हल किए गए उदाहरण: अनुपात और समानुपात | Mathematics for RRB NTPC (Hindi) - RRB NTPC/ASM/CA/TA PDF Download

अनुपात और अनुपात:

दो मात्राओं की विभाजन द्वारा तुलना को अनुपात कहा जाता है और दो अनुपातों की समानता को अनुपात कहा जाता है। अनुपात को विभिन्न रूपों में लिखा जा सकता है जैसे x : y या x/y और इसे आमतौर पर पढ़ा जाता है, x is to y।

दूसरी ओर, अनुपात एक समीकरण है जो कहता है कि दो अनुपात समान हैं। अनुपात को x : y : : z : w के रूप में लिखा जाता है, और इसे पढ़ा जाता है x is to y as z is to w। यहाँ, x/y = z/w जहाँ w और y 0 के बराबर नहीं हैं।

उदाहरण समाधान:

उदाहरण 1: एक सड़क निर्माण परियोजना का वार्षिक बजट $25,200 है जिसे 12 महीनों में समान रूप से वितरित किया गया है। यदि तीसरे महीने के अंत तक वास्तविक खर्च $7,420 हो गए हैं, तो निर्माण परियोजना बजट से कितना अधिक है? (क) $2150 (ख) $3340 (ग) $1120 (घ) $980 (ङ) $1640 उत्तर: (ग) मासिक बजट ज्ञात किया जाता है:

जो 3 महीनों के लिए बजट है: 2,100 x 3 = 6,300। यह जानने के लिए कि वे बजट से कितने अधिक हैं, बजट की गई राशि को वास्तविक खर्च से घटाया जाता है। 7,420 − 6,300 = 1,120

उदाहरण 2: दुच्य ऑफ ग्रैंड फेनविक एक असामान्य मुद्रा प्रणाली का उपयोग करता है। 1 बड़े फेनविक को बनाने के लिए 24 छोटे फेनविक की आवश्यकता होती है। वर्तमान विनिमय दरों पर, 1 बड़ा फेनविक $3.26 अमेरिकी मुद्रा के लिए विनिमय किया जा सकता है। एक अमेरिकी पर्यटक $300 के लिए ग्रैंड फेनविक मुद्रा में कितना विनिमय कर सकता है (नजदीकी छोटे फेनविक तक गोल करके)? (क) 92 बड़े फेनविक और 1 छोटा फेनविक (ख) 40 बड़े फेनविक और 18 छोटे फेनविक (ग) 108 बड़े फेनविक और 16 छोटे फेनविक (घ) 296 बड़े फेनविक और 16 छोटे फेनविक (ङ) उपरोक्त में से कोई नहीं उत्तर: (क) $3.26 को 1 बड़े फेनविक के लिए विनिमय किया जा सकता है, या, समान रूप से, 24 छोटे फेनविक के लिए। हम एक अनुपात कथन स्थापित कर सकते हैं, जहाँ F वह छोटा फेनविक का संख्या है जिसके लिए $300 का विनिमय किया जा सकता है:

उत्तर 2,209 छोटे फेनविक्स हैं, जिन्हें भाग देकर गिन सकते हैं: 2,209 ÷ 24 = 92 शेष 1, या 92 बड़े फेनविक्स और 1 छोटा फेनविक।

उदाहरण 3: अनुपात 3 से 1/2 किस अनुपात के बराबर है: (क) 1 से 6 (ख) 3 से 2 (ग) 2 से 3 (घ) 6 से 1 (ङ) 5 से 1 उत्तर: (घ) अनुपात 3 से 1/2 वही है जो 6 से 1 के अनुपात के बराबर है।

इसके अलावा, यदि आप अनुपात के दोनों पक्षों को दो गुना करते हैं, तो आपको 6 से 1 मिलता है।

उदाहरण 4: अनुपात 4 से 1/4 किस निम्नलिखित अनुपात के बराबर है? (क) 8 से 1 (ख) 12 से 1 (ग) 16 से 1 (घ) 16 से 3 (ङ) 6 से 1 उत्तर: (ग) अनुपात 4 से 1/4 वही है जो

16 को अनुपात 16 से 1 के रूप में लिखा जा सकता है।

उदाहरण 5: एक मानचित्र पर, एक और आधा इंच 60 वास्तविक मील का प्रतिनिधित्व करता है। N के संदर्भ में, मानचित्र पर N इंच द्वारा दर्शाए गए वास्तविक मील की दूरी क्या है? (क) 45N मील (ख) 40/N मील (ग) 40N मील (घ) 90/N मील (ङ) 90N मील उत्तर: (ख) मान लें कि x वास्तविक मील की संख्या है। फिर अनुपात का कथन स्थापित करने के लिए, प्रत्येक अनुपात वास्तविक मील की संख्या से मानचित्र के इंच तक है: बाएं अभिव्यक्ति को सरल बनाएं और x के लिए हल करें।

उदाहरण 6: ज़ेंडा के राज्य में एक असामान्य मुद्रा प्रणाली है। एक ग्रोटनिक बनाने के लिए 16 क्रोनखेट्स की आवश्यकता होती है और एक गज़ू बनाने के लिए 12 ग्रोटनिक की आवश्यकता होती है। वर्तमान में, $1 को 8 ग्रोटनिक और 8 क्रोनखेट्स के लिए विनिमय किया जा सकता है। ज़ेंडा से आने वाला एक आगंतुक 100 गज़ू के बिल के लिए कितनी अमेरिकी मुद्रा का विनिमय कर सकता है, निकटतम सेंटी में? (क) $141.18 (ख) $85.00 (ग) $11.76 (घ) $70.83 (ङ) उपरोक्त में से कोई नहीं उत्तर: (क) $1 को 8 ग्रोटनिक और 8 क्रोनखेट्स के लिए विनिमय किया जा सकता है, या समान रूप से, 8.5 ग्रोटनिक (8 क्रोनखेट्स एक ग्रोटनिक का आधा है)। 100 गज़ू 100 x 12 = 1,200 ग्रोटनिक के बराबर है। इसलिए, यदि D 100 गज़ू के बिल के लिए विनिमय किए जा सकने वाले डॉलर की संख्या है, तो हम अनुपात स्थापित कर सकते हैं:

D के लिए हल करें:

यानी, 100-गज़ू बिल को $141.18 के लिए बदला जा सकता है।

उदाहरण 7: एक बक्से में लाल और नीले गिलास हैं। लाल गिलास उठाने की संभावना 1/3 है। वहाँ 30 नीले गिलास हैं। कुल गिलास कितने हैं? (क) 45 (ख) 50 (ग) 40 (घ) 60 (ङ) 90 उत्तर: (क) यदि 1/3 लाल हैं, तो 2/3 नीले हैं, और नीले गिलासों की संख्या को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

नीले गिलासों की संख्या, 30, में डालें और कुल गिलासों के लिए हल करें।

उदाहरण 8: एक निश्चित कक्षा में सभी छात्र या तो दूसरे वर्ष के छात्र हैं या जूनियर हैं। कक्षा में लड़कों और लड़कियों की संख्या समान है। लड़कियों में से 3/7 दूसरे वर्ष के छात्र हैं, और वहाँ 24 जूनियर लड़के हैं। यदि कक्षा में जूनियर लड़कों की संख्या कुल लड़कों की संख्या के समान अनुपात में है जैसे दूसरे वर्ष की लड़कियों की संख्या कुल लड़कियों की संख्या के अनुपात में है, तो कक्षा में कुल कितने छात्र हैं? (क) 96 (ख) 72 (ग) 56 (घ) 168 (ङ) 112 उत्तर: (ङ) यह प्रश्न जटिल लगता है लेकिन वास्तव में यह अधिक सरल है। हमें बताया गया है कि कक्षा में लड़कों और लड़कियों की संख्या समान है और 3/7 लड़कियाँ दूसरे वर्ष की छात्राएँ हैं। फिर हमें बताया गया है कि 24 लड़के जूनियर हैं, और वे कुल लड़कों का अनुपात हैं जो दूसरे वर्ष की लड़कियों के अनुपात के समान है। इसका मतलब है: जहाँ x कुल लड़कों की संख्या है। यदि हम जानते हैं कि कक्षा में लड़कों और लड़कियों की संख्या समान है, तो कक्षा में कुल छात्रों की संख्या = 112।

उदाहरण 9: निशिता के पास हार, कंगन और अंगूठियाँ हैं जिनका अनुपात 7:5:4 है। यदि उसके पास कुल 64 आभूषण हैं, तो उसके पास कितने कंगन हैं? (क) 16 (ख) 20 (ग) 5 (घ) 28 (ङ) 32 उत्तर: (ख) 7x + 5x + 4x = 64 16x = 64 x = 4 कंगन: 5x = 5(4) = 20

उदाहरण 10: पाँच विभिन्न पिज़्ज़ा स्थान पाँच अलग-अलग विशेष पेशकश करते हैं। मान लीजिए कि सभी पिज़्ज़ा समान मोटाई के हैं और सभी की गुणवत्ता समान है, तो निम्नलिखित में से कौन सा सबसे अच्छा सौदा है? (a) $5.99 में 10 इंच व्यास का गोल पिज़्ज़ा (b) $8.99 में 12 इंच व्यास का गोल पिज़्ज़ा (c) $9.99 में 12 इंच x 8 इंच का आयताकार पिज़्ज़ा (d) $6.99 में 9 इंच x 9 इंच का वर्गाकार पिज़्ज़ा (e) $7.99 में 10 इंच x 10 इंच का वर्गाकार पिज़्ज़ा उत्तर: (a) चूंकि सभी पिज़्ज़ा समान मोटाई और गुणवत्ता के हैं, सबसे अच्छे सौदे का निर्धारण करने के लिए प्रत्येक का प्रति वर्ग इंच मूल्य निर्धारित करें। सबसे कम मूल्य सबसे अच्छे सौदे को दर्शाएगा।

संपादन करें बाद में एक गोल पिज़्ज़ा 10 इंच व्यास के लिए $5.99: पिज़्ज़ा का क्षेत्रफल वर्ग इंच में है। प्रति वर्ग इंच की लागत: 5.99÷25π=0.076 या 7.6 सेंट। एक गोल पिज़्ज़ा 12 इंच व्यास के लिए $8.99: पिज़्ज़ा का क्षेत्रफल वर्ग इंच में है A=πr²=π⋅62=36π। प्रति वर्ग इंच की लागत: 8.99÷36π=0.079 या 7.9 सेंट। एक 9 इंच x 9 इंच का वर्गाकार पिज़्ज़ा $6.99 में: पिज़्ज़ा का क्षेत्रफल वर्ग इंच में है 9⋅9=81। प्रति वर्ग इंच की लागत: 6.99÷81=0.086 या 8.6 सेंट। एक 10 इंच x 10 इंच का वर्गाकार पिज़्ज़ा $7.99 में: पिज़्ज़ा का क्षेत्रफल वर्ग इंच में है 10⋅10=100। प्रति वर्ग इंच की लागत: 7.99÷100=0.080 या 8.0 सेंट। एक 12 इंच x 8 इंच का आयताकार पिज़्ज़ा $9.99 में: पिज़्ज़ा का क्षेत्रफल वर्ग इंच में है 12⋅8=96। प्रति वर्ग इंच की लागत: 9.99÷96=0.104 या 10.4 सेंट। गोल पिज़्ज़ा 10 इंच व्यास के लिए $5.99 सबसे अच्छा सौदा है।

उदाहरण 11: यदि दो दोस्तों A और B की उम्र का अनुपात 3 : 5 है और B और C का अनुपात 3 : 5 है और तीनों दोस्तों की उम्र का योग 147 है, तो B की उम्र कितनी है? (a) 15 वर्ष (b) 75 वर्ष (c) 49 वर्ष (d) 45 वर्ष (e) 27 वर्ष उत्तर: (d)

दो दोस्तों A और B की उम्र का अनुपात = 3 : 5
दो दोस्तों B और C की उम्र का अनुपात = 3 : 5
A, B और C की उम्र का योग = A + B + C = 147 ... (i)

चरण 1: अनुपात को इस प्रकार व्यक्त करें कि B का मान दोनों अनुपात में समान हो।
B के मान को दोनों अनुपात में समान कैसे किया जाए?
दोनों अनुपात को इस प्रकार फिर से लिखें कि B का मान दोनों अनुपात में उनके मानों का LCM हो।

• पहले अनुपात को 3 से गुणा करें → A : B = 9 : 15
• दूसरे अनुपात को 5 से गुणा करें → B : C = 15 : 25

चरण 2: A : B : C की गणना करें
अब चूंकि B का मान दोनों अनुपात में समान है, A : B : C = 9 : 15 : 25

चरण 3: B की उम्र की गणना करें
तो, यदि A की उम्र 9x वर्ष है, तो B की उम्र 15x और C की उम्र 25x होगी।
उनकी उम्र का योग 147 है।
तो, 9x + 15x + 25x = 147
49x = 147 या x = 3
B की उम्र = 15x = 15 × 3 = 45
B की उम्र = 45 वर्ष
विकल्प D सही उत्तर है।

उदाहरण 12: एक बक्से में x लाल गेंदें हैं, तीन गुना हरी गेंदें और, आधी नीली गेंदें हैं जितनी लाल गेंदें हैं। यदि बक्से में कोई अन्य गेंदें नहीं हैं, तो निम्नलिखित में से बक्से में गेंदों की संख्या क्या हो सकती है?
(a) 22 (b) 44 (c) 54 (d) 33 (e) 24

लाल गेंदों की संख्या = x
हरी गेंदों की संख्या → लाल गेंदों की संख्या का तीन गुना = 3x
नीली गेंदों की संख्या → लाल गेंदों की संख्या का आधा = x/2
गेंदों की कुल संख्या = x + 3x + x/2 = 9x/2

गेंदों की कुल संख्या और लाल गेंदों की संख्या दोनों पूर्णांक हैं।
∴ 9x/2 और x दोनों पूर्णांक हैं।
यदि 9x/2 एक पूर्णांक है, तो x एक सम संख्या होनी चाहिए।
पांच उत्तर विकल्पों में से चार सम हैं।
हमारे पास उत्तर पर पहुँचने के लिए अतिरिक्त निष्कर्ष की आवश्यकता है।
किसी भी सम मान के लिए x, 9x/2 9 का गुणांक होगा।
इसलिए, गेंदों की कुल संख्या 9 का गुणांक होना चाहिए।
उत्तर विकल्पों में 9 का एकमात्र गुणांक 54 है।
बक्से में गेंदों की संख्या = 54

उदाहरण 13: यदि a, b, और c संख्याएँ हैं, ऐसी कि (a b) : (b c) : (c a) का अनुपात 15 : 11 : 12 है, तो

(a) मात्रा A अधिक है (b) मात्रा B अधिक है (c) दोनों मात्राएँ समान हैं (d) निर्धारित नहीं किया जा सकता

दी गई जानकारी (a b) : (b c) : (c a) = 15 : 11 : 12। a और c की तुलना करने के लिए, इस अनुपात के पहले दो घटकों की तुलना करना पर्याप्त है। (a b) : (c b) = 15 : 11। चूंकि b दोनों घटकों में एक स्थिरांक है, हम उपरोक्त अनुपात को समान करके a और c में से बड़े का पता लगा सकते हैं। हालांकि, यहाँ एक caveat है कि अनुपात a b : c b 15 : 11 है। या तो a और c दोनों सकारात्मक हैं या दोनों नकारात्मक हैं।

• केस 1: दोनों a और c सकारात्मक हैं। मान लीजिए (a b) का मान 15x है, और (c b) का मान 11x है। यदि x सकारात्मक है, तो यह स्पष्ट है कि 15x > 11x।
• ∴ (a b) > (c b) के आधार पर केस 1 से, हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि a > c।

• केस 2: दोनों a और c नकारात्मक हैं। मान लीजिए (a b) का मान 15x है, और (c b) का मान 11x है। यदि x नकारात्मक है, तो यह स्पष्ट है कि 15x < 11x।="" />
• ∴ (a b) < (c="" b)="" के="" आधार="" पर="" केस="" 2="" से,="" हम="" निष्कर्ष="" निकाल="" सकते="" हैं="" कि="" a="" />< c।="" />

चूंकि दोनों संभावनाएँ मौजूद हैं, हम प्रश्न में दी गई जानकारी के आधार पर यह निर्धारित नहीं कर सकते कि a या c में से कौन अधिक है। सही उत्तर पाने की कुंजी यह याद रखना है कि 15: 11 हमेशा दोनों मात्राओं के सकारात्मक होने का परिणाम नहीं देता है।