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RRB NTPC/ASM/CA/TA Exam  >  RRB NTPC/ASM/CA/TA Notes  >  Mathematics for RRB NTPC (Hindi)  >  महत्वपूर्ण सूत्र: एचसीएफ (HCF) और एलसीएम (LCM)

महत्वपूर्ण सूत्र: एचसीएफ (HCF) और एलसीएम (LCM) | Mathematics for RRB NTPC (Hindi) - RRB NTPC/ASM/CA/TA PDF Download

Table of contents
एचसीएफ और एलसीएम सूत्र
एचसीएफ कैसे खोजें
एलसीएम कैसे खोजें
प्राइम फैक्टराइजेशन विधि द्वारा एचसीएफ
विभाजन विधि द्वारा एचसीएफ
प्राइम फैक्टराइजेशन विधि द्वारा एलसीएम
विभाजन विधि द्वारा एलसीएम
एचसीएफ और एलसीएम के प्रश्न और उत्तर
दो संख्याओं का HCF कैसे खोजें
HCF प्राइम फैक्टराइजेशन विधि द्वारा
HCF विभाजन विधि द्वारा
LCM प्राइम फैक्टराइजेशन विधि द्वारा
LCM विभाजन विधि द्वारा
HCF और LCM के प्रश्न और उत्तर
अधिकतम सामान्य भाग (HCF) गुणनखंड विधि द्वारा
LCM गुणनखंड विधि द्वारा
HCF और LCM के प्रश्न एवं उत्तर
संख्याओं का HCF खोजने की विधि
LCM खोजने की विधि
विभाजन विधि द्वारा LCM
प्राइम फैक्टराइजेशन विधि द्वारा LCM LCM (Least Common Multiple) ज्ञात करने की एक तकनीक है, जिसमें प्रत्येक संख्या को उसके प्राइम फैक्टर में तोड़कर, फिर प्रत्येक प्राइम फैक्टर की उच्चतम शक्तियों को गुणा किया जाता है। आइए दो संख्याएँ लेते हैं, अर्थात् 25 और 35, अब LCM की गणना करें: पहले प्रत्येक संख्या के प्राइम फैक्टर सूचीबद्ध करें। 25 = 5 × 5 35 = 7 × 5 फिर प्रत्येक फैक्टर को उसके सबसे अधिक बार होने की संख्या से गुणा करें। यदि एक ही गुणांक दोनों दी गई संख्याओं में एक से अधिक बार होता है, तो उसे सबसे अधिक बार होने वाली संख्या से गुणा करें। उपरोक्त उदाहरण में संख्याओं की उपस्थिति: 5: दो बार 7: एक बार LCM = 7 × 5 × 5 = 175 डिवीजन विधि द्वारा LCM आइए उसी उदाहरण को देखें, जिसका उपयोग हमने प्राइम फैक्टराइजेशन से LCM ज्ञात करने के लिए किया था। डिवीजन विधि से (25, 35) का LCM ज्ञात करें। 5 | 25, 35 ---------- 5 | 5, 7 --------- 7 | 1, 7 --------- | 1, 1 इसलिए, 25 और 35 का LCM = 5 × 5 × 7 = 175 HCF और LCM के प्रश्न और उत्तर प्रश्न 1: 43, 91 और 183 को विभाजित करने वाला सबसे बड़ा संख्या ज्ञात करें जो प्रत्येक मामले में समान शेष छोड़ता है। (a) 4 (b) 7 (c) 9 (d) 13 उत्तर: (a) यहाँ ट्रिक है: संख्याओं के बीच का अंतर ज्ञात करें और HCF (वह अंतर) प्राप्त करें। हमारे पास 43, 91 और 183 हैं। उपस्थित अंतर: 183 – 91 = 92 183 – 43 = 140 91 – 43 = 48 अब, HCF (48, 92 और 140): 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 92 = 2 × 2 × 23 140 = 2 × 2 × 5 × 7 HCF = 2 × 2 = 4 और 4 आवश्यक संख्या है। प्रश्न 2: सबसे बड़ी संभव लंबाई जो 7 मीटर, 3 मीटर 85 सेंटीमीटर, 12 मीटर 95 सेंटीमीटर को सटीक रूप से मापने के लिए उपयोग की जा सकती है: (a) 25 सेंटीमीटर (b) 15 सेंटीमीटर (c) 35 सेंटीमीटर (d) 55 सेंटीमीटर उत्तर: (c) आवश्यक लंबाई = H.C.F. 700 सेंटीमीटर, 385 सेंटीमीटर और 1295 सेंटीमीटर = 35 सेंटीमीटर। प्रश्न 3: निम्नलिखित में से कौन-सी चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या है जो 15, 25, 40 और 75 से विभाज्य है: (a) 9700 (b) 9600 (c) 9800 (d) 9650 उत्तर: (b) चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या 9999 है। अब, 15, 25, 40 और 75 का LCM ज्ञात करें, अर्थात् 600। 9999 को 600 से विभाजित करने पर, शेष 399 है। अतः, आवश्यक संख्या (9999 – 399) = 9600। वैकल्पिक रूप से, 9999/600 = 16.66500। दशमलव बिंदुओं की अनदेखी करते हुए, आवश्यक संख्या होगी 16 × 600 = 9600।
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एचसीएफ और एलसीएम सूत्र

दो संख्याओं का गुणनफल = (दो संख्याओं का एचसीएफ) × (दो संख्याओं का एलसीएम)

एचसीएफ कैसे खोजें

दो संख्याओं का एच.सी.एफ. = दो संख्याओं का गुणनफल / दो संख्याओं का एल.सी.एम.

एलसीएम कैसे खोजें

दो संख्याओं का एल.सी.एम. = दो संख्याओं का गुणनफल / दो संख्याओं का एच.सी.एफ.

प्राइम फैक्टराइजेशन विधि द्वारा एचसीएफ

100, 125 और 180 का उच्चतम सामान्य गुणांक (एचसीएफ) खोजने का उदाहरण लेते हैं। अब हम 100, 125 और 180 के प्राइम फैक्टर लिखते हैं।

  • 100 = 2 × 2 × 5 × 5
  • 125 = 5 × 5 × 5
  • 180 = 3 × 3 × 2 × 2 × 5

100, 125 और 180 के सामान्य गुणांक 5 हैं। इसलिए, एचसीएफ (100, 125, 180) = 5

विभाजन विधि द्वारा एचसीएफ

किसी भी दिए गए संख्याओं का एचसीएफ खोजने के लिए चरण:

  • बड़ी संख्या / छोटी संख्या
  • उपरोक्त चरण का भाजक / शेषफल
  • चरण 2 का भाजक / शेषफल। इस चरण को तब तक करते रहें जब तक R = 0 (शून्य) न हो जाए।
  • अंतिम चरण का भाजक एचसीएफ होगा।

उदाहरण: चलिए दो संख्याएं लेते हैं 120 और 180

  • 120) 180 (1
  • 120 --------- 60
  • 120 (2
  • 120 --------- 000

प्राइम फैक्टराइजेशन विधि द्वारा एलसीएम

संख्याओं के सेट का न्यूनतम सामान्य गुणांक (एलसीएम) खोजने की एक तकनीक, जिसमें प्रत्येक संख्या को उसके प्राइम फैक्टर में तोड़कर और फिर प्रत्येक प्राइम फैक्टर की उच्चतम शक्ति को गुणा किया जाता है।

चलो दो संख्याएं लेते हैं, अर्थात् 25 और 35, अब एलसीएम की गणना करने के लिए:

  • पहले प्रत्येक संख्या के प्राइम फैक्टर सूचीबद्ध करें।
  • 25 = 5 × 5
  • 35 = 7 × 5

फिर प्रत्येक फैक्टर को सबसे अधिक बार गुणा करें जब वह किसी संख्या में उपस्थित हो। यदि वही मल्टीपल दोनों दिए गए संख्याओं में एक से अधिक बार उपस्थित हो, तो सबसे अधिक बार उपस्थित फैक्टर को गुणा करें।

  • उपरोक्त उदाहरण में संख्याओं की उपस्थिति: 5: दो बार, 7: एक बार

एलसीएम = 7 × 5 × 5 = 175

विभाजन विधि द्वारा एलसीएम

चलो वही उदाहरण देखते हैं, जिसका हमने प्राइम फैक्टराइजेशन का उपयोग करके एलसीएम खोजा था। (25, 35) का एलसीएम विभाजन विधि द्वारा हल करें।

