महत्वपूर्ण सूत्र: हार्मोनिक प्रगति | Mathematics for RRB NTPC (Hindi) - RRB NTPC/ASM/CA/TA PDF Download

HP की परिभाषा

हार्मोनिक प्रोग्रेशन (Harmonic Progression), जिसे हार्मोनिक अनुक्रम (Harmonic Sequence) भी कहा जाता है, वास्तविक संख्याओं की एक श्रृंखला है जो अर्थमैटिक प्रोग्रेशन (Arithmetic Progression) या अर्थमैटिक अनुक्रम (Arithmetic Sequence) के व्युत्क्रम लेकर उत्पन्न होती है।

हार्मोनिक प्रोग्रेशन एक ऐसी मानों की श्रृंखला है जहाँ इन मानों के व्युत्क्रम एक अर्थमैटिक प्रोग्रेशन बनाते हैं। सीमित हार्मोनिक प्रोग्रेशन के लिए विशेष सूत्र होते हैं। इस अनुक्रम में, प्रत्येक पद अपने निकटवर्ती पदों का हार्मोनिक माध्य (Harmonic Mean) होता है, जिससे यह एक वास्तविक संख्याओं की श्रृंखला बनती है जो अर्थमैटिक प्रोग्रेशन के व्युत्क्रम लेकर और इसके पड़ोसी पदों के माध्य की गणना करके प्राप्त की जाती है। HP को निम्नलिखित रूप में दर्शाया जाता है:

इस पृष्ठ पर हार्मोनिक प्रोग्रेशन के सूत्र दिए गए हैं जो विभिन्न प्रतियोगी परीक्षाओं में कई समस्याओं को हल करने में उपयोगी हैं।

हार्मोनिक प्रोग्रेशन (HP) के सूत्र

• HP का nth पद कैसे खोजें जहाँ an = nth पद, a1 = पहला पद, d = AP से लिया गया सामान्य अंतर, n = अनुक्रम में पदों की संख्या है।

• हार्मोनिक माध्य (HM): हार्मोनिक माध्य एक प्रकार का संख्यात्मक औसत है, जिसे अवलोकनों की संख्या को श्रृंखला में प्रत्येक संख्या के व्युत्क्रम से विभाजित करके निकाला जाता है। यदि a, b HP में हैं, तो उनका HM है। जहाँ, n = संख्याओं या पदों की कुल संख्या, a1, a2,…..an = व्यक्तिगत पद या व्यक्तिगत मान हैं।

उदाहरण

उदाहरण 1: एक हार्मोनिक प्रगति में, पहले 5 अंशों का योग 6 है, और उनके घनों का योग 405 है। इस प्रगति का पहला अंश क्या है? (क) (1/3) (ख) (1/4) (ग) (1/5) (घ) (1/6) उत्तर: (क) मान लीजिए कि a पहला अंश है और d हार्मोनिक प्रगति का सामान्य अंतर है। पहले 5 अंशों का योग इस प्रकार दिया गया है: S5 = 5a + 10d = 6। उनके घनों का योग इस प्रकार है: Scubes = a³ + (a + d)³ + (a + 2d)³ + (a + 3d)³ + (a + 4d)³ = 405। S5 के मान का उपयोग करके हम d के लिए हल कर सकते हैं, और फिर Scubes का उपयोग करके हम a के लिए हल कर सकते हैं, जो (1/3) निकलता है।

उदाहरण 2: एक हार्मोनिक प्रगति में, पहले 6 अंशों का योग उनके प्रतिवर्ती का 3 गुना है। इस प्रगति के पहले 12 अंशों का योग क्या है? (क) 2 (ख) 3 (ग) 4 (घ) 5 उत्तर: (ग) मान लीजिए कि Sn पहले n अंशों का योग है और Sn′ पहले n अंशों के प्रतिवर्ती का योग है। दी गई स्थिति को इस प्रकार लिखा जा सकता है: S6 = 3S6′। पहले n अंशों के हार्मोनिक प्रगति के योग के लिए सूत्र का उपयोग करते हुए, हमें यह मिलता है:

उदाहरण 3: एक अनंत हार्मोनिक प्रगति का योग (5/3) है। इस प्रगति में अंशों के वर्गों का योग क्या है? (क) (10/3) (ख) (25/9) (ग) (15/4) (घ) (9/5) उत्तर: (क) एक हार्मोनिक प्रगति में अंशों के वर्गों का योग इस प्रकार दिया गया है: जहां a1 पहला अंश है। अनंत हार्मोनिक प्रगति का योग (5/3) होने के कारण, हम इस परिणाम का उपयोग कर सकते हैं:

उदाहरण 4: एक हार्मोनिक प्रगति में, पहले 10 अंशों का योग क्या है? (क) (185/99) (ख) (99/185) (ग) (135/70) (घ) (70/135) उत्तर: (क) पहले n अंशों का योग एक हार्मोनिक प्रगति में इस प्रकार दिया गया है: Sn = a1, जहां a1 पहला अंश है। दिए गए nth अंश को प्रतिस्थापित करते हुए, हमें मिलता है:

उदाहरण 5: एक हार्मोनिक प्रोग्रेसन के पहले n पदों का योग निम्नलिखित द्वारा दिया गया है। इस प्रोग्रेसन के पदों के बीच सामान्य अंतर क्या है? (क) (1/3) (ख) (2/3) (ग) (3/4) (घ) (4/5) उत्तर: (क) एक हार्मोनिक प्रोग्रेसन के पहले n पदों का योग निम्नलिखित द्वारा दिया गया है, जहाँ a सामान्य अंतर है। इसे दिए गए सूत्र के साथ तुलना करते हुए, हमें प्राप्त होता है।