क्लासिकल दृष्टिकोण (प्रायर probability), व्यवसाय गणित और सांख्यिकी | SSC CGL Tier 2 - Study Material, Online Tests, Previous Year (Hindi) PDF Download

परिचय

संभावना सिद्धांत की उत्पत्ति और विकास सत्रहवीं शताब्दी में हुआ। सामान्यतः, किसी घटना की संभावना उस घटना के होने की संभावना को दर्शाती है। संभावना का मान 0 और 1 के बीच एक संख्या होती है। अलग-अलग विचारधाराओं ने संभावना के इस शब्द को विभिन्न तरीकों से परिभाषित किया है। इनमें से एक है क्लासिकल अप्रोच जिसे नीचे उल्लेखित किया गया है।

क्लासिकल अप्रोच (Priori Probability)

• क्लासिकल अप्रोच संभावनाओं को मापने की सबसे पुरानी विधि है और इसका उदय जुआ खेलने के खेलों से हुआ।
• इस दृष्टिकोण के अनुसार, संभावना अनुकूल घटनाओं की संख्या और समान रूप से संभावित घटनाओं की कुल संख्या का अनुपात होती है। यदि हम एक सिक्का उछालते हैं, तो हम निश्चित हैं कि या तो सिर या पूंछ आएगा।
• सिक्का गिरने की संभावना 1 है, सिर के आने की संभावना p है और पूंछ के आने की संभावना q है।
• यदि कोई घटना ‘a’ तरीकों से हो सकती है और ‘b’ तरीकों से नहीं हो सकती, और ये सभी समान रूप से संभव हैं, तो घटना के घटित होने की संभावना को P द्वारा दर्शाया जाता है। ऐसी संभावनाओं को यूनिटरी, सैद्धांतिक या गणितीय संभावना भी कहा जाता है। P घटना के होने की संभावना है और q इसकी न होने की संभावना है।
• इसलिए P + q = 1 और 1 – P = q, 1 – q = P। संभावनाओं को अनुपात, भिन्न या प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जैसे कि 1/2 या 0.5 या 50%।

क्लासिकल अप्रोच की सीमाएँ

शास्त्रीय दृष्टिकोण की सीमाएँ निम्नलिखित हैं:

• यह परिभाषा केवल अवसर के खेलों की समस्याओं तक सीमित है और अवसर के खेलों के अलावा अन्य समस्याओं को समझा नहीं सकती।
• जब कुल मामलों की संख्या की गणना नहीं की जा सकती, तो हम इस विधि को लागू नहीं कर सकते।
• जब एक यादृच्छिक प्रयोग के परिणाम समान रूप से संभावित नहीं होते हैं, तो यह विधि लागू नहीं की जा सकती।
• अधिकांश मामलों में, प्रयोग के संभावित परिणामों को पारस्परिक रूप से विशिष्ट, व्यापक और समान रूप से संभावित में विभाजित करना कठिन होता है।

हल किए गए उदाहरण:

उदाहरण 1: 52 कार्ड की पत्तियों के एक पैक से खींचते समय राजा पाने की संभावना क्या है?

हल: संभावित मामलों की कुल संख्या = 52 (यहां 52 कार्ड हैं)। कुल राजा की संख्या 4 है; इसलिए अनुकूल मामले = 4। इसलिए राजा खींचने की संभावना

उदाहरण 2: दो सिक्के एक साथ उछाले जाते हैं। सिर और पूंछ पाने की संभावना क्या है?

हल: दो सिक्कों के सिर (H) या पूंछ (T) के साथ आने वाले संभावित संयोजन हैं HH, HT, TH, TT। अनुकूल तरीके इन चार संभव तरीकों में से दो हैं और ये सभी समान रूप से होने की संभावना रखते हैं। इसलिए सिर और पूंछ पाने की संभावना

उदाहरण 3: 52 कार्ड के एक अच्छे से व्यवस्थित पैक से एक कार्ड यादृच्छिक रूप से खींचा जाता है। यह (क) एक हीरा होगा (ख) एक रानी होगी इसकी संभावना क्या है?

हल: (क) 52 कार्ड के पैक में 13 हीरे के कार्ड हैं। उस पैक से कार्ड खींचने के तरीके की संख्या 52 है। घटना के होने के लिए अनुकूल संख्या 13 है। इसलिए हीरा खींचने की संभावना

(b) पैक में 4 रानी हैं; और इसलिए इस घटना के लिए अनुकूल तरीकों की संख्या = 4। संभावना

उदाहरण 4: दो कार्डों को यादृच्छिक रूप से एक पैक से खींचा जाता है। क्या संभावना है कि यह (a) एक हीरा और एक दिल होगा (b) एक राजा और एक रानी (c) दो राजा होगा?

हल: (a) 52 कार्डों में से 2 कार्ड खींचने के तरीकों की संख्या

एक हीरा और एक दिल खींचने के तरीकों की संख्या = 13 x 13

आवश्यक संभावना

(b) एक राजा और एक रानी खींचने के तरीकों की संख्या = 4 × 4। आवश्यक संभावना = 4x4/26 x 51 = 8/663

(c) 4 राजाओं में से 2 राजाओं को खींचा जा सकता है

2 राजाओं को खींचने की संभावना

उदाहरण 5: एक बैग में 7 लाल, 12 सफेद और 4 हरे गेंदें हैं। क्या संभावना है कि: (a) 3 गेंदें सभी सफेद हैं और (b) 3 गेंदें प्रत्येक रंग की एक हैं?

हल: (a) कुल गेंदों की संख्या = 7 + 12 + 4 = 23। 12 सफेद में से 3 खींचने के संभावित तरीकों की संख्या = 12C3। 23 गेंदों में से 3 खींचने के संभावित तरीकों की संख्या = 23C3। इसलिए, 3 सफेद गेंदों को खींचने की संभावना

(b) 7 लाल में से 1 खींचने के संभावित तरीकों की संख्या = 7C1। 12 सफेद में से 1 खींचने के संभावित तरीकों की संख्या = 12C1। 4 हरे में से 1 खींचने के संभावित तरीकों की संख्या = 4C1। इसलिए विभिन्न रंगों की गेंदें खींचने की संभावना = 0.1897