  • 5 | 25, 35
  • ----------
  • 5 | 5, 7
  • ---------
  • 7 | 1, 7
  • ---------
  • | 1, 1

इसलिए, 25 और 35 का एलसीएम = 5 × 5 × 7 = 175

एचसीएफ और एलसीएम के प्रश्न और उत्तर

  • प्रश्न 1: 43, 91 और 183 को विभाजित करने वाला सबसे बड़ा संख्या ज्ञात करें और हर मामले में समान शेष छोड़ता है। (a) 4 (b) 7 (c) 9 (d) 13
  • उत्तर: (a) यहाँ चाल है - संख्याओं के बीच के अंतर ज्ञात करें और उनके एचसीएफ को प्राप्त करें। यहाँ हमारे पास 43, 91 और 183 हैं। तो अंतर हैं 183 – 91 = 92, 183 – 43 = 140, 91 – 43 = 48। अब, एचसीएफ (48, 92 और 140) 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3, 92 = 2 × 2 × 23, 140 = 2 × 2 × 5 × 7। एचसीएफ = 2 × 2 = 4 और 4 आवश्यक संख्या है।
  • प्रश्न 2: सबसे बड़ी लंबाई जो ठीक से 7 मीटर, 3 मीटर 85 सेंटीमीटर, 12 मीटर 95 सेंटीमीटर को मापने के लिए उपयोग की जा सकती है, वह है: (a) 25 सेंटीमीटर (b) 15 सेंटीमीटर (c) 35 सेंटीमीटर (d) 55 सेंटीमीटर
  • उत्तर: (c) आवश्यक लंबाई = एचसीएफ 700 सेंटीमीटर, 385 सेंटीमीटर और 1295 सेंटीमीटर = 35 सेंटीमीटर
  • प्रश्न 3: निम्नलिखित में से चार अंकों का सबसे बड़ा संख्या कौन सा है जो 15, 25, 40 और 75 से विभाजित हो? (a) 9700 (b) 9600 (c) 9800 (d) 9650
  • उत्तर: (b) चार अंकों का सबसे बड़ा संख्या 9999 है। अब, 15, 25, 40 और 75 का एलसीएम ज्ञात करें, अर्थात् 600। 9999 को 600 से विभाजित करने पर शेषफल 399 है। इसलिए, आवश्यक संख्या (9999 – 399) = 9600। वैकल्पिक रूप से, 9999/600 = 16.66500। दशमलव बिंदुओं को अनदेखा करें, आवश्यक संख्या होगी 16 × 600 = 9600।

दो संख्याओं का HCF कैसे खोजें

H.C.F. (Highest Common Factor) दो संख्याओं का = दो संख्याओं का गुणनफल / L.C.M. (Least Common Multiple) दो संख्याओं का

L.C.M. (Least Common Multiple) दो संख्याओं का = दो संख्याओं का गुणनफल / H.C.F. (Highest Common Factor) दो संख्याओं का

HCF प्राइम फैक्टराइजेशन विधि द्वारा

100, 125 और 180 का उच्चतम सामान्य कारक खोजने का उदाहरण लेते हैं। अब हम 100, 125 और 180 के प्राइम फैक्टर्स लिखते हैं।

  • 100 = 2 × 2 × 5 × 5
  • 125 = 5 × 5 × 5
  • 180 = 3 × 3 × 2 × 2 × 5

100, 125 और 180 के सामान्य कारक 5 हैं। इस प्रकार, HCF (100, 125, 180) = 5

HCF विभाजन विधि द्वारा

किसी भी दिए गए संख्याओं का HCF खोजने के लिए कदम:

  • बड़ी संख्या / छोटी संख्या
  • उपरोक्त कदम का भाजक / शेषफल
  • चरण 2 का भाजक / शेषफल। इस कदम को तब तक करते रहें जब तक R = 0 (शून्य) न हो जाए।

अंतिम चरण का भाजक HCF होगा।

उदाहरण: दो संख्याएँ 120 और 180 लेते हैं

  • 120) 180 (1
  • 120 --------- 60
  • 120 (2
  • 120 --------- 000

LCM प्राइम फैक्टराइजेशन विधि द्वारा

एक तकनीक है जो संख्याओं के सेट का Least Common Multiple (L.C.M.) खोजने के लिए उपयोग की जाती है, जिसमें प्रत्येक संख्या को उसके प्राइम फैक्टर में तोड़ा जाता है और फिर प्रत्येक प्राइम फैक्टर की उच्चतम शक्तियों को गुणा किया जाता है।

दो संख्याएँ लेते हैं, 25 और 35, अब LCM की गणना करते हैं:

  • प्रत्येक संख्या के प्राइम फैक्टर की सूची बनाएं।
  • 25 = 5 × 5
  • 35 = 7 × 5

फिर प्रत्येक फैक्टर को उस संख्या में अधिकतम बार गुणा करें जिसमें यह प्रकट होता है।

उपरोक्त उदाहरण में संख्याओं की उपस्थिति:

  • 5: दो बार
  • 7: एक बार

LCM = 7 × 5 × 5 = 175

LCM विभाजन विधि द्वारा

चलो उसी उदाहरण से देखते हैं, जिसका हमने प्राइम फैक्टराइजेशन द्वारा LCM खोजा था। (25, 35) का LCM विभाजन विधि द्वारा हल करें।

  • 5 | 25, 35
  • ----------
  • 5 | 5, 7
  • ---------
  • 7 | 1, 7
  • ---------
  • | 1, 1

इसलिए, 25 और 35 का LCM = 5 × 5 × 7 = 175

HCF और LCM के प्रश्न और उत्तर

Q1: सबसे बड़ा संख्या ज्ञात करें जो 43, 91 और 183 को विभाजित करे और प्रत्येक मामले में समान शेष छोड़ दे। (a) 4 (b) 7 (c) 9 (d) 13

Ans: (a) यहाँ ट्रिक है:

  • संख्याओं के बीच अंतर ज्ञात करें
  • उस अंतर का HCF प्राप्त करें

हमारे पास 43, 91 और 183 हैं। इसलिए, अंतर हैं:

  • 183 – 91 = 92
  • 183 – 43 = 140
  • 91 – 43 = 48

अब, HCF (48, 92 और 140)

  • 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3
  • 92 = 2 × 2 × 23
  • 140 = 2 × 2 × 5 × 7

HCF = 2 × 2 = 4 और 4 आवश्यक संख्या है।

Q2: सबसे बड़ा संभव लंबाई जो 7 मीटर, 3 मीटर 85 सेंटीमीटर, 12 मीटर 95 सेंटीमीटर को ठीक से मापने के लिए उपयोग की जा सकती है: (a) 25 सेंटीमीटर (b) 15 सेंटीमीटर (c) 35 सेंटीमीटर (d) 55 सेंटीमीटर

Ans: (c) आवश्यक लंबाई = 700 सेंटीमीटर, 385 सेंटीमीटर और 1295 सेंटीमीटर का H.C.F. = 35 सेंटीमीटर

Q3: निम्नलिखित में से कौन सा चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या है जो 15, 25, 40 और 75 द्वारा विभाजित होती है: (a) 9700 (b) 9600 (c) 9800 (d) 9650

Ans: (b) चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या 9999 है। अब, 15, 25, 40 और 75 का L.C.M. ज्ञात करें, अर्थात् 600। 9999 को 600 से विभाजित करने पर, शेष 399 है। इसलिए, आवश्यक संख्या (9999 – 399) = 9600। वैकल्पिक रूप से, 9999/600 = 16.66500। दशमलव बिंदुओं को नजरअंदाज करें, आवश्यक संख्या 16 * 600 = 9600 होगी।

महत्वपूर्ण सूत्र: एचसीएफ (HCF) और एलसीएम (LCM) | Mathematics for RRB NTPC (Hindi) - RRB NTPC/ASM/CA/TA

अधिकतम सामान्य भाग (HCF) गुणनखंड विधि द्वारा

100, 125 और 180 का अधिकतम सामान्य भाग (HCF) खोजने का उदाहरण लेते हैं। अब हम 100, 125 और 180 के गुणनखंडों को लिखते हैं:
  • 100 = 2 × 2 × 5 × 5
  • 125 = 5 × 5 × 5
  • 180 = 3 × 3 × 2 × 2 × 5

100, 125 और 180 के सामान्य गुणनखंड हैं 5। इसलिए, HCF (100, 125, 180) = 5।

HCF विभाजन विधि द्वारा

किसी दिए गए संख्याओं का HCF खोजने के चरण:

  • बड़ी संख्या / छोटी संख्या
  • उपरोक्त चरण का भाजक / शेषफल
  • चरण 2 का भाजक / शेषफल। इस प्रक्रिया को तब तक जारी रखें जब तक R = 0 (शून्य) न हो जाए।
  • अंतिम चरण का भाजक HCF होगा।

उदाहरण: चलिए दो संख्याएँ 120 और 180 लेते हैं।

  • 120) 180 (1
  • 120 --------- 60)
  • 120) 120 (2
  • 120 --------- 000

LCM गुणनखंड विधि द्वारा

संख्याओं के एक सेट का न्यूनतम समापवर्त्य (LCM) खोजने की एक तकनीक है, जिसमें प्रत्येक संख्या को उसके गुणनखंडों में तोड़कर, फिर प्रत्येक गुणनखंड के उच्चतम शक्तियों को गुणा किया जाता है।

चलो दो संख्याएँ लेते हैं, अर्थात् 25 और 35, अब LCM की गणना करते हैं:

  • पहले प्रत्येक संख्या के गुणनखंडों की सूची बनाएं।
  • 25 = 5 × 5
  • 35 = 7 × 5

फिर प्रत्येक गुणनखंड को सबसे अधिक बार गुणा करें जैसे कि वह किसी संख्या में होता है।

यदि वही गुणांक दोनों दी गई संख्याओं में एक से अधिक बार आता है, तो उस गुणांक को सबसे अधिक बार गुणा करें।

उपर्युक्त उदाहरण में संख्याओं की उपस्थिति:

  • 5: दो बार
  • 7: एक बार

LCM = 7 × 5 × 5 = 175।

LCM विभाजन विधि द्वारा

चलिये उसी उदाहरण से देखते हैं, जिसका उपयोग हमने गुणनखंड विधि से LCM खोजने के लिए किया। 25 और 35 का LCM विभाजन विधि से हल करें।

  • 5 | 25, 35 ----------
  • 5 | 5, 7 ---------
  • 7 | 1, 7 ---------
  • | 1, 1

इसलिए, 25 और 35 का LCM = 5 × 5 × 7 = 175।

HCF और LCM के प्रश्न एवं उत्तर

प्रश्न 1: वह सबसे बड़ा संख्या ज्ञात करें जो 43, 91 और 183 को विभाजित करती है और प्रत्येक मामले में समान शेषफल छोड़ती है।

  • (a) 4
  • (b) 7
  • (c) 9
  • (d) 13

उत्तर: (a) यहाँ ट्रिक है: संख्याओं के बीच का अंतर ज्ञात करें। HCF (वह अंतर) प्राप्त करें। हमारे पास 43, 91 और 183 हैं। इसलिए अंतर हैं: 183 – 91 = 92, 183 – 43 = 140, 91 – 43 = 48। अब, HCF (48, 92 और 140):

  • 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3
  • 92 = 2 × 2 × 23
  • 140 = 2 × 2 × 5 × 7

HCF = 2 × 2 = 4। और 4 आवश्यक संख्या है।

प्रश्न 2: सबसे बड़ी संभव लंबाई जो 7 मीटर, 3 मीटर 85 सेंटीमीटर, 12 मीटर 95 सेंटीमीटर को सटीक रूप से मापने के लिए उपयोग की जा सकती है:

  • (a) 25 सेंटीमीटर
  • (b) 15 सेंटीमीटर
  • (c) 35 सेंटीमीटर
  • (d) 55 सेंटीमीटर

उत्तर: (c) आवश्यक लंबाई = H.C.F. 700 सेंटीमीटर, 385 सेंटीमीटर और 1295 सेंटीमीटर = 35 सेंटीमीटर।

प्रश्न 3: निम्नलिखित में से कौन सा चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या है जो 15, 25, 40 और 75 से विभाज्य है:

