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महत्वपूर्ण सिद्धांत: संख्या प्रणाली - 2 - RRB NTPC/ASM/CA/TA PDF Download

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यूनिट अंक

यूनिट अंक की अवधारणा को समझने के लिए, हमें चक्रीयता (cyclicity) की अवधारणा को जानना आवश्यक है। यह अवधारणा मुख्य रूप से किसी संख्या के यूनिट अंक और उसे किसी निश्चित संख्या से विभाजित करने के दोहरावदार पैटर्न के बारे में है। यूनिट अंक की अवधारणा को 0 - 9 तक के सभी एकल-अंक संख्या के यूनिट अंकों को उन परिभाषित शक्तियों के लिए निर्धारित करके सीखा जा सकता है। इस उद्देश्य के लिए, इन संख्याओं को तीन श्रेणियों में व्यापक रूप से वर्गीकृत किया जा सकता है:

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1. अंक 0, 1, 5 और 6:

जब हम इन अंकों के व्यवहार का अवलोकन करते हैं, तो ये सभी किसी भी शक्ति पर उठाए जाने पर संख्या के समान यूनिट अंक रखते हैं, अर्थात् 0ⁿ = 0, 1ⁿ = 1, 5ⁿ = 5, 6ⁿ = 6।
5² = 25: यूनिट अंक 5 है, जो संख्या स्वयं है।
16¹ = 1: यूनिट अंक 1 है, जो संख्या स्वयं है।
04¹ = 0: यूनिट अंक 0 है, जो संख्या स्वयं है।
63³ = 216: यूनिट अंक 6 है, जो संख्या स्वयं है।
इस अवधारणा को निम्नलिखित उदाहरण पर लागू करें। उदाहरण: निम्नलिखित संख्याओं का यूनिट अंक ज्ञात करें:

185563 उत्तर=
52716987 उत्तर=
115625369 उत्तर=
6190654789321 उत्तर= 0

2. अंक 4 और 9:

इन दोनों संख्याओं का यूनिट अंक केवल दो विभिन्न अंकों की चक्रीयता है। 4² = 16: यूनिट अंक 6 है।
4³ = 64: यूनिट अंक 4 है।
4⁴ = 256: यूनिट अंक 6 है।
4⁵ = 1024: यूनिट अंक 4 है।
9² = 81: यूनिट अंक 1 है।
9³ = 729: यूनिट अंक 9 है।
यह देखा जा सकता है कि यूनिट अंक 6 और 4 एक विषम-सम क्रम में दोहराते हैं। इसलिए, 4 की चक्रीयता 2 है। 9 के साथ भी यही स्थिति है। इसे निम्नलिखित रूप में सामान्यीकृत किया जा सकता है:

निम्नलिखित संख्याओं के अंतिम अंक ज्ञात करें:

189562589743 उत्तर = 9 (क्योंकि घात विषम है)
279698745832 उत्तर = 1 (क्योंकि घात सम है)
154258741369 उत्तर = 4 (क्योंकि घात विषम है)
19465478932 उत्तर = 6 (क्योंकि घात सम है)

3. अंकों 2, 3, 7 और 8:

इन संख्याओं का घात चक्र 4 भिन्न संख्याओं का है। 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8 और 24 = 16 और उसके बाद यह दोहराना शुरू होता है। इसलिए, 2 का चक्रीयता 4 भिन्न संख्याओं 2, 4, 8, 6 है। 31 = 3, 32 = 9, 33 = 27 और 34 = 81 और उसके बाद यह दोहराना शुरू होता है। इसलिए, 3 का चक्रीयता 4 भिन्न संख्याओं 3, 9, 7, 1 है। 7 और 8 समान तर्क का पालन करते हैं। इसलिए ये चार अंक अर्थात् 2, 3, 7 और 8 का अंतिम अंक चक्रीयता चार चरणों की है।

चक्रीयता तालिका

ऊपर चर्चा की गई अवधारणाएँ निम्नलिखित तालिका में संक्षिप्त की गई हैं।

किसी संख्या की घात की अवधारणा या चक्रीयता हमें बिना पूरे गुणन की गणना किए, किसी संख्या की बड़ी घात के अंतिम अंक का पता लगाने में मदद करती है। यह अंतिम अंक पर निर्भर एक दोहराने वाले पैटर्न पर आधारित है। एक तालिका हमें इस अंतिम अंक का पूर्वानुमान लगाने में मदद करती है। इसके अलावा, जो अंक एक या दो बार दिखाई देते हैं वे हर चार बार दोहराते हैं। इसलिए, प्रत्येक अंक हर चार बार दोहराता है।

शून्य की संख्या

1. एक अभिव्यक्ति में शून्य की संख्या

चरण 1

मान लीजिए कि आपको एक गुणन में शून्य की संख्या ज्ञात करनी है: 24 × 32 × 17 × 23 × 19। हम पहले इसके अभाज्य गुणकों के रूप में श्रृंखला प्राप्त करते हैं यानी 23∗31∗25∗171∗19∗23। जैसा कि आप देख सकते हैं, इस गुणन में कोई शून्य नहीं होगा क्योंकि इसमें कोई 5 नहीं है।
हालांकि, यदि आपके पास एक अभिव्यक्ति है जैसे: 8 × 15 × 23 × 17 × 25 × 22। उपरोक्त अभिव्यक्ति को मानक रूप में पुनः लिखा जा सकता है: 23∗31∗51∗23∗17∗52∗21∗111।

चरण 2

शून्य 2 × 5 के संयोजन से बनते हैं। इसलिए, शून्यों की संख्या उन जोड़ों की संख्या पर निर्भर करेगी जो 2 और 5 के बीच बन सकते हैं। ऊपर दिए गए गुणन में, चार 2 और तीन 5 हैं। इसलिए, हम केवल तीन जोड़े (2 × 5) बना सकेंगे। इसलिए, उत्पाद में 3 शून्य होंगे।

शून्य 2 × 5 के संयोजन से बनते हैं।
इसलिए, शून्यों की संख्या उन जोड़ों की संख्या पर निर्भर करेगी जो 2 और 5 के बीच बन सकते हैं।
उपरोक्त उत्पाद में, चार 2 और तीन 5 हैं। इसलिए, हम केवल तीन जोड़े (2 × 5) बना सकेंगे।

2. एक फैक्ट्रियल मान में शून्यों की संख्या खोजना

2. एक फैक्ट्रियल मान में शून्यों की संख्या खोजना

विधि 1: मान लीजिए आपको 6! में शून्यों की संख्या खोजना है। 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = (3 × 2) × (5) × (2 × 2) × (3) × (2) × (1)। 5 की संख्या गिनने से उत्तर मिलेगा।
विधि 2: 6! में शून्यों की संख्या खोजने के लिए हम उपयोग करते हैं। इसलिए हमें 1 उत्तर के रूप में मिलता है क्योंकि श्रृंखला के पहले पद के बाद सभी विभाजन दशमलव में होते हैं जिन्हें हम नजरअंदाज करते हैं।

प्रश्न: 12 × 15 × 5 × 24 × 13 × 17 (क) 0 (ख) 1 (ग) 2 (घ) 3 उत्तर: (ग) समाधान: 22∗3∗3∗5∗5∗23∗3∗13∗17 = इसलिए (5*2) के जोड़े 2 हैं, इसलिए हमारे पास 2 शून्य हैं।

3. एक विशेष प्रावधान

जब हम 45!, 46!, 47!, 48!, 49! का हल करते हैं, तो प्रत्येक मामले में शून्य की संख्या 10 के बराबर होगी। यह समझना कठिन नहीं है कि इन में से किसी भी गुणांक में पांचों की संख्या 10 के बराबर है। शून्य की संख्या केवल 50! पर बदलेगी (यह 12 हो जाएगी)। वास्तव में, यह सभी गुणांक के लिए सही होगा जो 5 के दो लगातार उत्पादों के बीच आते हैं।
इस प्रकार, 50!, 51!, 52!, 53! और 54! में 12 शून्य होंगे (क्योंकि इनमें सभी में 12 पांच हैं)। इसी तरह, 55!, 56!, 57!, 58! और 59! में प्रत्येक में 13 शून्य होंगे।
49! में 10 शून्य हैं जबकि 50! में सीधे 12 शून्य हैं। इसका मतलब है कि ऐसा कोई गुणांक नहीं है जो 11 शून्य दे। यह इसलिए होता है क्योंकि 50! प्राप्त करने के लिए हम 49! के मान को 50 से गुणा करते हैं। जब आप ऐसा करते हैं, तो परिणाम यह होता है कि हम उत्पाद में दो 5 को जोड़ते हैं। इसलिए, शून्य की संख्या दो बढ़ जाती है।

नोट: 124! पर आपको 24 से 28 शून्य मिलेंगे। 125! पर आपको 25 से 31 शून्य मिलेंगे। (3 शून्यों का उछाल।)

उदाहरण: n! में 13 शून्य हैं। n का उच्चतम और न्यूनतम मान क्या है? (a) 57 और 58 (b) 59 और 55 (c) 59 और 6 (d) 79 और 55 उत्तर: (b) हल: 55 पर हमें 13 शून्य मिलते हैं, क्योंकि हमें पता है कि 50! में 12 शून्य हैं, इसलिए 54! तक हमारे पास 12 शून्य होंगे। इसलिए 55 से 59! में 13 शून्य होंगे।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1: 55552345 66665678 का अंतिम अंक खोजें (a) 1 (b) 3 (c) 5 (d) 7 उत्तर: (a) हल: क्योंकि अंतिम अंक केवल अंतिम अंकों पर निर्भर करता है, केवल अंतिम अंकों के लिए घातों पर विचार करें, अर्थात 52345 65678। जैसा कि हम जानते हैं, 5 की कोई भी घात केवल 5 के साथ समाप्त होती है और 6 की कोई भी घात केवल 6 के साथ समाप्त होती है। 52345 65678 का अंतिम अंक = 5 6 = 11 = 1। इसलिए, विकल्प (A) सही उत्तर है।

प्रश्न 2: यदि एक दो अंकों की संख्या में यूनिट स्थान पर अंकर संख्या z है और टेन्स स्थान पर अंकर संख्या 8 है, तो संख्या है (a) 80z (b) 80 z (c) 8z (d) 80z 1 उत्तर: (b) समाधान: यूनिट स्थान पर अंक = z टेन्स स्थान पर अंक = 8 = 2-अंकों की संख्या = (10×8) + (1×z) = 80 z

प्रश्न 3: 60! में अंत में कितने शून्य हैं? (a) 14 (b) 12 (c) 10 (d) 8 उत्तर: (a) समाधान:

शून्य की संख्या = 10 की सबसे बड़ी शक्ति जो संख्या को विभाजित कर सकती है। उदाहरण के लिए, 3600 = 36 * 10² और 45000 = 45 * 10³
इस प्रश्न पर विचार करने के लिए, सबसे छोटे फ़ैक्टोरियल को देखें जो एक शून्य में समाप्त होता है:

1! = 1
2! = 2
3! = 6
4! = 24
5! = 120

अब, 5! एक शून्य के साथ समाप्त होता है क्योंकि हम 1 * 2 * 3 * 4 * 5 की गणना करते समय 10 का गुणनफल प्राप्त करते हैं। 10 को 2 * 5 के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए जब भी हम फ़ैक्टोरियल में 2 और 5 प्राप्त करते हैं, तो हमें 10 का एक गुणांक मिलता है।
इसलिए, 5! में 1 शून्य है। 2 शून्य में समाप्त होने वाला फ़ैक्टोरियल 10! है। 15! में 3 शून्य हैं। 20! में 4 शून्य हैं और इसी तरह।
हर बार जब एक 2 और 5 मिलते हैं तो एक अतिरिक्त शून्य बनता है। हर सम संख्या 2 देती है, जबकि हर पांचवी संख्या 5 देती है।
यहाँ महत्वपूर्ण बिंदु यह है कि चूंकि हर सम संख्या फ़ैक्टोरियल में कम से कम एक 2 योगदान करती है, 2 की संख्या 5 की तुलना में बहुत अधिक होती है।
अतः, एक संख्या को विभाजित करने में 10 की सबसे बड़ी शक्ति खोजने के लिए, हमें उस संख्या को विभाजित करने में 5 की सबसे बड़ी शक्ति की गणना करनी होगी।
अब, 5 के हर गुणांक से फ़ैक्टोरियल में एक शून्य जुड़ता है। 1 * 2 * 3 *.......59 * 60 में बारह 5 के गुणांक हैं। इसलिए, ऐसा लगता है कि 60! में 12 शून्य होंगे।
लेकिन हमें यहाँ एक और समायोजन करने की आवश्यकता है। 25 = 5² है, इसलिए 25 अकेला दो 5 का योगदान करेगा, और इसलिए प्रणाली में दो शून्य जोड़ेगा। इसी तरह, 25 के किसी भी गुणांक से एक अतिरिक्त शून्य जुड़ता है।
इसलिए, 20! में 4 शून्य हैं, 25! में 6 शून्य हैं। 60! में [60/5] शून्य होंगे और 25 और 50 की उपस्थिति के कारण एक अतिरिक्त [60/25] शून्य होंगे। {हम [60/25] का केवल पूर्णांक भाग रखते हैं क्योंकि दशमलव भाग का कोई मूल्य नहीं है}
इसलिए, 60! में अंततः 12 + 2 = 14 शून्य होंगे।
सामान्य रूप से, कोई भी n! शून्य के साथ समाप्त होगा।

अधिक सामान्य करते हुए, यदि हम n! में 3 की सबसे बड़ी शक्ति ढूंढना चाहते हैं, तो यह कुछ और नहीं है।

उदाहरण के लिए, यदि हम n! में 15 की सबसे बड़ी शक्ति ढूंढना चाहते हैं, तो यह 3 और 5 की सबसे बड़ी शक्तियों द्वारा संचालित होगा जो n! को विभाजित करती हैं।

जैसे हमने शून्य के साथ देखा, हम देख सकते हैं कि किसी भी फ़ैक्टोरियल में निश्चित रूप से 3 की संख्या 5 की संख्या से अधिक होगी।
इसलिए, n! में 15 की सबसे बड़ी शक्ति [n/5] [n/25] [n/125] [n/625]............ है।

प्रश्न 4: (a) 42 (b) 53 (c) 1055 (d) इनमें से कोई नहीं में उत्पाद के अंत में शून्य की संख्या कितनी है? उत्तर: (a) समाधान: 222111 × 35 53 के अंत में शून्य की संख्या 53 है। (7!)6!×(10!)5! के अंत में शून्य की संख्या 960 है। 4242×2525 के अंत में शून्य की संख्या 42 है। इस प्रकार पूरे अभिव्यक्ति के अंत में शून्य की संख्या 42 है।

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Mar 29, 2025 Last updated

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