वेदिक गणित: हल किए गए उदाहरण | Mathematics for RRB NTPC (Hindi) - RRB NTPC/ASM/CA/TA PDF Download

जोड़ने और घटाने की प्रक्रिया

निम्नलिखित सुझावों का उपयोग जोड़ने और घटाने की प्रक्रिया को आसान और कम समय लेने वाला बनाता है। इस विधि में हम संख्याओं को सरल रूप में बदलते हैं और फिर इसके अनुसार हल करते हैं। आइए इस विधि को समझने के लिए एक उदाहरण लेते हैं।

उदाहरण 1: मान लीजिए हमें 689 और 95 को जोड़ना है।

हमें पता है कि 95 100 के करीब है, इसे ध्यान में रखते हुए हम 689 में 100 जोड़ सकते हैं और बाद में 5 घटा सकते हैं। इसलिए, 689 + 100 = 789 - 5 = 784, जो आवश्यक उत्तर है।

कुछ अन्य उदाहरण लें:

• 2. 67 + 693 = ? इसे इस तरह हल किया जा सकता है: 67 + 700 = 767 - 7 = 760।
• 3. 454 + 27 = ? इसे इस तरह हल किया जा सकता है: 454 + 30 = 484 - 3 = 481।

इसी तरह, घटाने की प्रक्रिया को इन सुझावों का उपयोग करके हल किया जा सकता है। चलिए कुछ उदाहरण लेते हैं:

• 1. 367 - 37 = ? इसे इस तरह हल किया जा सकता है: 367 - 40 = 327 + 3 = 330।
• 2. 289 - 58 = ? इसे इस तरह हल किया जा सकता है: 289 - 60 = 229 + 2 = 231।

श्रृंखला का योग

कभी-कभी हमें कई संख्याएँ जोड़नी होती हैं जो श्रृंखला में होती हैं, अर्थात्, वे एक निश्चित पैटर्न में होती हैं।

उदाहरण के लिए,

• 1. लगातार संख्याएँ: 1, 2, 3, 4, 5 आदि; या 12, 13, 14...
• 2. लगातार सम संख्याएँ: 2, 4, 6, 8 आदि; या 12, 14, 16...
• 3. लगातार विषम संख्याएँ: 3, 5, 7, 9 आदि; या 13, 15, 17...
• 4. लगातार नकारात्मक संख्याएँ: -1, -2, -3 आदि; या -11, -12, -13......
• 5. लगातार (सम) नकारात्मक संख्याएँ: -2, -4, -6 आदि; या -12, -14, -16.........
• 6. लगातार (विषम) नकारात्मक संख्याएँ: -3, -5, -7 आदि; या -13, -15, -17...

ऊपर दिए गए प्रकार के योग की गणना के लिए हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग कर सकते हैं: S = (F + L) × (N) / 2

जहां: S = सभी संख्याओं का योग F = अनुक्रम में पहली संख्या L = अनुक्रम में अंतिम संख्या N = अनुक्रम में तत्वों की संख्या

इस सूत्र का उपयोग करने के अन्य उदाहरण हैं: 1, 2, 3 ….. (50 तक) 3, 7, 11, 15, 19, 23 4, 9, 14, 19, 24, 29

गुणन

10 के गुणा करने के लिए विधियाँ (जैसे 10, 100, 1000 आदि)

यह बहुत सरल है, बस संख्या के पीछे उसी संख्या के शून्य लगाएँ जितने शून्य 1 के पीछे हैं। उदाहरण: 23 × 100

• यहां 1 के पीछे दो शून्य हैं, इसलिए 23 के पीछे दो शून्य लगाकर हम उत्तर प्राप्त करेंगे। इसलिए 23 × 100 = 2300।
• एक अन्य उदाहरण लें: 45 × 1000 = 45000

5 से संख्या के गुणा करने के लिए विधियाँ

• मान लीजिए n एक संख्या है जिसे 5 से गुणा करना है। यानी n x 5 = ? अब n या तो सम (even) हो सकता है या विषम (odd)।
• यदि n सम है, तो संख्या को आधा करें और उसके पीछे शून्य लगाएँ।

उदाहरण: 44 x 5 यहां 44 एक सम संख्या है, अब 44 का आधा 22 है और शून्य लगाकर यह 220 हो जाता है। इसलिए उत्तर है 220।

• अब यदि n विषम है, तो n से 1 घटाएँ और उस संख्या का आधा करें (यानी n - 1) और उसके पीछे 5 लगाएँ। उदाहरण 47 x 5 यहां 47 एक विषम संख्या है, अब 47 - 1 = 46, इसका आधा (46 / 2) 23 है और उसके पीछे '5' लगाकर यह 235 हो जाता है। इसलिए उत्तर 235 है।

25 से गुणा करने के लिए विधियाँ

हमें पता है कि 25 = 100 / 4, इसलिए गणना को सरल बनाने के लिए, संख्या को 100 से गुणा करें (यह बहुत सरल है, बस संख्या के अंत में दो शून्य लगाएँ) और फिर संख्या को 4 से विभाजित करें।

चलो एक उदाहरण लेते हैं

• 76 x 25 = ? अब पहले 76 को 100 से गुणा करें अर्थात् 76 x 100 = 7600 अब 7600 को 4 से विभाजित करें अर्थात् = 1900, इसलिए उत्तर।
• अब 7600 को 4 से विभाजित करें अर्थात् = 1900, इसलिए उत्तर।

गुणा करने के तरीके 25 से

जैसा कि 50 = है, इसलिए गणना को सरल बनाने के लिए, संख्या को 100 से गुणा करें और फिर उसे 2 से विभाजित करें। उदाहरण के लिए :

• 88 x 50 = ? पहले 88 को 100 से गुणा करें, अर्थात् 88 x 100 = 8800। अब इसे 2 से विभाजित करें, अर्थात् 8800 को 2 से विभाजित करें अर्थात् 4400, इसलिए उत्तर।
• अब इसे 2 से विभाजित करें, अर्थात् 8800 को 2 से विभाजित करें अर्थात् 4400, इसलिए उत्तर।

गुणा करने के तरीके 125 से

हमें पता है कि 125 = है, इसलिए गणना को सरल बनाने के लिए, संख्या को 1000 से गुणा करें (यह बहुत सरल है, बस संख्या के अंत में तीन शून्य जोड़ें) और फिर संख्या को 8 से विभाजित करें।

चलो एक उदाहरण लेते हैं 48 x 125 = ?

