मानक विचलन - फैलाव के माप, व्यावसायिक गणित और सांख्यिकी | SSC CGL Tier 2 - Study Material, Online Tests, Previous Year (Hindi) PDF Download

मानक विचलन:

औसत विचलन की गणना करते समय हमने बीजगणितीय चिह्नों की अनदेखी की, जो गणितीय रूप से तर्कहीन है। इस कमी को मानक विचलन की गणना में दूर किया गया है, जिसे सामान्यतः ‘σ’ (सिग्मा के रूप में पढ़ा जाता है) द्वारा दर्शाया जाता है।

परिभाषा: मानक विचलन का अर्थ है, औसत के सभी विचलनों के वर्गों का अंकगणितीय औसत का वर्गमूल। संक्षेप में, इसे औसत से गणना की गई रूट-मीन्स-स्क्वायर विचलन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

यदि x का औसत x1, x2, ……., xn है, तो σ को निम्नलिखित के द्वारा परिभाषित किया गया है:

मानक विचलन (s.d.) की गणना करने के लिए विभिन्न सूत्र:

• (क) साधारण अवलोकनों या विविधताओं के लिए।

• (ख) साधारण या समूह आवृत्ति वितरण के लिए। यदि विविधताएँ x1, x2, x3, ……., xn हैं, तो संबंधित आवृत्तियाँ f1, f2, f3, ….., fn हैं।

नोट: यदि सभी विविधताएँ समान हैं (मान लीजिए K), तो

उदाहरण 49: अवलोकन के लिए 4, 4, 4, 4

मानक विचलन (s.d.) की गणना के लिए शॉर्टकट विधि: यदि x (A. M.) पूर्णांक नहीं है, तो (1), (2) में गणना लंबी और समय लेने वाली होती है। ऐसी स्थिति में, हम s.d. खोजने के लिए निम्नलिखित सूत्रों का पालन करेंगे।

नोट: सूत्र (3) को चरण विचलन के लिए इस प्रकार लिखा जा सकता है, जहाँ

मानक विचलन की गणना:

(A) व्यक्तिगत अवलोकनों के लिए, गणना दो तरीकों से की जा सकती है:

• (क) वास्तविक औसत से विचलनों को लेकर। अनुसरण करने के चरण:–
• (1) वास्तविक औसत ज्ञात करें, अर्थात्।
• (2) औसत से विचलनों को ज्ञात करें, अर्थात् d.
• (3) विचलनों के वर्ग बनाएं, और जोड़ें, अर्थात्।
• (4) जोड़ को कुल वस्तुओं की संख्या से विभाजित करें, अर्थात् d2 / n ज्ञात करें और फिर इसका वर्गमूल निकालें।

अध्याय नोट्स का हिंदी में अनुवाद:

(b) अनुमानित माध्य से भिन्नताएँ लेते हुए। अनुसरण करने के लिए कदम––

• (1) वस्तुओं की भिन्नताएँ एक अनुमानित माध्य से ज्ञात करें और इसे d के रूप में दर्शाएँ।
• (2) भिन्नताओं का वर्ग करें, ज्ञात करें।
• (3) मानक विचलन ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित सूत्र लागू करें।

उदाहरण 50: 7, 9, 16, 24, 26 का मानक विचलन ज्ञात करें। विधियों द्वारा s.d. की गणना (a) योग की भिन्नताएँ लेना (b) अनुमानित माध्य से भिन्नताएँ लेना।

यहाँ औसत या A.M. 16.40 है और विविधताएँ औसतन A.M. से ` 7.66 की भिन्नता रखती हैं। विधि (b) के लिए: मान लें A (अनुमानित माध्य) = 16।

नोट: यदि वास्तविक माध्य भिन्न में है, तो अत्यधिक गणनाओं से बचने के लिए अनुमानित माध्य से भिन्नताएँ लेना बेहतर है। (B) विवेचनात्मक श्रृंखला (या साधारण आवृत्ति वितरण) के लिए मानक विचलन की गणना के लिए तीन विधियाँ हैं: (a) वास्तविक माध्य, (b) अनुमानित माध्य, (c) चरण भिन्नता। (a) के लिए निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग किया जाता है। यह विधि कम बार उपयोग की जाती है क्योंकि यदि वास्तविक माध्य भिन्न में है, तो गणनाएँ अधिक समय लेती हैं।

(सामान्यतः, इस सूत्र का अनुप्रयोग कम होता है) (b) के लिए, निम्नलिखित कदमों का उपयोग किया जाना चाहिए:––

• (i) भिन्नताएँ ज्ञात करें (अनुमानित माध्य से), इसे d के रूप में दर्शाएँ।

उदाहरण 51: निम्नलिखित श्रृंखला का मानक विचलन ज्ञात करें:

हल:

(c) के लिए निम्नलिखित सूत्र का उपयोग किया जाता है। विचार नीचे दिए गए उदाहरण से स्पष्ट होगा:

सूत्र है, जहाँ d′ = चरण भिन्नता, i = सामान्य गुणांक।

उदाहरण 52: निम्नलिखित वितरण के लिए मानक विचलन ज्ञात करें:

(C) निरंतर श्रृंखला (या समूह वितरण) के लिए: उपरोक्त किसी भी विधि का उपयोग इस मामले में किया जा सकता है (विभाजन श्रृंखला के लिए)। निश्चित रूप से, चरण विचलन विधि का उपयोग करना सुविधाजनक है। निम्नलिखित उदाहरण से, गणना की प्रक्रिया स्पष्ट होगी।

उदाहरण 53: निम्नलिखित आवृत्ति वितरण से मानक विचलन निर्धारित करें।

मान लें A (अनुमानित माध्य) = 49

मानक विचलन के गणितीय गुण: संयुक्त मानक विचलन। हम दो या अधिक समूहों के लिए संयुक्त मानक विचलन भी निकाल सकते हैं, जैसे कि संयोजित समूह का माध्य। आवश्यक सूत्र निम्नलिखित है:

जहाँ σ₁₂ = दो समूहों का संयुक्त मानक विचलन। σ₁ = पहले समूह का मानक विचलन। σ₂ = दूसरे समूह का मानक विचलन।

तीन समूहों के लिए

उदाहरण 54: दो नमूनों के आकार क्रमशः 40 और 50 हैं, जिनका समान माध्य 53 है, लेकिन विभिन्न मानक विचलन 19 और 8 हैं। आकार 90 के संयुक्त नमूने का मानक विचलन निर्धारित करें।

समाधान: