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RRB NTPC/ASM/CA/TA Exam > RRB NTPC/ASM/CA/TA Notes > Mathematics for RRB NTPC (Hindi) > टिप्स और ट्रिक्स: अंकगणितीय प्रगति

टिप्स और ट्रिक्स: अंकगणितीय प्रगति | Mathematics for RRB NTPC (Hindi) - RRB NTPC/ASM/CA/TA PDF Download

अंकगणितीय प्रगति के उपाय

एक अंकगणितीय प्रगति (Arithmetic Progression) जिसमें प्रारंभिक पद 'a' और लगातार सदस्यों के बीच सामान्य अंतर 'd' है, की n-वीं पद को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: an = a + (n−1)d, जहाँ n = 1, 2, … है।

टिप्स और ट्रिक्स: अंकगणितीय प्रगति | Mathematics for RRB NTPC (Hindi) - RRB NTPC/ASM/CA/TA

अंकगणितीय प्रगति को हल करने के लिए सुझाव और उपाय

अंकगणितीय प्रगति को हल करने के लिए सुझाव और उपाय

अंकगणितीय प्रगति, जिसे अंकगणितीय अनुक्रम भी कहा जाता है, संख्याओं या पदों की एक श्रृंखला होती है जहाँ लगातार पदों के बीच का अंतर स्थिर रहता है। नीचे कुछ सरल सुझाव और उपाय दिए गए हैं जो आपको प्रतियोगी परीक्षाओं में अंकगणितीय प्रगति के प्रश्नों को शीघ्रता, आसानी और दक्षता से हल करने में मदद करेंगे।

अंकगणितीय प्रगति को इस रूप में प्रदर्शित किया जाता है: a, (a + d), (a + 2d), (a + 3d), … जहाँ a = पहला पद, और d = सामान्य अंतर है। n पदों की संख्या है। सामान्य रूप, Tn = a + (n-1)d जहाँ Tn एक अंकगणितीय प्रगति का n-वा पद है।

अंकगणितीय प्रगति के गुण

यदि एक निश्चित संख्या को AP के प्रत्येक पद में जोड़ा या घटाया जाता है, तो परिणामी श्रृंखला भी एक AP होगी और इसका सामान्य अंतर मूल AP के समान होगा।
यदि AP के प्रत्येक पद को एक निश्चित गैर-शून्य संख्या से विभाजित या गुणा किया जाता है, तो परिणामी श्रृंखला भी AP में होगी।
यदि n-वा पद रैखिक अभिव्यक्ति में है, तो श्रृंखला AP में है।
यदि a1, a2, a3, …, an और b1, b2, b3, …, bn AP में हैं, तो a1 b1, a2 b2, a3 b3, …, an bn और a1–b1, a2–b2, a3–b3, …, an–bn भी AP में होंगे।
यदि किसी श्रृंखला का n-वा पद Tn = An + B है, तो श्रृंखला AP में है।
तीन पदों को जिनका योग या गुणनफल दिया गया हो, a-d, a, a+d के रूप में मान लेना चाहिए।
चार पदों को जिनका योग या गुणनफल दिया गया हो, a-3d, a-d, a+d, a+3d के रूप में मान लेना चाहिए।

प्रकार 1: श्रृंखला का n-वा पद खोजें tn = a + (n − 1)d

उदाहरण 1: श्रृंखला 1, 3, 5, 7, … में 10वां पद खोजें: (a) 20 (b) 19 (c) 15 (d) 21 उत्तर: (b) tn = a + (n – 1)d जहाँ tn = n-वा पद, a = पहला पद, d = सामान्य अंतर, n = श्रृंखला में पदों की संख्या। दिए गए श्रृंखला में, a (पहला पद) = 1 और d (सामान्य अंतर) = 2 (3 – 1, 5 – 3)। इसलिए, 10वां पद = t10 = a + (n-1) d = 1 + (10 – 1) × 2 = 1 + 18 = 19।

उदाहरण 2: यदि श्रृंखला में 8 पद हैं, तो अंतिम पद खोजें: 13 , 17 , 21 , 25…. (a) 33 (b) 41 (c) 37 (d) 39 उत्तर: (b) हमें पता है कि, tn = a + (n – 1)d जहाँ tn = n-वा पद, a = पहला पद, d = सामान्य अंतर, n = श्रृंखला में पदों की संख्या। दिए गए श्रृंखला में, a (पहला पद) = 13 और d (सामान्य अंतर) = 4 (17 – 13, 21 – 17)। इसलिए, 8वां पद = t8 = a + (n-1) d = 13 + (8 – 1) × 4 = 13 + 28 = 41।

प्रकार 2: श्रृंखला में पदों की संख्या खोजें

उदाहरण 1: श्रृंखला 7, 11, 15, . . . 71 में पदों की संख्या खोजें: (a) 12 (b) 25 (c) 22 (d) 17 उत्तर: (d) हमें पता है कि, जहाँ n = पदों की संख्या, a = पहला पद, l = अंतिम पद, d = सामान्य अंतर। दिए गए श्रृंखला में, a (पहला पद) = 7, l (अंतिम पद) = 71, d (सामान्य अंतर) = 11 – 7 = 4। n = 16 + 1 = 17

उदाहरण 2: यदि पहला पद = 22, अंतिम पद = 50 और सामान्य अंतर 4 है, तो पदों की संख्या खोजें: (a) 10 (b) 9 (c) 8 (d) 7 उत्तर: (c) हमें पता है कि, जहाँ n = पदों की संख्या, a = पहला पद, l = अंतिम पद, d = सामान्य अंतर। दिए गए श्रृंखला में, a (पहला पद) = 22, l (अंतिम पद) = 50, d (सामान्य अंतर) = 4। n = 7 + 1 = 8

प्रकार 3: श्रृंखला के पहले 'n' पदों का योग खोजें

उदाहरण 1: श्रृंखला 1, 3, 5, 7…. 201 का योग खोजें: (a) 12101 (b) 25201 (c) 22101 (d) 10201 उत्तर: (d) हमें पता है कि, या जहाँ, a = पहला पद, d = सामान्य अंतर, l = tn = n-वा पद = a + (n-1)d। दिए गए श्रृंखला में, a = 1, d = 2, और l = 201। चूंकि हमें पता है कि, l = a + (n – 1) d 201 = 1 + (n – 1) × 2 201 = 1 + 2n -2 202 = 2n n = 101। Sn = 50.5 × (1 + 201) Sn = 50.5 × 202 Sn = 10201

उदाहरण 2: यदि इस श्रृंखला का पहला पद 45 है, सामान्य अंतर 5 है और इस श्रृंखला में पदों की संख्या 8 है, तो अंकगणितीय श्रृंखला का योग खोजें: (a) 500 (b) 300 (c) 400 (d) 200 उत्तर: (a) हमें पता है कि, या जहाँ, a = पहला पद, d = सामान्य अंतर, l = tn = n-वा पद = a + (n-1)d। दिए गए श्रृंखला में, a = 45, d = 5, और n = 8। Sn = 4 × (90 + 35) Sn = 4 × 125 Sn = 500

प्रकार 4: श्रृंखला का अंकगणितीय माध्य खोजें। b =

उदाहरण 1: पहले पाँच अभाज्य संख्याओं का अंकगणितीय माध्य खोजें: (a) 6.6 (b) 3.6 (c) 5.6 (d) 7.6 उत्तर: (c) हमें पता है कि यहाँ, पाँच अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5, 7 और 11 हैं। इसलिए, उनका अंकगणितीय माध्य (AM) = (2 + 3 + 5 + 7 + 11) / 5 = 28 / 5 = 5.6।

उदाहरण 2: यदि दो संख्याओं का अंकगणितीय माध्य 24 है और पहली संख्या 10 है, तो दूसरी संख्या खोजें: (a) 32 (b) 38 (c) 34 (d) 36 उत्तर: (b) हमें पता है कि b = 38

tn = a + (n – 1)d जहाँ tn = n-वा पद, a = पहला पद , d = सामान्य अंतर, n = श्रृंखला में पदों की संख्या। दिए गए श्रृंखला में, a (पहला पद) = 1 d (सामान्य अंतर) = 2 (3 – 1, 5 – 3)। इसलिए, 10वां पद = t10 = a + (n-1) d

t10 = 1 (10 – 1) 2 t10 = 1 18 t10 = 19

उदाहरण 2: यदि इस श्रृंखला में 8 तत्व हैं, तो श्रृंखला में अंतिम तत्व ज्ञात करें: 13, 17, 21, 25....

(a) 33
(b) 41
(c) 37
(d) 39

उत्तर: (b) हमें ज्ञात है कि, tn = a (n – 1)d जहां tn = nवां तत्व, a = पहला तत्व, d = सामान्य अंतर, n = अनुक्रम में तत्वों की संख्या।

दी गई श्रृंखला में, a (पहला तत्व) = 13, d (सामान्य अंतर) = 4 (17 – 13, 21 – 17)

अतः, 8वां तत्व = t8 = a (n-1)d t8 = 13 (8 – 1) 4 t8 = 13 28 t8 = 41

उदाहरण 1: श्रृंखला 7, 11, 15, ... 71 में तत्वों की संख्या ज्ञात करें।

(a) 12
(b) 25
(c) 22
(d) 17

उत्तर: (d) हमें ज्ञात है कि, जहां n = तत्वों की संख्या, a = पहला तत्व, l = अंतिम तत्व, d = सामान्य अंतर।

दी गई श्रृंखला में, a (पहला तत्व) = 7, l (अंतिम तत्व) = 71, d (सामान्य अंतर) = 11 – 7 = 4

n = 16 1 n = 17

उदाहरण 2: यदि पहला तत्व = 22, अंतिम तत्व = 50 और सामान्य अंतर 4 है, तो तत्वों की संख्या ज्ञात करें।

(a) 10
(b) 9
(c) 8
(d) 7

उत्तर: (c) हमें ज्ञात है कि, जहां n = तत्वों की संख्या, a = पहला तत्व, l = अंतिम तत्व, d = सामान्य अंतर।

दी गई श्रृंखला में, a (पहला तत्व) = 22, l (अंतिम तत्व) = 50, d (सामान्य अंतर) = 4

n = 7 1 n = 8

उदाहरण 1: श्रृंखला 1, 3, 5, 7…. 201 का योग ज्ञात करें।

(a) 12101
(b) 25201
(c) 22101
(d) 10201

उत्तर: (d) हमें ज्ञात है कि, या जहां, a = पहला तत्व, d = सामान्य अंतर, l = tn = nवां तत्व = a (n-1)d

दी गई श्रृंखला में, a = 1, d = 2, और l = 201

चूंकि हमें ज्ञात है कि, l = a (n – 1) d

201 = 1 (n – 1) 2

201 = 1 2n - 2

202 = 2n

n = 101

S_n = 50.5 (1 + 201)

S_n = 50.5 x 202

S_n = 10201

उदाहरण 1: पहले पांच अभाज्य संख्याओं का अंकगणितीय माध्य ज्ञात करें। (क) 6.6 (ख) 3.6 (ग) 5.6 (घ) 7.6 उत्तर: (ग) हम जानते हैं कि यहाँ, पांच अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5, 7 और 11 हैं। इसलिए, उनका अंकगणितीय माध्य (AM) :

उदाहरण 2: यदि दो संख्याओं का अंकगणितीय माध्य 24 है और पहली संख्या 10 है, तो दूसरी संख्या ज्ञात करें। (क) 32 (ख) 38 (ग) 34 (घ) 36 उत्तर: (ख) हम जानते हैं कि दूसरी संख्या को b मानते हैं। इसलिए, उनका अंकगणितीय माध्य (AM) :

उदाहरण 3: इस श्रृंखला का योग ज्ञात करें यदि इस श्रृंखला का पहला पद 45 है, सामान्य अंतर 5 है और इस श्रृंखला में पदों की संख्या 8 है। (क) 500 (ख) 300 (ग) 400 (घ) 200 उत्तर: (क) हम जानते हैं कि, या जहाँ, a = पहला पद, d = सामान्य अंतर, l = tn = nth पद = a (n-1)d। दिए गए श्रृंखला में, a = 45, d = 5, और n = 8। Sn = 4 (90 + 35) Sn = 4 x 125 Sn = 500

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Oct 18, 2025 Last updated

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