संभावना, व्यवसाय गणित और सांख्यिकी के उपयोगी शब्द | SSC CGL Tier 2 - Study Material, Online Tests, Previous Year (Hindi) PDF Download

संभावना के सिद्धांत पर चर्चा करने से पहले, हमें निम्नलिखित शब्दों को समझ लेना चाहिए:

9.2.1. यादृच्छिक प्रयोग या परीक्षण: यदि कोई प्रयोग या परीक्षण समान परिस्थितियों में किसी भी संख्या में दोहराया जा सकता है और इसके परिणामों की कुल संख्या को गिनना संभव है, लेकिन व्यक्तिगत परिणाम, अर्थात् व्यक्तिगत परिणाम को पूर्वानुमानित नहीं किया जा सकता। मान लीजिए हम एक सिक्का उछालते हैं। परिणामों की सटीक भविष्यवाणी करना संभव नहीं है। परिणाम या तो सिर (head) ऊपर या पूंछ (tail) ऊपर हो सकता है। इस प्रकार, किसी कार्रवाई या संचालन को जो कोई भी परिणाम उत्पन्न कर सकता है, उसे यादृच्छिक प्रयोग या परीक्षण कहा जाता है।

9.2.2. घटना: एक यादृच्छिक प्रयोग के किसी भी संभावित परिणाम को घटना कहा जाता है। प्रयोग करना परीक्षण कहलाता है और परिणामों को घटनाएँ कहा जाता है। ऐसी घटना जिसका होना एक निश्चित यादृच्छिक प्रयोग के प्रदर्शन पर अनिवार्य है, उसे निश्चित घटना या निश्चित घटना कहा जाता है। साथ ही, ऐसी घटना जो एक निश्चित यादृच्छिक प्रयोग के प्रदर्शन पर कभी नहीं हो सकती, उसे असंभव घटना कहा जाता है। घटनाएँ सरल या संयुक्त हो सकती हैं। एक घटना को सरल कहा जाता है यदि यह एकल संभावित परिणाम के अनुरूप हो। उदाहरण के लिए, एक पासा फेंकने पर 2 आने की संभावना एक सरल घटना है। आगे, एक पासा फेंकने पर सम संख्याएँ (1, 3, 5) आने की संभावना संयुक्त घटना है।

9.2.3. नमूना क्षेत्र: सभी संभावित परिणामों का सेट या समूह नमूना क्षेत्र कहलाता है। उदाहरण के लिए, जब हम एक पासा फेंकते हैं, तो संभावित परिणाम 1, 2, 3, 4, 5, और 6 होते हैं; एक और केवल एक चेहरा ऊपर आता है। इस प्रकार, सभी परिणाम— 1, 2, 3, 4, 5 और 6 नमूना क्षेत्र हैं। और नमूना क्षेत्र में प्रत्येक संभावित परिणाम या तत्व को नमूना बिंदु कहा जाता है।

9.2.4. पारस्परिक रूप से विशिष्ट घटनाएँ या मामले: दो घटनाएँ तब पारस्परिक रूप से विशिष्ट कहलाती हैं यदि इनमें से एक का होना दूसरी के होने की संभावना को एकल अवलोकन में समाप्त कर देता है। एक घटना का होना दूसरी घटना के होने को रोकता है। इस प्रकार, पारस्परिक रूप से विशिष्ट घटनाएँ वे घटनाएँ हैं, जिनका होना दूसरी घटना के होने की संभावना को रोकता है। सभी सरल घटनाएँ पारस्परिक रूप से विशिष्ट होती हैं। उदाहरण के लिए, यदि एक सिक्का उछाला जाता है, तो या तो सिर ऊपर आ सकता है या पूंछ, लेकिन दोनों एक साथ नहीं आ सकते। इसी तरह, एक पासे के एक फेंकने में, एक सम और विषम संख्या एक साथ नहीं आ सकती। इस प्रकार, दो या अधिक घटनाएँ पारस्परिक रूप से विशिष्ट मानी जाती हैं यदि घटनाएँ एक साथ नहीं हो सकतीं।

