हल किए गए उदाहरण: अंकगणितीय प्रगति (Arithmetic Progressions) | Mathematics for RRB NTPC (Hindi) - RRB NTPC/ASM/CA/TA PDF Download

अंकगणितीय श्रेणी (AP) की परिभाषा

अंकगणितीय श्रेणी को एक अनुक्रम के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसमें प्रत्येक लगातार जोड़े के बीच का अंतर स्थिर रहता है।

अंकगणितीय श्रेणी (AP) में संकेत

• प्रारंभिक पद (a): अंकगणितीय श्रेणी में श्रृंखला का पहला संख्या प्रारंभिक पद कहलाता है।
• सामान्य अंतर (d): ‘d’ सभी लगातार पदों के बीच के अंतर को दर्शाता है।
• nवां पद (an): an श्रेणी के पदों को परिभाषित करता है जबकि ‘n’ दिए गए संख्या या वर्ण के स्थान को दर्शाता है जिसे an = a (n − 1)d द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।
• AP का योग (Sn): AP का योग Sn = n/2 [2a + (n − 1)d] द्वारा प्राप्त किया जा सकता है। यदि ‘n’ एक के बराबर है, तो यह अंकगणितीय श्रेणी का प्रारंभिक पद दर्शाता है। इसे अंकगणितीय श्रेणी के लिए सटीक विधि कहा जाता है।

AP का सामान्य रूप:

AP का सामान्य रूप है: a, a + d, a + 2d, a + 3d, …….

सीमित या असीमित अंकगणितीय श्रेणियाँ

• सीमित अंकगणितीय श्रेणी: जब अनुक्रम में सीमित संख्या में पद होते हैं, तो इसे सीमित अंकगणितीय श्रेणी कहा जाता है। उदाहरण: 10, 20, 30, 40, 50
• असीमित अंकगणितीय श्रेणी: जब अनुक्रम में असीमित संख्या में पद होते हैं, तो इसे असीमित अंकगणितीय श्रेणी कहा जाता है। उदाहरण: 3, 5, 7, 9, 11, 13, ..…….

नोट: अनुक्रम की प्रकृति सामान्य अंतर द्वारा निर्धारित की जाती है। जब अंतर (d) सकारात्मक होता है, तो अनुक्रम के पद सकारात्मक अनंत की ओर बढ़ेंगे। यदि अंतर नकारात्मक है, तो अनुक्रम के पद नकारात्मक अनंत की ओर बढ़ेंगे।

अंकगणितीय श्रेणी के प्रश्न और उत्तर

प्रश्न 1: उस AP का 1वां पद ज्ञात करें जिसके 6ठे और 10वें पद क्रमशः 36 और 56 हैं। (a) 8 (b) 9 (c) 10 (d) 11

उत्तर: (d) जैसा कि हम जानते हैं कि AP का nth पद [a + (n-1)d] है। तो, 6ठा पद = a + 5d और 10वां पद = a + 9d। दिए गए हैं:

• a + 5d = 36 ………(1)
• a + 9d = 56……….(2)

(1) से (2) को घटाते हैं:

• 4d = 20
• d = 5

(1) में d का मान डालने पर:

• a + 5×5 = 36
• a = 11

इसलिए, AP का 1वां पद 11 है।

प्रश्न 2: 300 से 500 के बीच कितने प्राकृतिक संख्या 40 के गुणांक हैं? (a) 3 (b) 4 (c) 5 (d) 6

उत्तर: (c) श्रृंखला में 320, 360, ……..480 से गुणांक शुरू होते हैं। यह एक AP बन जाती है जिसका सामान्य अंतर 40 है।

प्रश्न 3: दिए गए अंकगणितीय श्रेणी में, '44' एक पद होगा। 17, 20, 23, 26, 29, 32………62। (a) सही (b) गलत (c) नहीं कह सकते (d) कोई नहीं

उत्तर: (a) nth पद = a + (n-1)d, 44 = 17 + (n-1)3, n = 30/3 = 10, n = 10 स्पष्ट रूप से एक पूर्णांक है। इसलिए 44 इस श्रृंखला में एक पद है।

प्रश्न 4: अनुपम ने जनवरी 2018 में Pidilite उद्योग में शामिल होकर पहले महीने में 2000 रुपये की वेतन प्राप्त की। इसके बाद उन्हें हर महीने 1500 रुपये का वेतन वृद्धि मिली। अपने काम के 5 वर्षों के अंत में कुल वेतन की गणना करें। (a) 80000 (b) 85000 (c) 90500 (d) 92000

उत्तर: (c) यह एक AP है 2000, 3500, 5000, …….. इस प्रकार हम जानते हैं कि 5 वर्षों में कुल 60 महीने होते हैं। हमें श्रृंखला का 60वां पद निकालना है। सामान्य अंतर d = 1500

a60 = a + (n-1)d

• a60 = 2000 + 59 x 1500
• a60 = 2000 + 88500 = 90500

5 वर्षों की सेवा के बाद उनका वेतन 90500 रुपये होगा।

प्रश्न 5: श्रृंखला 2√4, √4, 0 ..... का 8वां पद क्या होगा? (a) −5√4 (b) 4√4 (c) 10√2 (d) -10√2

उत्तर: (a) स्पष्ट रूप से दी गई श्रृंखला अंकगणितीय प्रगति में है 2√4, √4, 0 ..... एक A.P. है। अब a=2√4, d=−√4। इसलिए श्रृंखला का 8वां पद = 2√4 (8−1)(−√4)=−5√4।

प्रश्न 6: संख्या 24 को तीन भागों में वितरित किया गया है जो अंकगणितीय प्रगति में हैं और उनके वर्गों का कुल योग 208 है। (a) 8.5 (b) 9 (c) 10.9 (d) 11

उत्तर: (c) मान लीजिए अंकगणितीय प्रगति के तीन लगातार भाग (a-d), a, (a+d) हैं। दिए गए हैं:

• (a-d) + a + (a+d) = 24
• 3a = 24, a = 8

फिर:

• (a-d)² + a² + (a+d)² = 208
• a² + d² – 2ad + a² + a² + d² = 208
• 3a² + 2d² = 208, 3(8)² + 2d² = 208
• 2d² = 208 – 192, d² = 8, d = ∓2.9

इसलिए, सबसे बड़ा भाग (a + d) = 8 + 2.9 = 10.9 होगा।

प्रश्न 7: दिए गए अंकगणितीय श्रेणी में, '33' एक पद होगा। 7, 10, 13, 16, 19, 22………52। (a) सही (b) गलत (c) नहीं कह सकते (d) कोई नहीं

उत्तर: (b) nth पद = a + (n-1)d, 33 = 7 + (n-1)3, n = 29/3, n = 9.666 स्पष्ट रूप से 9.66 पूर्णांक नहीं है। इसलिए 33 इस श्रृंखला में एक पद नहीं है।

प्रश्न 8: एक लचीला खिलौना अपने गिरने के बाद अपनी ऊँचाई का (3443)वां हिस्सा उछालता है। यदि यह 360 मीटर की ऊँचाई से गिरा है, तो इसे रुकने से पहले यात्रा की कुल दूरी की गणना करें। (a) 5400 (b) 5300 (c) 2520 (d) 4800

उत्तर: (c) यह एक असीमित श्रृंखला का योग बन जाता है। इसलिए, दूरी की गणना करने के लिए:

• गेंद का पुनरुत्थान = 360 + 2160 = 2520

इसलिए, लचीले खिलौने की कुल दूरी = 2520।

प्रश्न 9: अनुक्रम 9√5, 8√5, 7√5, …….. (a) अंकगणितीय प्रगति (b) गुणात्मक प्रगति (c) हार्मोनिक प्रगति (d) इनमें से कोई नहीं

