संबावना का सिद्धांत, व्यवसाय गणित और सांख्यिकी | SSC CGL Tier 2 - Study Material, Online Tests, Previous Year (Hindi) PDF Download

संभावना का सिद्धांत एक महत्वपूर्ण गणितीय शाखा है। सामान्य भाषा में, "संभाव्य" का अर्थ है "संभावना" या "संयोग"। सामान्यतः, शब्द "संभावना" का उपयोग किसी निश्चित घटना के होने की संभावना को दर्शाने के लिए किया जाता है, जो पिछले अनुभवों के आधार पर होती है।

• जब कोई साफ आसमान देखता है, तो वह कहता है कि आज बारिश नहीं होगी।
• वहीं, जब कोई बादलों से भरा या घेराबंद आसमान देखता है, तो वह कहता है कि आज बारिश होगी।
• पहले वाक्य में, हम आशा करते हैं कि बारिश नहीं होगी, जबकि दूसरे में हम बारिश की अपेक्षा करते हैं।
• एक गणितज्ञ कहता है कि पहले मामले में बारिश की संभावना 0 है और दूसरे मामले में बारिश की संभावना 1 है।
• 0 और 1 के बीच, कुछ अंश होते हैं जो घटना के होने की संभावना को दर्शाते हैं।

जब एक सिक्का उछाला जाता है, तो वह गिरता है। सिक्के के दो पहलू होते हैं: एक सिर और दूसरा पंजा। सिक्का उछालने पर, वह या तो सिर के साथ या पंजे के साथ गिर सकता है। जमीन पर पहुँचने पर सिक्का अपनी धार पर खड़ा नहीं होगा, या हम मानते हैं; इसलिए सिक्का गिरने की संभावना 1 है।

• सिर के ऊपर आने की संभावना 50% है और पंजे के ऊपर आने की संभावना भी 50% है।
• दूसरे शब्दों में, हम कह सकते हैं कि सिर या पंजे के ऊपर आने की संभावना एक है क्योंकि 'सिर' और 'पंजा' के पास समान संभावनाएँ हैं।
• इसलिए, यह संभावना कि यह सिर या पंजा के साथ आएगा, एक है।

संभावना के 3 प्रकार

• ऊपर हमने एक यादृच्छिक चर और कुछ संभावना के संकेतों का परिचय दिया।
• हालांकि, संभावना काफी जटिल हो सकती है।
• संभवतः सबसे पहले समझने वाली बात यह है कि संभावना के विभिन्न प्रकार होते हैं।
• यह या तो मार्जिनल, जॉइंट या कंडीशनल हो सकती है।

मार्जिनल प्रॉबेबिलिटी: यदि A एक घटना है, तो मार्जिनल प्रॉबेबिलिटी उस घटना के होने की प्रॉबेबिलिटी है, जिसे हम P(A) के रूप में निरूपित करते हैं। उदाहरण: मान लीजिए कि हमारे पास पारंपरिक ताश के पत्तों का एक पैक है, तो एक उदाहरण के रूप में मार्जिनल प्रॉबेबिलिटी होगी कि पैक से निकाला गया कार्ड लाल है: P(red) = 0.5।

जॉइंट प्रॉबेबिलिटी: दो या अधिक घटनाओं के इंटरसेक्शन की प्रॉबेबिलिटी। दृश्य रूप में यह एक Venn Diagram पर दो घटनाओं के वृत्तों का इंटरसेक्शन है (नीचे चित्र देखें)। यदि A और B दो घटनाएँ हैं, तो इन दोनों घटनाओं की जॉइंट प्रॉबेबिलिटी को P(A ∩ B) के रूप में लिखा जाता है। उदाहरण: पैक से निकाले गए कार्ड का लाल होना और उसका मान 4 होना, जिसकी प्रॉबेबिलिटी है P(red and 4) = 2/52 = 1/26। (पारंपरिक ताश के एक पैक में 52 पत्ते होते हैं और 2 लाल होते हैं: दिल और हीरा)। हम बाद में इस उदाहरण पर अधिक विस्तार से चर्चा करेंगे।

शर्तीय प्रॉबेबिलिटी: शर्तीय प्रॉबेबिलिटी वह प्रॉबेबिलिटी है जब कुछ घटना(ओं) के होने की संभावना होती है जब हम जानते हैं कि अन्य घटनाएँ पहले से हो चुकी हैं। यदि A और B दो घटनाएँ हैं, तो A की होने की शर्तीय प्रॉबेबिलिटी, जब B हो चुका है, को P(A|B) के रूप में लिखा जाता है। उदाहरण: यदि हम जानते हैं कि एक कार्ड लाल है, तो चार होने की प्रॉबेबिलिटी P(4|red) = 2/26 = 1/13 है। (पैक में 52 कार्ड हैं, जिनमें 26 लाल और 26 काले हैं। अब चूंकि हमने पहले से एक लाल कार्ड निकाला है, इसलिए हमें पता है कि चुनने के लिए केवल 26 कार्ड हैं, इसलिए पहला हर का हर 26 है)। Venn Diagram 2 घटनाओं A और B के परिणामों की 'स्पेस' को दिखाता है। इस चित्र में 2 घटनाएँ ओवरलैप होती हैं। यह ओवरलैप जॉइंट प्रॉबेबिलिटी का प्रतिनिधित्व करता है, अर्थात्, घटना A और घटना B के दोनों होने की प्रॉबेबिलिटी। यदि घटनाओं के बीच कोई ओवरलैप नहीं होता, तो जॉइंट प्रॉबेबिलिटी शून्य होती।

प्रॉबेबिलिटी के प्रकारों का लिंकिंग: जनरल मल्टिप्लिकेशन नियम एक सुंदर समीकरण है जो तीन प्रकार की प्रॉबेबिलिटी को जोड़ता है: उदाहरणों की आगे की व्याख्या कभी-कभी जॉइंट प्रॉबेबिलिटी और शर्तीय प्रॉबेबिलिटी के बीच भेद करना कठिन हो सकता है, इसलिए ताश के कार्ड उठाने के उदाहरण का उपयोग करते हुए हम इस भेद को स्पष्ट करने का प्रयास करते हैं।

• जब हम लाल और 4 का कार्ड निकालने की प्रॉबेबिलिटी P(red and 4) निकालना चाहते हैं, तो कल्पना करें कि सभी 52 कार्ड नीचे की ओर रखे हैं और एक को यादृच्छिक रूप से उठाते हैं। इनमें से 2 लाल पत्ते हैं और 4 (दिल का 4 और हीरे का 4)। इसलिए जॉइंट प्रॉबेबिलिटी 2/52 = 1/26 है।
• जब हम 4 का कार्ड निकालने की प्रॉबेबिलिटी P(4|red) निकालना चाहते हैं, यह मानते हुए कि कार्ड पहले से ही लाल है। इस स्थिति में, आप फिर से सभी 52 कार्ड की कल्पना करें। हालांकि, यादृच्छिक रूप से कार्ड उठाने से पहले आप सभी 26 लाल कार्ड की छंटाई करते हैं। अब आप उन 26 कार्ड को नीचे रखते हैं और एक कार्ड यादृच्छिक रूप से उठाते हैं। फिर से, उन लाल कार्ड में से 2 कार्ड 4 हैं, इसलिए शर्तीय प्रॉबेबिलिटी 2/26 = 1/13 है।

प्रॉबेबिलिटी नियम: ‘और’ और ‘या’ नियम

‘और’ नियम: हमने पहले से ही जॉइंट प्रॉबेबिलिटी के रूप में 'और' परिदृश्य को देखा है, हालाँकि हम अभी तक 'और' परिदृश्य में प्रॉबेबिलिटी की गणना करना नहीं जानते हैं। तो चलिए एक उदाहरण के माध्यम से इसे समझते हैं। मान लीजिए हमारे पास दो घटनाएँ हैं: घटना A - एक निष्पक्ष सिक्का उछालना, और घटना B - एक निष्पक्ष पासा फेंकना। हम यह जानने में रुचि रखते हैं कि 6 आना और सिक्का सिर पर गिरना। इसलिए 6 और सिर के गिरने की जॉइंट प्रॉबेबिलिटी की गणना करने के लिए, हम उपरोक्त जनरल मल्टिप्लिकेशन नियम को फिर से व्यवस्थित कर सकते हैं और P(A ∩ B) = P(A|B) ✕ P(B) प्राप्त कर सकते हैं। हम जानते हैं कि घटना A सिक्का उछालना है और B पासा फेंकना है। इसलिए P(A|B) की शर्त यह पूछती है "क्या प्रॉबेबिलिटी है कि सिक्का सिर पर आए जब मैंने पासा पर 6 फेंका?" इस स्थिति में, हम समझते हैं कि सिक्का उछालने का परिणाम पासा के रोल पर निर्भर नहीं करता। घटनाएँ स्वतंत्र कहलाती हैं। इसलिए जब घटनाएँ स्वतंत्र होती हैं, तो जॉइंट प्रॉबेबिलिटी केवल घटनाओं के व्यक्तिगत मार्जिनल प्रॉबेबिलिटीज का गुणनफल होती है: P(A ∩ B) = P(A) ✕ P(B)।

• इसलिए P(सिक्का सिर पर आना और 6 आना) = P(A=heads, B=6) = 1/2 ✕ 1/6 = 1/12।

ध्यान दें कि मैंने P(A=heads, B=6) लिखा। घटनाओं के बीच का अल्पविराम जॉइंट प्रॉबेबिलिटी के लिए संक्षिप्त रूप है (आप इसे साहित्य में देखेंगे)। यह उल्लेखनीय है कि कई वास्तविक जीवन परिदृश्यों में घटनाओं को स्वतंत्र माना जाता है, भले ही यह वास्तविकता में ऐसा न हो। यह मुख्यतः इसलिए है क्योंकि इससे गणित बहुत आसान हो जाता है। इसका बोनस यह है कि परिणाम अक्सर बहुत उपयोगी होते हैं। Naive Bayes विधि संभवतः डेटा विज्ञान में इसका सबसे सामान्य उदाहरण है और आमतौर पर पाठ वर्गीकरण समस्याओं में काफी अच्छे परिणाम देती है।

‘या’ नियम: ‘और’ नियम में हमें व्यक्तिगत प्रॉबेबिलिटीज को गुणा करना था। जब हम 'या' परिदृश्य में होते हैं, तो हमें व्यक्तिगत प्रॉबेबिलिटीज को जोड़ना और इंटरसेक्शन को घटाना होता है। गणितीय रूप से हम इसे इस प्रकार लिखते हैं: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)। आपको ऐसा करने की आवश्यकता क्यों है? यह उपरोक्त चित्र में Venn Diagram पर वापस जाता है। यदि हम A के वृत्त और B के वृत्त को जोड़ते हैं, तो इसका मतलब है कि हम इंटरसेक्शन को दो बार जोड़ रहे हैं। इसलिए हमें इंटरसेक्शन को घटाना होगा।

• उदाहरण के लिए, चलिए हम यह जानने की कोशिश करते हैं कि 6 आना या सिक्का सिर पर गिरना। यह है P(सिक्का सिर पर आना या 6 आना) = P(A=heads ∪ B=6) = 1/2 + 1/6 - 1/12 = 6/12 + 2/12 - 1/12 = 7/12।

ध्यान दें कि ∪ प्रतीक को ‘यूनियन’ कहा जाता है और इसका उपयोग 'या' परिदृश्य में होता है। कुछ अवसरों पर, हमें इंटरसेक्शन को घटाने की आवश्यकता नहीं होती। यह तब होता है जब Venn Diagram में दो वृत्त ओवरलैप नहीं करते। जब दो घटनाओं के लिए वृत्त ओवरलैप नहीं करते हैं, तो हम कहते हैं कि ये घटनाएँ म्यूच्यूअली एक्सक्लूसिव हैं। इसका अर्थ है कि इंटरसेक्शन शून्य है, जिसे गणितीय रूप से P(A ∩ B) = 0 के रूप में लिखा जाता है। चलिए एक ऐसा उदाहरण करते हैं जो इस मामले को कवर करता है। मान लीजिए हम एक पासा फेंकते हैं और हम जानना चाहते हैं कि 5 या 6 आना। ये घटनाएँ म्यूच्यूअली एक्सक्लूसिव हैं क्योंकि मैं एक साथ 5 और 6 नहीं फेंक सकता। इसलिए, इनके वृत्त Venn Diagram में ओवरलैप नहीं करते। इसलिए, 5 या 6 आने की प्रॉबेबिलिटी 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3 है (हमने कुछ भी घटाया नहीं)।