• अब पहले 48 को 1000 से गुणा करें अर्थात् 48 x 1000 = 48000। अब 48000 को 8 से विभाजित करें अर्थात् = 6000, इसलिए उत्तर।
• अब 48000 को 8 से विभाजित करें अर्थात् = 6000, इसलिए उत्तर।

गुणा करने के तरीके 11 से 19 तक की संख्याओं के लिए।

11 से गुणा करना

नियम:

• 1. गुणांक के सामने एक शून्य लगाएं
• 2. उत्तर को दाएं से बाएं एक-एक करके लिखें जैसे किसी भी गुणा में। उत्तर के आंकड़े गुणांक के प्रत्येक लगातार अंक में उसके दाएं पड़ोसी को जोड़ने से प्राप्त होते हैं। याद रखें कि दाएं पड़ोसी को जोड़ना है।

(1) 123 × 11 =?

चरण 1: गुणांक के सामने एक शून्य लगाएं ताकि यह 0123 पढ़ा जाए।

इसलिए, 123 × 11 = 1353 (जिसे आप पारंपरिक गुणा द्वारा आसानी से सत्यापित कर सकते हैं)।

12 से गुणा करना: यह विधि 11 के मामले में बिल्कुल समान है, सिवाय इसके कि आप प्रत्येक संख्या को जोड़ने से पहले दोगुना करते हैं।

(1) 13 × 12 = ?

चरण 1: गुणक के आगे एक शून्य जोड़ें ताकि यह 013 पढ़ा जाए।

इसलिए, 13 × 12 = 156 (जिसे आप फिर से पारंपरिक गुणा द्वारा सत्यापित कर सकते हैं)।

13 से 19 तक गुणा करना: 11 और 12 से गुणा करने के नियम में अंतर का कारण स्पष्ट है क्योंकि दाहिनी अंकों में भिन्नता है।

• दाहिना अंक, जिसे हम पैरेंट इंडेक्स नंबर (PIN) कह सकते हैं। इस प्रकार 11 में, PIN 1 है, और 12 में यह 2 है। (13 में यह 3 है; 14 में यह 4 है आदि।) जब PIN 1 होता है, हम गुणन के प्रत्येक अंक को (जिसे हम पैरेंट फिगर - PF संक्षेप में कह सकते हैं) सीधे लेते हैं और दाहिने पड़ोसी को जोड़ते हैं।
• स्पष्ट है, यदि PIN 3 है (जैसे 3 में), तो हम PF को तीन गुना करेंगे और फिर दाहिने पड़ोसी को जोड़ेंगे।
• यदि PIN 4 है (जैसे 14 में), तो हम PF को चार गुना करेंगे (यानी 4 से गुणा करेंगे) और फिर दाहिने पड़ोसी को जोड़ेंगे।

दो 2 अंकों वाले संख्याओं का गुणा:

दो 2-अंक के संख्याओं 12 और 23 का पारंपरिक गुणा नीचे दिखाया गया है: उपरोक्त से स्पष्ट है कि

(1) उत्तर का दाहिना अंक 6 वह उत्पाद है जो गुणांक के दाहिने अंक और गुणक के दाहिने अंक के \"लंबवत\" गुणन द्वारा प्राप्त किया गया है।

(2) उत्तर का बायाँ अंक 2 वह उत्पाद है जो गुणांक के बाएँ अंक और गुणक के बाएँ अंक के \"लंबवत\" गुणन द्वारा प्राप्त किया गया है।

(3) उत्तर का मध्य अंक 7, 3 और 4 का योग है। 3 गुणांक के बाएँ अंक और गुणक के दाहिने अंक का उत्पाद है; 4 गुणांक के दाहिने अंक और गुणक के बाएँ अंक का उत्पाद है। इसका मतलब यह है कि, मध्य अंक प्राप्त करने के लिए, \"आड़ा\" गुणा करना और दोनों उत्पादों को जोड़ना आवश्यक है (हमारे उदाहरण में 1 × 3 और 2 × 2)।

इसलिए, हमारे ऊपर दिए गए उदाहरण में कार्य को इस प्रकार चित्रित किया जा सकता है और इसे संक्षेप में इस प्रकार प्रस्तुत किया जा सकता है:

जब गुणा की जा रही दोनों संख्याओं में इकाइयों का अंक \"एक\" होता है, तो गुणन की प्रक्रिया और भी सरल हो जाती है। निम्नलिखित गुणा पर विचार करें: आप देखेंगे कि उत्तर का मध्य अंक 2 × 1 और 1 × 3 यानी (2 3) × 1 है। इसलिए, मध्य पद के लिए \"आड़ा\" गुणा करने के बजाय, आप बस दोनों संख्याओं के दसवें अंक को जोड़ सकते हैं। इसलिए, 31 × 21 = 6 / (2 3) / 1 = 651।

इसी प्रकार, 81 × 91 में, आप केवल 8 और 9 को जोड़कर मध्य पद 17 प्राप्त कर सकते हैं।

इसी तरह, जब गुणा की जा रही दोनों संख्याओं में दस का अंक \"एक\" होता है, तो आप दोनों संख्याओं के इकाइयों के अंक को जोड़कर मध्य पद प्राप्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, 12 × 17 में मध्य पद 2 7, यानी 9 है, 8 × 12 में यह 8 2, यानी 10 है आदि। यदि इकाइयों का अंक या दस का अंक दोनों संख्याओं में समान है, तो गुणन की प्रक्रिया को निम्नलिखित उदाहरणों के अनुसार सरल बनाया जा सकता है:

2 अंकों के संख्याओं के गुणनफल की गणना करने के लिए एक जटिल विधि:

नोट: इस विधि का उपयोग करने के लिए, आपको पहले से 100 तक के संख्याओं के वर्ग ज्ञात होने चाहिए।

• 1. दोनों संख्याओं का औसत निकालें।
• 2. अपने उत्तर का वर्ग निकालें (यहाँ आपको 100 तक के वर्गों की जानकारी होनी चाहिए)।
• 3. अपने मूल दो संख्याओं में से सबसे बड़ी संख्या को औसत से घटाएं।
• 4. उत्तर का वर्ग निकालें।
• 5. अंतिम उत्तर के लिए चरण 2 में अपने उत्तर से इसे घटाएं।

उदाहरण: 27 × 15

• पहले, औसत निकालें (42 / 2 = 21)
• फिर इसका वर्ग निकालें (21² = 441)
• अब सबसे बड़ी संख्या को औसत से घटाएं (27 - 21 = 6)
• अपने उत्तर का वर्ग निकालें (6² = 36)
• पहले वर्ग से इस वर्ग को घटाएं (441 - 36 = 405)।

यही आपका उत्तर है: 405। यह हर बार काम करता है, लेकिन ध्यान रखें कि औसत और अंतरों के परिणाम .5 में समाप्त हो सकते हैं, इसलिए आपको इन वर्गों के बारे में भी ज्ञात होना चाहिए। वैसे, यह ट्रिक काम करती है क्योंकि (x + y)(x - y) = x × x - y × y।

दो तीन अंकों की संख्याओं का गुणनफल

चलो हम गुणांक को ABC और गुणक को DEF मानते हैं, जैसा कि नीचे दिखाया गया है:

