संभव्यता का सापेक्ष आवृत्ति सिद्धांत, व्यावसायिक गणित और सांख्यिकी | SSC CGL Tier 2 - Study Material, Online Tests, Previous Year (Hindi) PDF Download

सापेक्ष आवृत्ति सिद्धांत (Relative Frequency Theory) की प्रायिकता: पारंपरिक दृष्टिकोण खेल के अवसरों से संबंधित समस्याओं को हल करने में सहायक होता है—जैसे कि पासा फेंकना, सिक्के उछालना आदि, लेकिन यदि इसे अन्य प्रकार की समस्याओं पर लागू किया जाए तो यह उत्तर नहीं प्रदान करता। उदाहरण के लिए, यदि कोई व्यक्ति 300 फीट की ऊंचाई से कूदता है, तो उसके जीवित रहने की प्रायिकता 50% नहीं होगी, क्योंकि जीवित रहना और मरना समान नहीं हैं। इसी तरह, एक संयुक्त स्टॉक कंपनी के शेयरों की कीमतों के तीन विकल्प होते हैं: कीमतें स्थिर रह सकती हैं, बढ़ सकती हैं या घट सकती हैं। इस प्रकार, पारंपरिक दृष्टिकोण इस प्रकार के प्रश्नों का उत्तर देने में विफल होता है। यदि हम एक सिक्का 20 बार उछालते हैं, तो पारंपरिक प्रायिकता सुझाव देती है कि हमें 10 बार सिर (heads) मिलना चाहिए। लेकिन व्यवहार में ऐसा नहीं भी हो सकता है। ये अनुभवात्मक दृष्टिकोण सुझाव देते हैं कि यदि एक सिक्का बड़ी संख्या में, जैसे कि 1,000 बार उछाला जाए, तो हमें 50% सिर और 50% पूंछ (tails) की अपेक्षा कर सकते हैं। वोर मिस्क्स ने समझाया, “यदि प्रयोग को एक बड़ी संख्या में लगभग समान परिस्थितियों के तहत दोहराया जाए, तो घटना A होने के लिए अनुपात का सीमित मान, प्रयोगों की कुल संख्या के साथ बढ़ता है, इसे A की प्रकट होने की प्रायिकता कहा जाता है।” इस प्रकार,

किसी घटना का होना भूतकाल के अनुभव या अतीत में सफलता की सापेक्ष आवृत्ति के आधार पर निर्धारित होता है। उदाहरण के लिए, एक मशीन कुल उत्पादन में से 10% अस्वीकृत लेखों का उत्पादन करती है। इस प्रकार के अनुभव या प्रयोगों के आधार पर, हम इस पर पहुंच सकते हैं कि (i) भूतकाल के अनुभव के आधार पर प्राप्त सापेक्ष आवृत्ति पारंपरिक प्रायिकता के बहुत करीब आ सकती है। उदाहरण के लिए, जैसा कि पहले कहा गया, यदि एक सिक्का 6 बार उछाला जाए, तो हमें ठीक 3 सिर और 3 पूंछ नहीं मिल सकती। लेकिन, यदि सिक्का को बड़ी संख्या में, जैसे कि 10,000 बार उछाला जाए, तो हम सिर और पूंछ की अपेक्षा 50% के करीब कर सकते हैं। (ii) कुछ नियम होते हैं, जिसके अनुसार घटनाओं की ‘घटना’ या ‘गैर-घटना’ होती है। पश्चात प्रायिकताएं (Posterior probabilities), जिन्हें अनुभवात्मक प्रायिकताएं (Empirical Probabilities) भी कहा जाता है, ये भूतकाल के अनुभवों और किए गए प्रयोगों पर आधारित होती हैं। इस प्रकार, सापेक्ष आवृत्ति को प्रायिकता के एक माप के रूप में परिभाषित किया जा सकता है और इसे अनुभवात्मक या सांख्यिकीय निष्कर्षों के आधार पर गणना की जाती है। उदाहरण के लिए, यदि एक मशीन ने अतीत में 100 लेखों का उत्पादन किया है, और 2 कण दोषपूर्ण पाए गए हैं, तो दोषपूर्ण लेखों की प्रायिकता 2/100 या 2% होगी।

सापेक्ष आवृत्ति सिद्धांत की सीमाएँ:

• प्रयोग की स्थितियाँ एक बड़ी संख्या में प्रयोगों के पुनरावृत्तियों में मूलतः समरूप और समान नहीं रह सकती हैं।
• सापेक्ष आवृत्ति —, एक अनोखा मान नहीं प्राप्त कर सकती चाहे N कितना भी बड़ा हो।
• परिभाषित संभाव्यता P(A) व्यावहारिक रूप से कभी प्राप्त नहीं की जा सकती। हम केवल P(A) का एक निकटतम अनुमान लगाने का प्रयास कर सकते हैं यदि N को पर्याप्त बड़ा किया जाए।

उदाहरण 6: एक बर्तन में 8 सफेद और 3 लाल गेंदें हैं। यदि दो गेंदें यादृच्छिक रूप से निकाली जाती हैं, तो संभावना ज्ञात करें कि (a) दोनों सफेद हैं, (b) दोनों लाल हैं और (c) एक प्रत्येक रंग की है। समाधान: बर्तन में कुल गेंदों की संख्या = 8 + 3 = 11। 11 गेंदों में से दो गेंदों को 11C2 तरीकों से निकाला जा सकता है। संभाव्य मामलों की कुल संख्या =

(a) 8 सफेद गेंदों में से दो सफेद गेंदें निकालने के तरीके।

दोनों सफेद होने की संभावना

(b) 3 लाल गेंदों में से दो लाल गेंदें निकालने के तरीके 3C2=3 हैं। इसलिए, दोनों लाल होने की संभावना

(c) एक सफेद गेंद और एक लाल गेंद निकालने के लिए अनुकूल मामलों की संख्या 8C1 x 3C1 = 8 x 3 = 24 है।

अतः, संभाव्यता (एक लाल और एक सफेद)

उदाहरण 7: टिकटों को 1 से 100 तक संख्या दी गई है। उन्हें अच्छी तरह से मिलाया गया है और एक टिकट यादृच्छिक रूप से निकाली गई है। निकाली गई टिकट में निम्नलिखित में से क्या संभावना है:

• (a) एक सम संख्या,
• (b) संख्या 5 या 5 का गुणांक,
• (c) एक संख्या जो 75 से बड़ी है,
• (d) एक संख्या जो वर्ग है?

समाधान: (a) संभाव्य, पारस्परिक रूप से विशिष्ट और समान मामलों की कुल संख्या 100 है। 50 सम संख्या वाले टिकट हैं। इसलिए, घटना के लिए अनुकूल मामले 50 हैं। इसलिए, संभावना

(b) मान लीजिए A उस संख्या के घटनाओं की संख्या को दर्शाता है जिसके द्वारा खींचा गया टिकट संख्या 5 या 5 का गुणांक है। ये 20 मामले हैं, अर्थात्, 5, 10, 15, 20,...100। इसलिए

(c) ऐसे 25 मामले हैं, जिनकी संख्या 75 से अधिक है। इसे A के रूप में दर्शाया जाएगा। इसलिए,

(d) ऐसे 10 अनुकूल मामले हैं जो 1 और 100 के बीच के वर्ग देते हैं, अर्थात्, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100। इसलिए,

उदाहरण 8: 52 पत्तियों के एक पैक से बिना प्रतिस्थापन के चार पत्ते खींचे जाते हैं। क्या संभावना है कि वे सभी अलग-अलग सूट के हैं? समाधान: आवश्यक संभावना होगी: