टिप्स और ट्रिक्स: एचसीएफ और एलसीएम | Mathematics for RRB NTPC (Hindi) - RRB NTPC/ASM/CA/TA PDF Download

एचसीएफ और एलसीएम की तकनीकें

एचसीएफ (Highest Common Factor) का अर्थ है कई पूर्णांकों का सबसे बड़ा सामान्य भाजक। यह मूल रूप से वह सबसे बड़ा सकारात्मक पूर्णांक है जो एक से अधिक पूर्णांकों को विभाजित करता है। दूसरी ओर, एलसीएम (Least Common Multiple) का संबंध दो या दो से अधिक पूर्णांकों के सबसे छोटे सामान्य गुणांक से है। अब हम एचसीएफ और एलसीएम के लिए कुछ टिप्स और ट्रिक्स पर ध्यान केंद्रित करते हैं।

एचसीएफ और एलसीएम के लिए टिप्स, ट्रिक्स और शॉर्टकट्स

• दो या अधिक संख्याओं का एचसीएफ सबसे छोटी संख्या या उससे कम होता है।
• जो सबसे छोटी संख्या a, b और c को पूरी तरह से विभाजित करती है, वह एलसीएम है।
• दो या अधिक संख्याओं का एलसीएम सबसे बड़ी संख्या या उससे अधिक होता है।
• जो सबसे छोटी संख्या a, b और c को विभाजित करने पर प्रत्येक मामले में शेष R छोड़ती है। आवश्यक संख्या = (a, b, c का एलसीएम) R
• जो सबसे बड़ी संख्या a, b और c को विभाजित करती है और शेष R छोड़ती है, वह (a – R), (b – R) और (c – R) का एचसीएफ है।
• जो सबसे बड़ी संख्या x, y, z को विभाजित करती है और शेष a, b, c छोड़ती है, वह (x – a), (y – b) और (z – c) का एचसीएफ है।
• जो सबसे छोटी संख्या x, y और z को विभाजित करने पर शेष a, b, c छोड़ती है, (x – a), (y – b), (z – c) M के गुणांक हैं। आवश्यक संख्या = (x, y और z का एलसीएम) – M

टाइप 1: सबसे बड़ी या सबसे छोटी संख्या खोजने के लिए टिप्स और ट्रिक्स

उदाहरण 1: 5, 15, 20 और 25 द्वारा विभाजित होने वाली सबसे बड़ी 5 अंकों की संख्या खोजें। (a) 99900 (b) 99000 (c) 99990 (d) 90990 उत्तर: (a) 5, 15, 20 और 25 का एलसीएम 300 है। सबसे बड़ी 5 अंकों की संख्या 99999 है। 99999/300 = 333.33

प्रकार 2: यदि संख्या का अनुपात और H.C.F. दी गई हो, तो संख्याएँ, संख्याओं का योग, संख्याओं का गुणनफल खोजें।
यदि H.C.F. और L.C.M. का गुणनफल दिया गया हो।

• उदाहरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल 3888 है। यदि इन संख्याओं का H.C.F. 36 है, तो बड़ी संख्या है: (क) 110 (ख) 108 (ग) 36 (घ) 120 उत्तर: (ख) मान लीजिए दो संख्याएँ 36x और 36y हैं। अब, 36x * 36y = 3888, xy = 3। अब, जिनका गुणनफल 3 है वे सह-प्राइम हैं (1, 3)। इसलिए आवश्यक संख्याएँ हैं 36 * 1 = 36, 36 * 3 = 108। इसलिए सबसे बड़ी संख्या 108 है।

प्रकार 3: जब दो संख्याओं का योग दिया गया हो, LCM और HCF दिया गया हो, तब व्युत्क्रमों का योग खोजने के लिए टिप्स, ट्रिक्स और शॉर्टकट।

प्रकार 3: जब दो संख्याओं का योग दिया गया हो, LCM और HCF दिया गया हो, तब व्युत्क्रमों का योग खोजने के लिए टिप्स, ट्रिक्स और शॉर्टकट।

उदाहरण 1: दो संख्याओं का योग 60 है और इन संख्याओं का H.C.F. और L.C.M. क्रमशः 5 और 100 है, तब संख्याओं के व्युत्क्रमों का योग समान है: (क) 3/25 (ख) 11/220 (ग) 21/120 (घ) 11/320 उत्तर: (क) मान लीजिए संख्याएँ a और b हैं। अब, दिया गया है a + b = 60, a × b = HCF × LCM = 5 × 100 = 500।

प्रकार 4: HCF, LCM समस्याओं को कैसे हल करें जो मात्रा को मापने के लिए सबसे बड़े कंटेनर खोजने से संबंधित हैं।

उदाहरण 1: मान लीजिए कि तीन अलग-अलग कंटेनरों में चीनी और चावल के मिश्रण की विभिन्न मात्रा है जिनका माप 403 ग्राम, 434 ग्राम और 465 ग्राम है। सभी विभिन्न मात्राओं को सटीक मापने के लिए सबसे बड़ा माप क्या होना चाहिए? (क) 31 ग्राम (ख) 21 ग्राम (ग) 41 ग्राम (घ) 30 लीटर उत्तर: (क) 403, 434 और 465 का प्रमुख गुणनखंड है:
403=13×31
434=2×7×31
465=3×5×31
H.C.F. of 403, 434 and 465=31

प्रकार 5: HCF, LCM समस्याओं से संबंधित टिप्स, ट्रिक्स और शॉर्टकट्स।

उदाहरण 1: छह घंटे घड़ियाँ एक साथ बजना शुरू करती हैं और क्रमशः 2, 4, 6, 8, 10 और 12 सेकंड के अंतराल पर बजती हैं। 30 मिनट में, वे कितनी बार एक साथ बजती हैं? (a) 8 (b) 16 (c) 9 (d) 10 उत्तर: (b) 2, 4, 6, 8, 10, 12 का LCM 120 है। इसलिए, घड़ियाँ हर 120 सेकंड (2 मिनट) के बाद एक साथ बजेंगी। इसलिए, 30 मिनट में, घड़ियाँ एक साथ बजने की संख्या है:

प्रकार 6: HCF, LCM समस्याओं से संबंधित टिप्स, ट्रिक्स और शॉर्टकट्स।

उदाहरण 1: दो लोग P और Q एक गोलाकार ट्रैक (400 मीटर) की ओर विपरीत दिशाओं में दौड़ना शुरू करते हैं, जिनकी प्रारंभिक गति क्रमशः 10 मीटर/सेकंड और 40 मीटर/सेकंड है। जब भी वे मिलते हैं, P की गति दोगुनी हो जाती है और Q की गति आधी हो जाती है। वे तीसरी बार कब मिलेंगे? (a) 30 सेकंड (b) 26 सेकंड (c) 10 सेकंड (d) 20 सेकंड उत्तर: (b) अब P की गति = 20 मीटर/सेकंड और Q की गति = 20 मीटर/सेकंड है। अब मिलने में समय = 40 मीटर/सेकंड और Q की गति = 10 मीटर/सेकंड। इसलिए, कुल समय = (8 + 10 + 8) = 26 सेकंड।

HCF को आसानी से खोजने के लिए टिप्स और ट्रिक्स।

उदाहरण 2: 12 और 16 का HCF खोजें। (a) 5 (b) 4 (c) 12 (d) 16 उत्तर: (b) 12 और 16 के बीच का अंतर निकालें। अंतर 4 है। अब, जाँच करें कि क्या ये संख्या अंतर से विभाज्य हैं। 12 4 से विभाज्य है और 16 भी 4 से विभाज्य है। इसलिए, HCF 4 है।

उदाहरण 3: 18 और 22 का HCF खोजें। (a) 2 (b) 4 (c) 18 (d) 36 उत्तर: (a) 18 और 22 के बीच का अंतर निकालें। अंतर 4 है। अब, जाँच करें कि क्या ये संख्या अंतर के द्वारा विभाज्य हैं। 18 और 22 दोनों 4 से विभाज्य नहीं हैं। इसलिए अंतर के गुणांक लें। 4 के गुणांक 2, 2, 1 हैं। अब, जाँच करें कि क्या ये संख्या गुणांकों द्वारा विभाज्य हैं। 18 और 22 गुणांक 2 से विभाज्य हैं। इसलिए, HCF 2 है। नोट: यदि दो से अधिक संख्या हैं, तो सबसे कम अंतर लें।

LCM खोजने के लिए सुझाव और तरकीबें

उदाहरण 4: 2, 4, 8, 16 का LCM खोजें।

• (a) 16
• (b) 18
• (c) 12
• (d) 2

उत्तर: (a) उपरोक्त संख्याओं का गुणनखंड निकालें:

• 2 = 2
• 8 = 2³
• 16 = 2⁴

सबसे बड़ी संख्या चुनें। इस उदाहरण में, सबसे बड़ी संख्या 16 है। यह जांचें कि क्या 16 अन्य सभी संख्याओं से विभाजित है। 16, 2, 4, और 8 से विभाजित है। इसलिए, LCM 16 है।

उदाहरण 5: 2, 3, 7, 21 का LCM खोजें।

• (a) 21
• (b) 44
• (c) 36
• (d) 42

उत्तर: (d) सबसे बड़ी संख्या चुनें। सबसे बड़ी संख्या 21 है। यह जांचें कि क्या 21 अन्य सभी संख्याओं से विभाजित है। 21, 3 और 7 से विभाजित है लेकिन 2 से नहीं है। इसलिए 21 और 2 को गुणा करें। परिणाम 42 है। अब, जांचें कि क्या 42, 2, 3, 7 से विभाजित है। हाँ, 42 विभाजित है। इसलिए, LCM 42 है।