रेखा की ढलान और सीधी रेखा | Mathematics for RRB NTPC (Hindi) - RRB NTPC/ASM/CA/TA PDF Download

रेखा का ढलान

पहले, ढलान का क्या अर्थ है, इस पर सहजता से बात करें। वास्तविक जीवन के उदाहरण दें, जैसे कि एक घर की छत का ढलान, पहाड़ी पर चढ़ती सड़क, या एक सीढ़ी जो एक इमारत के खिलाफ झुकी हुई है। समझाएं कि हम एक संख्या निर्दिष्ट कर सकते हैं जो हमें एक सीधी रेखा की तीव्रता को मापने की अनुमति देती है। साथ ही, कहें कि इस संख्या का जितना बड़ा अधिकतम मान होगा, रेखा उतनी ही अधिक तीव्र होगी।

एक गैर-ऊर्ध्वाधर रेखा L का ढलान उस कोण θ का टंगेंट है, जो रेखा L ने x-अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ बनाया है। विशेष रूप से,

• (क) x-अक्ष के समानांतर रेखा का ढलान शून्य होता है।
• (ख) y-अक्ष के समानांतर रेखा का ढलान परिभाषित नहीं होता।
• (ग) अक्ष के प्रति समान झुकी हुई रेखा का ढलान −1 या 1 होता है।
• (घ) उन रेखाओं का ढलान जो अक्ष पर समान इंटरसेप्ट बनाती हैं, −1 होता है।
• (ङ) दो समानांतर (गैर-ऊर्ध्वाधर) रेखाओं के ढलान समान होते हैं। यदि m1, m2 ढलान हैं, तो m1 = m2।

(च) यदि m1 और m2 दो लंबवत रेखाओं के ढलान हैं (जो तिरछी हैं), तो m1m2 = -1।

सीधी रेखा

सीधी रेखा के समीकरण, या "रेखीय" समीकरण, सीधी रेखाओं के रूप में ग्राफित होते हैं, और इनमें सरल चर होते हैं जिन पर कोई घातांक नहीं होता। यदि आप किसी समीकरण में x और y देखते हैं, तो आप एक सीधी रेखा के समीकरण से निपट रहे हैं।

ax + by + c = 0 के रूप में एक समीकरण को सीधी रेखा का सामान्य समीकरण कहा जाता है, जहाँ x और y चर हैं और a, b, c स्थिरांक हैं।

x-अक्ष या y-अक्ष के समानांतर रेखा का समीकरण

(छ) x-अक्ष के समानांतर किसी भी रेखा का समीकरण y = b होता है, जहाँ b रेखा का x-अक्ष से निर्देशित दूरी है। विशेष रूप से, x-अक्ष का समीकरण y = 0 है।

(ii) किसी भी रेखा का समीकरण जो y-धुरी के समानांतर है, x = a है, जहाँ a उस रेखा की y-धुरी से निर्देशित दूरी है। विशेष रूप से, y-धुरी का समीकरण x = 0 है।

(a) एक बिंदु रूप

एक रेखा का समीकरण (गैर-उर्ध्वाधर) जो बिंदु (x1, y1) से गुजरती है और जिसकी ढलान m है, है: y - y1 = m (x - x1)।

(b) दो बिंदु रूप

एक रेखा का समीकरण (गैर-उर्ध्वाधर) जो बिंदुओं (x1, y1) और (x2, y2) से गुजरती है, है:

(c) ढलान-इंटरसेप्ट रूप

एक रेखा का समीकरण (गैर-उर्ध्वाधर) जिसकी ढलान m है और जो y-धुरी से c का इंटरसेप्ट काटती है, है: y = m x + c।

(d) इंटरसेप्ट रूप

एक रेखा का समीकरण (गैर-उर्ध्वाधर) जिसकी ढलान m है और जो x-धुरी और y-धुरी से क्रमशः a और b का इंटरसेप्ट काटती है, है:

Ex.1 रेखा x-धुरी पर A (10, 0) पर और y-धुरी पर B (0, 10) पर काटती है। रेखा का समीकरण ज्ञात करें।

• (1) xy = 10
• (2) xy = 20
• (3) x = -y
• (4) इनमें से कोई नहीं

Sol. चूंकि रेखा x-धुरी पर A (10, 0) पर काटती है ⇒ x-धुरी पर इंटरसेप्ट की लंबाई, a = 10। इसी प्रकार y-धुरी पर इंटरसेप्ट की लंबाई, b = 10। ∴ इंटरसेप्ट रूप का उपयोग करते हुए, रेखा का समीकरण है: xy = 10। उत्तर: (1)

Ex.2 बिंदु (-2, -3) से गुजरने वाली और (-2, 3) और (-5, -6) से गुजरने वाली रेखा के लंबवत रेखा का समीकरण ज्ञात करें।

• (1) X² + Y² = 8
• (2) X + 3Y = 11
• (3) X - 3Y = 7
• (4) X + 3Y = 11

Sol. (-2, 3) और (-5, -6) के बीच रेखा की ढलान है m = = 3 ⇒ आवश्यक रेखा की ढलान m1 = -1/m = -1/3। बिंदु-ढलान रूप का उपयोग करते हुए, Y + 3 = -1/3(X + 2)। इसे व्यवस्थित करते हुए, X + 3Y = 11। उत्तर: (2)

उदाहरण 3: (-3, 7) बिंदु से गुजरने वाली रेखा की ढाल ज्ञात करें, जिसका Y-इंटरसेप्ट -2 है।

• (1) -5
• (2) 2
• (3) -3
• (4)

हल: रेखा बिंदुओं (-3, 7) और (0, -2) से गुजरती है। इसलिए, रेखा की ढाल = -3। उत्तर: (3)

कुछ महत्वपूर्ण परिणाम:

• बिंदु (x1, y1) से रेखा ax + by + c = 0 तक की लंबवत दूरी है
• समांतर रेखाओं ax + by + c = 0 और ax + by + d = 0 के बीच की दूरी

• दो रेखाओं y = m1x + b1 और y = m2x + b2 के बीच का कोण दिया गया है

• समीकरण a1x + b1y + c1 = 0 और a2x + b2y + c2 = 0 एक ही रेखा का प्रतिनिधित्व करते हैं यदि

सामानांतर रेखाएँ:

तीन या अधिक रेखाएँ तब सामांतर रेखाएँ कहलाती हैं जब सभी एक सामान्य बिंदु से गुजरती हैं।