प्रतिगमन गुणांक - सहसंबंध और प्रतिगमन, व्यवसाय गणित और सांख्यिकी | SSC CGL Tier 2 - Study Material, Online Tests, Previous Year (Hindi) PDF Download

अवकलन गुणांक (Regression Coefficients) वह मान प्रदान करता है जिसके द्वारा एक चर (variable) दूसरे चर में एक इकाई वृद्धि के लिए बढ़ता है। bXY और bYX दो अवकलन गुणांक हैं।

y पर x का अवकलन गुणांक या bxy निम्नलिखित तरीकों में से किसी एक द्वारा गणना की जा सकती है—

• (1) जब मानक विचलन (standard deviation) दिए गए हों।
• (2) जब विचलन वास्तविक औसत (actual mean) से लिए जाएँ।
• (3) जब विचलन अनुमानित औसत (assumed mean) से लिए जाएँ।

y पर x का अवकलन गुणांक या byx निम्नलिखित तरीकों में से किसी एक द्वारा गणना की जा सकती है (ध्यान दें कि उपरोक्त सूत्रों में X और Y का स्थान बदला गया है)—

• (1) जब मानक विचलन दिए गए हों।

अवकलन गुणांक की विशेषताएँ: अवकलन गुणांक की महत्वपूर्ण विशेषताएँ निम्नलिखित हैं:

• 1. इसे b द्वारा दर्शाया जाता है।
• 2. यह मूल डेटा की इकाई में व्यक्त किया जाता है।
• 3. दो चर (जैसे x और y) के बीच, अवकलन गुणांक के दो मान प्राप्त किए जा सकते हैं। एक तब प्राप्त होगा जब हम x को स्वतंत्र (independent) और y को आश्रित (dependent) मानते हैं, और दूसरा तब जब हम y को स्वतंत्र और x को आश्रित मानते हैं। y पर x का अवकलन गुणांक byx के रूप में दर्शाया जाता है और x पर y का bxy के रूप में।
• 4. दोनों अवकलन गुणांक का संकेत (sign) समान होना चाहिए। यदि byx सकारात्मक है, तो bxy भी सकारात्मक होगा और इसके विपरीत।
• 5. यदि एक अवकलन गुणांक एकता (unity) से बड़ा है, तो दूसरा अवकलन गुणांक एकता से कम होना चाहिए।
• 6. दो अवकलन गुणांकों के बीच का ज्यामितीय औसत (geometric mean) सहसंबंध गुणांक (coefficient of correlation) के बराबर होता है।
• 7. दोनों अवकलन गुणांकों का अभाज्य औसत (arithmetic mean) सहसंबंध गुणांक के बराबर या उससे अधिक होता है। (byx + bxy)/2 = सहसंबंध गुणांक (r) के बराबर या अधिक।

अवकलन गुणांकों का वर्गीकरण: अवकलन गुणांकों को निम्नलिखित प्रकारों में वर्गीकृत किया जाता है:

• (1) साधारण, आंशिक और बहु-गुणांक (multiple)
• (2) सकारात्मक और नकारात्मक
• (3) रेखीय (linear) और गैर-रेखीय (non-linear)

अवकलन गुणांक की गणना: अवकलन गुणांक को अव्यवस्थित (un-replicated) और पुनरावृत्त (replicated) डेटा दोनों से निकाला जा सकता है। अव्यवस्थित डेटा से अवकलन गुणांक की गणना के लिए तीन अनुमान आवश्यक हैं:

• (1) x और y पर सभी अवलोकनों का योग (∑x, ∑y)
• (2) उनके वर्गों का योग (∑x² और ∑y²)
• (3) x और y चर के सभी अवलोकनों के गुणन का योग (∑xy)

फिर अवकलन गुणांक को निम्नलिखित के रूप में निकाला जा सकता है:

• byx = (∑xy – (∑x.∑y)) / (∑y² – (∑y)²)
• bxy = (∑xy – (∑x.∑y)) / (∑x² – (∑x)²)

पुनरावृत्त डेटा के मामले में, पहले विविधताओं और सह-विविधताओं का विश्लेषण किया जाता है और फिर अवकलन गुणांक को निम्नलिखित के रूप में निकाला जाता है:

• byx = Cov. (xy) / Vx
• bxy = Cov. (xy) / Vy

जहाँ Cov = x और y के बीच सह-विविधता, Vx = x का विविधता, और Vy = y का विविधता है। अवकलन गुणांक का महत्व सामान्यतः t-test की मदद से परीक्षण किया जाता है। पहले t को निम्नलिखित के रूप में निकाला जाता है:

t = byx / SE (b)

गणना की गई t का मान अपेक्षित स्तर पर महत्वपूर्णता और उपयुक्त स्वतंत्रता की डिग्री (degrees of freedom) के साथ तुलना की जाती है। यदि गणना की गई t का मान तालिका के मान से अधिक है, तो इसे महत्वपूर्ण माना जाता है और इसके विपरीत। आश्रित चर (dependent variable) के मान की भविष्यवाणी स्वतंत्र चर के मान के साथ की जा सकती है। आश्रित चर के मान को प्रतिस्थापित करके हम स्वतंत्र चर का मान प्राप्त कर सकते हैं।