उत्तर: (a) अंतर है: d = 8√5−9√5 = 7√5−8√5 = −√5। इसलिए दी गई व्यवस्था अंकगणितीय प्रगति में है।

प्रश्न 10: यदि अंकगणितीय प्रगति का 8वां पद शून्य हो, तो उसके 28वें और 18वें पद का अनुपात क्या होगा? (a) 1 : 2 (b) 2 : 2 (c) 2 : 1 (d) 3 : 1

उत्तर: (c) दिया गया है कि 8वां पद = 0, 8वां पद = a + (8−1)d = a + 7d, तो a + 7d = 0। अब 28वें और 18वें पद का अनुपात:

अंकगणित प्रगति (AP) में संकेत

• प्रारंभिक पद (a): अंकगणित प्रगति में, श्रृंखला में पहला संख्या को प्रारंभिक पद कहा जाता है।
• सामान्य अंतर (d): 'd' सभी लगातार पदों के बीच का अंतर दर्शाता है।
• nवां पद (an): an प्रगति या श्रृंखला के पदों को परिभाषित करता है, जबकि 'n' उस संख्या या वर्ण का स्थान दर्शाता है जिसे an = a (n − 1)d द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।
• AP का योग (Sn): AP का योग Sn = n/2 [2a (n − 1) d] द्वारा प्राप्त किया जा सकता है। यदि 'n' एक के बराबर है, तो यह अंकगणित प्रगति का प्रारंभिक पद दर्शाता है। इसे अंकगणित प्रगति के लिए सटीक विधि के रूप में जाना जाता है।

AP का सामान्य रूप: AP का सामान्य रूप है: a, a d, a 2d, a 3d, …….

सीमित या अनंत अंकगणित प्रगति

• सीमित अंकगणित प्रगति: जब श्रृंखला में सीमित संख्या में पद होते हैं, तो इसे सीमित अंकगणित प्रगति कहा जाता है। उदाहरण: 10, 20, 30, 40, 50
• अनंत अंकगणित प्रगति: जब श्रृंखला में असीमित संख्या में पद होते हैं, तो इसे अनंत अंकगणित प्रगति कहा जाता है। उदाहरण: 3, 5, 7, 9, 11, 13, ..…….

नोट: एक श्रृंखला का स्वरूप सामान्य अंतर द्वारा निर्धारित होता है।

• जब अंतर (d) सकारात्मक होता है, तो श्रृंखला के पद सकारात्मक अनंतता की ओर बढ़ेंगे।
• यदि अंतर नकारात्मक है, तो श्रृंखला के पद नकारात्मक अनंतता की ओर बढ़ेंगे।

अंकगणित प्रगति के प्रश्न और उत्तर

प्रश्न 1: AP का 1st पद खोजें जिसका 6th और 10th पद क्रमशः 36 और 56 हैं।

• (a) 8
• (b) 9
• (c) 10
• (d) 11

उत्तर: (d) जैसा कि हम जानते हैं कि AP का nवां पद [a (n-1)d] है।

• 6th पद = a + 5d और 10th पद = a + 9d
• दिया गया: a + 5d = 36 ………(1)
• a + 9d = 56……….(2)
• (2) से (1) को घटाएं: 4d = 20
• d = 5, (1) में d का मान डालें: a + 5×5 = 36, a = 11

इसलिए, AP का 1st पद 11 है।

प्रश्न 2: 300 से 500 के बीच कितने प्राकृतिक संख्या 40 के गुणांक हैं?

• (a) 3
• (b) 4
• (c) 5
• (d) 6

उत्तर: (c) श्रृंखला 320, 360, ……..480 से शुरू होती है। यह 40 का सामान्य अंतर वाली AP बन जाती है। कुल प्राकृतिक संख्या = 5।

प्रश्न 3: दिए गए अंकगणित प्रगति में, '44' एक पद होगा। 17, 20, 23, 26, 29, 32………62।

• (a) सही
• (b) गलत
• (c) नहीं कह सकते
• (d) कोई नहीं

उत्तर: (a) nवां पद = a + (n-1)d, 44 = 17 + (n-1)3, n = 30/3 = 10।

n = 10 स्पष्ट रूप से एक पूर्णांक है। इसलिए 44 इस श्रृंखला में एक पद है।

प्रश्न 4: अनुपम जनवरी 2018 में पीडिलाइट उद्योगों में शामिल होते हैं और उन्हें पहली वेतन 2000 रुपये मिलते हैं। इसके बाद उन्हें हर महीने 1500 रुपये का वृद्धि मिलती है। अपने काम के 5 वर्षों के अंत में उनका कुल वेतन ज्ञात करें।

• (a) 80000
• (b) 85000
• (c) 90500
• (d) 92000

उत्तर: (c) यह एक AP है 2000, 3500, 5000, ……..आदि। जैसा कि हम जानते हैं कि 5 वर्षों में कुल 60 महीने होते हैं। हमें श्रृंखला का 60वां पद ज्ञात करना है। सामान्य अंतर d = 1500 है।

a60 = a + (n-1)d, a60 = 2000 + 59 x 1500 = 2000 + 88500 = 90500।

5 वर्षों की सेवा के बाद उनकी वेतन 90500 रुपये होगी।

प्रश्न 5: श्रृंखला 2√4, √4, 0 ..... का 8वां पद क्या होगा?

• (a) −5√4
• (b) 4√4
• (c) 10√2
• (d) -10√2

उत्तर: (a) स्पष्ट रूप से दी गई श्रृंखला अंकगणित प्रगति में है। 2√4, √4, 0 ..... एक AP है। अब a=2√4, d=−√4। इसलिए श्रृंखला का 8वां पद = 2√4 (8−1)(−√4)=−5√4 होगी।

प्रश्न 6: एक संख्या 24 को तीन भागों में बांटा गया है जो अंकगणित प्रगति में हैं और उनके वर्ग का योग 208 है।

• (a) 8.5
• (b) 9
• (c) 10.9
• (d) 11

उत्तर: (c) मान लीजिए कि AP के तीन लगातार भाग हैं (a-d), a, (a+d)। दिया गया कि (a-d) + a + (a+d) = 24, 3a = 24, a = 8।

फिर, (a-d)² + a² + (a+d)² = 208, a² + d² – 2ad + a² + a² + d² = 208।

3a² + 2d² = 208, 3(8)² + 2d² = 208, 2d² = 208 – 192, d² = 8, d = ∓2.9।

इसलिए, सबसे बड़ा भाग (a + d) = 8 + 2.9 = 10.9 है।

प्रश्न 7: दिए गए अंकगणित प्रगति में, '33' एक पद होगा। 7, 10, 13, 16, 19, 22………52।

• (a) सही
• (b) गलत
• (c) नहीं कह सकते
• (d) कोई नहीं

उत्तर: (b) nवां पद = a + (n-1)d, 33 = 7 + (n-1)3, n = 29/3, n = 9.666।

स्पष्ट रूप से 9.66 एक पूर्णांक नहीं है। इसलिए 33 इस श्रृंखला में एक पद नहीं है।

प्रश्न 8: एक इलास्टिक खिलौना अपने गिरने के बाद अपनी ऊँचाई का (3443)वां हिस्सा बounces करता है। अगर यह 360 मीटर की ऊँचाई से गिरता है, तो इसे स्थिर होने से पहले यात्रा की पूरी दूरी ज्ञात करें।

• (a) 5400
• (b) 5300
• (c) 2520
• (d) 4800

उत्तर: (c) यह अनंत श्रृंखला का योग बन जाता है। इसलिए, दूरी की गणना के लिए उपयोग करें: गेंद का पुनरुत्थान = 360 + 2160 = 2520।

इसलिए, इलास्टिक खिलौने की कुल यात्रा की दूरी = 2520।

प्रश्न 9: अनुक्रम 9√5, 8√5, 7√5, …….. क्या है?

• (a) अंकगणित प्रगति
• (b) ज्यामितीय प्रगति
• (c) हार्मोनिक प्रगति
• (d) इनमें से कोई नहीं

उत्तर: (a) अंतर है: d = 8√5-9√5 = 7√5-8√5 = -√5। इसलिए दी गई व्यवस्था अंकगणित प्रगति में है।

प्रश्न 10: यदि अंकगणित प्रगति का 8वां पद शून्य हो, तो इसके 28वें और 18वें पद का अनुपात क्या होगा?

• (a) 1 : 2
• (b) 2 : 2
• (c) 2 : 1
• (d) 3 : 1

उत्तर: (c) दिया गया है कि 8वां पद = 0, 8वां पद = a + (8−1)d = a + 7d, इसलिए a + 7d = 0।

अब 28वें और 18वें पद का अनुपात = ...

सीमित या अनंत अंकगणितीय प्रगति

• सीमित अंकगणितीय प्रगति: जब अनुक्रम में सीमित संख्या में पद होते हैं, तो इसे सीमित अंकगणितीय प्रगति कहा जाता है। उदाहरण: 10, 20, 30, 40, 50
• अनंत अंकगणितीय प्रगति: जब अनुक्रम में अनंत संख्या में पद होते हैं, तो इसे अनंत अंकगणितीय प्रगति कहा जाता है। उदाहरण: 3, 5, 7, 9, 11, 13, …….

नोट: अनुक्रम की प्रकृति एक सामान्य अंतर द्वारा निर्धारित होती है।

• जब अंतर (d) सकारात्मक होता है, तो अनुक्रम के पद सकारात्मक अनंतता की ओर बढ़ेंगे।
• यदि अंतर नकारात्मक है, तो अनुक्रम के पद नकारात्मक अनंतता की ओर बढ़ेंगे।

अंकगणितीय प्रगति के प्रश्न और उत्तर

अंकगणितीय प्रगति के प्रश्न और उत्तर

Q1: उस AP का 1st पद ज्ञात करें जिसका 6th और 10th पद क्रमशः 36 और 56 हैं। (a) 8 (b) 9 (c) 10 (d) 11

उत्तर: (d) जैसा कि हम जानते हैं कि AP का nth पद [a (n-1)d] है। तो, 6th पद = a + 5d और 10th पद = a + 9d।

दिया गया: a + 5d = 36 ………(1)

a + 9d = 56……….(2)

समीकरण (1) को (2) में से घटाएं:

4d = 20

d = 5

(1) में d का मान डालें:

a + 5 × 5 = 36

a = 11

इसलिए, AP का 1st पद 11 है।

Q2: 300 से 500 के बीच कितने प्राकृतिक संख्या 40 के गुणांक हैं? (a) 3 (b) 4 (c) 5 (d) 6

उत्तर: (c) श्रृंखला में गुणांक 320, 360, ……..480 से शुरू होते हैं। यह 40 का सामान्य अंतर वाला AP बन जाता है। कुल प्राकृतिक संख्याएं =

Q3: दिए गए अंकगणितीय प्रगति में '44' एक पद होगा। 17, 20, 23, 26, 29, 32………62। (a) सत्य (b) असत्य (c) नहीं कह सकते (d) कोई नहीं

उत्तर: (a) nth पद = a + (n-1)d

44 = 17 + (n-1) × 3, n = 30/3 = 10

n = 10 स्पष्ट रूप से एक पूर्णांक है। इसलिए 44 इस श्रृंखला में एक पद है।

Q4: अनुपम जनवरी 2018 में Pidilite Industries में शामिल होते हैं और उन्हें पहली सैलरी 2000 रुपये मिलती है। इसके बाद उन्हें हर महीने 1500 रुपये का वृद्धिकरण मिलता है। उसके नौकरी के 5 वर्षों के अंत में उनकी कुल पे कितनी होगी? (a) 80000 (b) 85000 (c) 90500 (d) 92000

उत्तर: (c) यह एक AP है: 2000, 3500, 5000, ……..। जैसा कि हम जानते हैं, 5 वर्षों में कुल 60 महीने होते हैं। हमें श्रृंखला का 60वां पद ज्ञात करना है।

सामान्य अंतर d = 1500

a₆₀ = a + (n-1)d

a₆₀ = 2000 + 59 × 1500

a₆₀ = 2000 + 88500 = 90500

5 वर्षों की सेवा के बाद उनकी सैलरी 90500 रुपये होगी।

Q5: श्रृंखला 2√4, √4, 0 ..... का 8वां पद क्या होगा? (a) −5√4 (b) 4√4 (c) 10√2 (d) -10√2

उत्तर: (a) स्पष्ट रूप से दी गई श्रृंखला अंकगणितीय प्रगति में है: 2√4, √4, 0 ..... एक A.P. है। अब a=2√4, d=−√4। इसलिए श्रृंखला का 8वां पद = 2√4 × (8−1)(−√4) = −5√4।

Q6: एक संख्या 24 को तीन भागों में बांटा गया है जो अंकगणितीय प्रगति में हैं और उनके वर्गों का योग 208 है। (a) 8.5 (b) 9 (c) 10.9 (d) 11

उत्तर: (c) मान लीजिए कि AP के तीन लगातार भाग हैं (a-d), a, (a+d)। दिया गया है कि (a-d) + a + (a+d) = 24

3a = 24

a = 8

फिर, (a-d)² + a² + (a+d)² = 208

अब, a² + d² − 2ad + a² + a² + d² = 208

3a² + 2d² = 208

8 के मान को डालें:

3(8)² + 2d² = 208

2d² = 208 − 192

d² = 8

d = ±2.9

इसलिए, सबसे बड़ा भाग (a + d) = 8 + 2.9 = 10.9

Q7: दिए गए अंकगणितीय प्रगति में '33' एक पद होगा। 7, 10, 13, 16, 19, 22………52। (a) सत्य (b) असत्य (c) नहीं कह सकते (d) कोई नहीं

उत्तर: (b) nth पद = a + (n-1)d, 33 = 7 + (n-1) × 3, n = 29/3

n = 9.666 स्पष्ट रूप से 9.66 एक पूर्णांक नहीं है। इसलिए 33 इस श्रृंखला में एक पद नहीं है।

Q8: एक इलास्टिक खिलौना अपने गिरने के बाद आधार से (3443 )वां अपने ऊचाई का हिस्सा बाउंस करता है। यदि इसे 360 मीटर की ऊंचाई से गिराया गया हो, तो इसकी यात्रा की कुल दूरी ज्ञात करें जब तक यह स्थिर नहीं हो जाता। (a) 5400 (b) 5300 (c) 2520 (d) 4800

उत्तर: (c) यह एक अनंत श्रृंखला का योग बन जाता है। इसलिए, दूरी की गणना करने के लिए:

गेंद के पुनः बाउंस होने की दूरी = 360 + 2160 = 2520

इसलिए, इलास्टिक खिलौने की कुल यात्रा की दूरी = 2520

Q9: अनुक्रम 9√5, 8√5, 7√5, …….. क्या है? (a) अंकगणितीय प्रगति (b) ज्यामितीय प्रगति (c) हार्मोनिक प्रगति (d) इनमें से कोई नहीं

उत्तर: (a) अंतर है: d = 8√5 - 9√5 = 7√5 - 8√5 = -√5

इसलिए, दी गई व्यवस्था अंकगणितीय प्रगति में है।

Q10: यदि अंकगणितीय प्रगति का 8वां पद शून्य है, तो इसके 28वें और 18वें पद के अनुपात क्या होंगे? (a) 1 : 2 (b) 2 : 2 (c) 2 : 1 (d) 3 : 1

उत्तर: (c) दिया गया है कि 8वां पद = 0

8वां पद = a + (8−1)d = a + 7d

तो a + 7d = 0

अब 28वें और 18वें पद के अनुपात की गणना करें।

Q4: अनुपम जनवरी 2018 में पिडिलाइट उद्योग में शामिल हुआ और उसे पहली बार ₹2000 का वेतन मिला। इसके बाद, उसे प्रत्येक माह ₹1500 की वृद्धि मिली। उसकी नौकरी के 5 वर्षों के अंत में कुल वेतन की गणना करें। (a) 80000 (b) 85000 (c) 90500 (d) 92000 उत्तर: (c) यह एक AP है 2000, 3500, 5000, …….. इसी प्रकार। जैसा कि हम जानते हैं, 5 वर्षों में कुल 60 महीने होते हैं। हमें श्रृंखला का 60वां पद ज्ञात करना है। सामान्य अंतर d = 1500 है। a₆₀ = a (n-1)d a₆₀ = 2000 + 59 x 1500 a₆₀ = 2000 + 88500 = 90500। 5 वर्षों की सेवा पूरी करने के बाद उसका वेतन ₹90500 होगा।

Q5: श्रृंखला का 8वां पद 2√4, √4, 0 ..... होगा (a) −5√4 (b) 4√4 (c) 10√2 (d) -10√2 उत्तर: (a) स्पष्ट है कि दी गई श्रृंखला गणितीय प्रगति में है 2√4, √4, 0 ..... एक A.P. है। अब a=2√4, d=−√4। इसलिए श्रृंखला का 8वां पद = 2√4 (8−1)(−√4) = −5√4।

Q6: एक संख्या 24 को तीन भागों में वितरित किया गया है जो गणितीय प्रगति में हैं और उनके वर्गों का कुल 208 है। (a) 8.5 (b) 9 (c) 10.9 (d) 11 उत्तर: (c) मान लीजिए कि AP के तीन लगातार भाग (a-d), a, (a+d) हैं। दिया गया है कि (a-d) a (a+d) = 24, 3a = 24, a = 8। फिर, (a-d)² + a² + (a+d)² = 208, a² + d² − 2ad + a² + a² + d² = 208, 3a² + 2d² = 208। a का मान रखते हुए 3(8)² + 2d² = 208, 2d² = 208 − 192, d² = 8, d = ∓2.9। इसलिए, सबसे बड़ा भाग (a+d) = 8 + 2.9 = 10.9।

Q7: दी गई गणितीय प्रगति में, '33' एक पद होगा। 7, 10, 13, 16, 19, 22………52। (a) सत्य (b) असत्य (c) कह नहीं सकते (d) कोई नहीं उत्तर: (b) nth पद = a + (n-1)d, 33 = 7 + (n-1)3, n = 29/3, n = 9.666। स्पष्ट है कि 9.66 एक पूर्णांक नहीं है। इसलिए 33 इस श्रृंखला में एक पद नहीं है।

प्रश्न 8: एक लचीला खिलौना अपनी ऊँचाई के (3443) भाग के बराबर उछलता है जब यह उस आधार से टकराता है जहाँ से यह गिरा है। यदि यह 360 मीटर की ऊँचाई से हल्का गिरा है, तो इसकी कुल यात्रा की दूरी की गणना करें। (क) 5400 (ख) 5300 (ग) 2520 (घ) 4800 उत्तर: (ग) यह एक अनंत श्रृंखला का योग बनता है। इसलिए, दूरी की गणना के लिए: गेंद की पुनर्बाउंडिंग = 360 + 2160 = 2520। इस प्रकार, लचीले खिलौने की कुल दूरी = 2520

प्रश्न 10: यदि एक अंकगणितीय प्रगति का 8वां पद शून्य है, तो इसके 28वें और 18वें पद का अनुपात क्या होगा? (क) 1 : 2 (ख) 2 : 2 (ग) 2 : 1 (घ) 3 : 1 उत्तर: (ग) दिया गया है कि 8वां पद = 0। 8वां पद = a (8−1)d = a 7d, इसलिए a 7d = 0। अब 28वें और 18वें पद का अनुपात।