संख्याओं को जोड़ने से बनाई जाती है।

• 4. अगर श्रृंखला वैकल्पिक है, तो यह या तो एक मिश्रित श्रृंखला हो सकती है या दो अलग-अलग क्रियाएँ वैकल्पिक रूप से चल रही होती हैं।