महत्वपूर्ण सूत्र: नावें और धाराएँ | Mathematics for RRB NTPC (Hindi) - RRB NTPC/ASM/CA/TA PDF Download

नाव और धारा का सिद्धांत उन सबसे सामान्य विषयों में से एक है, जिन पर देश में विभिन्न सरकारी परीक्षाओं में प्रश्न पूछे जाते हैं।

नाव और धारा से संबंधित प्रश्न सरकारी परीक्षाओं के मात्रात्मक योग्यता अनुभाग में पूछे जाते हैं और प्रश्नों का महत्व आमतौर पर 1-3 अंक के बीच होता है।

नाव और धारा – सिद्धांत

नाव और धाराओं के सिद्धांत पर आधारित प्रश्नों के उत्तर देने के लिए कई उपसिद्धांत हैं। नीचे चार महत्वपूर्ण शब्द दिए गए हैं, जिन्हें समझना एक उम्मीदवार के लिए आवश्यक है:

• धारा: यह नदी के भीतर बहते पानी को संदर्भित करता है।
• अपस्ट्रीम: जब एक नाव धारा की दिशा के विपरीत चलती है, तो इसे अपस्ट्रीम जाना माना जाता है। इस स्थिति में नाव की प्रभावी गति को अपस्ट्रीम गति कहा जाता है।
• डाउनस्ट्रीम: जब एक नाव धारा की दिशा के साथ चलती है, तो इसे डाउनस्ट्रीम जाना माना जाता है। यहां नाव की प्रभावी गति को डाउनस्ट्रीम गति कहा जाता है।
• स्थिर जल: यह स्थिति उस पानी का वर्णन करती है जो नहीं बह रहा है। इस मामले में पानी की गति को शून्य माना जाता है।

अपस्ट्रीम के लिए सूत्र

(U - V) किमी/घंटा, जहां U नाव की स्थिर जल में गति को दर्शाता है, और V धारा की गति को दर्शाता है।

डाउनस्ट्रीम के लिए सूत्र

(U + V) किमी/घंटा, जहां U स्थिर जल में नाव की गति को दर्शाता है, और V धारा की गति को दर्शाता है।

नाव और धाराओं के प्रश्नों के लिए सूत्र

डाउनस्ट्रीम क्या है?

डाउनस्ट्रीम का तात्पर्य उस वस्तु के संदर्भ में पानी के प्रवाह की दिशा से है। जब वस्तु या शरीर प्रवाह की दिशा में चल रहा होता है, तो इसे डाउनस्ट्रीम कहा जाता है।

अपस्ट्रीम क्या है?

अपस्ट्रीम भी उस वस्तु के संदर्भ में पानी के प्रवाह की दिशा से संबंधित है। जब वस्तु या शरीर प्रवाह की विपरीत दिशा में चल रहा होता है, तो इसे अपस्ट्रीम कहा जाता है। नावों और प्रवाहों से संबंधित समस्याएँ समय, गति और दूरी के सिद्धांतों पर आधारित होती हैं, लेकिन ऐसी परिस्थितियों के लिए कुछ संशोधनों की आवश्यकता होती है। ये समस्याएँ दो प्रकारों में प्रकट हो सकती हैं।

नीचे नावों और प्रवाहों की समस्याओं के लिए कुछ बेहतरीन सूत्र दिए गए हैं।

अपस्ट्रीम और डाउनस्ट्रीम के लिए मूल सूत्र

मूल सूत्र 1: यदि एक नाव की स्थिर पानी में गति u किमी/घंटा है और प्रवाह की गति v किमी/घंटा है, तो:

• डाउनस्ट्रीम गति = (u + v) किमी/घंटा
• अपस्ट्रीम गति = (u - v) किमी/घंटा

मूल सूत्र 2: यदि डाउनस्ट्रीम गति a किमी/घंटा है और अपस्ट्रीम गति b किमी/घंटा है, तो:

• स्थिर पानी में गति = (a + b) / 2
• प्रवाह की दर = (a - b) / 2

अतिरिक्त सूत्र 1: मान लेते हैं कि एक व्यक्ति स्थिर पानी में x किमी/घंटा की गति से चल सकता है और वह एक प्रवाह में y किमी/घंटा की दर से ऊपर और नीचे समान दूरी तय करता है। तब उसकी यात्रा के दौरान औसत गति होगी:

अतिरिक्त सूत्र 2: मान लीजिए व्यक्ति की स्थिर पानी में गति x किमी/घंटा है और प्रवाह की गति y किमी/घंटा है। यदि उसे अपस्ट्रीम जाने में डाउनस्ट्रीम की तुलना में t घंटे अधिक लगते हैं, तो यात्रा की गई दूरी होगी:

अतिरिक्त सूत्र 3: एक व्यक्ति t1 घंटों में डाउनस्ट्रीम एक निश्चित दूरी तय करता है और उसी दूरी को t2 घंटों में अपस्ट्रीम लौटता है। यदि प्रवाह की गति y किमी/घंटा है, तो व्यक्ति की स्थिर पानी में गति होगी:

अतिरिक्त सूत्र 4: एक व्यक्ति एक प्रवाह में y किमी/घंटा की गति से नाव चला सकता है। यदि उसे किसी स्थान पर जाने और वापस आने में t घंटे लगते हैं, तो दो स्थानों के बीच की दूरी होगी:

विविध उदाहरण

• उदाहरण 1: एक व्यक्ति स्थिर पानी में 13 किमी/घंटा की गति से तैर सकता है। यदि प्रवाह की गति 4 किमी/घंटा है, तो व्यक्ति को 68 किमी डाउनस्ट्रीम जाने में कितना समय लगेगा?
• समाधान: डाउनस्ट्रीम गति = (13 + 4) किमी/घंटा = 17 किमी/घंटा। 68 किमी डाउनस्ट्रीम जाने में समय = 68/17 = 4 घंटे।

• उदाहरण 2: एक महिला अपस्ट्रीम 16 किमी/घंटा और डाउनस्ट्रीम 26 किमी/घंटा की गति से नाव चला सकती है। प्रवाह की गति क्या होगी?
• समाधान: सूत्र के अनुसार, प्रवाह की गति = ½ (डाउनस्ट्रीम गति - अपस्ट्रीम गति) = ½ (26 - 16) = ½ × 10 = 5 किमी/घंटा।

• उदाहरण 3: एक नाव 1 घंटे में प्रवाह के खिलाफ 2 किमी चलती है और 10 मिनट में प्रवाह की दिशा में 1 किमी चलती है। नाव को स्थिर पानी में 5 किमी जाने में कितना समय लगेगा?
• समाधान: डाउनस्ट्रीम = (1/10 × 60) = 6 किमी/घंटा, अपस्ट्रीम = 2 किमी/घंटा। स्थिर पानी में गति = ½ (6 + 2) = 4 किमी/घंटा। इसलिए, नाव को स्थिर पानी में 5 किमी जाने में समय = 5/4 घंटे = 1 ¼ घंटे = 1 घंटे 15 मिनट।

• उदाहरण 4: एक तैराक की स्थिर पानी में गति 12 किमी/घंटा है। किसी निश्चित दूरी तक तैरने और वापस लौटने में 6 घंटे लगते हैं। प्रवाह की गति 4 किमी/घंटा है। दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करें।
• समाधान: मान लीजिए दूरी = D। डाउनस्ट्रीम समय = t1; डाउनस्ट्रीम गति = 1/2*(12 + 4) = 8 किमी/घंटा। अपस्ट्रीम समय = t2; अपस्ट्रीम गति = 1/2*(12 - 4) = 4 किमी/घंटा। कुल समय = t1 + t2 = 6 = (D/अपस्ट्रीम गति) + (D/डाउनस्ट्रीम गति) = 6 = D/8 + D/4। D = 16 किमी।

• उदाहरण 5: एक महिला स्थिर पानी में 15 किमी/घंटा की गति से तैर सकती है। यदि प्रवाह की गति 4 किमी/घंटा है, तो व्यक्ति को 76 किमी डाउनस्ट्रीम जाने में कितना समय लगेगा?
• समाधान: डाउनस्ट्रीम गति = (15 + 4) किमी/घंटा = 19 किमी/घंटा। 76 किमी डाउनस्ट्रीम जाने में समय = 76/19 = 4 घंटे।

यदि डाउनस्ट्रीम गति a किमी/घंटा है और अपस्ट्रीम गति b किमी/घंटा है, तो:

• स्थिर पानी में गति = (a + b) / 2
• प्रवाह की दर = (a - b) / 2

कुल समय = t1 + t2

6 = (D/ऊपर की धारा की गति) + (D/नीचे की धारा की गति)

6 = D/8 + D/4

उदाहरण 5: एक महिला स्थिर जल में 15 km/hr की गति से तैर सकती है। यदि धारा की गति 4 km/hr है, तो व्यक्ति को 76 किमी नीचे की धारा यात्रा करने में कितना समय लगेगा?

हल: