आँकड़े (Statistics) | Mathematics for RRB NTPC (Hindi) - RRB NTPC/ASM/CA/TA PDF Download

आकड़े विज्ञान डेटा के संग्रह, विश्लेषण, व्याख्या, प्रस्तुति और संगठन का अध्ययन है। यह डेटा के सभी पहलुओं से संबंधित है, जिसमें सर्वेक्षणों और प्रयोगों के डिजाइन के संदर्भ में डेटा संग्रह की योजना बनाना शामिल है।

औसत (Mean)

डेटा मानों के सेट का औसत सभी डेटा मानों का योग करके और डेटा मानों की संख्या से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है।

गणितीय औसत (Arithmetic Mean)

संख्यात्मक मानों के सेट का औसत उन सभी को जोड़कर और सेट में तत्वों की संख्या से विभाजित करके निकाला जाता है।

• दो संख्याओं a और b के लिए, AM = (a + b)/2
• जहाँ x AM है (i = 1....n)
• यदि दो विभिन्न डेटा सेटों के क्रमशः AM a1 और a2 हैं, तो कुल सेट का औसत है

ज्यामितीय औसत (Geometric Mean)

दो संख्याओं a और b के लिए, इसे निम्नलिखित रूप से परिभाषित किया जाता है:

हार्मोनिक औसत (Harmonic Mean)

गणित में, हार्मोनिक औसत कई प्रकार के औसत में से एक है। यह उन स्थितियों के लिए उपयुक्त है जब दरों का औसत आवश्यक होता है। सकारात्मक वास्तविक संख्याओं a1, a2, ..., an > 0 का हार्मोनिक औसत इस प्रकार परिभाषित किया जाता है: AM ≥ GM ≥ HM

अगठित डेटा का औसत (Mean of Ungrouped Data)

किसी जनसंख्या या नमूना सर्वेक्षण के बारे में व्यवस्थित रूप से एकत्र की गई जानकारी को अगठित डेटा कहा जाता है।

समूहित डेटा का माध्य

समूहित डेटा का माध्य

यदि x₁, x₂, . . , x_n अवलोकन हैं जिनकी संबंधित आवृत्तियाँ f₁, f₂,..., f_n हैं, तो माध्य

मान्य माध्य विधि: मान्य माध्य विधि का उपयोग करके माध्य की गणना

उदाहरण: निम्नलिखित तालिका में 24 छात्रों द्वारा कक्षा में प्राप्त अंक दिए गए हैं। दिए गए डेटा का माध्य ज्ञात करें। (क) 26.81 (ख) 27.91 (ग) 28.11 (घ) इनमें से कोई नहीं उत्तर: (ख)

माध्य

जब संख्याएँ आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित की जाती हैं, तो माध्य

• जब संख्या की शर्तें विषम हैं, तो यह मध्य तत्व होता है।
• जब संख्या की शर्तें सम हैं, तो यह मध्य दो तत्वों का औसत होता है।
• यह वितरण को दो समान भागों में विभाजित करता है।

गैर-समूहित डेटा का माध्य

गैर-समूहित डेटा का माध्य

चरण 1: हम डेटा को आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित करते हैं।

• (क) यदि n विषम संख्या है, तो माध्य
• (ख) यदि n सम संख्या है, तो माध्य

यहाँ, n = 6

समूहित डेटा का माध्य

समूहित डेटा का माध्य

डेटा जिसे समूहों या श्रेणियों में व्यवस्थित किया गया है न कि सभी मूल आंकड़े दिखाने के लिए। जहाँ,

• l = माध्य श्रेणी की निम्न सीमा
• n = अवलोकनों की संख्या
• cf = माध्य श्रेणी से पहले की श्रेणी की संचयी आवृत्ति
• f = माध्य श्रेणी की आवृत्ति
• h = श्रेणी का आकार

मोड

वह संख्या जो सबसे अधिक आवृत्ति रखती है, वह मोड है।

अगठित डेटा का मोड

• उदाहरण: 4, 1, 1, 4, 11, 11, 7, 5, 11, 35, 12, आदि। यहाँ, मोड 11 है।
• उदाहरण: 4, 4, 1, 4, 11, 11, 7, 5, 11, 35, 12, आदि। यह वितरण बहु-मोडल है। इस स्थिति में मोड असंगठित हो जाएगा।
• यदि 2 या अधिक वस्तुएं समान उच्चतम आवृत्ति रखती हैं, तो मोड केंद्रीय प्रवृत्ति का माप के रूप में स्पष्ट नहीं होता है।
• उदाहरण: 4, 7, 1, 15, 35, 25, 18, आदि। इस मामले में, मोड भी स्पष्ट नहीं होता है।

समूहित डेटा का मोड

जहाँ,

• l = मोडल क्लास की न्यूनतम सीमा (जिस वर्ग में अधिकतम आवृत्ति होती है, वह मोडल क्लास है)
• h = वर्ग अंतर का आकार
• f0 = मोडल क्लास से पहले के क्लास की आवृत्ति
• f1 = मोडल क्लास की आवृत्ति
• f2 = मोडल क्लास के बाद के क्लास की आवृत्ति

उदाहरण: नीचे दिए गए तालिका में 30 विभिन्न राज्यों में सड़क पर मौजूद कारों की संख्या (लाख में) दिखाई गई है:

ऊपर दिए गए डेटा का मोड क्या है? (a) 3.66 (b) 2.66 (c) 3.00 (d) उपरोक्त में से कोई नहीं

समाधान: (b) यहाँ, मोडल क्लास = 1-3 (क्योंकि इसकी आवृत्ति सबसे अधिक है, अर्थात् 10)

• l = 1
• क्लास का आकार (h) = 2
• f1 = 10
• f0 = 0
• f2 = 8

मीन, मीडियन और मोड के बीच अनुभवजन्य संबंध

एक मध्यम रूप से झुके हुए वितरण के लिए, निम्नलिखित संबंध मान्य पाया गया है:

मोड = 3 मीडियन − 2 मीन

जहाँ, झुकाव एक सामान्य यानी घंटी के आकार के सममित वितरण से प्रस्थान की डिग्री को संदर्भित करता है।

उदाहरण: दिए गए डेटा का औसत 39 है और मोड 36 है। मध्य मान ज्ञात करें। (क) 38 (ख) 39 (ग) 37 (घ) 40 समाधान। (क) मोड = 3 मध्य मान − 2 औसत ⇒ 36 = 3 × मध्य मान − 2 × 39 ⇒ 36 = 3 × मध्य मान − 78 ⇒ 36 + 78 = 3 मध्य मान ⇒ 114/3 = मध्य मान ∴ मध्य मान = 38

समाधान किया गया उदाहरण

प्रश्न 1: 5 विषयों में एक छात्र द्वारा प्राप्त अंक निम्नलिखित हैं 25, 26, 27, 28, 29 इनमें से प्राप्त अंकों में 27 है (क) मोड (ख) मध्य और मोड (ग) औसत और मध्य (घ) (क) और (ग) दोनों उत्तर: (ग) 27 मध्य में है, इसलिए यह मध्य मान और औसत भी है।

प्रश्न 2: दस व्यक्तियों का औसत साप्ताहिक वेतन ₹ 100 है, यदि उनमें से एक व्यक्ति को प्रति सप्ताह ₹ 10 की वृद्धि मिलती है, तो नया औसत साप्ताहिक वेतन क्या होगा? (क) ₹ 99 (ख) ₹ 101 (ग) ₹ 200 (घ) ₹ 250 उत्तर: (ख) कुल साप्ताहिक वेतन = 100 × 10 = ₹ 1000 वृद्धि के बाद, कुल वेतन = 1000 + 10 = ₹ 1010 अब, औसत साप्ताहिक वेतन = 1010/10 = ₹ 101

प्रश्न 3: निम्नलिखित डेटा का मोड क्या होगा (क) 2300 (ख) 2500 (ग) 1900 (घ) 2100 उत्तर: (ग) 1900 क्योंकि इसकी आवृत्ति सबसे अधिक है।

प्रश्न 4: 11 अवलोकनों का औसत 17.5 है। यदि एक अवलोकन 15 को हटा दिया जाए, तो शेष अवलोकनों का औसत ज्ञात करें। (क) 17.5 (ख) 17.25 (ग) 17.75 (घ) इनमें से कोई नहीं उत्तर: (ग) 11 अवलोकनों का औसत 17.5 है। ∴ ⇒ 11 अवलोकनों का कुल = ΣXi = 11 × 17.5 = 192.5 एक अवलोकन 15 को हटा दिया गया। अर्थात् 10 अवलोकनों का कुल = 192.5 − 15 = 177.5 ∴ 10 अवलोकनों का औसत = 177.5/10 = 17.75

प्रश्न 5: डेटा 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 के लिए मध्य मान क्या होगा (क) 6 (ख) 8 (ग) 9.5 (घ) 10 उत्तर: (ख) 4वां अवलोकन अर्थात् 8 मध्य मान है।

प्रश्न 6: निम्नलिखित डेटा का औसत (mean) क्या है? (क) 10 (ख) 11 (ग) 12 (घ) इनमें से कोई नहीं। उत्तर: (ख) नीचे दिए गए डेटा का औसत:

प्रश्न 7: एक विशेष साबुन की बिक्री रुपये में रविवार से शनिवार तक दी गई है। दैनिक बिक्री का औसत निकालें: 310, 420, 380, 370, 215, 430, 270। (क) 342 (ख) 342.25 (ग) 342.5 (घ) इनमें से कोई नहीं। उत्तर: (क) अंकगणितीय औसत,

प्रश्न 8: यदि 6, 4, 5 और 3 क्रमशः आवृत्तियों 2, 2, 5 और 4 के साथ आते हैं, तो अंकगणितीय औसत क्या है? (क) 6 (ख) 4.38 (ग) 6.25 (घ) 5.42। उत्तर: (ख) अंकगणितीय औसत,