• 1. उत्तर का सबसे दाहिना अंक पहले की तरह लंबवत गुणन द्वारा प्राप्त होता है, अर्थात् C × F।
• 2. सबसे बायां अंक भी पहले की तरह लंबवत गुणन द्वारा प्राप्त होता है, अर्थात् A × D।
• 3. "बीच" के अंक पहले की तरह क्रॉस गुणन द्वारा प्राप्त होते हैं। एक समय में एक कदम आगे बढ़ते हुए, "बीच" के अंक क्रमशः हैं:
• B × F
• C × E
• A × F
• C × D
• B × E

A × E B × D

इस प्रक्रिया को नीचे दिए गए उदाहरणों के लिए विस्तार से प्रस्तुत किया गया है।

अलग-अलग लंबाई की संख्याओं का गुणन

ऊपर दिए गए उदाहरणों में, गुणक और गुणनफल दोनों में समान संख्या के अंक थे।

लेकिन अगर दो संख्याएँ अलग-अलग अंकों की हों; उदाहरण के लिए, 286 और 78 को हम कैसे गुणा करेंगे?

स्पष्ट रूप से, हम 78 के पहले एक शून्य जोड़ सकते हैं (ताकि यह 078 बन जाए, जो एक 3 अंकों की संख्या है) और किसी भी 3 अंकों की संख्याओं के गुणा के रूप में आगे बढ़ सकते हैं।

निम्नलिखित उदाहरण प्रक्रिया को स्पष्ट करेंगे:

किसी भी दो संख्याओं A और B का गुणा करना जो 10 की किसी शक्ति के करीब हों

• a. गुणन के लिए उस 10 की शक्ति को आधार के रूप में लें जो गुणा की जाने वाली संख्याओं के सबसे करीब हो।
• b. संख्याएँ A और B को बाईं ओर ऊपर और नीचे रखें।
• c. प्रत्येक संख्या को आधार (सबसे करीब की 10 की शक्ति) से घटाएं और शेष r1 और r2 को दाईं ओर लिखें, यदि संख्याएँ A और B सबसे करीब की 10 की शक्ति से कम हैं, तो A & r1 और B & r2 के बीच एक माइनस चिह्न के साथ। अन्यथा, संख्याओं और शेषों के बीच एक प्लस चिह्न का उपयोग करें।
• d. अंतिम उत्तर में दो भाग होंगे। एक बाईं ओर और दूसरा दाईं ओर। दाईं ओर शेषों का गुणन होगा और बाईं ओर A और r2 या B और r1 का अंतर होगा यदि संख्याएँ सबसे करीब की 10 की शक्ति से कम हैं। अन्यथा, यह A और r2 या B और r1 का योग होगा।

कुछ उदाहरण, जो प्रक्रिया को स्पष्ट करते हैं:

9 और 7 का गुणन

इन दोनों संख्याओं के लिए निकटतम आधार 10 है। इसलिए,

• 9 - 1 (10 से संख्या घटाने के बाद शेष)
• 7 - 3 (10 से संख्या घटाने के बाद शेष)

उत्तर का दाहिना पक्ष होगा 1 × 3 = 3। बाएं पक्ष की गणना 9 में से 3 घटाने या 7 में से 1 घटाने से की जा सकती है, जो 6 है। इसलिए, उत्तर 63 है।

100 के निकट संख्याएँ

इस मामले में निकटतम आधार 100 होगा। इसलिए,

• यहाँ, 6 पहली पंक्ति में 100 और 94 के बीच का अंतर है, और 13 दूसरी पंक्ति में 100 और 87 के बीच का अंतर है।
• उत्तर का दाहिना पक्ष 6 और 13 का गुणन है, जो 78 है और बाएं पक्ष को 87 और 6 या 94 और 13 के बीच का अंतर निकालकर प्राप्त किया जाता है, दोनों का उत्तर 81 है।

10 के निकटतम शक्ति से बड़ी संख्याएँ

108 और 112 का गुणन ज्ञात करें। निकटतम आधार भी 100 है। इसलिए,

• प्रक्रिया वही है, केवल अंतर यह है कि एक संख्या से दूसरी संख्या का शेष घटाने के बजाय, हम यहाँ जोड़ते हैं क्योंकि संख्या 10 की निकटतम शक्ति से थोड़ी बड़ी है।
• जब शेषों के गुणन का अंशांकण 10 की निकटतम शक्ति से अधिक हो जाता है। उदाहरण:

जैसा कि 16 और 8 का गुणन 128 है, जो तीन अंकों की संख्या है जबकि 10 की शक्ति 2 है, हम बाईं ओर के अंकों को 2 अंकों से अधिक (इस मामले में) ले जाते हैं और 76 में जोड़ते हैं, जो उत्तर का बायाँ पक्ष है। उदाहरण: जब एक संख्या निकटतम शक्ति से कम होती है और दूसरी संख्या निकटतम शक्ति से अधिक होती है।

88 और 106 का गुणन

क्रिया समान है, सिवाय इसके कि उत्तर का दाहिना पक्ष एक सकारात्मक और एक नकारात्मक संख्या के गुणन के द्वारा प्राप्त होता है, उत्तर को 100 से घटाना होगा, बाएं पक्ष की संख्या को 1 से कम करके। इसलिए, उत्तर 9504 है।

10 की निकटतम शक्ति के करीब नहीं होने वाली संख्याओं का गुणन

हम 41 के 43 से गुणन का मामला लेते हैं। पहले के तरीके से, निकटतम शक्ति 100 या 10 है। पहले मामले में, शेष 59 और 57 हैं, जिनका गुणन उतना ही कठिन होगा जितना इन दो संख्याओं का गुणन। दूसरे मामले में, शेष 31 और 33 होंगे, जो समान रूप से कठिन होंगे। इसलिए, हमें एक वैकल्पिक विधि पर विचार करने की आवश्यकता है।

इस मामले में, हम 50 को आधार के रूप में ले सकते हैं, जो 100 का आधा या 10 का गुणांक है और आगे बढ़ते हैं।

विधि 1: 50 को आधार के रूप में लें, जो 100 का आधा है क्योंकि 50 = 100/2। हम बाईं ओर के संख्या को भी 2 से विभाजित करते हैं जबकि दाईं ओर को बनाए रखते हैं। इसलिए, उत्तर 1763 होगा।

विधि 2: हम 50 को आधार के बजाय 40 का उपयोग कर सकते हैं और चूंकि 40, 10 का 4 गुना है, हम 44 को 4 से गुणा करते हैं, जिससे 176 प्राप्त होता है और दाहिनी ओर जोड़ते हैं जिससे 1763 प्राप्त होता है - यही उत्तर है।

किसी भी तीन अंकों वाले संख्या का 101 से गुणा
उदाहरण 349 × 101
3 और 9 को जोड़ें। यह 12 है। 2 उत्तर का मध्य अंक है, 1 आगे ले जाने वाला है। पहले दो अंकों को लें, अर्थात् 34। इसमें आगे ले जाने वाला 1 जोड़ें। यह 35 है। ये उत्तर के पहले दो अंक हैं। संख्या के अंतिम दो अंकों को लें, 49। 49 उत्तर के अंतिम दो अंक हैं। इसलिए उत्तर है 35249। आइए कुछ और उदाहरण लें।

तीन अंकों वाली संख्या को 7 × 11 × 13 से गुणा करें
इसका उत्तर क्या है? बस संख्या को दो बार लिखें। उदाहरण के लिए, 346 × 7 × 11 × 13 = 346346
845 × 7 × 11 × 13 = 845845

5 से समाप्त होने वाली संख्याओं का गुणनफल जो 10 से भिन्न होते हैं
उदाहरण: 45 × 35
चरण 1: सबसे पहले गुणनफल के अंतिम दो स्थानों में 75 लिखें। 45 × 35 = __75
चरण 2: फिर 4 को 3 से गुणा करें और इनका सबसे छोटा जोड़ें, अर्थात् (4 × 3 + 3) = 15
चरण 3: अब इन दो अंकों को 75 के पहले रखें ताकि हमें आवश्यक गुणनफल मिल सके, अर्थात् 45 × 35 = 1575

दो पूरक संख्याओं का गुणनफल

वे क्या हैं?

हम गुणनफल की गणना करने पर चर्चा करने से पहले, सबसे पहले यह परिभाषित करेंगे कि पूरक संख्याएँ क्या होती हैं। पूरक संख्याएँ दो संख्याएँ होती हैं जो 10 की किसी शक्ति के बराबर होती हैं। उदाहरण के लिए, 2 और 8 पूरक हैं, क्योंकि वे 10 के बराबर होते हैं। इसी प्रकार 22 और 78 पूरक हैं, क्योंकि वे 100 के बराबर होते हैं, और इसी तरह।

10 तक जोड़ने वाले संख्याएँ

लगभग सभी लोग 2 × 8 (या 2 x 8) को गुणा तालिका की मदद से हल करने की अपेक्षा रखते हैं। एक कम ज्ञात तथ्य यह है कि 2 x 8 का मान 5 के वर्ग (दो और आठ का औसत) और 3 के वर्ग का अंतर है (= 8 - 5 = 5 - 2), अर्थात् 2 × 8 = 5 × 5 - 3 × 3 = 16।

100, 1000, 10000 आदि तक जोड़ने वाली संख्याएँ। 42 × 58 का गुणनफल निकालने के लिए, हम पिछले पैरा में वर्णित संबंध का उपयोग करते हैं: 42 × 58 = (50 - 8) × (50 + 8) = 50 × 50 - 8 × 8 = 2500 - 64 = 2436। दूसरे शब्दों में, किसी दो संख्याओं N1 और N2 को गुणा करने के लिए, हमें केवल औसत संख्या N (जो कि 5, 50, 500...) का वर्ग करना है और उसमें से अंतर का वर्ग (N - N1) घटाना है।

उदाहरण: 45 × 55 = 50 × 50 - 5 × 5 = 2500 - 25 = 2475। 4899 × 5101 = 5000 × 5000 - 101 × 101 = 25,000,000 - 10201 = 24,989,799

आंशिक रूप से पूरक संख्याओं का गुणनफल

आंशिक रूप से पूरक संख्याएँ क्या होती हैं?

हमने देखा है कि पूरक संख्याएँ 10 की किसी शक्ति के बराबर होती हैं। आंशिक रूप से पूरक संख्याओं में उनके पहले अंकों में समानता होती है (जड़), और उनके अंतिम अंक (उपसर्ग) 10 की शक्ति के बराबर होते हैं। उदाहरण के लिए, 43 और 57 पूरक हैं, क्योंकि 43 और 57 का योग 100 है, जो कि 10 की शक्ति है। दूसरी ओर, 343 और 357 आंशिक रूप से पूरक हैं, जड़ 3 है और उपसर्ग 43 और 57 हैं।

उपसर्ग जो 10 तक जोड़ते हैं गुणनफल निकालने के लिए, आपको जड़ और अगले अंक का गुणनफल निकालना होगा, और उपसर्गों का गुणनफल जोड़ना होगा।

53 को 57 से गुणा करने के लिए, हम पहचानते हैं कि इसका मूल 5 है और उपसर्ग 3 और 7 हैं। इसलिए मूल और अगले नंबर का गुणनफल 5 × (5 + 1) = 30 है। 30 में 3 और 7 का गुणनफल (= 21) जोड़ने पर हमें 3021 मिलता है। इस प्रकार, 53 × 57 = 3021। ध्यान दें कि यह 5 पर समाप्त होने वाले संख्याओं के वर्गों की गणना के लिए की गई प्रक्रिया के समान है। 25 जोड़ने के बजाय, हम उपसर्ग का गुणनफल जोड़ते हैं।

इन सभी में, इकाई अंकों का योग 10 है [3 + 7] (i) में, 4 + 6 (ii) में और 2 + 8 (iii) में, साथ ही गुणा करने वाले और गुणक के अन्य अंक समान हैं [2 (i) में, 9 (ii) में और 98 (iii) में]।

ऐसे मामलों में, एक विशेष विधि का उपयोग किया जा सकता है। लेकिन नए तरीके को देखने से पहले, चलिए हम 23 को 27 से गुणा करने की विधि पर विचार करते हैं, जिसे हमने सीखा था। 23 × 27 का उत्तर 621 होगा। क्या आप उत्तर के बारे में कुछ विशेष नोटिस करते हैं? दांएं भाग 3 और 7 के इकाई अंकों का गुणनफल है और उत्तर का बायां भाग 6, 2 (दहाई अंक) और अगले उच्च संख्या 3 का गुणनफल है।

यह हमें विशेष नियम देता है: (1) उत्तर के दांएं भाग को प्राप्त करने के लिए, 2 संख्याओं के इकाई (यानी सबसे दांएं) अंश का गुणा करें। (2) उत्तर के बायां भाग को प्राप्त करने के लिए, अन्य (यानी बायां) अंशों को स्वयं से एक अधिक से गुणा करें। उदाहरण के लिए, यदि 2 संख्याओं के बायां अंश 3 है, तो 3 को (3 + 1) यानी 4 से गुणा करें। 5 को 6 से, 6 को 7 से, 99 को 100 से, 100 को 101 से, 888 को 889 से इत्यादि गुणा करें।

आपको केवल इस बात का ध्यान रखना है कि उत्तर का सही भाग हमेशा 2 अंकों में होना चाहिए। उदाहरण के लिए, 29 × 21 में, उत्तर का बायां भाग 2 (2 1) है और दायां भाग 9 × 1 यानी 9 है; हालाँकि दायां भाग 09 के रूप में लिखा जाएगा, न कि 9 के रूप में क्योंकि दायें भाग में 2 अंक होने चाहिए। इसलिए, 29 × 21 = 609।

वह संख्याएँ जो 100, 1000, 10000 आदि के योग में आती हैं।

समान चरणों का पालन किया जाएगा। मूल संख्या को अगले संख्या से गुणा करें। उपसर्ग के गुणनफल को जोड़ें। उदाहरण के लिए, 1545 × 1555 के लिए, मूल संख्या 15 है, उपसर्ग 45 और 55 हैं। इसलिए, मूल संख्या और अगले संख्या का गुणनफल है 15 × (15 1) = 240। इसके बाद, हम उपसर्ग का गुणनफल जोड़ते हैं, 45 × 55 = 2475। यहाँ उपसर्ग दो अंकों के लंबे हैं, और उनका गुणनफल इसलिए चार अंकों में होना चाहिए। इसलिए, 1545 × 1555 = 2402475।

नंबर का गुणा जो एक-दूसरे के करीब हैं:

• 24 × 26 = ?
• 28 × 32 = ?
• 87 × 93 = ?

इस शॉर्टकट में हम बीजगणित के अनुप्रयोग का उपयोग करते हैं। हमें पता है कि a² - b² = (a + b)(a - b)। अब क्योंकि 24 × 26 को (25 1) × (25 - 1) के रूप में लिखा जा सकता है। अब ऊपर दिए गए सूत्र का उपयोग करते हुए, यह बराबर है 25² - 1² = 625 - 1 = 624, जो कि आवश्यक उत्तर है। इसी तरह, 87 × 93 = (90 3) × (90 - 3) = 90² - 3² = 8100 - 9 = 8091। 28 × 32 = (30 2) × (30 - 2) = 30² - 2² = 900 - 4 = 896।

संख्याओं के वर्ग: यह अक्सर उपयोगी होता है कि बिना कैलकुलेटर के संख्याओं के वर्ग ज्ञात हों। उदाहरण के लिए, यदि आपको 12'-6" × 12'-6" के कमरे की छत को रंगना है। यदि एक क्वार्ट 8 वर्ग मीटर को कवर करता है, तो आप इस प्रकार तर्क करेंगे:

एक क्वार्ट 8 वर्ग मीटर = 80 वर्ग फुट को कवर करता है।

12.5 x 12.5 = 156.25, इसलिए आपको 160 वर्ग फुट को कवर करने के लिए 2 क्वार्ट रंग की आवश्यकता होगी।

सामान्यतः, यह संभव है कि एक औसत व्यक्ति बिना कैलकुलेटर के 100 तक के पूर्णांकों के वर्ग प्रदान कर सके। कुछ संख्याएँ आसानी से याद की जा सकती हैं, और अन्य कुछ 'तरिकों' द्वारा प्राप्त की जा सकती हैं। यह लेख कुछ संख्याओं के वर्ग को याद करने या गणना करने के लिए कुछ उपकरण प्रदान करता है।

संख्याएँ विधि

वर्ग करने के कुछ अन्य तरीके

• चलो संख्याओं 11 - 19 से शुरू करते हैं। मुझे पता है, 11 और 12 में कोई समस्या नहीं होनी चाहिए लेकिन 13 से ऊपर की कोई भी संख्या कभी भी फ्लैशकार्ड नहीं रही...
• एकों की संख्या का वर्ग लें। यह आपका अंतिम अंक बन जाता है।
• एकों की संख्या को 2 से गुणा करें। यह आपका दूसरा अंक बन जाता है।
• दर्जन के अंक (यानी 1) को बनाए रखें और ऊपर के परिणामों को जोड़ें।

उदाहरण के लिए 172 लें। 72 = 49। 9 आपका अंतिम अंक है। 4 को बाईं ओर ले जाएं। 7 x 2 = 14। 4 (पहले चरण से बचे 4 के साथ) आपका दूसरा अंक है, 8। पहले की तरह 1 को बाईं ओर ले जाएं। \"17\" से 1 को बनाए रखें, उसे पहले के चरण से बचे 1 में जोड़ें, और आपको 289 मिलता है। दिलचस्प है लेकिन शायद संख्याओं को सीधे गुणा करने से तेज नहीं।

2. संख्याओं 51 से 100 के वर्ग करने की सामान्य विधि

• जिस संख्या का वर्ग करना है, उसे 100 से घटाएं। (100 - x)
• इस अंतर को उस संख्या से घटाएं जिसका वर्ग करना है। (x - (100 - x)). यह आपके उत्तर के पहले 2 अंक हैं।
• अंतर का वर्ग करें, चरण 1 का उत्तर। यह आपके उत्तर के अंतिम 2 अंक हैं।

उदाहरण के लिए 962 लें। 100 - 96 = 4। 96 - 4 = 92। आप आधे रास्ते पर हैं। 92__. 42 = 16। आपके अंतिम 2 अंक यहाँ हैं। इस प्रकार, आपका उत्तर: 9,216। 882 का प्रयास करें। 100 - 88 = 12। 88 - 12 = 76। 76__. 122 = 144। अब क्या? 882 76144 नहीं है! 922 केवल 9216 था। ठीक है, अब काफी नाटकीयता। 6 के ऊपर 1 ले जाएँ। _144 76__ 7,744

यदि आप इसे पसंद करते हैं, तो नंबर 50-59 के लिए इसे देखें: यह एक साधारण नियम है: दसवां अंक का वर्ग करें और उस पर अपने मूल संख्या का एकांक जोड़ें। यही आपके पहले दो अंक हैं। दूसरा, अपने एकांक का वर्ग करें। यही आपके अंतिम दो अंक हैं। समझे? 54 के साथ इसे आजमाएं। यह समझ में आना चाहिए। 1. 52 4 = 29। यही हमारे पहले दो अंक हैं। 2. 42 = 16। यही हमारे अंतिम दो अंक हैं। इस प्रकार, उत्तर 2916 है।

संख्याओं का वर्ग करने के लिए 51 से 59 के लिए एक और विधि। एक सामान्य सूत्र है (5x)² = (25 x)/x² जहाँ x इकाई स्थान में एक अंक है। नोट: यहाँ स्लैश का अर्थ विभाजन नहीं है। यह केवल दो मानों के बीच भेद करने के लिए है। x² एक दो अंकों की संख्या होनी चाहिए। यदि यह एकल अंक है, तो इसे 0 का प्रिफिक्स लगाकर दो अंकों की संख्या बनाएं। उदाहरण: 32 = 9, इसे दो अंकों की संख्या में बदलें अर्थात 09। चलिए 54 का वर्ग निकालते हैं। इस मामले में हमारा x 4 है (54)² = (25 4)/42 = 29/16 = 2916 हमारा उत्तर है।

100 से बड़ी संख्याओं के बारे में क्या? यहाँ चरण और एक उदाहरण है। 1. उस संख्या से 100 घटाएं जिसे आप वर्ग करना चाहते हैं (x - 100)। 2. अंतर को लें और उसे उस संख्या में जोड़ें जिसे आप वर्ग करना चाहते हैं। (x (x - 100)). यह आपके उत्तर के पहले 3 अंक हैं। 3. अंतर का वर्ग करें, जो चरण 1 का उत्तर है। यह आपके उत्तर के अंतिम 2 अंक हैं।

उदाहरण: 1122 112 - 100 = 12 112 12 = 124। 124__। 122 = 144। 4 पर 1 को ले जाएं। __144 124__ 12,544

1000 के चारों ओर संख्याओं के बारे में क्या? ऊपर दिए गए नियमों का उपयोग करें। यहाँ 2 उदाहरण हैं: 9962 1000 - 996 = 4 996 - 4 = 992। 992___ पहले 3 अंक। 42 = 16। अंतिम 3 अंक। उत्तर: 992,016

क्या समझ में आया? 10072 1007 - 1000 = 7 1007 7 = 1014। 1014___ पहले 4 अंक। 72 = 49। अंतिम 3 अंक। उत्तर: 1,014,049

किसी भी दो अंकों की संख्या "a" का वर्ग निकालने का एक और तरीका है। "a" दसवें स्थान में एक अंक है। इसे 1 - 9 के अंकों से प्रतिस्थापित किया जाता है। प्रक्रियाएँ: ध्यान दें: वो संख्याएँ जो a(a 1) पर रखी जाती हैं, आसानी से इकाई स्थान के अंकों का वर्ग निकालकर प्राप्त की जा सकती हैं। a1, (12) फिर 01 वह संख्या है जो रखी जाएगी। a2, (22) फिर 04 वह संख्या है जो रखी जाएगी। a3, (32) फिर 09 वह संख्या है जो रखी जाएगी। a4, (42) फिर 16 (016 नहीं) वह संख्या है जो रखी जाएगी। a5, 25; a6, 36; और इसी तरह.. a9 तक जिसमें 81 वह संख्या होगी जो a(a 1) पर रखी जाएगी। उदाहरण:

हम यह कैसे याद रखें कि हमें कौन सा नंबर जोड़ना या घटाना है? यदि आपके दो अंकों की संख्या का अंतिम अंक 1 - 4 के बीच है, तो क्रिया घटाना है। यह जानने के लिए कि दसवें अंक से कौन सा नंबर घटाना है, इकाई स्थान के अंकों को जोड़ें और परिणाम को दस से घटाएं। [आखिरी परिणाम को "a" से गुणा करना न भूलें]। यदि अंतिम अंक 6 - 9 के बीच है, तो क्रिया जोड़ना है। यह जानने के लिए कि दसवें अंक में कौन सा नंबर जोड़ना है, इकाई स्थान के अंकों को जोड़ें और परिणाम में से दस घटाएं। [आखिरी परिणाम को "a" से गुणा करना न भूलें]। याद रखें, इस विधि का उपयोग केवल दो अंकों की संख्याओं के वर्ग के लिए करें।

5 में समाप्त होने वाले संख्याओं का वर्ग निकालना

उपर्युक्त विधि का एक स्पष्ट विस्तार 5 में समाप्त होने वाले संख्याओं के वर्ग को निकालने में होगा। उदाहरण के लिए 15 × 15। यहाँ दोनों संख्याओं के इकाई अंकों का योग समान है। इसलिए, उपर्युक्त विधि लागू होगी। वास्तव में, यह 5 में समाप्त होने वाली किसी भी संख्या के वर्ग में लागू होगा। चूंकि इन सभी मामलों में गुणा करने वाले और गुणक का दाएं अंक 5 होता है, उत्तर का दायां भाग हमेशा 25 होता है और इसलिए, बिना किसी गणना के हम उत्तर का दायां भाग 25 के रूप में यांत्रिक रूप से सेट कर सकते हैं - हमें केवल उत्तर के बाएं भाग को खोजने की आवश्यकता है और यह ठीक उसी तरह किया जाता है जैसे पिछले अनुभाग में किया गया था। 152 = 225

252 = 625

8752 = 765625

89952 = 80910025

संख्याओं का वर्ग करने के लिए केवल 1 (11)² = ? (111)² = ? (1111)² = ?

यह बहुत सरल है, बस प्रश्न में ‘1’ की संख्या को गिनें और उस संख्या तक के प्राकृतिक संख्याओं को बढ़ते क्रम में लिखें, फिर 1 तक घटते क्रम में। तो उपरोक्त प्रश्नों के उत्तर हैं (11)² = 121, (111)² = 12321, (1111)² = 1234321।

संख्याओं का वर्ग करने के लिए केवल 9 (99)² = ? (999)² = ? (9999)² = ? इस विधि में, प्रश्न में 9 की संख्या को गिनें। मान लीजिए कि 9 की संख्या n है। तब संख्या का वर्ग है (n - 1) नौ | 8 | (n - 1) शून्य | 1। (99)² = दो 9 अर्थात n = 2, इसलिए उत्तर है ⇒ (2 - 1) नौ | 8 | (2 - 1) शून्य | 1 = 9801। (999)² = यहाँ n = 3, इसलिए उत्तर है ⇒ दो 9 | 8 | दो शून्य | 1 = 998001। (9999)² = यहाँ n = 4, इसलिए उत्तर है ⇒ 99980001।

101 और 199 के बीच के संख्याओं का वर्ग उदाहरण के लिए (119)² = ?

• a) संख्या 119 के अंतिम दो अंकों को संख्या में जोड़ें 19 = 138
• b) अंतिम दो अंकों का वर्ग 19 × 19 = 361। अंतिम दो अंकों को, 61 को उत्तर के अंतिम दो अंकों के रूप में लें। बाकी के अंकों को आगे बढ़ा दें।
• c) आगे बढ़ाए गए 3 को 138 में जोड़ें। 138 + 3 = 141। ये उत्तर के पहले तीन अंक हैं। तो उत्तर है 14161।

कुछ और उदाहरण लें। 1. (145)² = ?

