परिचय: अनुक्रमांक और मूलांक | Mathematics for RRB NTPC (Hindi) - RRB NTPC/ASM/CA/TA PDF Download

सूचकों (Indices) का क्या अर्थ है?

गणित में, सूचक (index) वह शक्ति या घातांक है जो किसी संख्या या चर (variable) पर उठाई जाती है।

• उदाहरण के लिए, संख्या 24 में, 4, 2 का सूचक है। सूचक का बहुवचन रूप सूचकों (indices) है।
• बीजगणित (algebra) में, हम स्थिरांक (constants) और चर (variables) का सामना करते हैं। स्थिरांक एक ऐसा मान है जिसे बदला नहीं जा सकता, जबकि चर मात्रा को कोई भी संख्या असाइन की जा सकती है या हम कह सकते हैं कि इसका मान बदला जा सकता है।
• गणित में, हम संख्याओं के संदर्भ में सूचकों के साथ काम करते हैं। एक संख्या या एक चर का एक सूचक हो सकता है। चर (या स्थिरांक) का सूचक वह मान है जो चर की शक्ति पर उठाया जाता है।
• सूचक को शक्तियों (powers) या घातांकों (exponents) के रूप में भी जाना जाता है। यह दर्शाता है कि किसी दिए गए संख्या को कितनी बार गुणा किया जाना है।
• इसे इस रूप में दर्शाया जाता है: am = a x a x a x ........ x a (m बार) यहाँ, a आधार (base) है और m सूचक है।
• सूचक यह बताता है कि एक विशेष संख्या (या आधार) को स्वयं से कितनी बार गुणा किया जाना है, जो सूचक के बराबर है। यह बड़ी संख्याओं और गणनाओं को लिखने का एक संकुचित तरीका है।
• उदाहरण: 23 = 2 × 2 × 2 = 8 इस उदाहरण में, 2 आधार है, और 3 सूचक है।

सूचकों के नियम

• कुछ मूलभूत नियम या सूचकांक के कानून हैं जिन्हें समझना आवश्यक है इससे पहले कि हम सूचकांकों के साथ काम करना शुरू करें। ये कानून सूचकांकों पर बीजगणितीय संचालन करते समय और बीजगणितीय अभिव्यक्तियों को हल करते समय उपयोग किए जाते हैं।
• नियम 1: यदि किसी स्थिरांक या चर का सूचकांक ‘0’ है, तो परिणाम हमेशा एक के समान होगा, चाहे कोई भी आधार मान हो। a⁰ = 1 उदाहरण: 5⁰ = 1, 12⁰ = 1, y⁰ = 1
• नियम 2: यदि सूचकांक नकारात्मक मान है, तो इसे सकारात्मक सूचकांक के व्युत्क्रम के रूप में दिखाया जा सकता है जो उसी चर के लिए उठाया गया है। a^-p = 1/a^p उदाहरण: 5^-1 = ⅕, 8^-3 = 1/8³
• नियम 3: समान आधार वाले दो चर को गुणा करने के लिए, हमें उसके घातों को जोड़ने की आवश्यकता होती है और उन्हें उस आधार पर उठाना होता है। a^p . a^q = a^{(p + q)} उदाहरण: 5² . 5³ = 5^{(2 + 3)} = 5⁵
• नियम 4: समान आधार वाले दो चर को भाग देने के लिए, हमें भिन्न के घात से अंश के घात को घटाना होता है और उसे उस आधार पर उठाना होता है। a^p / a^q = a^{(p - q)} उदाहरण: 10⁴ / 10² = 10^{(4 - 2)} = 10²
• नियम 5: जब किसी चर को किसी अन्य सूचकांक के साथ फिर से उठाया जाता है, तो दोनों सूचकांकों को एक साथ गुणा किया जाता है और उसी आधार पर उठाया जाता है। (a^p)^q = a^(pq) उदाहरण: (8²)³ = 8^{(2 . 3)} = 8⁶
• नियम 6: जब दो विभिन्न आधार वाले चर, लेकिन समान सूचकांक के साथ गुणा किए जाते हैं, तो हमें उनके आधार को गुणा करना होता है और समान सूचकांक को गुणा किए गए चर पर उठाना होता है। a^p . b^p = (a . b)^p उदाहरण: 3² . 5² = (3 x 5)² = 15²
• नियम 7: जब दो विभिन्न आधार वाले चर, लेकिन समान सूचकांक के साथ भाग किए जाते हैं, तो हमें आधार को भाग करना होता है और समान सूचकांक को उस पर उठाना होता है। a^p / b^p = (a/b)^p उदाहरण: 3² / 5² = (3/5)²
• नियम 8: एक सूचकांक जिसे भिन्न के रूप में प्रस्तुत किया गया है, उसे √ (गुणनांक) के रूप में दर्शाया जा सकता है। a^p/q = q√a^p उदाहरण: 6^1/2 = √6

