युक्तियाँ और ट्रिक्स: हार्मोनिक प्रगति | Mathematics for RRB NTPC (Hindi) - RRB NTPC/ASM/CA/TA PDF Download

HP ट्रिक्स

एक उपयोगी तकनीक है HP को प्रतिलोमों की AP में परिवर्तित करना। यह गणनाओं को सरल बना सकता है, क्योंकि AP के साथ काम करना अधिक परिचित और सीधा हो सकता है।

हार्मोनिक प्रोग्रेशन टिप्स और ट्रिक्स और शॉर्टकट्स

• दो संख्याओं के लिए, यदि A, G और H क्रमशः अंकगणितीय, ज्यामितीय और हार्मोनिक माध्य हैं, तो A ≥ G ≥ H
• अंकगणितीय, ज्यामितीय, और हार्मोनिक माध्य के बीच संबंध: AM × HM = GM²
• जब तक a = 1 और n = 1 नहीं है, हार्मोनिक श्रृंखला का योग कभी भी पूर्णांक नहीं होगा। इसका कारण यह है कि प्रगति के कम से कम एक हर (denominator) एक ऐसे अभाज्य संख्या (prime number) द्वारा विभाज्य है जो किसी अन्य हर से विभाजित नहीं होती।
• HP के तीन लगातार संख्या हैं:
• HP के चार लगातार संख्या हैं:

प्रकार 1: श्रृंखला का nth पद खोजें

प्रकार 1: श्रृंखला का nth पद खोजें

उदाहरण 1: इस हार्मोनिक श्रृंखला 4, a, 6 में मध्य पद खोजें (a) 22/5 (b) 21/5 (c) 23/5 (d) 24/5 उत्तर: (d) हमें पता है कि, HP का प्रतिलोम AP है।

उदाहरण 2: श्रृंखला 1/2, 1/4, 1/6 ……. में 8वां पद खोजें (a) 1/20 (b) 1/14 (c) 1/16 (d) 1/18 उत्तर: (c) हमें पता है कि, HP श्रृंखला को AP में परिवर्तित करें। हमें मिलता है 2, 4, 6,…… दिए गए श्रृंखला में, a (पहला पद) = 2, d (सामान्य अंतर) = 2 …. (4 – 2) इसलिए, 8वां पद = t8 = a (n - 1) d। t8 = 2 (8– 1) 2। t8 = 2 7 x 2। t8 = 2 14। t8 = 16

प्रकार 2: श्रृंखला का हर्मोनिक माध्य ज्ञात करें

उदाहरण 1: 4 और 6 के लिए A, G, H के लिए सही विकल्प ज्ञात करें। यहाँ A अर्थमेटिक माध्य है, G ज्यामितीय माध्य है और H हर्मोनिक माध्य है। (क) A ≥ G ≥ H (ख) A < g="" /> H (ग) A < g="" ≥="" h="" />(घ) A < g="" />< />

उत्तर: (क) अर्थमेटिक माध्य ज्यामितीय माध्य (G) = (4 × 6)^(1/2) = 4.89 इसलिए यह दिखाया गया है कि A ≥ G ≥ H

उदाहरण 2: यदि दो संख्याओं का हर्मोनिक माध्य 8 है और उनमें से एक संख्या 12 है, तो दूसरी संख्या ज्ञात करें। (क) 2 (ख) 4 (ग) 6 (घ) 8

उत्तर: (ग)

हम जानते हैं कि, दूसरी संख्या = b

96 = 8b

24b = दूसरी संख्या = 6

उदाहरण 3: 8, 9, 6 का हर्मोनिक माध्य (HM) ज्ञात करें? (क) 4.55 (ख) 6.65 (ग) 7.56 (घ) 7.44

उत्तर: (घ) हम जानते हैं कि, HM = 7.44