• a) 145 + 45 = 190
• b) 45 × 45 = 2025
• c) 190 + 20 = 210। इसलिए उत्तर है, 21025।

2. 106 × 106

• a) 106 + 06 = 112
• b) 06 × 06 = 36
• c) 112 + 0 = 112। इसलिए उत्तर है, 11236।

सटीक घन के घनमूल

(1) सबसे छोटे घन, अर्थात पहले नौ प्राकृतिक संख्याओं के घन हैं 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512 और 729।

(2) इस प्रकार, सभी के अपने-अपने अलग अंत होते हैं; और वर्गों के मामले में ओवरलैपिंग या संदेह की कोई संभावना नहीं होती।

(3) इसलिए, एक सटीक घन की घनमूल का अंतिम अंक स्पष्ट है:

(4) दूसरे शब्दों में, (i) 1, 4, 5, 6, 9 और 0 घन के अंत में खुद को दोहराते हैं; और (ii) 2, 3, 7 और 8 में 10 से पूरक का आपसी खेल होता है।

(5) घनमूल में अंकों की संख्या मूल घन में 3-अंक समूहों की संख्या के समान होती है, जिसमें कोई एकल अंक या दो अंकों का समूह शामिल हो सकता है:

(6) घनमूल का पहला अंक हमेशा घन में पहले समूह से स्पष्ट होगा। (7) इस प्रकार, अंकों की संख्या, पहले अंक और अंतिम अंक एक सटीक घन के घनमूल को निकालने का कार्य आरंभ करने के लिए डेटा हैं।

तुरंत घनमूल निर्धारित करने के लिए, ये आसान चरणों का पालन करें: उदाहरण: 438976 का घनमूल खोजें। 1. अंतिम तीन अंकों को छोड़ दें और 438 में सबसे बड़ा घन खोजें। यह 73 = 343 है, इसलिए दस का अंक 7 है। (इसलिए आपको 1 से 9 तक के अंकों के घनों को याद करना पड़ा)। 2. अब अंतिम तीन अंकों पर वापस जाएं। अंतिम अंक, 6 पर देखें। यह 63 के समान अंत है, इसलिए आपका इकाई का अंक 6 है। इस प्रकार, 438976 का घनमूल 76 है।

एक और उदाहरण: 79507 का घनमूल आप तुरंत कैसे निर्धारित करेंगे? 1. अंतिम तीन अंकों को छोड़ दें और 79 में सबसे बड़ा घन खोजें। यह 43 = 64 है, इसलिए घनमूल का दस का अंक 4 है। 2. अब अंतिम तीन अंकों पर वापस जाएं। अंतिम अंक, 7 पर देखें। इसका अंत 3 के घन के समान है। इसलिए, आपके घनमूल का इकाई का अंक 3 है। इसलिए, 79507 का घनमूल 43 है।

वर्गमूल के मान को दो दशमलव स्थानों तक अनुमानित करना

यदि आपको 90 का वर्गमूल सटीकता से निकालना है, तो आप इसे जल्दी कैसे करेंगे? इस सरल नियम का पालन करें:

• (1) उस पूर्णांक को खोजें, जिसका वर्ग 90 के करीब हो। (हम 9 ले सकते हैं, क्योंकि 9² = 81, जो 90 के करीब है)
• (2) इस मूल का वर्ग संख्या यानी 90 से घटाएं। इसका मतलब है 90 - 81 = 9।
• (3) प्राप्त संख्या को वर्गमूल के मूल्य (यानी 9) के दो गुना से विभाजित करें।

यह पहले से अनुमानित वर्गमूल में सुधार है। इस मान को अनुमानित मूल में जोड़ें और वर्गमूल का अनुमानित मान प्राप्त करें, यानी 9 + 0.5 = 9.5। इसलिए, 9.5 90 का अनुमानित वर्गमूल है।

एक और उदाहरण:

• (1) 250 का वर्गमूल निकाले। निकटतम वर्ग 256 है। अनुमानित वर्गमूल 16 है।
• 250 में से 256 घटाएं = -6।
• इसे 2 गुना 16 से विभाजित करें = -0.1875।
• 16 में जोड़ें = 16 - 0.1875 = 15.8125।

एक अन्य विधि (क्ले की विधि) वर्गमूल का अनुमान लगाने के लिए:

यदि आप लंबे भाग से अच्छी तरह परिचित हैं, तो यह एक त्वरित तरीका है जो बिना कैलकुलेटर के सटीक वर्गमूल निकालने में मदद करेगा। चलिए 24.6 का प्रयास करते हैं।

• 1. एक अनुमान लगाएं। यह बहुत बुरा अनुमान हो सकता है। कोई फर्क नहीं पड़ता। आप यहां तक कि 1 का अनुमान लगा सकते हैं। चलिए 5 का प्रयास करते हैं क्योंकि 5² = 25, जो 24.6 के काफी करीब है।
• 2. 24.6 को 5 से विभाजित करें। 24.6 / 5 = 4.92।
• 3. अब एक नया अनुमान चुनें, 5 और 4.92 के बीच और इसे फिर से 24.6 में विभाजित करें। चलिए 4.95 का प्रयास करते हैं। 24.6 / 4.95 = 4.96।
• 4.96 4.9598 के करीब है, जो 24.6 का वास्तविक वर्गमूल है।
• 4. किसी भी इच्छित सटीकता के स्तर तक चरण 2 और 3 को दोहराएं। जितना आगे जाएंगे, लंबा भाग करना उतना कठिन हो जाएगा। लेकिन पहले कुछ चक्र काफी करीब का उत्तर देते हैं।

इसका कारण यह है कि n*n = 24.6 और n = 24.6 / n। इसलिए, वास्तविक वर्गमूल हमेशा 24.6 / n और n के बीच कहीं होगा।

किसी संख्या का वर्गमूल खोजने के लिए एक और विधि (न्यूटन की विधि)। चलिए 24.6 का वर्गमूल निकालने का प्रयास करते हैं। जैसा कि क्ले ने किया, प्रारंभिक अनुमान 5 है। तो N = 24.6, और E = 5। न्यूटन की विधि कहती है कि एक बेहतर अनुमान, E1 है: E1 = E (N - E × E)/(2E)। = 5 (24.6 - 5 × 5)/(2 × 5) = 5 - 0.4 / 10 = 4.96 (त्रुटि = 0.0033%)। इसे मानसिक अंकगणित का उपयोग करते हुए आसानी से संभाला जा सकता है, और यह वास्तविक मान 4.9598 के काफी करीब है। मानसिक अंकगणित का उपयोग जारी रखते हुए (क्ले के गुणा ट्रिक्स पर लेख देखें), हम मानसिक रूप से 4.96 × 4.96 = 5 × 5 - 2 × 0.04 × 5 0.0016 = 24.6016 की गणना कर सकते हैं। इस बार अवशेष 0.0016 है, जिसे 2 × 4.96 = 9.92 से विभाजित करने पर अगला अनुमान मिलता है, E2 = E1 (N - E1 × E1) / (2 × E1) = 4.96 - 0.0016/9.92। अब, हम देख सकते हैं कि हम विभाजन को कैसे संभाल सकते हैं। यह अनुमान 0.0016/10 = 0.00016 बहुत करीब है। वास्तव में, यह E2 = 4.95984 देता है, त्रुटि 0.0000261%! हालाँकि, यदि आप अपने मानसिक अंकगणित को और आगे बढ़ाना चाहते हैं, तो मानसिक रूप से विभाजन संभव है! आप देखते हैं कि 10 के बजाय 9.92 से विभाजित करने पर परिणाम में 0.8% अधिक मिलता है, जिसे हम सरलता से 0.00016 में जोड़ सकते हैं: 0.00000128 = 0.00016128। इसलिए E2 = E1 - 0.00016128 = 4.95983872, वास्तविक मान 4.959838707 की तुलना में (त्रुटि 0.0000003%)। मुझे लगता है कि हम 8 अंकों तक प्रदर्शित करने वाले कैलकुलेटरों की तुलना में बेहतर प्रदर्शन करते हैं, केवल अपने दिमाग का उपयोग करते हुए, न कि पेंसिल और कागज का!

भिन्नों की तुलना

हम जानते हैं कि यदि सभी भिन्नों का हर (denominator) समान हो, तो बड़ा हर (numerator) वाला भिन्न बड़ा होगा और छोटा हर वाला भिन्न छोटा होगा। आइए एक उदाहरण लेते हैं। पहला भिन्न सबसे छोटा है और आखिरी सबसे बड़ा है। इसी प्रकार, यदि सभी भिन्नों का हर समान हो, तो बड़ा हर वाला भिन्न छोटे मूल्य का होगा और इसके विपरीत। आइए एक उदाहरण लेते हैं, पहला भिन्न सबसे बड़ा है और आखिरी सबसे छोटा है। जब न तो हर और न ही हर (denominator) समान हो, तब क्या होता है? हम जानते हैं कि इस स्थिति में, मूल विधि LCM विधि द्वारा होती है, अर्थात् हर को समान बनाना। लेकिन हम यह नहीं जानते कि हम हर को भी समान बना सकते हैं। इसलिए हमें यह जांचना होगा कि किसका LCM खोजना आसान है, हर या हर के मान के आधार पर।

आइए इसे एक उदाहरण की मदद से समझते हैं। अब हम देख सकते हैं कि 25, 35 और 30 का LCM खोजना कुछ कठिन है। इसलिए हम हर के LCM, अर्थात् 1, 2 और 3 का LCM निकालते हैं। जो कि 6 है। तो हमारी समस्या अब तुलना में बदल जाती है। यहाँ हम देख सकते हैं कि हर समान होने पर, आखिरी भिन्न सबसे बड़ा है।

• यदि प्रत्येक हर अपने हर से समान मान से छोटा है। इस स्थिति में बड़ा अंक वाला भिन्न बड़ा होगा और इसके विपरीत।
• उदाहरण के लिए: उपरोक्त विधि का उपयोग कर हम आसानी से सभी की तुलना कर सकते हैं। इस तरह सबसे बड़ा है, दूसरा सबसे बड़ा है, तीसरा सबसे बड़ा है और सबसे छोटा है।

यदि प्रत्येक हर अपने हर से समान मान से बड़ा है। इस स्थिति में बड़ा अंक वाला भिन्न छोटा होगा और इसके विपरीत।

• उदाहरण के लिए: उपरोक्त विधि का उपयोग कर हम आसानी से कह सकते हैं कि सबसे बड़ा है, दूसरा सबसे बड़ा है और सबसे छोटा है।

तार्किक तुलना

यह शॉर्टकट हमारी तर्क शक्ति पर अधिक निर्भर करता है। इस विधि का उपयोग करने की मूल आवश्यकता यह है कि हमें भिन्न के अनुमानित मान की गणना करने में सक्षम होना चाहिए। आइए एक उदाहरण लेते हैं।

अब पहले भिन्न को देखें, हम देखते हैं कि हर 28 है और 28 का आधा 14 है, 15 14 से बड़ा है, इसलिए इस भिन्न का मान थोड़ा अधिक है। इसी प्रकार, दूसरे भिन्न में, हर 34 है और 34 का आधा 17 है, 16 17 से कम है, इसलिए इस भिन्न का मान थोड़ा कम है। इन दो परिणामों को मिलाकर हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि पहले भिन्न का मान दूसरे से अधिक है।

प्रतिशत

प्रश्नों में प्रतिशत शामिल करने के लिए सबसे बुनियादी टिप यह है कि प्रतिशत के भिन्नात्मक समकक्ष को याद रखें। यानी:

• 25% = 1/4
• 50% = 1/2
• 75% = 3/4

इसका मतलब है कि जब हमें 50 का 25% निकालना हो, तो हम सीधे 50 का एक चौथाई निकाल सकते हैं, जो कि 12.5 है। इसी तरह, यदि हमें 400 का 5% निकालना है, तो हम 400 का एक बीसवां भाग (1/20) निकालते हैं, जो कि 20 है।

एक और शॉर्टकट: आप 25 का 18% निकालना कठिन पा सकते हैं। इसके बजाय, 18 का 25% निकालने की कोशिश करें। 25% किसी भी संख्या का आधा आधा होता है। 18 का आधा 9 है, और 9 का आधा 4.5 है। चूंकि 18 का 25% 4.5 है, इसलिए यह भी सत्य है कि 25 का 18% भी 4.5 है।

यह कुछ ऐसा है जो हमारे शिक्षकों ने स्कूल में कभी नहीं सिखाया, और यह हमारे रोजमर्रा के जीवन में बहुत मददगार होता -- A% of B = B% of A। जैसे गुणा में, प्रतिशत भी संघटनात्मक सिद्धांत का पालन करते हैं, जिसका अर्थ है कि पदों का क्रम मायने नहीं रखता। (जैसे 2 x 3 = 3 x 2, यह भी सत्य है कि 40% of 5 = 5% of 40)।

पहली भिन्न पर ध्यान दें, हम देखते हैं कि हर 28 का हर, 14 है, और 15, 14 से बड़ा है। इसलिए, इस भिन्न का मान थोड़ा अधिक है।

• दूसरी भिन्न में, हर 34 का हर, 17 है, और 16, 17 से कम है। इसलिए, इस भिन्न का मान थोड़ा कम है।
• इन दोनों परिणामों को मिलाकर हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि पहला भिन्न बड़ा है।

यह कुछ ऐसा है जो हमारे अध्यापक हमें स्कूल में नहीं सिखाते, और यह रोज़मर्रा की ज़िंदगी में बहुत मददगार होता -- A% of B = B% of A। गुणन की तरह, प्रतिशत भी सामान्य गुणन सिद्धांत का पालन करते हैं, जो कहता है कि पदों का क्रम मायने नहीं रखता। (जैसे 2 x 3 = 3 x 2, यह भी सच है कि 40% of 5 = 5% of 40)।