अब हम सूचकांकों के लिए कुछ हल किए गए उदाहरणों पर नज़र डालते हैं।

सूचकांकों पर हल किए गए उदाहरण

Q.1. x⁴y³z² और xy⁵z^-1 का गुणा करें। उत्तर:

= x⁴ . x . y³ . y⁵ . z² . z^-1

= x⁴ y³ y⁵ z² z^-1

= x⁵ . y⁸ . z

Q.2. a³b²/a²b⁴ को हल करें।

= a^3-2b^2-4

= a¹b^-2

= a . b^-2

= a/b²

Q.3. 272^2/3 का मान ज्ञात करें।

उत्तर:

3√272

= 32

= 9

सर्ड्स

• गणित में, सर्ड्स वे मान होते हैं जो वर्गमूल में होते हैं और जिन्हें पूर्ण संख्याओं या पूर्णांक में आगे सरल नहीं किया जा सकता। सर्ड्स अव्यक्त संख्याएँ होती हैं। सर्ड्स के उदाहरण हैं √2, √3, √5, आदि, क्योंकि इन मानों को आगे सरल नहीं किया जा सकता।
• यदि हम इन्हें और सरल करते हैं, तो हमें दशमलव मान मिलते हैं, जैसे: √2 = 1.4142135… √3 = 1.7320508… √5 = 2.2360679…
• सर्ड्स वे वर्गमूल (√) होते हैं जो संख्याओं के हैं और जिन्हें पूर्ण या परिमेय संख्या में सरल नहीं किया जा सकता। इसे सही ढंग से भिन्न में नहीं दर्शाया जा सकता। दूसरे शब्दों में, एक सर्ड वह मूल है जो एक पूर्णांक का है और जिसका अव्यक्त मान होता है। उदाहरण के लिए, √2 ≈ 1.414213। इसे सर्ड √2 के रूप में छोड़ना अधिक सही है।

सर्ड्स के प्रकार

सर्द के विभिन्न प्रकार इस प्रकार हैं:

• सरल सर्द: एक सर्द जिसमें केवल एक ही पद है, उसे सरल सर्द कहा जाता है। उदाहरण: √2, √5, …
• शुद्ध सर्द: सर्द जो पूरी तरह से अवास्तविक होती हैं। उदाहरण: √3
• समान सर्द: सर्द जिनमें समान सामान्य सर्द कारक होते हैं।
• मिश्रित सर्द: सर्द जो पूरी तरह से अवास्तविक नहीं होती और जिन्हें एक वास्तविक संख्या और एक अवास्तविक संख्या के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
• संयोजित सर्द: एक अभिव्यक्ति जो दो या अधिक सर्दों का योग या घटाव होती है।
• बाइनोमियल सर्द: एक सर्द जो दो अन्य सर्दों से बनी होती है।

सर्द के नियम

• नियम 1: √(a × b) = √a × √b उदाहरण: √18 को सरल करने के लिए = √(9 × 2) = √(32 × 2), चूंकि 9 18 का सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग कारक है। इसलिए, √18 = √(32 × 2) = √32 × √2 = 3√2
• नियम 2: √(a / b) = (√a / √b) उदाहरण: √(12 / 121) = √12 / √121 = √(22 × 3) / 11 = √22 × √3 / 11 = (2√3) / 11
• नियम 3: (b / √a) × (√a × √a) = (b√a) / a आप भिन्न के हर के गुणांक को गुणा करके भिन्न को तार्किक बना सकते हैं। उदाहरण: 5/√7 को तार्किक बनाने के लिए, गुणांक और हर को √7 / √7 से गुणा करें = (5/√7) × (√7/√7) = 5√7/7
• नियम 4: a√c ± b√c = (a ± b)√c उदाहरण: 5√6 ± 4√6 को सरल करने के लिए = (5 ± 4)√6 = 9√6
• नियम 5: c/(a ± b√n) ऊपर और नीचे को a ± b√n से गुणा करें। यह नियम हमें भिन्न के हर को तार्किक बनाने में मदद करता है। उदाहरण: 3/(2√2) को तार्किक बनाने के लिए = 3(2√2) × (2 − √2)/(2 − √2) = (6 − 3√2)/(4 − 2) = (6 − 3√2)/2

सर्द और संकेतों के बीच अंतर

• सर्ड (Surds) वे मूल मान हैं जिन्हें पूर्ण संख्याओं के रूप में नहीं लिखा जा सकता। इंडिस (Indices) किसी मान की शक्ति या घात होती है। उदाहरण के लिए, 32 के लिए, 2 इंडिस है, और 3 आधार है।
• मान लीजिए, हमारे पास एक मान √33 है। इस मान को लिखा जा सकता है: √33 = (33)½ = 33/2 जहाँ 3/2 इंडिस है।

जैसा कि हमने अध्याय पूरा कर लिया है, आइए कुछ हल किए गए उदाहरणों पर ध्यान दें।

सर्ड और इंडिस पर हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: 163/2 16-3/2 = ?

हमें पता है, घातों के नियमों के अनुसार, am x an = am+n, a-m = 1/am

तो, 163/2 = 1/163/2 = (161/2)3 = 1/(161/2)3 = (42 x 1/2)3 = 1/(42 x 1/2)3 = 43 = 1/43 = 64 = 1/64 = (64 x 64 1)/64 = (4096 1)/64 = 4097/64

उदाहरण 2: यदि (1/5)3a = 0.008 तो (0.25)a का मान ज्ञात करें।

(1/5)3a = 0.008 = 8/1000 = 1/125 = (1/5)3।

बीजगणित के नियम को लागू करें और समीकरण को हल करें। ⇒ 3a = 3 ∴ a = 1 ∴ (0.25)a = (0.25)1 = 0.25

उदाहरण 3: 5√3 √2 का समकक्ष लिखें।

5√3 √2 का समकक्ष 5√3 - √2 है।

उदाहरण 4: हर (denominator) को समुचित करें: 1/[(8√11)-(7√5)]

दी गई: 1/[(8√11)-(7√5)]। यह ज्ञात है कि (8√11)-(7√5) का समकक्ष (8√11)(7√5) है।

दी गई भिन्न के हर को समुचित करने के लिए, हर के समकक्ष को ऊपर और नीचे दोनों पर गुणा करें।

= [1/[(8√11)-(7√5)]]× [[(8√11)(7√5)]/[(8√11)(7√5)]] = [(8√11)(7√5)]/[(8√11)²-(7√5)²] = [(8√11)(7√5)]/[704-245] = [(8√11)(7√5)]/459

उदाहरण 5: √7 को √2 से गुणा करें।

√7 x √2 = √(7 x 2) = √14

उदाहरण 6: √10 को √5 से भाग दें।

√10/√5 = √(10/5) = √2

उदाहरण 7: √x को 2√x से हल करें।

√x 2√x = 3√x