संख्या प्रणाली: शेष निकालना - RRB NTPC/ASM/CA/TA PDF Download

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GMAT में, शेष समस्या (remainder problems) यह समझने में मदद करती हैं कि एक संख्या को दूसरी संख्या से भाग देने पर शेषफल (remainder) कैसे निकाला जाता है। ये समस्याएँ आपके संख्या के गुण, भाग देने के नियम, और कुशल गणना विधियों की समझ का परीक्षण करती हैं।

जब एक संख्या A को एक संख्या B से विभाजित किया जाता है, तो इसे इस रूप में दर्शाया जा सकता है: A = B × Q + R

जहाँ,

• A है भाग (dividend),
• B है भाजक (divisor),
• Q है भागफल (quotient), और
• R है शेषफल (remainder), जिसे इस प्रकार संतुष्ट करना चाहिए: 0 ≤ R < />.

शेषफल क्या है?

• जब आप एक संख्या, जिसे "भाग" कहा जाता है, को दूसरी संख्या, जिसे "भाजक" कहा जाता है, से विभाजित करते हैं, तो परिणाम को एक भिन्न के रूप में व्यक्त किया जाता है, जैसे कि "भाग/भाजक"।
• हालांकि, सभी विभाजन समस्याएँ सरल नहीं होती हैं जैसे कि 6/3; कुछ में "शेष" होता है, जो मूलतः तब होता है जब एक संख्या दूसरी संख्या को पूरी तरह से विभाजित नहीं कर पाती, जिससे एक संख्या बच जाती है, जिसे शेषफल कहा जाता है।
• साधारण भाषा में कहें, तो शेषफल वह भिन्नात्मक भाग है जो दो संख्याओं को विभाजित करने पर बचता है, और विभाजन का परिणाम पूर्णांक भागफल नहीं होता। उदाहरण के लिए, जब आप 15 को 4 से विभाजित करते हैं, तो शेषफल 3 होता है।

शेषफल को मिश्रित संख्याओं के रूप में सोचने से मदद मिल सकती है। उदाहरण के लिए, भिन्न 8/3 मिश्रित संख्या 2 के बराबर है। यहाँ, 2/3 शेषफल को दर्शाता है, यह इंगित करता है कि 2 भाग शेष हैं जो एक पूर्ण संख्या बनाने के लिए आवश्यक 3 भागों में से हैं। भिन्न का भाजक हमेशा भाजक के समान होगा।

एक उत्पाद के शेषफल निकालना (शेषफल प्रमेय का व्युत्पन्न)

(i) यदि ‘a1’ को ‘n’ से विभाजित किया जाए, तो शेषफल ‘r1’ होगा और यदि ‘a2’ को ‘n’ से विभाजित किया जाए, तो शेषफल ‘r2’ होगा। तब,

(a) यदि a1 + a2 को n से विभाजित किया जाए, तो शेषफल r1 + r2 होगा। (b) यदि a1 - a2 को n से विभाजित किया जाए, तो शेषफल r1 - r2 होगा। (c) यदि a1 × a2 को n से विभाजित किया जाए, तो शेषफल r1 × r2 होगा।

नकारात्मक शेषफल की संकल्पना

• जब आप एक नकारात्मक संख्या को एक सकारात्मक संख्या से विभाजित करते हैं, तो कभी-कभी शेषफल नकारात्मक हो सकता है। लेकिन हमें आमतौर पर शेषफल को सकारात्मक और भाजक के बीच 0 और भाजक के बीच चाहिए। इसलिए हम इसे सकारात्मक बनाने के लिए समायोजित करते हैं।

उदाहरण: -8 को 5 से विभाजित करें। समाधान: चरण 1: -8 को 5 से विभाजित करें: -8 ÷ 5 का भागफल -2 और शेषफल -3 है। इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: -8 = 5 × (-2) + (-3)। चरण 2: शेषफल नकारात्मक है (-3)। शेषफल को सकारात्मक बनाने के लिए, -3 में 5 जोड़ें: -3 + 5 = 2। चरण 3: अब शेषफल सकारात्मक है, और यह 2 है। इसलिए, -8 को 5 से विभाजित करने पर शेषफल 2 है।

(ii) यदि दो संख्याएँ ‘a1’ और ‘a2‘ n से पूरी तरह से विभाजित होती हैं, तो उनका योग, अंतर और गुणनफल भी n से पूरी तरह से विभाजित होगा। अर्थात्, यदि ‘a1’ और ‘a2’ n से विभाजित हैं, तो

(a) a1 + a2 भी n से विभाजित होगा। (b) a1 - a2 भी n से विभाजित होगा। (c) a1 × a2 भी n से विभाजित होगा।

उदाहरण: 12 को 3 से विभाजित किया जा सकता है और 21 को भी 3 से विभाजित किया जा सकता है। समाधान: इसलिए, उनका योग भी 3 से विभाजित होगा अर्थात् 12 + 21 = 33। अंतर भी 3 से विभाजित होगा: 12 - 21 = -9 और गुणनफल भी 3 से विभाजित होगा: 12 × 21 = 252।

शेष सिद्धांत की सहायता से घातांक के शेष निकालना

हम इस अवधारणा को निम्नलिखित उदाहरणों के माध्यम से समझेंगे।

उदाहरण 1: यदि 725 को 6 से विभाजित किया जाए, तो शेष क्या होगा? समाधान: यदि 7 को 6 से विभाजित किया जाए, तो शेष 1 है। इसलिए यदि 725 को 6 से विभाजित किया जाए, तो शेष 1 होगा (क्योंकि 725 = 7 × 7 × 7… 25 बार। इसलिए शेष = 1 × 1 × 1…. 25 बार = 125)।

उदाहरण 2: यदि 363 को 14 से विभाजित किया जाए, तो शेष क्या होगा? समाधान: यदि 33 को 14 से विभाजित किया जाए, तो शेष -1 है। इसलिए 363 को (33)21 के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए शेष (-1)21 = -1। यदि भाजक 14 है, तो शेष -1 का अर्थ 13 है। (14 - 1 = 13) पैटर्न विधि द्वारा।

शेष निकालने में द्विघात सिद्धांत का अनुप्रयोग

• किसी भी अभिव्यक्ति के द्विघात विस्तार का रूप है: (a + b)ⁿ = nC₀ aⁿ + nC₁ a^n-1 × b¹ + nC₂ a^n-2 × b² + ... + nC_n-1 a¹ × b^n-1 + nC_n × bⁿ
• जहां nC₀, nC₁, nC₂, ... सभी को द्विघात गुणांक कहा जाता है।
• सामान्यत: nC_r = n! / (r! (n - r)!)

कुछ मौलिक निष्कर्ष हैं जो याद रखने में सहायक हैं:

• (a) (n + 1) पद होते हैं।
• (b) विस्तार का पहला पद केवल a है।
• (c) विस्तार का अंतिम पद केवल b है।
• (d) अन्य सभी (n - 1) पदों में a और b दोनों होते हैं।
• (e) यदि (a + b)ⁿ को a से विभाजित किया जाए, तो शेष bⁿ होगा, ऐसा कि bⁿ < />

उदाहरण: यदि 725 को 6 से विभाजित किया जाए, तो शेष क्या होगा?

• समाधान: (7)²⁵ को (6 + 1)²⁵ के रूप में लिखा जा सकता है।
• इसलिए, द्विघात विस्तार में, सभी पहले 25 पदों में 6 होगा।
• 26वां पद (1)²⁵ है। इसलिए, विस्तार को 6x + 1 के रूप में लिखा जा सकता है।
• चूंकि इनमें से प्रत्येक 6 से विभाज्य है, इसलिए उनका योग भी 6 से विभाज्य है, और इसलिए, इसे 6x के रूप में लिखा जा सकता है, जहां x कोई प्राकृतिक संख्या है।
• इसलिए, 6x + 1 को 6 से विभाजित करने पर शेष 1 होगा। (या)
• जब 7 को 6 से विभाजित किया जाए, तो शेष 1 है। इसलिए जब 725 को 6 से विभाजित किया जाए, तो शेष 1 होगा।

महत्वपूर्ण बिंदु

लगातार पाँच पूर्ण संख्याओं का योग हमेशा 5 से विभाज्य होता है।

• लगातार पाँच पूर्ण संख्याओं का योग हमेशा 5 से विभाज्य होता है।
• किसी भी अजीब संख्या का वर्ग जब 8 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल 1 होगा।
• किसी भी तीन लगातार प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल 6 से विभाज्य होता है।
• किसी भी नौ लगातार संख्याओं का गुणनफल की इकाई अंक हमेशा 0 होता है।
• किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए, 10n-7 हमेशा 3 से विभाज्य होता है।
• कोई भी तीन अंकों की संख्या जिसमें सभी अंक समान होते हैं, हमेशा 37 से विभाज्य होती है।