9.2.5. समान संभावना वाली घटनाएँ: परिणामों को समान संभावना वाली घटनाएँ कहा जाता है जब इनमें से कोई एक घटना अन्य घटनाओं की तुलना में अधिक बार नहीं होती है। अर्थात, दो या अधिक घटनाएँ समान संभावना वाली कहलाती हैं यदि उनके होने की संभावना समान हो। इस प्रकार, एक पासे के फेंकने में 1, 2, 3, 4, 5 और 6 के आने की संभावना समान होती है। उदाहरण के लिए, सिर और पूंछ एक निष्पक्ष सिक्का उछालने में समान संभावना वाली घटनाएँ हैं।

9.2.6. Exhaustive घटनाएँ: एक यादृच्छिक प्रयोग के संभावित परिणामों की कुल संख्या को exhaustive घटनाएँ कहा जाता है। घटनाओं का समूह exhaustive है, क्योंकि कोई अन्य संभावित परिणाम नहीं है। इस प्रकार, सिक्का उछालने पर संभावित परिणाम सिर या पूंछ होते हैं; exhaustive घटनाएँ दो होती हैं। इसी तरह, पासे को फेंकने पर परिणाम 1, 2, 3, 4, 5 और 6 होते हैं। दो सिक्कों के मामले में, संभावित परिणामों की संख्या 4 होती है, अर्थात् (22), यानी HH, HT, TH और TT। तीन सिक्कों के मामले में, संभावित परिणाम 23=8 होते हैं और इसी तरह। इस प्रकार, n सिक्कों के फेंकने पर, exhaustive मामलों की संख्या 2n होती है।

9.2.7. स्वतंत्र घटनाएँ
किसी घटनाओं के समूह को स्वतंत्र कहा जाता है, यदि उनमें से किसी एक के होने से अन्य घटनाओं के होने पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता। उदाहरण के लिए, जब हम एक सिक्का दो बार उछालते हैं, तो दूसरे उछाल का परिणाम पहले उछाल के परिणाम से प्रभावित नहीं होता।

9.2.8. निर्भर घटनाएँ
दो घटनाओं को निर्भर कहा जाता है, यदि किसी एक घटना के होने या न होने से अन्य आगामी घटनाओं की संभावना पर प्रभाव पड़ता है। यदि एक घटना का होना अन्य घटनाओं के होने को प्रभावित करता है, तो उन्हें निर्भर घटनाएँ कहा जाता है। उदाहरण के लिए, 52 कार्ड की एक डेक से एक राजा खींचने की संभावना 4/52 है; यदि कार्ड वापस नहीं रखा जाता है; तो फिर से राजा खींचने की संभावना 3/51 है। इस प्रकार, पहली घटना का परिणाम दूसरी घटना के परिणाम को प्रभावित करता है और ये निर्भर हैं। लेकिन यदि कार्ड वापस रखा जाता है, तो राजा खींचने की संभावना 4/52 है और यह एक स्वतंत्र घटना है।

9.2.9. सरल और यौगिक घटनाएँ
जब एक एकल घटना होती है, तो इसके होने या न होने की संभावना को सरल घटना कहा जाता है। जब दो या अधिक घटनाएँ एक साथ होती हैं, तो उनके होने को यौगिक घटना (यौगिक संभावना) कहा जाता है; उदाहरण के लिए, एक पासा फेंकना।

9.2.10. पूरक घटनाएँ
किसी घटना का पूरक, A के न होने का अर्थ है और इसे ¬A द्वारा दर्शाया जाता है, जिसमें उन बिंदुओं को शामिल किया जाता है जो नमूना क्षेत्र में A से संबंधित नहीं हैं। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि दो घटनाएँ A और B हैं। A को B की पूरक घटना कहा जाता है और इसके विपरीत, यदि A और B परस्पर विशिष्ट और समग्र हैं।

9.2.11. अनुकूल मामले

वह परिणामों की संख्या जो किसी इच्छित घटना के घटित होने का कारण बनती हैं, उन्हें उस घटना के लिए अनुकूल मामले कहा जाता है। उदाहरण के लिए, जब एक ताश के पत्ते में से एक पत्ता निकाला जाता है, तो “एक हीरा पाने” के लिए अनुकूल मामले 13 हैं और “एक स्पेड का एस पाने” के लिए केवल एक ही मामला है। एक और उदाहरण लेते हैं, एक डाइस के एक बार फेंकने पर, विषम संख्या पाने के लिए अनुकूल मामलों की संख्या तीन है - 1, 3 और 5।