  • (a) 9700
  • (b) 9600
  • (c) 9800
  • (d) 9650

उत्तर: (b) चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या 9999 है। अब, 15, 25, 40 और 75 का L.C.M. ज्ञात करें, अर्थात् 600। 9999 को 600 से विभाजित करने पर शेषफल 399 है। इसलिए, आवश्यक संख्या (9999 – 399) = 9600। वैकल्पिक रूप से, 9999/600 = 16.66500। दशमलव बिंदुओं की अनदेखी करें, आवश्यक संख्या होगी 16 × 600 = 9600।

संख्याओं का HCF खोजने की विधि

HCF (Highest Common Factor) खोजने के लिए निम्नलिखित चरणों का पालन करें:

  • बड़ी संख्या / छोटी संख्या
  • पहले चरण का भाजक / शेषफल
  • दूसरे चरण का भाजक / शेषफल। इस चरण को तब तक करते रहें जब तक R = 0 (शून्य) न हो जाए।
  • अंतिम चरण का भाजक HCF होगा।

उदाहरण: दो संख्याएँ लें 120 और 180

120) 180 (1

120 --------- 60

120 (2

120 --------- 000

LCM खोजने की विधि

LCM (Least Common Multiple) खोजने के लिए एक तकनीक है जिसमें प्रत्येक संख्या को उसके प्राइम फैक्टर में तोड़कर और फिर प्रत्येक प्राइम फैक्टर की उच्चतम शक्ति का गुणन किया जाता है।

उदाहरण के लिए, दो संख्याएँ लें, 25 और 35, अब LCM की गणना करें:

  • प्रत्येक संख्या के प्राइम फैक्टर को पहले सूचीबद्ध करें:
  • 25 = 5 × 5
  • 35 = 7 × 5

फिर प्रत्येक फैक्टर को अधिकतम बार गुणा करें जितनी बार वह किसी संख्या में होता है।

यदि वही गुणांक दोनों संख्याओं में एक से अधिक बार होता है, तो उसे अधिकतम बार गुणा करें।

उदाहरण में संख्याओं की आवृत्ति:

  • 5: दो बार
  • 7: एक बार

LCM = 7 × 5 × 5 = 175

विभाजन विधि द्वारा LCM

अब हम उसी उदाहरण के साथ देखें, जिसका उपयोग हमने प्राइम फैक्टराइजेशन से LCM खोजने के लिए किया था। विभाजन विधि से (25, 35) का LCM हल करें।

  • 5 | 25, 35
  • ----------
  • 5 | 5, 7
  • ---------
  • 7 | 1, 7
  • ---------
  • | 1, 1

इसलिए, 25 और 35 का LCM = 5 × 5 × 7 = 175

HCF और LCM के प्रश्न और उत्तर

प्रश्न 1: सबसे बड़ा संख्या ज्ञात करें जो 43, 91 और 183 को विभाजित करता है और प्रत्येक मामले में समान शेषफल छोड़ता है।

  • (a) 4
  • (b) 7
  • (c) 9
  • (d) 13

उत्तर: (a) यहाँ चाल है संख्याओं के बीच के अंतर को ज्ञात करना। HCF (वह अंतर) निकालें।

हमारे पास 43, 91 और 183 हैं। इसलिए अंतर हैं:

  • 183 – 91 = 92
  • 183 – 43 = 140
  • 91 – 43 = 48। अब, HCF (48, 92 और 140)

48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3

92 = 2 × 2 × 23

140 = 2 × 2 × 5 × 7

HCF = 2 × 2 = 4

और 4 आवश्यक संख्या है।

प्रश्न 2: सबसे बड़ी संभव लंबाई जो 7 मीटर, 3 मीटर 85 सेंटीमीटर, 12 मीटर 95 सेंटीमीटर को ठीक से मापने के लिए उपयोग की जा सकती है:

  • (a) 25 सेंटीमीटर
  • (b) 15 सेंटीमीटर
  • (c) 35 सेंटीमीटर
  • (d) 55 सेंटीमीटर

उत्तर: (c) आवश्यक लंबाई = H.C.F. 700 सेंटीमीटर, 385 सेंटीमीटर और 1295 सेंटीमीटर = 35 सेंटीमीटर।

प्रश्न 3: निम्नलिखित में से कौन सी चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या है जो 15, 25, 40 और 75 से विभाजित होती है:

  • (a) 9700
  • (b) 9600
  • (c) 9800
  • (d) 9650

उत्तर: (b) चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या 9999 है। अब, 15, 25, 40 और 75 का L.C.M. ज्ञात करें, अर्थात् 600। 9999 को 600 से विभाजित करने पर शेषफल 399 है। इसलिए, आवश्यक संख्या (9999 – 399) = 9600। वैकल्पिक रूप से, 9999/600 = 16.66500। दशमलव बिंदुओं को अनदेखा करें, आवश्यक संख्या 16 * 600 = 9600 होगी।

प्राइम फैक्टराइजेशन विधि द्वारा LCM LCM (Least Common Multiple) ज्ञात करने की एक तकनीक है, जिसमें प्रत्येक संख्या को उसके प्राइम फैक्टर में तोड़कर, फिर प्रत्येक प्राइम फैक्टर की उच्चतम शक्तियों को गुणा किया जाता है। आइए दो संख्याएँ लेते हैं, अर्थात् 25 और 35, अब LCM की गणना करें:
  • पहले प्रत्येक संख्या के प्राइम फैक्टर सूचीबद्ध करें।
    • 25 = 5 × 5
    • 35 = 7 × 5
  • फिर प्रत्येक फैक्टर को उसके सबसे अधिक बार होने की संख्या से गुणा करें।
  • यदि एक ही गुणांक दोनों दी गई संख्याओं में एक से अधिक बार होता है, तो उसे सबसे अधिक बार होने वाली संख्या से गुणा करें।
उपरोक्त उदाहरण में संख्याओं की उपस्थिति:
  • 5: दो बार
  • 7: एक बार
LCM = 7 × 5 × 5 = 175

डिवीजन विधि द्वारा LCM

आइए उसी उदाहरण को देखें, जिसका उपयोग हमने प्राइम फैक्टराइजेशन से LCM ज्ञात करने के लिए किया था। डिवीजन विधि से (25, 35) का LCM ज्ञात करें।
  • 5 | 25, 35
  • ----------
  • 5 | 5, 7
  • ---------
  • 7 | 1, 7
  • ---------
  • | 1, 1
इसलिए, 25 और 35 का LCM = 5 × 5 × 7 = 175

HCF और LCM के प्रश्न और उत्तर

प्रश्न 1: 43, 91 और 183 को विभाजित करने वाला सबसे बड़ा संख्या ज्ञात करें जो प्रत्येक मामले में समान शेष छोड़ता है।
  • (a) 4
  • (b) 7
  • (c) 9
  • (d) 13
उत्तर: (a) यहाँ ट्रिक है: संख्याओं के बीच का अंतर ज्ञात करें और HCF (वह अंतर) प्राप्त करें। हमारे पास 43, 91 और 183 हैं। उपस्थित अंतर:
  • 183 – 91 = 92
  • 183 – 43 = 140
  • 91 – 43 = 48
अब, HCF (48, 92 और 140):
  • 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3
  • 92 = 2 × 2 × 23
  • 140 = 2 × 2 × 5 × 7
HCF = 2 × 2 = 4 और 4 आवश्यक संख्या है। प्रश्न 2: सबसे बड़ी संभव लंबाई जो 7 मीटर, 3 मीटर 85 सेंटीमीटर, 12 मीटर 95 सेंटीमीटर को सटीक रूप से मापने के लिए उपयोग की जा सकती है:
  • (a) 25 सेंटीमीटर
  • (b) 15 सेंटीमीटर
  • (c) 35 सेंटीमीटर
  • (d) 55 सेंटीमीटर
उत्तर: (c) आवश्यक लंबाई = H.C.F. 700 सेंटीमीटर, 385 सेंटीमीटर और 1295 सेंटीमीटर = 35 सेंटीमीटर। प्रश्न 3: निम्नलिखित में से कौन-सी चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या है जो 15, 25, 40 और 75 से विभाज्य है:
  • (a) 9700
  • (b) 9600
  • (c) 9800
  • (d) 9650
उत्तर: (b) चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या 9999 है। अब, 15, 25, 40 और 75 का LCM ज्ञात करें, अर्थात् 600। 9999 को 600 से विभाजित करने पर, शेष 399 है। अतः, आवश्यक संख्या (9999 – 399) = 9600। वैकल्पिक रूप से, 9999/600 = 16.66500। दशमलव बिंदुओं की अनदेखी करते हुए, आवश्यक संख्या होगी 16 × 600 = 9600।

विभाजन विधि द्वारा LCM

आइए उसी उदाहरण को देखते हैं, जिसका उपयोग हमने प्राइम फैक्टराइजेशन से LCM खोजने के लिए किया था। (25, 35) का LCM विभाजन विधि से हल करें।

  • 5 | 25, 35
  • ----------
  • 5 | 5, 7
  • ---------
  • 7 | 1, 7
  • ---------
  • | 1, 1

इसलिए, 25 और 35 का LCM = 5 × 5 × 7 = 175

HCF और LCM के प्रश्न और उत्तर

प्रश्न 1: उस उच्चतम संख्या की गणना करें जो 43, 91 और 183 को विभाजित करती है और प्रत्येक मामले में समान शेष छोड़ती है।

  • (a) 4
  • (b) 7
  • (c) 9
  • (d) 13

उत्तर: (a) यहाँ ट्रिक है:

  • संख्याओं के बीच का अंतर खोजें।
  • उन्हीं अंतर का HCF प्राप्त करें।

यहाँ हमारे पास 43, 91 और 183 हैं। इसलिए अंतर हैं:

  • 183 – 91 = 92
  • 183 – 43 = 140
  • 91 – 43 = 48

अब, HCF (48, 92 और 140):

  • 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3
  • 92 = 2 × 2 × 23
  • 140 = 2 × 2 × 5 × 7

HCF = 2 × 2 = 4

और 4 आवश्यक संख्या है।

प्रश्न 2: सबसे बड़ा संभव लंबाई जो 7 मीटर, 3 मीटर 85 सेंटीमीटर, और 12 मीटर 95 सेंटीमीटर को ठीक से मापने के लिए उपयोग की जा सकती है:

  • (a) 25 सेंटीमीटर
  • (b) 15 सेंटीमीटर
  • (c) 35 सेंटीमीटर
  • (d) 55 सेंटीमीटर

उत्तर: (c) आवश्यक लंबाई = 700 सेंटीमीटर, 385 सेंटीमीटर और 1295 सेंटीमीटर का H.C.F. = 35 सेंटीमीटर।

प्रश्न 3: निम्नलिखित में से कौन सी चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या है जो 15, 25, 40 और 75 से विभाजित होती है:

  • (a) 9700
  • (b) 9600
  • (c) 9800
  • (d) 9650

उत्तर: (b) चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या 9999 है। अब, 15, 25, 40 और 75 का L.C.M. निकालें, यानी 600।

9999 को 600 से विभाजित करने पर, शेषफल 399 है। इसलिए, आवश्यक संख्या (9999 – 399) = 9600।

वैकल्पिक रूप से, 9999/600 = 16.66500। दशमलव बिंदुओं को अनदेखा करें, आवश्यक संख्या होगी 16 × 600 = 9600।

प्रश्न 2: सबसे बड़ा संभव लंबाई, जिसे 7 मीटर, 3 मीटर 85 सेंटीमीटर, और 12 मीटर 95 सेंटीमीटर को ठीक से मापने के लिए उपयोग किया जा सकता है, है: (क) 25 सेंटीमीटर (ख) 15 सेंटीमीटर (ग) 35 सेंटीमीटर (घ) 55 सेंटीमीटर उत्तर: (ग) आवश्यक लंबाई = 700 सेंटीमीटर, 385 सेंटीमीटर और 1295 सेंटीमीटर का H.C.F. = 35 सेंटीमीटर।

प्रश्न 3: निम्नलिखित में से कौन सा चार अंकों का सबसे बड़ा संख्या है जो 15, 25, 40 और 75 से विभाज्य है: (क) 9700 (ख) 9600 (ग) 9800 (घ) 9650 उत्तर: (ख) चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या 9999 है। अब, 15, 25, 40 और 75 का L.C.M. निकालें यानी 600। 9999 को 600 से विभाजित करने पर, शेषफल 399 आता है। इसलिए, आवश्यक संख्या (9999 – 399) = 9600। वैकल्पिक रूप से, 9999/600 = 16.66500। दशमलव को छोड़कर, आवश्यक संख्या होगी 16 * 600 = 9600।

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