हल किए गए उदाहरण: ज्यामितीय प्रगति | Mathematics for RRB NTPC (Hindi) - RRB NTPC/ASM/CA/TA PDF Download

परिभाषा

ज्यामितीय श्रेणी एक प्रकार की अनुक्रम है जो क्रमबद्ध और अनंत वास्तविक संख्याओं के संग्रह द्वारा विशेषीकृत होती है, जहाँ प्रत्येक पद अपने पूर्ववर्ती पद को एक निश्चित मूल्य से गुणा करके प्राप्त किया जाता है।

ज्यामितीय श्रेणी का सामान्य रूप

a, ar, ar², ar³, …… जहाँ, पहला पद को a के रूप में दर्शाया जाता है और सामान्य अनुपात को r के रूप में दर्शाया जाता है।

ज्यामितीय श्रेणी के प्रकार

ज्यामितीय श्रेणी को अनुक्रम में पदों की संख्या के आधार पर वर्गीकृत किया जा सकता है।

• सीमित ज्यामितीय श्रेणी: एक सीमित ज्यामितीय श्रेणी एक संख्या का अनुक्रम है जिसमें पदों की संख्या निश्चित होती है। सीमित ज्यामितीय श्रेणी का सामान्य रूप है: a, ar, ar², ar³, ar⁴, …, ar(n-1) उदाहरण के लिए: 2, 4, 8, 16
• अनंत ज्यामितीय श्रेणी: एक अनंत ज्यामितीय श्रेणी एक संख्या का अनुक्रम है जो हमेशा चलता रहता है। अनंत ज्यामितीय श्रेणी का सामान्य रूप है: a, ar, ar², ar³, ar⁴, …, उदाहरण के लिए: 2, 4, 8, …………

ज्यामितीय श्रेणी का उपयोग भौतिकी, इंजीनियरिंग, जीवविज्ञान, अर्थशास्त्र, कंप्यूटर विज्ञान, कतार सिद्धांत, और वित्त में किया जाता है। यह ज्यामितीय श्रेणी के प्रश्नों और उत्तरों को समझने के महत्व को रेखांकित करता है।

उदाहरण 1: ज्यामितीय श्रंखला 1, 9, 81, 729 ... के लिए S₇ कैसे खोजें? (क) 6,94,765 (ख) 5,97,871 (ग) 2,44,406 (घ) उपरोक्त में से कोई नहीं उत्तर: (ख) पहली संज्ञा a = 1 और r = 9। = 5,97,871

उदाहरण 2: ज्यामितीय श्रंखला 8, −4, 2, −1, ... का योग ज्ञात करें जहाँ श्रंखला में 7 संज्ञाएँ हैं। (क) 5.37 (ख) 5.50 (ग) 6.34 (घ) उपरोक्त में से कोई नहीं उत्तर: (क) इस श्रंखला के लिए, हमारे पास a = 8, r = -1/2 और n = 7 हैं। इस प्रकार S₇ = 5.37।

उदाहरण 3: यदि ज्यामितीय प्रगति के 3 निरंतर संज्ञाओं का गुणनफल 8 है, तो उन 3 निरंतर संज्ञाओं का मध्य क्या होगा? (क) 2 (ख) 12 (ग) 4 (घ) 13 उत्तर: (क) मान लें कि x/r, x, xr तीन संज्ञाएँ हैं, तब x = 2।

उदाहरण 4: नीचे दी गई अनंत ज्यामितीय प्रगति का योग क्या है? (क) 1/2 (ख) 2/3 (ग) 2/5 (घ) 3/2 उत्तर: (घ)

उदाहरण 5: ज्यामितीय श्रंखला: 6, 36, 216 ... के पहले 6 संज्ञाओं का योग कैसे खोजें? (क) 33454 (ख) 55986 (ग) 43659 (घ) 76463 उत्तर: (ख) सामान्य अनुपात = 6 और पहली संज्ञा = 6। सूत्र के अनुसार: = 55986।

उदाहरण 6: ज्यामितीय श्रंखला 3, 9, 27, 81 ... का योग ज्ञात करें जहाँ श्रंखला में 5 संज्ञाएँ हैं। (क) 363 (ख) 362 (ग) 242 (घ) 243 उत्तर: (क) इस श्रंखला के लिए, हमारे पास a = 3, r = 3 और n = 5 हैं।

उदाहरण 7: ज्यामितीय प्रगति 4, 8, 16, ..., 512 में कितनी संज्ञाएँ हैं? (क) 5 (ख) 6 (ग) 7 (घ) 8 उत्तर: (घ) यहाँ a = 4 और r = 2 है। n^th संज्ञा = 512। लेकिन n^th संज्ञा के लिए सूत्र है arn−1। तो 512 = 4 × 2ⁿ⁻¹ 128 = 2ⁿ⁻¹ 27 = 2ⁿ⁻¹ 7 = n − 1 n = 8।

उदाहरण 8: ज्यामितीय श्रंखला 1, 5, 25, 125 ... के लिए S₁₀ कैसे खोजें? (क) 25,00,000 (ख) 23,87,463 (ग) 24,41,406 (घ) उपरोक्त में से कोई नहीं उत्तर: (ग) जैसा कि हम जानते हैं, पहली संज्ञा a = 1 और r = 5। = 24,41,406।

उदाहरण 9: आप ज्यामितीय श्रृंखला 5, 15, 45, 135 … के लिए s₁₇ कैसे खोजेंगे? (क) 32,28,50,405 (ख) 12,91,40,631 (ग) 34,2154,214 (घ) उपरोक्त में से कोई नहीं उत्तर: (क) जैसा कि हम जानते हैं, पहले पद a=5 और r=3 है। = 32,28,50,405

उदाहरण 10: यदि यह मौजूद है तो अगले अनंत ज्यामितीय श्रृंखला का योग खोजें? 3, 2.25, 1.6875, 1.265625 …? (क) 10 (ख) 11 (ग) 12 (घ) 13 उत्तर: (ग) यहाँ a = 3 और r = 0.75 है। चूंकि |r|<1>