गणितीय माध्य - केंद्रीय प्रवृत्तियों के माप, व्यावसायिक गणित और सांख्यिकी | SSC CGL Tier 2 - Study Material, Online Tests, Previous Year (Hindi) PDF Download

अर्थ: औसत के तीन प्रकार होते हैं: (i) अंकगणितीय औसत (A.M.) (ii) ज्यामितीय औसत (G.M.) (iii) हार्मोनिक औसत (H.M.) इनमें से अंकगणितीय औसत सबसे सामान्यतः प्रयोग में लाया जाने वाला है। वास्तव में, यदि विशेष रूप से औसत का उल्लेख नहीं किया गया है, तो हम हमेशा अंकगणितीय औसत (AM) का ही संदर्भ लेंगे और उसी के अनुसार गणना करेंगे।

1. अंकगणितीय औसत: (i) साधारण अंकगणितीय औसत:

(असंगठित डेटा से औसत की गणना) किसी दिए गए मानों की श्रृंखला का साधारण अंकगणितीय औसत, मान लीजिए, x1, x2,…….. x n को इन मानों का योग उनके कुल संख्या से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है: इस प्रकार

नोट: अक्सर हम xj नहीं लिखते, x का अर्थ सभी अवलोकनों का योग होता है।

उदाहरण 1: 3, 6, 24 और 48 का अंकगणितीय औसत निकालें।

(ii) भारित अंकगणितीय औसत: (संगठित डेटा से औसत की गणना) यदि संख्या x1, x2, ……. xn क्रमशः f1, f2…….fn बार आती हैं (अर्थात् आवृत्तियों f1, f2 ……..fn के साथ आती हैं) तो अंकगणितीय औसत है

जहाँ N = f कुल आवृत्ति है, अर्थात्, मामलों की कुल संख्या। इस औसत x को भारित अंकगणितीय औसत कहा जाता है, जिसमें भार f1, f2 …….f n क्रमशः होते हैं।

विशेष रूप से, जब भार (या आवृत्तियाँ) f1, f2……f n सभी समान होते हैं। तब हमें साधारण अंकगणितीय औसत प्राप्त होता है।

उदाहरण 2: यदि 5, 8, 6 और 2 क्रमशः आवृत्तियों 3, 2, 4 और 1 के साथ आती हैं, तो अंकगणितीय औसत निकालें।

अंकगणितीय औसत:

संगठित आवृत्ति वितरण से अंकगणितीय औसत (या साधारण औसत) की गणना – निरंतर श्रंखला:

(i) सामान्य विधि (या प्रत्यक्ष विधि) इस विधि में वर्ग-आंतरालों के मध्य मानों को संबंधित वर्ग आवृत्तियों से गुणा किया जाता है। इस प्रकार प्राप्त गुणन का योग कुल आवृत्ति से विभाजित किया जाता है ताकि औसत प्राप्त किया जा सके। औसत x इस प्रकार दिया जाता है:

जहाँ x = किसी वर्ग का मध्य मान और N = कुल आवृत्ति

उदाहरण 3: निम्न तालिका के दैनिक वेतन का औसत निकालें:

समाधान:

∴ औसत दैनिक वेतन

(ii) शॉर्टकट विधि (मानित औसत की विधि)

इस विधि में, एक वर्ग अंतराल का मध्य मान (जो कि वितरण के मध्य के निकट अधिकतम आवृत्ति के लिए उपयुक्त हो) को मानित औसत (या मनमाना मूल) A के रूप में लिया जाता है और A से विचलन की गणना की जाती है। औसत निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:

जहाँ, d = x – A = (मध्य मान) – (मानित औसत)।

चरण विचलन विधि:

उदाहरण 4: निम्नलिखित आवृत्ति वितरण का अंकगणितीय औसत निकालें:

∴ अंकगणितीय औसत

(iii) मानित औसत की विधि (चरण विचलनों का उपयोग करके)

खुली सीमाओं के साथ समूहित आवृत्ति वितरण से A.M. की गणना

यदि समूहित आवृत्ति वितरण में, पहले वर्ग की निम्न सीमा या अंतिम वर्ग की ऊपरी सीमा ज्ञात नहीं है, तो A.M. खोजना कठिन होता है। जब बंद वर्ग (पहले और अंतिम वर्ग को छोड़कर) समान चौड़ाई के होते हैं, तो हम खुली वर्गों की चौड़ाई को बंद वर्ग की सामान्य चौड़ाई के बराबर मान सकते हैं और इसलिए A.M. निर्धारित कर सकते हैं। लेकिन हम मध्यिका या मोड को बिना अनुमान के खोज सकते हैं।

अंकगणितीय औसत के गुण:

• 1. मानों का कुल योग fx उनके A.M. के मानों की संख्या के उत्पाद के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, Nx = fx।
• 2. मानों का उनके A.M. से विचलनों का बीजगणितीय योग शून्य होता है। यदि x1, x2……xn चर x के n मान हैं और उनके A.M. को इनका विचलन कहा जाता है।

विकलन का बीजगणितीय योग

समान रूप से, भारित ए.एम. का परिणाम निकाला जा सकता है।

3. यदि n1 मानों का एक समूह ए.एम. है और दूसरे समूह n2 मानों का ए.एम. है, तो n1 और n2 मानों के सम्मिलित समूह (अर्थात दोनों समूहों के संयोजन) का ए.एम. (x) इस प्रकार दिया जाता है:

सामान्यतः, एक समूह के लिए ए.एम. इस प्रकार दिया जाता है।

उदाहरण 5: 50 और 100 के आकार के दो नमूनों के औसत क्रमशः 54.1 और 50.3 हैं। दोनों नमूनों को मिलाकर 150 के नमूने का औसत ज्ञात कीजिए।

अज्ञात आवृत्ति का पता लगाना: यदि आवृत्ति वितरण में एक (या अधिक) आवृत्ति गायब है (अर्थात ज्ञात नहीं है) तो हम गायब आवृत्ति का पता लगा सकते हैं, बशर्ते वितरण का औसत ज्ञात हो। इस विचार को निम्नलिखित उदाहरण से स्पष्ट किया जा सकता है:

एक गायब आवृत्ति के लिए:

उदाहरण 6: निम्नलिखित आवृत्ति वितरण का ए.एम. 67.45 है। f3 का मान ज्ञात कीजिए, मान लीजिए A = 67। अब सूत्र का उपयोग करते हुए।

समाधान: गायब आवृत्ति की गणना

दो गायब आवृत्तियों के लिए:

उदाहरण 7: निम्नलिखित आवृत्ति वितरण का ए.एम. 1.46 है।

f1 और f2 ज्ञात करें? मान लीजिए, x = दुर्घटनाओं की संख्या, f = दिनों की संख्या।

f2 = 200 – (46 76 25 10 5) = 38

उदाहरण 8: निम्नलिखित आवृत्ति वितरण का अंकगणितीय औसत 8.8 है। गायब आवृत्तियाँ ज्ञात करें:

गलत अवलोकन: n अवलोकनों के ए.एम. की गणना के बाद यदि यह पता चलता है कि एक या अधिक अवलोकन गलत (या छोड़े गए) हैं, तो ए.एम. की सही गणना इस प्रकार होगी: मान लीजिए गलत अवलोकन x1, y1 सही मानों x, y के बजाय लिए गए हैं, तो सही x = दिए गए x – (x1 y1) (x y), इस मामले में अवलोकनों की कुल संख्या समान रहेगी।

उदाहरण 9: 20 अवलोकनों का औसत 40 पाया गया। बाद में यह पता चला कि अंक 53 को 83 के रूप में गलत पढ़ा गया था। सही अंक ज्ञात करें।

गलत x = 20 × 40 = 800, सही x = 800 – 83 + 53 = 770

उदाहरण 10: 5 अवलोकनों का औसत 6 है। गणना के बाद यह नोट किया गया कि अवलोकन 4 और 8 को क्रमशः अवलोकन 5 और 9 की जगह लिया गया है। सही औसत ज्ञात करें।

संघटनात्मक आवृत्ति वितरण से औसत की गणना: पहले हमें दिए गए संघटनात्मक आवृत्ति वितरण को सामान्य रूप में बदलना है, फिर औसत की गणना करने के लिए सामान्य सूत्र लागू करना है। इसके विचार को निम्नलिखित उदाहरणों से स्पष्ट किया जाएगा।

उदाहरण 11: निम्नलिखित वितरणों का औसत ज्ञात करें:

(i) किसी भी दो चर के बीच का अंतर 4 है; इसलिए वर्ग अंतराल की चौड़ाई 4 होगी। इसके अनुसार, हमें सामान्य समूह आवृत्ति वितरण इस प्रकार प्राप्त होता है:

मान लें A = 10

मान लें A = 7.5

अंकगणितीय औसत के लाभ:

• (i) इसे गणना करना आसान है और समझने में सरल है।
• (ii) औसत की गणना के लिए सभी डेटा का उपयोग किया जाता है। इसे तब भी निर्धारित किया जा सकता है जब केवल वस्तुओं की संख्या और उनका योग ज्ञात हो।
• (iii) यह आगे की गणितीय प्रक्रिया के लिए सक्षम है।
• (iv) यह दो या अधिक आवृत्ति वितरणों की तुलना के लिए एक अच्छा आधार प्रदान करता है।
• (v) औसत के लिए डेटा को व्यवस्थित करने की आवश्यकता नहीं है।

अंकगणितीय औसत के दोष:

• (i) यह चरम वस्तुओं को महत्वपूर्ण वजन दे सकता है। उदाहरण के लिए, 2, 6, 301 का औसत 103 है और औसत 103 द्वारा अधिकतर मानों का सही प्रतिनिधित्व नहीं किया जाता।
• (ii) कुछ मामलों में, अंकगणितीय औसत भ्रामक धारणाएँ दे सकता है। उदाहरण के लिए, एक अस्पताल में प्रति दिन 10.7 रोगियों का औसत दाखिला होता है, यहाँ औसत उपयोगी जानकारी है लेकिन यह वास्तविक वस्तु का प्रतिनिधित्व नहीं करता।
• (iii) इसे निरीक्षण द्वारा मुश्किल से निर्धारित किया जा सकता है।

उदाहरण 12: पचास छात्रों ने एक परीक्षा में भाग लिया। पास हुए छात्रों के परिणाम नीचे दिए गए हैं:

सभी छात्रों का औसत अंक 52 है। परीक्षा में फेल हुए छात्रों के औसत अंकों को खोजें।

फेल हुए छात्रों के औसत अंक मान लें:

∴ आवश्यक औसत अंक = 21।

उदाहरण 13: निम्नलिखित आवृत्ति तालिका से, यदि माध्य 23.5 है, तो x का मान ज्ञात करें।

कक्षा: 50–59, 40–49, 30–39, 20–29, 10–19, 0–9

आवृत्ति: x – 4, x – 2, x, 3, x, 5, x, 10, x – 2

समाधान:

∴ यहाँ, i = कक्षा की चौड़ाई = 10।

उदाहरण 14: एक कंपनी के सभी कर्मचारियों का औसत वेतन ` 28,500 है। पुरुष और महिला कर्मचारियों का औसत वेतन क्रमश: ` 30,000 और ` 25,000 है। कंपनी में कार्यरत पुरुषों और महिलाओं का प्रतिशत ज्ञात करें।

मान लें कि पुरुष कर्मचारियों की संख्या n1 है और महिलाओं की संख्या n2 है। हमें ज्ञात है: