बेयस प्रमेय - संभावना, व्यापार गणित और सांख्यिकी | SSC CGL Tier 2 - Study Material, Online Tests, Previous Year (Hindi) PDF Download

यह प्रमेय रेवरेंड थॉमस बेयेस के नाम से जुड़ा हुआ है। इसे विपरीत संभावना के रूप में भी जाना जाता है। संभावनाओं को तब संशोधित किया जा सकता है जब एक यादृच्छिक प्रयोग से संबंधित नई जानकारी प्राप्त होती है। अनुशासनात्मक संभावना के महत्वपूर्ण अनुप्रयोगों में से एक अज्ञात संभावनाओं की गणना करना है, जो प्रयोग द्वारा या पिछले रिकॉर्ड द्वारा प्रदान की गई जानकारी के आधार पर होती है। अर्थात्, संभाव्यता सिद्धांत के परिणामों के अनुप्रयोगों में अज्ञात संभावनाओं का अनुमान लगाना और नई नमूना जानकारी के आधार पर निर्णय लेना शामिल है। इस अवधारणा को बेयेस का प्रमेय कहा जाता है। अक्सर व्यापारी के पास एक विशेष घटना के बारे में अतिरिक्त जानकारी होती है, चाहे वह व्यक्तिगत विश्वास के माध्यम से हो या घटनाओं के पूर्व इतिहास से। संभाव्यता का संशोधन प्रयोगात्मक जानकारी का बेहतर उपयोग करने की आवश्यकता से उत्पन्न होता है। व्यक्तिगत अनुभव के आधार पर, प्रयोग के परिणामों को देखने से पहले जो संभावनाएँ निर्धारित की जाती हैं, उन्हें पूर्व संभावनाएँ कहा जाता है। उदाहरण के लिए, पिछले बिक्री रिकॉर्ड पर निर्धारित की गई संभावनाएँ, या एक मशीन द्वारा उत्पादित दोषपूर्ण वस्तुओं की संख्या, पूर्व संभावनाओं के उदाहरण हैं। जब संभावनाओं को बेयेस के नियम का उपयोग करके संशोधित किया जाता है, तो उन्हें पश्चात संभावनाएँ कहा जाता है। बेयेस का प्रमेय अतिरिक्त जानकारी के प्रकाश में व्यावसायिक समस्याओं को हल करने में सहायक है। इस प्रकार, इस प्रमेय की लोकप्रियता मुख्यतः पूर्व संभावनाओं के एक सेट को उपलब्ध कराई गई अतिरिक्त जानकारी के प्रकाश में संशोधित करने और नई संभावनाओं (अर्थात् पश्चात संभावनाएँ) का सेट निकालने की उपयोगिता के कारण है।

बायस का प्रमेय: एक घटना A तब ही घटित हो सकती है जब परस्पर विशेष और पूर्ण घटनाओं के सेट B1, B2, ..... Bn में से कोई एक घटित हो। मान लीजिए कि अचूक संभावनाएँ

P(B1), P(B2), .... P(Bn

और शर्तीय संभावनाएँ

P(A/B1), P(A/B2), .... P(A/Bn)

ज्ञात हैं। तब किसी विशेष घटना Bi की शर्तीय संभावना P(Bi/A), जब A वास्तव में घटित हो चुका है, द्वारा दी गई है

इसे बायस का प्रमेय कहा जाता है।

निम्नलिखित उदाहरण बायस के प्रमेय के अनुप्रयोग को स्पष्ट करता है।

उपरोक्त गणना को निम्नलिखित तरीके से सत्यापित किया जा सकता है :

यदि एक विशेष सप्ताह में दो संयंत्रों द्वारा 1,000 स्कूटर का उत्पादन किया गया, तो संयंत्र I और संयंत्र II द्वारा उत्पादित स्कूटर की संख्या क्रमशः :

1,000 x 80% = 800 स्कूटर
1,000 x 20% = 200 स्कूटर

संयंत्र I द्वारा उत्पादित मानक गुणवत्ता के स्कूटर की संख्या: 800 x 85/100 = 680 स्कूटर

संयंत्र II द्वारा उत्पादित मानक गुणवत्ता के स्कूटर की संख्या: 200 x 65/100 = 130 स्कूटर।

संयंत्र I द्वारा उत्पादित मानक गुणवत्ता के स्कूटर की संभावना है :

संयंत्र II द्वारा उत्पादित मानक गुणवत्ता के स्कूटर की संभावना है :

यदि अधिक जानकारी उपलब्ध कराई जाती है, तो वही प्रक्रिया, अर्थात् पुनरावलोकन, दोहराई जा सकती है। इसलिए यह अनिश्चितता के तहत निर्णय लेने में संभाव्यता की गुणवत्ता को सुधारने का एक अच्छा प्रमेय है।

उदाहरण 16:

आप नोट करते हैं कि आपके अधिकारी आपके कॉल पर 60% समय खुश रहते हैं, इसलिए आप उनकी आपकी यात्रा पर खुश होने की संभावना को 0.6 या 6/10 के रूप में निर्धारित करते हैं। आपने यह भी देखा है कि यदि वह खुश हैं, तो वह 0.4 या 4/10 की संभावना से आपके अनुरोध को स्वीकार करते हैं जबकि यदि वह खुश नहीं हैं, तो वह 0.1 या 1/10 की संभावना से अनुरोध को स्वीकार करते हैं। आप एक दिन कॉल करते हैं, और वह आपके अनुरोध को स्वीकार करते हैं। उनकी खुश होने की संभावना क्या है? समाधान:

मान लीजिए कि H वह परिकल्पना है कि अधिकारी खुश हैं और वह परिकल्पना है कि अधिकारी खुश नहीं हैं।

मान लीजिए कि A वह घटना है जिसमें वह अनुरोध को स्वीकार करता है।

Baye’s Theorem के अनुसार P(H/A) ज्ञात करने के लिए,

उदाहरण 17 :

एक कंपनी के पास स्कूटर बनाने के लिए दो संयंत्र हैं। संयंत्र I 80% स्कूटर बनाता है और संयंत्र II 20% बनाता है। संयंत्र I में, 100 स्कूटर्स में से 85 को मानक गुणवत्ता या उससे बेहतर रेट किया गया है। संयंत्र II में, केवल 100 स्कूटर्स में से 65 को मानक गुणवत्ता या उससे बेहतर रेट किया गया है। यदि यह ज्ञात है कि स्कूटर मानक गुणवत्ता का है, तो यह जानने की संभावना क्या है कि यादृच्छिक रूप से चयनित स्कूटर संयंत्र I से आया है? यदि यह ज्ञात है कि स्कूटर मानक गुणवत्ता का है, तो यह जानने की संभावना क्या है कि स्कूटर संयंत्र II से आया है।

मान लीजिए कि A1 वह घटना है जिसमें संयंत्र I द्वारा निर्मित स्कूटर खींचा गया है और A2 वह घटना है जिसमें संयंत्र II द्वारा निर्मित स्कूटर खींचा गया है। B वह घटना है जिसमें संयंत्र I या संयंत्र II द्वारा निर्मित मानक गुणवत्ता का स्कूटर खींचा गया है। फिर, पहले जानकारी से:

अतिरिक्त जानकारी से:

आवश्यक मान निम्नलिखित तालिका में गणना की गई हैं:

पहली जानकारी से हम यह कह सकते हैं कि मानक स्कूटर प्लांट I से आता है क्योंकि P(A1) = 80% है, जो कि P(A2) = 20% से अधिक है।

अतिरिक्त जानकारी से, अर्थात् प्लांट I में, 100 में से 85 और प्लांट II में 100 में से 65 मानक गुणवत्ता के रूप में रेट किए गए हैं, हम और बेहतर उत्तर दे सकते हैं। इस प्रकार, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि मानक गुणवत्ता का स्कूटर प्लांट I द्वारा उत्पादित होने की अधिक संभावना है।