हल किए गए उदाहरण: HCF और LCM | Mathematics for RRB NTPC (Hindi) - RRB NTPC/ASM/CA/TA PDF Download

एचसीएफ की परिभाषा

सबसे बड़े सामान्य गुणांक (HCF) और सबसे छोटे सामान्य गुणनफल (LCM) का सिद्धांत गणित में अब तक के सबसे सरल और मौलिक विषयों में से एक है।

एलसीएम की परिभाषा

सबसे बड़े सामान्य गुणांक (HCF) और सबसे छोटे सामान्य गुणनफल (LCM) का सिद्धांत गणित में आज तक के सबसे आसान और मौलिक अवधारणाओं में से एक है।

दो संख्याओं के लिए HCF

• दो संख्याओं का HCF खोजने के लिए, बड़ी संख्या को छोटी संख्या से विभाजित करें।
• इसके बाद, भाजक को शेषफल से विभाजित करें।
• शेषफल शून्य होने तक इस प्रक्रिया को जारी रखें।
• इस प्रक्रिया से प्राप्त अंतिम भाजक दोनों दिए गए संख्याओं का HCF होगा।

दो से अधिक संख्याओं के मामले में HCF

• दो संख्याओं का HCF और तीसरी संख्या का HCF सभी तीन संख्याओं का HCF होगा, जो सेट में अतिरिक्त संख्याओं तक बढ़ता है।
• किसी भी दो संख्याओं का चयन करें और उनके HCF का निर्धारण करें।

HCF और LCM प्रश्नों और उत्तरों को हल करने का नियम

• बड़ी संख्या के गुणनफल या गुणांक को निर्धारित करें जब तक कि एक ऐसा गुणांक न मिल जाए जो छोटी संख्या का भी गुणनफल हो।
• इन पहचाने गए सभी गुणांकों को गुणा करें, और उत्पाद दिए गए संख्याओं का LCM दर्शाएगा।

उदाहरण

उदाहरण 1: 15, 30, 45 का LCM खोजें (क) 90 (ख) 95 (ग) 92 (घ) उपरोक्त में से कोई नहीं उत्तर: (क) 2 | 15, 30, 45 3 | 15, 15, 45 3 | 5, 5, 15 5 | 5, 5, 5 | 1, 1, 1 LCM = 2*3*3*5 = 90

उदाहरण 2: 25, 35, और 55 का LCM खोजें (क) 1900 (ख) 1990 (ग) 1925 (घ) उपरोक्त में से कोई नहीं उत्तर: (ग) 5 | 25, 35, 55 5 | 5, 7, 11 7 | 1, 7, 11 11 | 1, 1, 11 | 1, 1, 1 LCM = 5*5*7*11 = 1925

उदाहरण 3: यदि 20 दो विशेष संख्याओं का HCF है और उनके LCM के अन्य दो गुणांक 10 और 12 हैं, तो बड़ी संख्या ज्ञात करें? (क) 220 (ख) 210 (ग) 240 (घ) उपरोक्त में से कोई नहीं उत्तर: (ग) 20 * 10 = 200 20 * 12 = 240 तो बड़ी संख्या 240 होगी। दो संख्याओं का HCF वह संख्या है जो दोनों संख्याओं के लिए एक सामान्य गुणांक है। यहाँ 20 सामान्य गुणांक है। इसके अलावा, इस सामान्य गुणांक के अलावा, हमें दो संख्याओं (यहाँ 10 और 12) के असामान्य गुणांकों का गुणनफल भी मिलेगा। पहली संख्या = 20 * 10 = 200 और दूसरी संख्या = 20 × 12 = 240। दो संख्याओं में से सबसे बड़ी संख्या निश्चित रूप से 20 × 12 = 240 है।

उदाहरण 4: दो विशेष संख्याएँ अनुपात में 6:7 हैं, यदि दी गई संख्याओं का HCF 30 है, तो संख्याएँ क्या होंगी? (क) 160, 180 (ख) 180, 210 (ग) 200, 160 (घ) उपरोक्त में से कोई नहीं उत्तर: (ख) मान लें कि संख्याएँ 6y और 7y हैं। HCF = 30। संख्याएँ होंगी 6 * 30 = 180 और 7 * 30 = 210।

उदाहरण 5: दो संख्याओं का HCF 45 है, और उनका LCM 90 है, यदि एक विशेष संख्या 9 है, तो दूसरी संख्या ज्ञात करें। (क) 450 (ख) 435 (ग) 426 (घ) उपरोक्त में से कोई नहीं उत्तर: (क) HCF * LCM = संख्याओं का गुणनफल। 45 * 90 = 9 * x। दूसरी संख्या = (45 * 90)/9 = 450।

उदाहरण 6: दो संख्याओं का दिया गया अनुपात 3:2 है। यदि उनका L.C.M 30 है, तो उनकी योगफल ज्ञात करें। (क) 34 (ख) 25 (ग) 55 (घ) उपरोक्त में से कोई नहीं उत्तर: (ख) दिया गया: दो संख्याओं का अनुपात = 3:2, दो संख्याओं का LCM = 30। ज्ञात करने के लिए: दो संख्याओं का योगफल। उपयोग की गई सूत्र: दो संख्याओं का गुणनफल = LCM × HCF। मान लें कि संख्याएँ 3x और 2x हैं। दो संख्याओं का गुणनफल = LCM × HCF। दो संख्याओं का HCF x होगा क्योंकि संख्याएँ अनुपात में हैं, इसलिये यह निष्कर्ष निकालना संभव है कि उनका एक HCF गुणांक x भी होगा। दो संख्याएँ हैं 3x, 2x। दो संख्याओं का गुणनफल = LCM × HCF। (3x)(2x) = 30 (x) 6x² = 30x। 6x = 30, x = 30/6, x = 5। पहली संख्या 3x = 3(5) = 15 है। दूसरी संख्या 2x = 2(5) = 10 है। इसलिए, दो संख्याएँ 15, 10 हैं। दो संख्याओं का योगफल = 15 + 10 = 25।

उदाहरण 7: 22 और 33 का HCF ज्ञात करें। (क) 11 (ख) 12 (ग) 15 (घ) ऊपर में से कोई नहीं। उत्तर: (क) 22 = 2*11 33 = 3*11 तो HCF 11 होगा।

उदाहरण 8: तीन विशेष संख्याओं 6, 12, और 18 का HCF 24 है, LCM ज्ञात करें। (क) 55 (ख) 54 (ग) 67 (घ) ऊपर में से कोई नहीं। उत्तर: (ख) (6*12*18)/24 अगली संख्या = 54।

उदाहरण 9: सबसे लंबी टेप की लंबाई ज्ञात करें, जो 5 सेंटीमीटर, 7 सेंटीमीटर और 13 सेंटीमीटर की माप ले सकती है? (क) 1 (ख) 7 (ग) 13 (घ) ऊपर में से कोई नहीं। उत्तर: (क) चूंकि इन संख्याओं के कोई गुणांक नहीं हैं और इन्हें अभाज्य संख्याएँ माना जाता है, इसलिए उनका HCF 1 होगा।

उदाहरण 10: सड़क की लाइटें 5, 10, 15, 20, और 25 सेकंड के अंतराल पर शुरू होती हैं, 40 मिनट में सड़क की लाइटें एक साथ कितनी बार शुरू हुईं? (क) 9 बार (ख) 10 बार (ग) 16 बार (घ) ऊपर में से कोई नहीं। उत्तर: (ग)

इस समस्या को हल करने के लिए, हमें उन अंतरालों का न्यूनतम समापवर्तक (LCM) ज्ञात करना होगा जिन पर सड़क की लाइटें शुरू होती हैं: 5, 10, 15, 20, और 25 सेकंड। इन संख्याओं का LCM हमें वह अंतराल देगा जब सभी सड़क की लाइटें एक साथ शुरू होंगी।

आइए 5, 10, 15, 20, और 25 सेकंड का LCM ज्ञात करें।

1. अभाज्य गुणनखंड:

• 5 = 5
• 10 = 2 x 5
• 15 = 3 x 5
• 20 = 2² x 5
• 25 = 5²

2. किसी भी गुणनखंड में दिखाई देने वाले प्रत्येक अभाज्य का उच्चतम घात लें:

2 के लिए: 2²

3 के लिए: 3

5 के लिए: 5²