मोड - केंद्रीय प्रवृत्ति के माप, व्यावसायिक गणित और सांख्यिकी | SSC CGL Tier 2 - Study Material, Online Tests, Previous Year (Hindi) PDF Download

मोड परिभाषा: मोड वह मान है जो सबसे अधिक बार प्रकट होता है। यह एक श्रृंखला का सबसे सामान्य मान दर्शाता है। दूसरे शब्दों में, मोड वह मान है जिसका आवृत्ति सबसे अधिक होती है। जब हम 'औसत छात्र' की बात करते हैं, तो आमतौर पर हमारा तात्पर्य मोडल वेतन या मोडल छात्र से होता है। यदि हम कहते हैं कि एक फैक्ट्री में काम करने वालों द्वारा प्राप्त मोडल वेतन ` 70 है, तो हमारा मतलब है कि सबसे अधिक संख्या में कामगार उसी राशि को प्राप्त करते हैं। जब वेतन ` 100 और ` 50 होते हैं, तो ये बहुत कम बार प्रकट होते हैं और ये गैर-मोडल होते हैं।

गणना: मोड को व्यक्तिगत अवलोकनों की श्रृंखला में निर्धारित नहीं किया जा सकता जब तक कि इसे एक विभाज्य श्रृंखला (या निरंतर श्रृंखला) में परिवर्तित नहीं किया जाता। एक विभाज्य श्रृंखला में, अधिकतम आवृत्ति वाला मान मोडल वर्ग होता है। हालांकि, मोड का सटीक स्थान इंटरपोलेशन सूत्र द्वारा किया जाता है जैसे कि मीडियन। विभाज्य श्रृंखला के मामले में मोडल मान का स्थान तब संभव है जब किसी एक बिंदु पर वस्तुओं का संकेन्द्रण हो। यदि दो या अधिक मान समान अधिकतम आवृत्तियों वाले होते हैं (अर्थात अधिक संकेन्द्रण), तो मोड निर्धारित करना कठिन हो जाता है। ऐसी वस्तुओं को बाइमोडल, ट्राईमोडल या मल्टीमोडल कहा जाता है, जब वस्तुएं 2, 3 या अधिक मानों पर संकेंद्रित होती हैं। (A) व्यक्तिगत अवलोकनों के लिए

व्यक्तिगत अवलोकनों को पहले विभाज्य श्रृंखला में परिवर्तित करना आवश्यक है (यदि संभव हो)। फिर अधिकतम आवृत्ति वाला मान मोड होगा। उदाहरण 34: दिए गए डेटा से मोड की गणना करें:

(अंक) : 10, 14, 24, 27, 24, 12, 11, 17।

(व्यक्तिगत अवलोकनों को एक अलग श्रृंखला में परिवर्तित किया जाता है) यहाँ अंक 24 अधिकतम बार आते हैं, अर्थात् 2 बार। इसलिए, मोड अंक 24 है, या मोड = 24 अंक है।

वैकल्पिक रूप से: संख्याओं को व्यवस्थित करना: 10, 11, 12, 14, 17, (24, 24) 27। अब 24 अधिकतम बार आता है, अर्थात् 2 बार। ∴ मोड = 24 अंक। [नोट: जब दो या दो से अधिक मान एक समान अधिकतम आवृत्ति रखते हैं, तो मोड को अस्पष्ट माना जाता है। ऐसी स्थिति को bimodal या multi-modal कहा जाता है, जैसा कि मामला हो।]

उदाहरण 35: निम्नलिखित डेटा से मोड की गणना करें। प्राप्त अंक: 24, 14, 20, 17, 20, 14।

[यहाँ 14 2 बार (अधिकतम) आता है और 20 2 बार (अधिकतम) आता है ∴ मोड अस्पष्ट है।]

(B) साधारण आवृत्ति वितरण अलग श्रृंखला के लिए। निम्नलिखित तालिका से मोड ज्ञात करें:

ऊँचाई (इंच में) व्यक्तियों की संख्या

• 57 - 3
• 59 - 5
• 61 - 7
• 62 - 10
• 63 - 20
• 64 - 22
• 65 - 24
• 66 - 5
• 67 - 2
• 69 - 2

नीचे दी गई आवृत्तियाँ, स्तंभ (1) में, स्तंभ (2) और (3) में दो-दो के समूह में और फिर स्तंभ (4), (5), और (6) में तीन-तीन के समूह में वर्गीकृत की गई हैं। प्रत्येक स्तंभ में अधिकतम आवृत्ति को बोल्ड प्रकार से चिह्नित किया गया है। हमें कोई निश्चित बिंदु नहीं मिलता है जो अधिकतम आवृत्ति रखता हो, बल्कि यह समूह परिवर्तन के साथ बदलता है। निम्नलिखित तालिका में विभिन्न स्तंभों के संबंध में अधिकतम आवृत्ति के आकार को व्यवस्थित किया गया है।

64 उस वस्तु का आकार है जो सबसे अधिक बार आती है। इसलिए, मोड 64 पर स्थित है। [नोट: एक नज़र में स्तंभ (1) से कोई यह सोच सकता है कि 65 मोड है क्योंकि इसमें अधिकतम आवृत्ति है। यह धारणा समूह बनाने की प्रक्रिया द्वारा सही की जाती है। इसलिए, मोड को केवल निरीक्षण द्वारा निर्धारित करना उचित नहीं है।]

(C) निरंतर श्रृंखला के लिए। निरीक्षण द्वारा या समूह तालिका और विश्लेषण तालिका तैयार करके मोडल वर्ग का निर्धारण करें। फिर मोड का सटीक मान ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करें।

जहाँ, I = मोडल क्लास की निचली वर्ग-सीमा
f1 = मोडल क्लास की आवृत्ति।
f0 = मोडल क्लास से पहले की क्लास की आवृत्ति।
f2 = मोडल क्लास के बाद की क्लास की आवृत्ति।
i = मोडल क्लास के वर्ग-इंटरवल का आकार।

नोट: उपरोक्त सूत्र को निम्नलिखित रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है:

उदाहरण 36: निम्नलिखित वितरण का मोड निकालें।

तालिका से स्पष्ट है कि अधिकतम आवृत्ति 16 है: मोडल क्लास (40–50) है। यहाँ l = 40, f0 = 12, f1 = 16, f2 = 10 (तालिका में चिह्नित), i = 10 (= 50 – 40)

डिस्क्रीट समूह आवृत्ति वितरण से मोड की गणना:

ऐसे मामलों में पहले वर्ग सीमाओं को तैयार करना आवश्यक है ताकि सूत्र का उपयोग किया जा सके।

उदाहरण 37: निम्नलिखित आवृत्ति वितरण से मोड की गणना करें:

जो वर्ग अंतराल डिस्क्रीट रूप में हैं, उन्हें पहले वर्ग सीमाओं में परिवर्तित किया जाता है।

अब मोडल क्लास (79.5 – 89.5) है, क्योंकि इस क्लास की आवृत्ति सबसे अधिक है। यहाँ l = 79.5, f0 = 40, f1 = 50, f2 = 30, i = 10

संचयी आवृत्ति वितरण से मोड की गणना:

उदाहरण 38: निम्नलिखित संचयी आवृत्ति वितरण से 22 छात्रों के अकाउंटेंसी के अंक का मोड निकालें:

अंक 20 से नीचे 40 से नीचे 60 से नीचे 80 से नीचे 100 से नीचे
छात्रों की संख्या 3 8 17 20 22

हल:

पहले हमें उपरोक्त संचयी आवृत्ति वितरण को समान समूह आवृत्ति वितरण में परिवर्तित करना है और फिर मोड की गणना करनी है।

मोडल क्लास (40–60) है, क्योंकि इस क्लास की आवृत्ति सबसे अधिक है। यहाँ l = 40, f0 = 5, f1 = 9, f2 = 3, i = 20

अवश्यकता के अनुसार आवृत्ति की गणना:

उदाहरण 39: दिए गए वितरण का मोड 44 है, गायब आवृत्ति ज्ञात करें।

अंक: 10–20, 20–30, 30–40, 40–50, 50–60, 60–70

छात्रों की संख्या: 5, 8, 12, ––, 10, 8

समाधान: चूंकि मोड 44 है, इसलिए मोडल क्लास 40–50 है।

गायब आवृत्ति को f₁ मान लें।

विविधताएँ:

• यदि दो वैरिएट x और y का संबंध 2x = 3y – 1 है, और y का औसत 9 है; तो x का औसत ज्ञात करें।
• यदि 2u = 5x दो चर x और u के बीच संबंध है और x का हार्मोनिक औसत 0.4 है, तो u का हार्मोनिक औसत ज्ञात करें।
• दो चर x और y के बीच संबंध 3y – 2x 5 = 0 है और y का माध्य 40 है, x का माध्य ज्ञात करें।

3y – 2x 5 = 0 से हमें मिलता है। चूंकि माध्य स्थिति द्वारा स्थित होती है, इसलिए x का माध्य है।

• नीचे दिए गए आवृत्ति वितरण का मोड 24 है और कुल आवृत्ति 100 है। f₁ और f₂ के मान ज्ञात करें।

C.I: 0 –10, 10–20, 20–30, 30–40, 40–50 आवृत्ति: 14, f₁, 27, f₂, 15

मोड 24 है, इसलिए मोडल क्लास (20–30) है। मोड के सूत्र से हम ज्ञात करते हैं:

14 f₁ 27 f₂ 15 = 100 या, f₁ + f₂ = 100 – 56 = 44 …….….(1)

5. निम्नलिखित 20 कर्मचारियों के मासिक वेतन रुपये में हैं: 130, 125, 110, 100, 80, 76, 98, 103, 122, 66, 145, 151, 65, 71, 118, 140, 116, 85, 95, 151

कंपनी उन व्यक्तियों को निम्नलिखित वेतन समूहों में बोनस देती है: ` 10, 15, 20, 25 और 30, जो ` 60 से अधिक लेकिन ` 80 से अधिक नहीं, ` 80 से अधिक लेकिन ` 100 से अधिक नहीं, और इसी तरह ` 140 से अधिक लेकिन ` 160 से अधिक नहीं। प्रति कर्मचारी औसत बोनस ज्ञात करें।

समाधान: कर्मचारियों के मासिक वेतन से, हम निम्नलिखित वेतन समूहों में कर्मचारियों की संख्या ज्ञात करते हैं:

कुछ स्कूल के 2012 के टेस्ट परीक्षा में 30 छात्रों द्वारा प्राप्त अंक निम्नलिखित हैं: 34, 36, 10, 21, 31, 32, 22, 43, 48, 36, 48, 22, 39, 26, 34, 39, 10, 17, 47, 38, 40, 51, 35, 52, 41, 32, 30, 35, 53, 23

कक्षा अंतराल 10–19, 20–29 आदि के साथ एक आवृत्ति तालिका तैयार करें। आवृत्ति वितरण से माध्यिका और मोड की गणना करें।

माध्यिका = Nth/2 का मान यानी, 30/2 यानी 15वां पद। इसलिए माध्यिका वर्ग (29.5 – 39.5) है।

मोड के लाभ:

• (i) इसे अक्सर निरीक्षण द्वारा पाया जा सकता है।
• (ii) यह चरम मानों से प्रभावित नहीं होता है। यह अक्सर एक वास्तविक विशिष्ट मान होता है।
• (iii) यह सरल और सटीक है। यह श्रृंखला का वास्तविक आइटम है, सिवाय निरंतर श्रृंखला के।
• (iv) मोड को ग्राफिकली निर्धारित किया जा सकता है, जबकि माध्य नहीं।

मोड के नुकसान:

• (i) यह बीजगणितीय उपचार के लिए अनुपयुक्त है।
• (ii) जब अवलोकनों की संख्या छोटी होती है, तो मोड मौजूद नहीं हो सकता है, जबकि माध्य और माध्यिका की गणना की जा सकती है।
• (iii) मोड का मान श्रृंखला के प्रत्येक आइटम पर आधारित नहीं होता है।
• (iv) यह एकत्रित करने की ओर नहीं ले जाता, यदि मोड और कुल आइटम की संख्या दी गई है।

माध्य, माध्यिका और मोड के बीच अनुभवजन्य संबंध: एक वितरण जिसमें माध्य, माध्यिका और मोड के मान सहमिलते हैं, उसे सममित कहा जाता है और यदि उपरोक्त मान समान नहीं हैं, तो वितरण को असममित या झुका हुआ कहा जाता है। एक मध्यम झुके हुए वितरण में, माध्य, माध्यिका और मोड के बीच संबंध इस प्रकार है: माध्य – मोड = 3 (माध्य – माध्यिका)। यदि दो मान ज्ञात हैं, तो हम अन्य को ज्ञात कर सकते हैं।

उदाहरण 40: एक मध्यम रूप से विषम वितरण में, मोड और औसत क्रमशः 32.1 और 35.4 हैं। माध्यिका की गणना करें। संबंध से, हमें पता चलता है कि 3 माध्यिका = 2 औसत + मोड, या 3 माध्यिका = 2 × 35.4 + 32.1 = 70.8 + 32.1 = 102.9। अतः, माध्यिका = 34.3।