हल किए गए उदाहरण: लघुगणक | Mathematics for RRB NTPC (Hindi) - RRB NTPC/ASM/CA/TA PDF Download

परिभाषा

एक लॉगरिदम उस घातांक को दर्शाता है, जिसके द्वारा एक संख्या को उठाया जाना चाहिए ताकि दूसरी संख्या प्राप्त हो सके। लॉगरिदम से संबंधित अधिकांश प्रश्नों में सूत्रों पर निर्भरता होती है।

लॉगरिदम का सूत्र

logb (x) यदि और केवल यदि by = x

सामान्य लॉगरिदम और प्राकृतिक लॉगरिदम

सामान्य लॉगरिदम और प्राकृतिक लॉगरिदम

सामान्य लॉगरिदम की आधार संख्या 10 (b = 10) होती है और इसे log(x) के रूप में दर्शाया जाता है, जबकि प्राकृतिक लॉगरिदम की आधार संख्या e (यूलर का संख्या) होती है और इसे ln(x) के रूप में दर्शाया जाता है।

लॉगरिदम के नियम

• उत्पाद नियम: logb (xy) = logb (x) + logb (y)
• भाग नियम: logb (x/y) = logb (x) − logb (y)
• घात नियम: logb (x)n = nlogb (x)

एक लॉगरिदम को घातांक के विपरीत के रूप में व्यक्त किया जाता है। सरल शब्दों में, जब हम किसी विशेष मान का लॉगरिदम लेते हैं, तो हम मूल रूप से घातांक की प्रक्रिया को उलट देते हैं। यहां लॉगरिदम प्रश्नों से संबंधित चर्चाएं और उत्तर दिए गए हैं: उदाहरण के लिए: यदि हम b = 3 के रूप में एक आधार चुनते हैं और इसे k = 2 की घात में उठाते हैं, तो परिणाम 32 होता है, जिसे C के रूप में दर्शाया जाता है, अर्थात 32 = C। घातांक के नियमों का उपयोग करके यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि परिणाम C = 32 = 8 है। एक उदाहरण के रूप में, मान लीजिए किसी ने पूछा, \"2 को किस घात में उठाना चाहिए ताकि वह 16 के बराबर हो?\" उत्तर 4 है। इसे लॉगरिदमिक गणना के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है, अर्थात log2(16) = 4, जिसे इस प्रकार कहा जाता है, \"16 का दो के आधार का लॉगरिदम चार है।\"

लॉगариф्म रूप

• Log2(8) = 3
• Log4(64) = 3
• Log5(25) = 2

घातीय रूप

• 2³ = 8
• 4³ = 64
• 5² = 25

उपरोक्त उदाहरणों को सामान्यीकृत करने पर हमें लॉगариф्म की औपचारिक परिभाषा मिलती है। Log_b(a) = c ↔ b^c = a दोनों समीकरण समान संबंध को परिभाषित करते हैं जहाँ:

• ‘b’ को आधार माना जाता है,
• c को घातांक माना जाता है,
• a को आर्गुमेंट माना जाता है।

उदाहरण

उदाहरण 1: यदि log 3 = 0.477 है, तो 336 में अंकों की संख्या ज्ञात करें।

• (a) 18
• (b) 3
• (c) 20
• (d) 24

• 336 में अंकों की संख्या ≈ ⌊log(112 * 3)⌋
• 336 में अंकों की संख्या ≈ ⌊(log(112) + log(3))⌋
• 336 में अंकों की संख्या ≈ ⌊(2.049 + 0.477)⌋
• 336 में अंकों की संख्या ≈ ⌊2.526⌋
• 336 में अंकों की संख्या ≈ 3

उदाहरण 2: log₃ 27 का मान है:

• (a) 3
• (b) 2
• (c) 7
• (d) 8

उदाहरण 3: हल करें: px = qy

• (a) z/x
• (b) y/x
• (c) X/z
• (d) A/x

• x log p = y log q
• log p / log q = y/x

उदाहरण 4: हल करें: log √9 /log 9

• (a) zero
• (b) 1/2
• (c) 1
• (d) 1/3

उदाहरण 5: हल करें: log₆x³ = 18

• (a) 46656
• (b) 4/9
• (c) 2²³456
• (d) 4/6

• x = 6⁶
• x = 46656

उदाहरण 6: यदि log_x (5/18) = 1/2 है, तो x का मान ज्ञात करें:

• (a) 456/12
• (b) 25/324
• (c) 324/78
• (d) 566/18

• x^1/2 = 5/18
• √x = 5/18

• x = (5/18)²
• x = 25/324

उदाहरण 7: यदि log 5 = 0.698 है, तो 525 में अंकों की संख्या ज्ञात करें:

• (a) 3
• (b) 18
• (c) 4
• (d) 6

उदाहरण 8: दिए गए लॉगरिदमिक समीकरण को हल करें: log₇x = 3

• (a) 324
• (b) 343
• (c) 289
• (d) 366

उदाहरण 9: हल करें: log_x√3 = 1/2

• (a) 3
• (b) 2
• (c) 4
• (d) 6

उदाहरण 10: प्रमाणित करें: log₆36 = 3x

• (a) 2/3
• (b) 4/5
• (c) 6/7
• (d) 6/8