कुर्तोसिस का अवधारणा, व्यावसायिक गणित और सांख्यिकी | SSC CGL Tier 2 - Study Material, Online Tests, Previous Year (Hindi) PDF Download

कुर्तोसिस क्या है?

डेटा और प्रायिकता वितरणों के आकार समान नहीं होते। कुछ वितरण असममित होते हैं और बाईं या दाईं ओर झुके होते हैं। अन्य वितरण द्विमोढ़ होते हैं और इनमें दो चोटी होती हैं। वितरण के बारे में बात करते समय विचार करने के लिए एक और विशेषता वितरण के दाएं और बाएं अंत की आकृति होती है। कुर्तोसिस एक वितरण के अंतरों की मोटाई या भारीपन का माप है।

कुर्तोसिस के वितरण को तीन वर्गीकरणों में वर्गीकृत किया जाता है:

• मेसोकुर्तिक
• लेप्टोकुर्तिक
• प्लाटीकुर्तिक

हम क्रमशः इन वर्गीकरणों पर विचार करेंगे। इन श्रेणियों की हमारी जांच उतनी सटीक नहीं होगी जितनी कि हम कुर्तोसिस की तकनीकी गणितीय परिभाषा का उपयोग करते समय कर सकते थे।

कुर्तोसिस आमतौर पर सामान्य वितरण के संदर्भ में मापा जाता है। एक वितरण जिसके अंत सामान्य वितरण के समान आकार के हैं, न कि केवल मानक सामान्य वितरण, उसे मेसोकुर्तिक कहा जाता है। मेसोकुर्तिक वितरण का कुर्तोसिस न तो उच्च होता है और न ही निम्न, बल्कि इसे अन्य दो वर्गीकरणों के लिए एक आधार रेखा माना जाता है।

सामान्य वितरणों के अलावा, उन बाइनोमियल वितरणों को जिनके लिए p लगभग 1/2 है, मेसोकुर्तिक माना जाता है।

एक लेप्टोकुर्तिक वितरण वह होता है जिसका कुर्तोसिस मेसोकुर्तिक वितरण से अधिक होता है।

लेप्टोकुर्तिक वितरण कभी-कभी पतली और ऊँची चोटियों द्वारा पहचाने जाते हैं। इन वितरणों के दाएं और बाएं दोनों में अंत मोटे और भारी होते हैं। लेप्टोकुर्तिक वितरण का नाम उपसर्ग "लेप्टो" से लिया गया है जिसका अर्थ है "पतला"।

लेप्टोकुर्टिक वितरणों के कई उदाहरण हैं।

सबसे प्रसिद्ध लेप्टोकुर्टिक वितरणों में से एक है स्टूडेंट का t वितरण।

कुर्टोसिस के लिए तीसरी वर्गीकरण प्लेटीकुर्टिक है। प्लेटीकुर्टिक वितरण वे होते हैं जिनकी पूंछें पतली होती हैं। कई बार इनका शिखर एक मेसो कुर्टिक वितरण से कम होता है। इन प्रकार के वितरणों का नाम "प्लेटी" उपसर्ग के अर्थ से आता है, जिसका अर्थ है "चौड़ा"।

सभी यूनिफॉर्म वितरण प्लेटीकुर्टिक होते हैं। इसके अतिरिक्त, एक सिक्के के एक बार पलटने से प्राप्त विभाजन भी प्लेटीकुर्टिक है।

कुर्टोसिस की गणना

कुर्टोसिस की ये वर्गीकरणें अभी भी कुछ हद तक व्यक्तिगत और गुणात्मक हैं। जबकि हम देख सकते हैं कि एक वितरण का पूंछें सामान्य वितरण की तुलना में मोटी हैं, तो यदि हमारे पास सामान्य वितरण का ग्राफ नहीं है तो हम क्या करेंगे? यदि हम यह कहना चाहते हैं कि एक वितरण दूसरे से अधिक लेप्टोकुर्टिक है तो क्या करें?

इन प्रकार के प्रश्नों के उत्तर देने के लिए हमें केवल कुर्टोसिस का गुणात्मक विवरण नहीं चाहिए, बल्कि एक मात्रात्मक माप की भी आवश्यकता है। इसके लिए उपयोग की जाने वाली सूत्र है μ4/σ4, जहाँ μ4 पियर्सन का चौथा क्षण है और सिग्मा मानक विचलन है।

अतिरिक्त कुर्टोसिस

अब जब हमारे पास कुर्टोसिस की गणना करने का एक तरीका है, हम प्राप्त मानों की तुलना कर सकते हैं, न कि आकृतियों की।

सामान्य वितरण का कुर्टोसिस तीन पाया जाता है। यह अब हमारे लिए मेसो कुर्टिक वितरणों का आधार बनता है। एक वितरण जिसमें कुर्टोसिस तीन से अधिक है, वह लेप्टोकुर्टिक है और एक वितरण जिसमें कुर्टोसिस तीन से कम है, वह प्लेटीकुर्टिक है।

चूंकि हम मेसोकुर्तिक वितरण को अन्य वितरणों के लिए एक आधार रेखा के रूप में मानते हैं, हम कुर्तोसिस के लिए अपने मानक गणना से तीन को घटा सकते हैं। अधिक कुर्तोसिस के लिए सूत्र μ4/σ4 - 3 है। फिर हम इसके अधिक कुर्तोसिस से किसी वितरण का वर्गीकरण कर सकते हैं:

• मेसोकुर्तिक वितरणों का अधिक कुर्तोसिस शून्य होता है।
• प्लैटिकुर्तिक वितरणों का अधिक कुर्तोसिस नकारात्मक होता है।
• लेप्टोकुर्तिक वितरणों का अधिक कुर्तोसिस सकारात्मक होता है।

नाम पर एक नोट

शब्द "कुर्तोसिस" पहले या दूसरे पढ़ने पर अजीब लगता है। यह वास्तव में समझ में आता है, लेकिन इसे पहचानने के लिए हमें ग्रीक जानने की आवश्यकता है।

कुर्तोसिस ग्रीक शब्द कुर्तोस का ट्रांसलिटरेशन है। इस ग्रीक शब्द का अर्थ "आर्च किया हुआ" या "उभरा हुआ" है, जो कुर्तोसिस के रूप में जाने जाने वाले अवधारणा का उचित वर्णन करता है।