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Class 6 Exam  >  Class 6 Notes  >  गणित (गणित प्रकाश ) कक्षा 6  >  NCERT समाधान: शून्य का दूसरा पक्ष

NCERT समाधान: शून्य का दूसरा पक्ष | गणित (गणित प्रकाश ) कक्षा 6 - Class 6 PDF Download

पृष्ठ 243

प्रश्न 1: चार मंजिल ऊपर जाने के लिए आप क्या दबाते हैं? तीन मंजिल नीचे जाने के लिए आप क्या दबाते हैं? उत्तर: यदि आप ‘ ’ बटन को एक बार दबाते हैं, तो आप एक मंजिल ऊपर जाएंगे और यदि आप ‘-‘ बटन को एक बार दबाते हैं, तो आप एक मंजिल नीचे जाएंगे। इसलिए, चार मंजिल ऊपर जाने के लिए आपको ‘ ’ बटन को चार बार दबाना होगा, जिसे हम 4 के रूप में लिखते हैं। अब तीन मंजिल नीचे जाने के लिए आपको बटन को तीन बार दबाना होगा, जिसे हम -3 के रूप में लिखते हैं।

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प्रश्न 1: मजेदार इमारत में सभी मंजिलों को संख्या दें। उत्तर: चलिए मजेदार इमारत में सभी मंजिलों पर संख्या लगाते हैं।

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आंदोलन को ट्रैक करने के लिए जोड़ना

फूड कोर्ट से शुरू करें और लिफ्ट में 2 दबाएं। आप कहाँ पहुँचेंगे? _________ उत्तर: यहाँ, लक्ष्य मंजिल = प्रारंभिक मंजिल आंदोलन ∴ प्रारंभिक मंजिल 1 (फूड कोर्ट) है और बटन दबाने की संख्या 2 है। इसलिए, मंजिल = प्रारंभिक मंजिल आंदोलन = (1) (2) = 3 (बुक स्टोर)

समझें

प्रश्न 1: आप फ़्लोर 2 से शुरू करते हैं और लिफ्ट में -3 दबाते हैं। आप कहाँ पहुँचेंगे? इस गति के लिए एक अभिव्यक्ति लिखें। उत्तर: यहाँ, प्रारंभिक फ़्लोर 2 (कला केंद्र) है और बटन दबाने की संख्या -3 है। इसलिए, लक्षित फ़्लोर = प्रारंभिक फ़्लोर गति = (2) (-3) = -1 (खिलौनों की दुकान)।

प्रश्न 2: इन अभिव्यक्तियों का मूल्यांकन करें (आप इन्हें फ़न बिल्डिंग के संदर्भ में प्रारंभिक फ़्लोर गति के रूप में सोच सकते हैं)।

  • (क) (1) (4) = _______________ उत्तर: यहाँ, प्रारंभिक फ़्लोर 1 (फूड कोर्ट) है और बटन दबाने की संख्या 4 है। इसलिए, लक्षित फ़्लोर = प्रारंभिक फ़्लोर गति = (1) (4) = 5 (खेल केंद्र).
  • (ख) (4) (1) = _______________ उत्तर: यहाँ, प्रारंभिक फ़्लोर 4 (आइसक्रीम केंद्र) है और बटन दबाने की संख्या 1 (फूड कोर्ट) है। इसलिए, लक्षित फ़्लोर = प्रारंभिक फ़्लोर गति = (4) (1) = 5 (खेल केंद्र).
  • (ग) (4) (-3) = _______________ उत्तर: यहाँ, प्रारंभिक फ़्लोर 4 (आइसक्रीम केंद्र) है और बटन दबाने की संख्या (-3) है। इसलिए, लक्षित फ़्लोर = प्रारंभिक फ़्लोर गति = (4) (-3) = 1 (फूड कोर्ट).
  • (घ) (-1) (2) = _______________ उत्तर: यहाँ, प्रारंभिक फ़्लोर (-1) (खिलौनों का केंद्र) है और बटन दबाने की संख्या 2 है। इसलिए, लक्षित फ़्लोर = प्रारंभिक फ़्लोर गति = (-1) (2) = 1 (फूड कोर्ट).
  • (ङ) (-1) (1) = _______________ उत्तर: यहाँ, प्रारंभिक फ़्लोर -1 (खिलौनों का केंद्र) है और बटन दबाने की संख्या 1 है। इसलिए, लक्षित फ़्लोर = प्रारंभिक फ़्लोर गति = (-1) (1) = 0 (स्वागत हॉल, जिसका अर्थ है ग्राउंड फ़्लोर).
  • (च) 0 (2) = _______________ उत्तर: यहाँ, प्रारंभिक फ़्लोर 0 (ग्राउंड फ़्लोर) है और बटन दबाने की संख्या 2 है। इसलिए, लक्षित फ़्लोर = प्रारंभिक फ़्लोर गति = (0) (2) = 2 (कला केंद्र)

(ग) 0 (-2) = _______________ उत्तर: यहाँ प्रारंभिक मंजिल 0 (भूमि मंजिल) है और बटन दबाने की संख्या -2 है। इसलिए, लक्षित मंजिल = प्रारंभिक मंजिल गति = 0 (-2) = -2 (वीडियो गेम्स)।

प्रश्न 3: अलग-अलग मंजिलों से शुरू करते हुए, मंजिल 5 तक पहुँचने के लिए आवश्यक गति का पता लगाएँ। उदाहरण के लिए, यदि मैं मंजिल 2 से शुरू करता हूँ, तो मुझे मंजिल -5 तक पहुँचने के लिए -7 दबाना होगा। अभिव्यक्ति है (2) (-7) = -5। ऐसे और प्रारंभिक स्थानों का पता लगाएँ और मंजिल -5 तक पहुँचने के लिए आवश्यक गति लिखें। उत्तर: (क) यदि मैं मंजिल 1 से शुरू करता हूँ, तो मुझे मंजिल -5 तक पहुँचने के लिए (-6) दबाना होगा। अभिव्यक्ति है (1) (-6) = -5। (ख) यदि मैं मंजिल 3 से शुरू करता हूँ, तो मुझे मंजिल -5 तक पहुँचने के लिए (-8) दबाना होगा। अभिव्यक्ति है (3) (-8) = -5।

बात समझें

प्रश्न: इन अभिव्यक्तियों का मूल्यांकन करें, इन्हें बटन दबाने के संयोजन की परिणामस्वरूप गति के रूप में सोचकर:

क. (1) (4) = _______________ उत्तर: लक्षित मंजिल = (1) (4) = 5

ख. (4) (1) = _______________ उत्तर: लक्षित मंजिल = (4) (1) = 5

ग. (4) (-3) (-2) = _______________ उत्तर: लक्षित मंजिल = (4) (-3) (-2) = 4 (-5) = -1

शून्य पर वापस!

प्रश्न 1: इन संख्याओं के व्युत्क्रम लिखें: 4, -4, -3, 0, 2, -1 उत्तर: 4 का समावेशी व्युत्क्रम = -(4) = -4। -4 का समावेशी व्युत्क्रम = -(-4) = 4। -3 का समावेशी व्युत्क्रम = -(-3) = 3। शून्य (0) का समावेशी व्युत्क्रम स्वयं शून्य है। 2 का समावेशी व्युत्क्रम = -(2) = -2। -1 का समावेशी व्युत्क्रम = -(-1) = 1।

प्रश्न 2: विपरीत संख्याओं को जोड़ने के लिए रेखाएँ खींचें। उत्तर: फ़्लोर का उपयोग करके संख्याओं की तुलना करना

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निम्नतम फ़्लोर पर कौन है?

  • 1. जय कला केंद्र में है। इसलिए, वह फ़्लोर 2 पर है।
  • 2. असिन खेल केंद्र में है। इसलिए, वह फ़्लोर ______ पर है।
  • 3. बिन्नू सिनेमा केंद्र में है। इसलिए, वह फ़्लोर ______ पर है।
  • 4. अमन खिलौनों की दुकान में है। इसलिए, वह फ़्लोर ______ पर है।
उत्तर:
  • 1. जय कला केंद्र में है। इसलिए, वह फ़्लोर 2 पर है।
  • 2. असिन खेल केंद्र में है। इसलिए, वह फ़्लोर 5 पर है।
  • 3. बिन्नू सिनेमा केंद्र में है। इसलिए, वह फ़्लोर -3 पर है।
  • 4. अमन खिलौनों की दुकान में है। इसलिए, वह फ़्लोर -1 पर है।
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समस्या का समाधान करें प्रश्न 1: निम्नलिखित संख्याओं की तुलना करें और < या="" /> के साथ बक्सों को भरें। उत्तर:

  • a. यहाँ, फ़्लोर -2 फ़्लोर 5 से कम है, इसलिए -2 < />
  • b. यहाँ, फ़्लोर -5 फ़्लोर 4 से कम है, इसलिए -5 < />
  • c. यहाँ, फ़्लोर -5 फ़्लोर -3 से कम है, इसलिए -5 < />
  • d. यहाँ, फ़्लोर 6 फ़्लोर -6 से अधिक है, इसलिए 6 > -6।
  • e. यहाँ, फ़्लोर 0 फ़्लोर -4 से अधिक है, इसलिए 0 > -4।
  • f. यहाँ, फ़्लोर 0 फ़्लोर 4 से कम है, इसलिए 0 < />
प्रश्न 2: मज़ेदार भवन की कल्पना करें जिसमें और अधिक फ़्लोर हैं। संख्याओं की तुलना करें और बक्सों को < या="" /> के साथ भरें: उत्तर:
  • a. यहाँ, फ़्लोर -10 फ़्लोर -12 से अधिक है, इसलिए -10 > -12।
  • b. यहाँ, फ़्लोर 17 फ़्लोर -10 से अधिक है, इसलिए 17 > -10।
  • c. यहाँ, फ़्लोर 0 फ़्लोर -20 से अधिक है, इसलिए 0 > -20।
  • d. यहाँ, फ़्लोर 9 फ़्लोर -9 से अधिक है, इसलिए 9 > -9।
  • e. यहाँ, फ़्लोर -25 फ़्लोर -7 से कम है, इसलिए -25 < />
  • f. यहाँ, फ़्लोर 15 फ़्लोर -17 से अधिक है, इसलिए 15 > -17।
प्रश्न 3: यदि फ़्लोर A = -12, फ़्लोर D = -1, और फ़्लोर E = 1 है, तो दाईं ओर दिखाई गई रेखा में फ़्लोर B, C, F, G, और H के नंबर ढूंढें। उत्तर: आइए रेखा पर नंबर चिह्नित करें। 0, -1, -2, -3,…………, -12 और 1, 2, 3,……….., 12 अब प्रत्येक फ़्लोर की गणना करें, और हमें फ़्लोर के नंबर मिलते हैं। यहाँ, B = -9, C = -6, F = 2, G = 6 और H = 11। प्रश्न 4: दाईं ओर दिखाए गए भवन के निम्नलिखित फ़्लोर्स को चिह्नित करें।
  • a. -7
  • b. -4
  • c. 3
  • d. -10
उत्तर: यहाँ, एक रेखा को एक फ़्लोर के रूप में माना गया है। फ़्लोर 0 के ऊपर के फ़्लोर को सकारात्मक संख्याओं से चिह्नित किया गया है और 0 के नीचे के फ़्लोर को नकारात्मक संख्याओं से चिह्नित किया गया है। अब चलिए निम्नलिखित संख्याओं (-7, -4, 3, -10) को भवन में फ़्लोर को घेरकर चिह्नित करते हैं।

पृष्ठ 249

इन अभिव्यक्तियों को पूरा करें। आप इन्हें लक्ष्य मंजिल से प्रारंभिक मंजिल तक पहुँचने के लिए आवश्यक गति के रूप में सोच सकते हैं।

  • a. ( 1) – ( 4) = _______________ उत्तर: ( 1) – ( 4) = -3
  • b. (0) – ( 2) = _______________ उत्तर: (0) – ( 2) = -2
  • c. ( 4) – ( 1) = _______________ उत्तर: ( 4) – ( 1) = 3
  • d. (0) – (-2) = _______________ उत्तर: (0) – (-2) = 2
  • e. ( 4) – (-3) = _______________ उत्तर: ( 4) – (-3) = 7
  • f. (-4) – (-3) = _______________ उत्तर: (-4) – (-3) = -1
  • g. (-1) – ( 2) = _______________ उत्तर: (-1) – ( 2) = -3
  • h. (-2) – (-2) = _______________ उत्तर: (-2) – (-2) = 0
  • i. (-1) – ( 1) = _______________ उत्तर: (-1) – ( 1) = -2
  • j. ( 3) – (-3) = _______________ उत्तर: ( 3) – (-3) = 6

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इन अभिव्यक्तियों को पूरा करें। खान के शाफ्ट में गति के बारे में सोचकर अपने उत्तर की जांच करें।

  • a. ( 40) _______________ = 200 उत्तर: दिया गया ( 40) _______________ = 200 मान लें ( 40) x = 200 ⇒ x = 200 – 40 = 160 ∴ ( 40) ( 160) = 200
  • b. ( 40) _______________ = -200 उत्तर: दिया गया ( 40) _______________ = -200 मान लें ( 40) x = -200 ⇒ x = -200 – 40 = -240 ∴ ( 40) (-240) = -200
  • c. (-50) _______________ = 200 उत्तर: दिया गया (-50) _______________ = 200 मान लें (-50) x = 200 ⇒ x = 200 – (-50) = 250 ∴ (-50) ( 250) = 200
  • d. (-50) _______________ = -200 उत्तर: दिया गया (-50) _______________ = -200 मान लें (-50) x = -200 ⇒ x = -200 – (-50) = -150 ∴ (-50) (-150) = -200
  • e. (-200) – (-40) = _______________ उत्तर: दिया गया (-200) – (-40) = _______________ मान लें (-200) – (-40) = x ⇒ (-200) – (-40) = -160 = x ∴ (-200) – (-40) = -160
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ग. (200) – (40) = _______________ उत्तर: दिया गया (200) – (40) = _______________ मान लीजिए (200) – (40) = x ⇒ 160 = x ∴ (200) – (40) = 160

घ. (-200) – (40) = _______________ उत्तर: दिया गया (-200) – (40) = _______________ मान लीजिए (-200) – (40) = x ⇒ (-200) (-40) = -240 = x ∴ (-200) (-40) = -240

संख्याओं को जोड़ना, घटाना और तुलना करना

निम्नलिखित अभिव्यक्तियों का मूल्यांकन करने का प्रयास करें, इसी तरह एक उपयुक्त लिफ्ट खींचकर या कल्पना करके:

  • (क) -125 (-30)
  • (ख) 105 – (-55)
  • (ग) 105 (55)
  • (घ) 80 – (-150)
  • (ङ) 80 (150)
  • (च) -99 – (-200)
  • (छ) -99 (200)
  • (ज) 1500 – (-1500)

उत्तर:

  • (क) -125 (-30) = -125 – 30 = -155
  • (ख) 105 – (-55) = 105 + 55 = 160
  • (ग) 105 (55) = 105 + 55 = 160
  • (घ) 80 – (-150) = 80 + 150 = 230
  • (ङ) 80 (150) = 80 + 150 = 230
  • (च) -99 – (-200) = -99 + 200 = 101
  • (छ) -99 (200) = -99 + 200 = 101
  • (ज) 1500 – (-1500) = 1500 + 1500 = 3000

पृष्ठ 252

प्रश्न: क्या आपने ऊपर किए गए अन्य अभ्यासों में देखा कि एक नकारात्मक संख्या को घटाना उसी तरह है जैसे संबंधित सकारात्मक संख्या को जोड़ना? उत्तर: एक संख्या को घटाना उस संख्या के विपरीत को जोड़ने के समान है। इसलिए सकारात्मक संख्या को घटाना नकारात्मक संख्या को जोड़ने के समान है - आप संख्या रेखा पर बाईं ओर बढ़ते हैं। नकारात्मक संख्या को घटाना सकारात्मक संख्या को जोड़ने के समान है - आप संख्या रेखा पर दाईं ओर बढ़ते हैं। उदाहरण के लिए: -2 – (-3) से शुरू करें और दाईं ओर 3 इकाइयाँ बढ़ें। तो, -2 – (-3) = 1

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प्रश्न: ऊपर दिए गए 'अनंत लिफ्ट' को देखिए। क्या यह आपको संख्या रेखा की याद दिलाता है? किस तरह से? उत्तर: संख्या रेखा संख्याओं का दृश्य प्रतिनिधित्व करने का एक तरीका है। उदाहरण के लिए, संख्या रेखा के अंत में तीर होते हैं जो इस विचार का प्रतिनिधित्व करते हैं कि कोई सीमा नहीं है। अनंतता का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जाने वाला प्रतीक ∞ है।

प्रश्न: यदि, 5 से 9 पर जाना है, तो संख्या रेखा पर आपको कितनी दूरी तय करनी होगी?

पृष्ठ 253 और 254

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प्रश्न 1: ऊपर दी गई संख्या रेखा पर 3 सकारात्मक और 3 नकारात्मक संख्याएँ चिह्नित करें। उत्तर: संख्या रेखा पर: सकारात्मक संख्याएँ: हम कोई भी तीन सकारात्मक संख्याएँ चिह्नित कर सकते हैं, जैसे, 3, 6 और 9। नकारात्मक संख्याएँ: हम कोई भी तीन नकारात्मक संख्याएँ चिह्नित कर सकते हैं, जैसे, -2, -5 और -8।

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प्रश्न 2: उपरोक्त चिह्नित 3 नकारात्मक संख्याओं को निम्नलिखित बॉक्स में लिखें: उत्तर: -2, -5, और -8 ये तीन नकारात्मक संख्याएँ हैं।

प्रश्न 3: क्या 2 > -3? क्यों? क्या -2 < 3?="" क्यों?="" उत्तर:="" क्या="" 2="" /> -3? हाँ, 2 एक सकारात्मक संख्या है और -3 एक नकारात्मक संख्या है। हम जानते हैं कि सकारात्मक संख्याएँ हमेशा नकारात्मक संख्याओं से बड़ी होती हैं। इसलिए, 2 -3 से बड़ा है। क्या -2 < 3?="" क्यों?="" ∴="" हाँ,="" -2="" 3="" से="" छोटा="" है="" क्योंकि="" -2="" एक="" नकारात्मक="" संख्या="" है="" और="" 3="" एक="" सकारात्मक="" संख्या="" है।="" इसलिए="" -2="" />< />

प्रश्न 4: (i) -5 0 (ii) 7 (-7) (iii) -10 20 (iv) 10 – 20 (v) 7 – (-7) (vi) -8 – (-10) क्या हैं? उत्तर: (i) -5 0: किसी संख्या में 0 जोड़ने से संख्या का मान नहीं बदलता। -5 0 = -5। (ii) 7 (-7): किसी संख्या को उसकी नकारात्मक समकक्ष से जोड़ने पर 0 प्राप्त होता है। 7 (-7) = 0। (iii) -10 20: विभिन्न संकेतों वाली संख्याओं को जोड़ने के लिए, छोटी परिमाण वाली संख्या को बड़ी परिमाण वाली संख्या से घटाएँ और बड़ी परिमाण वाली संख्या का संकेत लें। -10 20 = 10। (iv) 10 – 20: छोटी संख्या से बड़ी संख्या को घटाने पर नकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है। 10 – 20 = -10। (v) 7 – (-7): एक नकारात्मक संख्या को घटाना उसी तरह है जैसे संख्या के सकारात्मक समकक्ष को जोड़ना। 7 – (-7) = 7 + 7 = 14। (vi) -8 – (-10): एक नकारात्मक संख्या को घटाना उसी तरह है जैसे संख्या के सकारात्मक समकक्ष को जोड़ना। -8 – (-10) = -8 + 10 = 2।

पृष्ठ 255

अनचिह्नित संख्या रेखा का उपयोग करके जोड़ना और घटाना

इन अभिव्यक्तियों का मूल्यांकन करने के लिए अनचिह्नित संख्या रेखाओं का उपयोग करें:

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(a) -125 (-30) = _________ (b) 105 – (-55) = _________ (c) 80 – (-150) = _________ (d) -99 – (-200) = _________

उत्तर:

  • (a) -125 (-30)
    • संख्या रेखा पर दो नकारात्मक संख्याएँ जोड़ना
    • ∴ -125 (-30) = – 125 – 30 = -155
  • (b) 105 – (-55)
    • नकारात्मक संख्या को घटाना सकारात्मक समकक्ष को जोड़ने के समान है।
    • ∴ 105 – (-55) = 105 + 55 = 160
  • (c) 80 – (-150)
    • नकारात्मक संख्या को घटाना सकारात्मक समकक्ष को जोड़ने के समान है।
    • ∴ 80 – (-150) = 80 + 150 = 230
  • (d) -99 – (-200)
    • नकारात्मक संख्या को घटाना सकारात्मक समकक्ष को जोड़ने के समान है।
    • ∴ -99 – (-200) = -99 + 200 = 101

पृष्ठ 257

प्रश्न 1: टोकनों का उपयोग करके जोड़ियों को पूरा करें।

a. ( 6) ( 4)

उत्तर: ( 6) ( 4)

  • ( 6) को दर्शाने के लिए, हम 6 सकारात्मक टोकन का उपयोग करते हैं और ( 4) को दर्शाने के लिए, हम 4 सकारात्मक टोकन का उपयोग करते हैं।

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अतः, उन्हें मिलाकर हम प्राप्त करते हैं ⇒ ( 6) ( 4) = ( 10) ∴ सभी सकारात्मक टोकनों की गणना करने पर हमें ( 10) मिलता है।

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b. (-3) (-2)

उत्तर: (-3) (-2)

  • (-3) को दर्शाने के लिए, हम 3 नकारात्मक टोकन का उपयोग करते हैं।
  • (-2) को दर्शाने के लिए, हम 2 नकारात्मक टोकन का उपयोग करते हैं।

इन्हें मिलाकर, हम प्राप्त करते हैं ⇒ (-3) (-2) = -5 ∴ सभी नकारात्मक टोकनों की गणना करने पर हमें (-5) मिलता है।

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c. ( 5) (-7)

उत्तर: ( 5) (-7)

  • ( 5) को दर्शाने के लिए, हम 5 सकारात्मक टोकन का उपयोग करते हैं।
  • (-7) को दर्शाने के लिए, हम 7 नकारात्मक टोकन का उपयोग करते हैं।

∴ शेष टोकन = ( 5) (-7) = -2

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d. (-2) ( 6)

उत्तर: (-2) ( 6)

  • (-2) को दर्शाने के लिए, हम 2 नकारात्मक टोकन का उपयोग करते हैं।
  • ( 6) को दर्शाने के लिए, हम 6 सकारात्मक टोकन का उपयोग करते हैं।

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इसलिए,

(-2) (6) = 4 शेष टोकनों की गिनती करते हुए, हमें (4) टोकन मिलते हैं।

प्रश्न 2: निम्नलिखित दो सेटों में शून्य जोड़ियों को रद्द करें। प्रत्येक मामले में लिफ्ट परिचारक किस मंजिल पर है? प्रत्येक मामले में संबंधित जोड़ने वाला बयान क्या है?

उत्तर: क. चित्र से हम देखते हैं कि हम तीन जोड़ियाँ हटा सकते हैं।

यह 0 को रद्द करता है। शेष टोकन =

चूंकि दो नकारात्मक टोकन बचे हैं, लिफ्ट परिचारक भूमिगत मंजिल से दूसरी मंजिल पर है। संबंधित जोड़ने वाला बयान है (3) (-5) = (-2)

ख. चित्र से हम देखते हैं कि हम तीन जोड़ियाँ हटा सकते हैं। यह 0 को रद्द करता है। शेष टोकन =

चूंकि तीन सकारात्मक टोकन बचे हैं, लिफ्ट परिचारक भूमिगत मंजिल से तीसरी मंजिल पर है। संबंधित जोड़ने वाला बयान है (6) (-3) = (3)

पृष्ठ 258

प्रश्न 1: निम्नलिखित अंतर का मूल्यांकन करें टोकनों का उपयोग करते हुए। जांचें कि क्या आपको वही परिणाम मिलता है जैसा कि अन्य तरीकों से आपको पता है:

क. (10) – (7) उत्तर: यहाँ, 10 सकारात्मकों में से 7 सकारात्मकों को हटा दें। इसलिए, (10) – (7) = 3

ख. (-8) – (-4) उत्तर: यहाँ, -8 नकारात्मकों में से -4 नकारात्मकों को हटा दें। इसलिए, (-8) – (-4) = -4

ग. (-9) – (-4) उत्तर: यहाँ, -9 नकारात्मकों में से -4 नकारात्मकों को हटा दें। इसलिए, (-9) – (-4) = -5

घ. (9) – (12) उत्तर: 9 सकारात्मकों में से 12 सकारात्मकों को निकालने के लिए पर्याप्त टोकन नहीं हैं। इसलिए, हम 3 अतिरिक्त शून्य जोड़ियाँ रखते हैं (1 जोड़ी = एक सकारात्मक और एक नकारात्मक)। अब हम 12 सकारात्मकों को निकाल सकते हैं।

इसलिए, (9) – (12) = -3

ङ. (-5) – (-7) उत्तर: -5 नकारात्मकों में से -7 नकारात्मकों को निकालने के लिए पर्याप्त टोकन नहीं हैं। इसलिए, हम 2 अतिरिक्त शून्य जोड़ियाँ रखते हैं (1 जोड़ी = एक सकारात्मक और एक नकारात्मक)। अब हम -7 नकारात्मकों को निकाल सकते हैं। इसलिए, (-5) – (-7) = 2

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f. (-2) – (-6) उत्तर: -2 नकारात्मकों में से -6 नकारात्मक निकालने के लिए पर्याप्त टोकन नहीं हैं। इसलिए, हम चार अतिरिक्त शून्य जोड़े (1 जोड़ा = एक सकारात्मक और एक नकारात्मक) डालते हैं। अब हम -6 नकारात्मक निकाल सकते हैं। इसलिए, (-2) – (-6) = 4

Q2: घटाव पूरा करें:

a. (-5) – (-7) उत्तर: -5 नकारात्मकों में से -7 नकारात्मक निकालने के लिए पर्याप्त टोकन नहीं हैं। इसलिए, हम दो अतिरिक्त शून्य जोड़े (1 जोड़ा = एक सकारात्मक और एक नकारात्मक) डालते हैं। अब हम -7 नकारात्मक निकाल सकते हैं। इसलिए, (-5) – (-7) = 2

b. (10) – (13) उत्तर: 10 सकारात्मकों में से 13 सकारात्मक निकालने के लिए पर्याप्त टोकन नहीं हैं। इसलिए, हम तीन अतिरिक्त शून्य जोड़े (1 जोड़ा = एक सकारात्मक और एक नकारात्मक) डालते हैं। अब हम 13 सकारात्मक निकाल सकते हैं। इसलिए, (10) – (13) = -3

c. (-7) – (-9) उत्तर: -7 नकारात्मकों में से -9 नकारात्मक निकालने के लिए पर्याप्त टोकन नहीं हैं। इसलिए, हम दो अतिरिक्त शून्य जोड़े (1 जोड़ा = एक सकारात्मक और एक नकारात्मक) डालते हैं। अब हम -9 नकारात्मक निकाल सकते हैं। इसलिए, (-7) – (-9) = 2

d. (3) – (8) उत्तर: 3 सकारात्मकों में से 8 सकारात्मक निकालने के लिए पर्याप्त टोकन नहीं हैं। इसलिए, हम पांच अतिरिक्त शून्य जोड़े (1 जोड़ा = एक सकारात्मक और एक नकारात्मक) डालते हैं। अब हम 8 सकारात्मक निकाल सकते हैं। इसलिए, (3) – (8) = -5

e. (-2) – (-7) उत्तर: -2 नकारात्मकों में से -7 नकारात्मक निकालने के लिए पर्याप्त टोकन नहीं हैं। इसलिए, हम दो अतिरिक्त शून्य जोड़े (1 जोड़ा = एक सकारात्मक और एक नकारात्मक) डालते हैं। अब हम -7 नकारात्मक निकाल सकते हैं। इसलिए, (-2) – (-7) = 5

f. (3) – (15) उत्तर: 3 सकारात्मकों में से 15 सकारात्मक निकालने के लिए पर्याप्त टोकन नहीं हैं। इसलिए, हम बारह अतिरिक्त शून्य जोड़े (1 जोड़ा = एक सकारात्मक और एक नकारात्मक) डालते हैं। अब हम 15 सकारात्मक निकाल सकते हैं। इसलिए, (3) – (15) = -12

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पृष्ठ 259

प्रश्न 1: घटाने का प्रयास करें: -3 – (5)। आपको कितने ज़ीरो जोड़े डालने होंगे? परिणाम क्या है?

उत्तर: हमें -3 नकारात्मक से 5 सकारात्मक निकालने हैं। लेकिन पर्याप्त सकारात्मक नहीं हैं। इसलिए, हम अतिरिक्त 5 ज़ीरो जोड़े डालते हैं (1 जोड़ा = एक सकारात्मक और एक नकारात्मक)। अब हम 5 सकारात्मक निकाल सकते हैं। इसलिए, -3 – (5) = -8

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प्रश्न 2: निम्नलिखित का मूल्यांकन करें:

  • a. (-3) – (10) उत्तर: (-3) – (10) हमें -3 नकारात्मक से 10 सकारात्मक निकालने हैं। लेकिन पर्याप्त सकारात्मक नहीं हैं। इसलिए, हम अतिरिक्त 10 ज़ीरो जोड़े डालते हैं। अब हम 10 सकारात्मक निकाल सकते हैं। इसलिए, (-3) – (10) = -13
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  • b. (8) – (-7) उत्तर: (8) – (-7) हमें 8 सकारात्मक से -7 नकारात्मक निकालने हैं। लेकिन पर्याप्त नकारात्मक नहीं हैं। इसलिए, हम अतिरिक्त 7 ज़ीरो जोड़े डालते हैं। अब हम -7 नकारात्मक निकाल सकते हैं। इसलिए, (8) – (-7) = 15
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  • c. (-5) – (9) उत्तर: (-5) – (9) हमें -5 नकारात्मक से 9 सकारात्मक निकालने हैं। लेकिन पर्याप्त सकारात्मक नहीं हैं। इसलिए, हम अतिरिक्त 9 ज़ीरो जोड़े डालते हैं। अब हम 9 सकारात्मक निकाल सकते हैं। इसलिए, (-5) – (9) = -14
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  • d. (-9) – (10) उत्तर: (-9) – (10) हमें -9 नकारात्मक से 10 सकारात्मक निकालने हैं। लेकिन पर्याप्त सकारात्मक नहीं हैं। इसलिए, हम अतिरिक्त 10 ज़ीरो जोड़े डालते हैं। अब हम 10 सकारात्मक निकाल सकते हैं। इसलिए, (-9) – (10) = -19
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  • e. (6) – (-4) उत्तर: (6) – (-4) हमें 6 सकारात्मक से -4 नकारात्मक निकालने हैं। लेकिन पर्याप्त नकारात्मक नहीं हैं। इसलिए, हम अतिरिक्त 4 ज़ीरो जोड़े डालते हैं। अब हम -4 नकारात्मक निकाल सकते हैं। इसलिए, (6) – (-4) = 10
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f. (-2) – (7) उत्तर: (-2) – (7) हमें -2 नकारात्मक से 7 सकारात्मक निकालने हैं। लेकिन पर्याप्त सकारात्मक नहीं हैं। इसलिए, हम 7 अतिरिक्त शून्य जोड़े डालते हैं (1 जोड़ा = एक सकारात्मक और एक नकारात्मक)। अब हम 7 सकारात्मक निकाल सकते हैं। इसलिए, (-2) – (7) = -9

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पृष्ठ 260

प्रश्न 1: मान लीजिए कि आप अपने बैंक खाते में 0 रुपये से शुरू करते हैं, और फिर आपके पास ₹ 30, ₹ 40, और ₹ 50 के क्रेडिट और ₹ 40, ₹ 50, और ₹ 60 के डेबिट हैं। अब आपका बैंक खाता बैलेंस क्या है? उत्तर: यहाँ, क्रेडिट = ₹ 30 + ₹ 40 + ₹ 50 = ₹ 120 और डेबिट = ₹ 40 + ₹ 50 + ₹ 60 = ₹ 150 ∴ बैलेंस = क्रेडिट – डेबिट = ₹ 120 – ₹ 150 = – ₹30 इसलिए, आपका बैंक खाता बैलेंस – ₹ 30 है।

प्रश्न 2: मान लीजिए कि आप अपने बैंक खाते में 0 रुपये से शुरू करते हैं, और फिर आपके पास ₹ 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, और 128 के डेबिट हैं, और फिर एकल क्रेडिट ₹ 256 है। अब आपका बैंक खाता बैलेंस क्या है? उत्तर: यहाँ, डेबिट = ₹ 1 + ₹ 2 + ₹ 4 + ₹ 8 + ₹ 16 + ₹ 32 + ₹ 64 + ₹ 128 = ₹ 255 ∴ बैलेंस = क्रेडिट – डेबिट = ₹ 256 – ₹ 255 = ₹ 1 इसलिए, आपका बैंक खाता बैलेंस ₹ 1 है।

प्रश्न 3: आम तौर पर आपके बैंक खाते में एक सकारात्मक बैलेंस बनाए रखना क्यों बेहतर होता है? कौन-से ऐसे हालात हैं जब अस्थायी रूप से नकारात्मक बैलेंस होना फायदेमंद हो सकता है? उत्तर: आपके बैंक खाते में एक सकारात्मक बैलेंस रखना आम तौर पर बेहतर होता है क्योंकि:

  • ओवरड्राफ्ट शुल्क से बचता है: कई बैंक शुल्क लेते हैं यदि आपका खाता बैलेंस नकारात्मक हो जाता है।
  • वित्तीय सुरक्षा प्रदान करता है: एक सकारात्मक बैलेंस यह सुनिश्चित करता है कि आपके पास अप्रत्याशित खर्चों या आपात स्थितियों के लिए धन उपलब्ध है।
  • अच्छा क्रेडिट इतिहास बनाता है: एक सकारात्मक बैलेंस बनाए रखने से आपके क्रेडिट स्कोर में सुधार हो सकता है, जिससे भविष्य में ऋण या क्रेडिट कार्ड प्राप्त करना आसान हो जाता है।

कुछ विशेष स्थितियाँ हो सकती हैं जहाँ अस्थायी रूप से नकारात्मक बैलेंस होना विचार करने योग्य हो:

  • ओवरड्राफ्ट प्रोटेक्शन: कुछ बैंक ओवरड्राफ्ट प्रोटेक्शन प्रदान करते हैं, जो बाउंस्ड चेक या घोषित लेनदेन से बचने में मदद कर सकता है।
  • योजना बनाई गई बड़ी खर्चे: यदि आप जानते हैं कि आपको जल्द ही एक बड़ी आय होने वाली है और आवश्यक खरीदारी करनी है, तो अस्थायी नकारात्मक संतुलन स्वीकार्य हो सकता है।

पृष्ठ 261

प्रश्न 1: भौगोलिक क्रॉस-सेक्शन को देखते हुए संबंधित ऊँचाइयों को भरें। उत्तर: आपको ग्राफ से प्रत्येक बिंदु A से G की ऊँचाई का अनुमान लगाने की आवश्यकता होगी। ऊँचाई मान निर्धारित करने के लिए ऊर्ध्वाधर अक्ष को देखें। ऊँचाइयाँ:

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  • A = 1500 मीटर
  • B = -500 मीटर
  • C = 300 मीटर
  • D = -1200 मीटर
  • E = 1200 मीटर
  • F = -200 मीटर
  • G = 100 मीटर

प्रश्न 2: इस भौगोलिक क्रॉस-सेक्शन में सबसे ऊँचा बिंदु कौन सा है? और सबसे नीचा बिंदु कौन सा है? उत्तर: ग्राफ पर उस बिंदु की पहचान करें जो समुद्र स्तर से ऊपर की ऊँचाई तक पहुँचती है। बिंदु A सबसे ऊँचा बिंदु दिखाता है। इसी तरह, सबसे नीचें बिंदु का पता लगाएँ, समुद्र स्तर से नीचे के बिंदुओं को भी ध्यान में रखते हुए। बिंदु D सबसे नीचा बिंदु दिखाता है।

प्रश्न 3: क्या आप बिंदु A, B, …, और G को ऊँचाइयों के घटते क्रम में लिख सकते हैं? क्या आप बिंदुओं को ऊँचाइयों के बढ़ते क्रम में लिख सकते हैं? उत्तर: प्रश्न 1 में निर्धारित ऊँचाइयों के आधार पर, बिंदुओं को सबसे ऊँचे से सबसे नीचें (घटते क्रम में) इस प्रकार व्यवस्थित करें: A > E > C > G > F > B > D और फिर सबसे नीचें से सबसे ऊँचे (बढ़ते क्रम में) इस प्रकार: D < b="" />< f="" />< g="" />< c="" />< e="" />< />

प्रश्न 4: पृथ्वी पर समुद्र स्तर से सबसे ऊँचा बिंदु कौन सा है? इसकी ऊँचाई क्या है? उत्तर: पृथ्वी पर सबसे ऊँचा बिंदु माउंट एवरेस्ट है, जिसकी ऊँचाई समुद्र स्तर से 8848 मीटर है।

प्रश्न 5: भूमि या समुद्र तल पर समुद्र स्तर का सबसे नीचा बिंदु क्या है? इसकी ऊँचाई क्या है? (यह ऊँचाई नकारात्मक होनी चाहिए)। उत्तर: पृथ्वी का सबसे नीचा ज्ञात बिंदु मारियाना ट्रेंच है, जो प्रशांत महासागर में है, जिसकी गहराई समुद्र स्तर से 11034 मीटर है।

पृष्ठ 262

प्रश्न 1: क्या आप जानते हैं कि भारत में कुछ स्थान ऐसे हैं जहाँ तापमान 0°C से नीचे जा सकता है? उन स्थानों का पता लगाएँ जहाँ भारत में कभी-कभी तापमान 0°C से नीचे जाता है। इन स्थानों में क्या सामान्य है? वहाँ ठंडा क्यों होता है जबकि अन्य स्थानों पर नहीं? उत्तर:

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स्थान:

  • लद्दाख: यह क्षेत्र अपनी अत्यधिक ठंडी सर्दियों के लिए प्रसिद्ध है, जहाँ तापमान अक्सर 0°C से नीचे चला जाता है।
  • हिमाचल प्रदेश: हिमाचल प्रदेश के कुछ उच्च ऊंचाई वाले क्षेत्रों, विशेष रूप से उत्तरी भागों में, शून्य से नीचे का तापमान देखा जा सकता है।
  • जम्मू और कश्मीर: लद्दाख की तरह, जम्मू और कश्मीर के कुछ हिस्से, विशेष रूप से पर्वतीय क्षेत्र, ठंडे तापमान का सामना करते हैं।
  • सिक्किम: एक पर्वतीय राज्य होने के नाते, सिक्किम में भी कुछ स्थानों पर शून्य से नीचे का तापमान होता है।
  • अरुणाचल प्रदेश: अरुणाचल प्रदेश के उच्च क्षेत्रों में ठंडे मौसम का अनुभव होता है, जहाँ तापमान 0°C से नीचे जा सकता है।

सामान्य कारक: ये सभी स्थान हिमालयी क्षेत्र में स्थित हैं, जो उच्च ऊंचाइयों की विशेषता रखते हैं।

ठंडे तापमान का कारण:

  • उच्च ऊंचाई: जैसे-जैसे ऊंचाई बढ़ती है, तापमान घटता है। यह मुख्य रूप से उच्च ऊंचाइयों पर पतली वातावरण के कारण है, जो गर्मी को कम बनाए रखता है।
  • भूमध्य रेखा से दूरी: ये क्षेत्र भूमध्य रेखा से दूर हैं और कम सीधे सूर्य की रोशनी प्राप्त करते हैं, जिससे तापमान ठंडा होता है।

प्रश्न 2: लद्दाख में सर्दियों के दौरान बहुत ठंड होती है। निम्नलिखित एक तालिका है जिसमें नवंबर के एक दिन में लेह में दिन/रात के विभिन्न समयों में लिए गए तापमान के रिकॉर्ड हैं। तापमान को दिन/रात के उपयुक्त समय से मिलाएँ। उत्तर:

पृष्ठ 263 और 264

प्रश्न 1: दिए गए ग्रिड के लिए गणनाएँ करें और सीमा योग पता करें। उत्तर: चलिए दिए गए ग्रिड का विश्लेषण करते हैं और सीमा योग निकालते हैं। ग्रिड की समझ: दिया गया ग्रिड एक 3 × 3 संख्या का व्यवस्थित रूप है। प्रत्येक पंक्ति और कॉलम में संख्याओं का योग समान होना चाहिए। सीमा योग की गणना करना:

  • ऊपरी पंक्ति: 5 (-3) (-5) = -3
  • निचली पंक्ति: (-8) (-2) 7 = -3
  • बाईं कॉलम: 5 0 (-8) = -3
  • दाईं कॉलम: (-5) (-5) 7 = -3

इसलिए, दिए गए ग्रिड का सीमा योग -3 है।

प्रश्न 2: आवश्यक सीमा योग बनाने के लिए ग्रिड को पूरा करें: उत्तर: यहां पूरा किया गया ग्रिड है: सीमा योग 4 है। व्याख्या: हमने आवश्यक संख्याएँ भरीं ताकि प्रत्येक पंक्ति और कॉलम का योग दिए गए सीमा योग के बराबर हो। उदाहरण के लिए, पहले ग्रिड में, सीमा योग 4 प्राप्त करने के लिए, ऊपरी पंक्ति में गायब संख्या 6 और 8 होनी चाहिए। (क्योंकि -10 6 8 = 4)। शेष दो ग्रिड को स्वयं प्रयास करें।

प्रश्न 3: उपरोक्त अंतिम ग्रिड के लिए, सीमा योग -4 प्राप्त करने के लिए संख्याएँ भरने के एक से अधिक तरीके खोजें। उत्तर: अंतिम ग्रिड को सीमा योग -4 के साथ भरने के कई तरीके हैं, यहां दो उदाहरण दिए गए हैं:

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प्रश्न 4: कौन से अन्य ग्रिड को कई तरीकों से भरा जा सकता है? इसका क्या कारण हो सकता है? उत्तर: बड़े आकार (अधिक पंक्तियाँ और कॉलम) वाले ग्रिड में कई समाधान होने की संभावना है। इसका कारण यह है कि संख्याएँ वितरित करने के लिए अधिक स्वतंत्रता होती है जबकि सीमा योग बनाए रखा जाता है।

प्रश्न 5: एक सीमा पूर्णांक वर्ग पहेली बनाएं और अपने सहपाठियों को चुनौती दें। उत्तर: यह रही पहेली:

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सीमा योग: 2 [अतिरिक्त नोट्स: अंतिम ग्रिड को भरने के लिए दो से अधिक तरीके हो सकते हैं। विभिन्न क्रम योगों के साथ बड़े ग्रिड बनाने से अधिक जटिल और चुनौतीपूर्ण पहेलियाँ उत्पन्न हो सकती हैं.]

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पृष्ठ 265 और 266

प्रश्न 1: फिर से प्रयास करें, इस बार अलग संख्याएँ चुनें। आपको कौन सा योग मिला? क्या यह पहले से अलग था? कुछ और बार प्रयास करें!

उत्तर: चलो संख्या -5 को गोल करें। अब खेल के अनुसार, संख्या -5 वाली पंक्ति और कॉलम को हटा दें। फिर से संख्या 3 को गोल करें। संख्या 3 वाली पंक्ति और कॉलम को हटा दें। फिर से संख्या -1 को गोल करें। संख्या -1 वाली पंक्ति और कॉलम को हटा दें। फिर से शेष संख्या 2 को गोल करें। संख्या 2 वाली पंक्ति और कॉलम को हटा दें। अब चलो गोल की गई संख्याओं को जोड़ें = (-5) + 3 + (-1) + 2 = -6 + 5 = -1। इस प्रकार, हमें वही मान मिलता है (-1)। अब खुद प्रयास करें।

प्रश्न 2: नीचे दी गई ग्रिड के साथ वही खेल खेलें। आपको कौन सा उत्तर मिला?

उत्तर: (क) चलो संख्या 1 को गोल करें। अब खेल के अनुसार, संख्या 1 वाली पंक्ति और कॉलम को हटा दें। फिर से संख्या 13 को गोल करें। संख्या 13 वाली पंक्ति और कॉलम को हटा दें। फिर से संख्या -20 को गोल करें। संख्या -20 वाली पंक्ति और कॉलम को हटा दें। फिर से शेष संख्या 2 को गोल करें। संख्या 2 वाली पंक्ति और कॉलम को हटा दें। अब चलो गोल की गई संख्याओं को जोड़ें = 1 + 13 - 20 - 2 = 14 - 22 = -8, जो आवश्यक उत्तर है।

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(ख) चलो संख्या 0 को गोल करें। अब खेल के अनुसार, संख्या 0 वाली पंक्ति और कॉलम को हटा दें। फिर से संख्या -5 को गोल करें। संख्या -5 वाली पंक्ति और कॉलम को हटा दें। फिर से संख्या 1 को गोल करें। संख्या 1 वाली पंक्ति और कॉलम को हटा दें। संख्या -10 वाली पंक्ति और कॉलम को हटा दें। फिर से शेष संख्या -10 को गोल करें। अब चलो गोल की गई संख्याओं को जोड़ें = 0 + (-5) + 1 + (-10) = -14, जो आवश्यक उत्तर है।

प्रश्न 3: इन ग्रिडों के बारे में इतना खास क्या हो सकता है? क्या जादू संख्याओं में है, जिस तरह से वे व्यवस्थित हैं, या दोनों में? क्या आप और ऐसे ग्रिड बना सकते हैं?

उत्तर: ग्रिड दिलचस्प हो सकते हैं क्योंकि यह दोनों, संख्याएँ और उनका व्यवस्थित होना, पर निर्भर करता है। यहाँ कुछ कारण हैं:

संख्याएँ: एक ग्रिड में संख्याएँ विशेष पैटर्न या अनुक्रम का पालन कर सकती हैं, जैसे जादुई वर्ग (magic squares) जहाँ हर पंक्ति, कॉलम, और विकर्ण में संख्याओं का योग समान होता है।

  • व्यवस्था: ग्रिड में तत्वों की व्यवस्था दृश्य संतुलन और सामंजस्य (harmony) बना सकती है।

प्रश्न 1: दिए गए जोड़ों के बीच सभी पूर्णांक लिखें, बढ़ते क्रम में।

  • a. 0 और -7
  • b. -4 और 4
  • c. -8 और -15
  • d. -30 और -23

उत्तर:

  • a. 0 और -7 के बीच पूर्णांक, बढ़ते क्रम में हैं: -6, -5, -4, -3, -2, -1
  • b. -4 और 4 के बीच पूर्णांक, बढ़ते क्रम में हैं: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3
  • c. -8 और -15 के बीच पूर्णांक, बढ़ते क्रम में हैं: -14, -13, -12, -11, -10, -9
  • d. -30 और -23 के बीच पूर्णांक, बढ़ते क्रम में हैं: -29, -28, -27, -26, -25, -24

प्रश्न 2: तीन संख्याएँ दें जिनका योग -8 हो।

उत्तर: तीन संख्याएँ जो -8 के बराबर हों: -10, 1, और 3 हैं। जब हम इन्हें जोड़ते हैं, तो हमें मिलता है: -10 + 1 + 1 = -8

प्रश्न 3: दो पासे हैं जिनके चेहरे पर ये संख्याएँ हैं: -1, 2, -3, 4, -5, 6। इन पासों को फेंकने पर सबसे छोटा संभव योग -10 है (-5) + (-5) और सबसे बड़ा संभव योग 12 है (6) + (6)। कुछ संख्याएँ (-10) और (12) के बीच हैं जो इन दो पासों के संख्याओं को जोड़कर नहीं प्राप्त की जा सकतीं। उन संख्याओं को खोजें।

उत्तर: आइए उन योगों को खोजते हैं जो इन दो पासों को फेंकने पर संभव नहीं हैं। पासों के चेहरे हैं: -1, 2, -3, 4, -5, और 6। पहले, हम सभी संभावित योगों की सूची बनाते हैं:

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c. 680 ईसा पूर्व के 320 वर्ष बाद कौन सा वर्ष होगा? _______________ उत्तर: चूंकि ईसा पूर्व (BCE) का अर्थ है "ईसा से पहले", इसलिए हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं: 680 ईसा पूर्व = -680। अतः, 680 ईसा पूर्व के 320 वर्ष बाद = -680 + 320 = -360 = 360 ईसा पूर्व।

प्रश्न 6: निम्नलिखित अनुक्रमों को पूरा करें:

a. (-40), (-34), (-28), (-22), _____, ______, ______

  • उत्तर: (-40), (-34), (-28), (-22), _____, ______, ______
  • आइए, अनुक्रम के अंतिम संख्या को पिछले संख्या से घटाते हैं।
  • ∵ (-22) – (-28) = -22 + 28 = 6
  • (-28) – (-34) = -28 + 34 = 6
  • -(34) – (-40) = -34 + 40 = 6
  • इसलिए, यह एक अनुक्रम है जहाँ प्रत्येक पद 6 से बढ़ता है।
  • ∴ अगला पद = -22 + 6 = -16
  • ∴ अगले पद = -16 + 6 = -10
  • ∴ अंतिम पद = -10 + 6 = -4
  • इस प्रकार, अनुक्रम है (-40), (-34), (-28), (-22), (-16), (-10), (-4)

b. 3, 4, 2, 5, 1, 6, 0, 7, _____, ______, ______

  • उत्तर: आइए अनुक्रम के अंतिम संख्या को पिछले संख्या से घटाते हैं।
  • 7 – 0 = 7
  • 0 – 6 = -6
  • 6 – 1 = 5
  • 1 – 5 = -4
  • 5 – 2 = 3
  • 2 – 4 = -2
  • 4 – 3 = 1
  • इसलिए, इस अनुक्रम में संख्याएँ 1 से घट रही हैं, जिसमें वैकल्पिक सकारात्मक और नकारात्मक पूर्णांक हैं।
  • अतः अगली संख्या 7 - 8 = -1
  • -1 + 9 = 8
  • 8 - 10 = -2
  • -2 + 11 = 9 और इसी तरह।
  • इसलिए पूर्ण अनुक्रम है 3, 4, 2, 5, 1, 6, 0, 7, -1, 8, -2, 9,……

c. _____, ______, 12, 6, 1, (-3), (-6), _____, ______, ______

  • उत्तर: _____, ______, 12, 6, 1, (-3), (-6), _____, ______, ______
  • आइए अनुक्रम के अंतिम संख्या को पिछले संख्या से घटाते हैं।
  • (-6) – (-3) = -6 + 3 = -3
  • (-3) – (1) = -3 – 1 = -4
  • 1 – 6 = -5
  • 6 – 12 = -6
  • इसलिए इस अनुक्रम में, प्रत्येक संख्या में 1 नकारात्मक पूर्णांक जोड़ा जा रहा है।
  • पहले संख्या को x मानते हैं और दूसरे संख्या को y।
  • दूसरी संख्या = 12 – y = -7
  • अतः y = 12 + 7 = 19
  • पहली संख्या, मान लें कि x है।
  • दूसरी संख्या 19 – x = -8 ⇒ x = 19 + 8 = 27
  • अब 8वीं संख्या खोजते हैं, मान लें कि a है।
  • अतः a – (-6) = -2 ⇒ a = -2 + 6 = -8
  • अब 9वीं संख्या खोजते हैं, मान लें कि b है।
  • अतः b – (-8) = -1 ⇒ b = -1 + 8 = -9
  • इसलिए अनुक्रम है: 27, 19, 12, 6, 1, (-3), (-6), (-8), (-9), (-9)

प्रश्न 7: यहां छह पूर्णांक कार्ड हैं: (1), (7), (18), (-5), (-2), (-9)। आप इनमें से कोई भी चुन सकते हैं और जोड़ने और घटाने का उपयोग करके एक अभिव्यक्ति बना सकते हैं। यहां एक अभिव्यक्ति है: (18) + (1) – (7) – (-2) जिसका मान (14) है। अब, कार्ड चुनें और एक अभिव्यक्ति बनाएं जिसका मान (-30) के करीब हो।

  • उत्तर: आइए दिए गए कार्ड का उपयोग करके एक अभिव्यक्ति बनाने की कोशिश करें जो (-30) के करीब हो: (1, 7, 18, -5, -2, -9)।
  • एक संभावित अभिव्यक्ति है: (-9) + (-5) + (-2) + (-18) + (1)
  • आइए इसका मान चरण दर चरण निकालते हैं:

इसलिए, इस अभिव्यक्ति का मान (-33) है, जो (-30) के बहुत करीब है।

प्रश्न 8: दो सकारात्मक पूर्णांकों का योग हमेशा सकारात्मक होता है, लेकिन एक (सकारात्मक पूर्णांक) - (सकारात्मक पूर्णांक) सकारात्मक या नकारात्मक हो सकता है। इसके बारे में क्या?

  • क. (सकारात्मक) - (नकारात्मक) उत्तर: (सकारात्मक) - (नकारात्मक): एक नकारात्मक संख्या को घटाना उसकी सकारात्मक समकक्ष को जोड़ने के समान है। इसलिए, यह हमेशा सकारात्मक होगा। उदाहरण के लिए, 5 - (-3) = 5 + 3 = 8।
  • ख. (सकारात्मक) (नकारात्मक) उत्तर: (सकारात्मक) (नकारात्मक): यह संख्याओं के परिमाण पर निर्भर करता है। यदि सकारात्मक संख्या बड़ी है, तो परिणाम सकारात्मक होगा; यदि नकारात्मक संख्या बड़ी है, तो परिणाम नकारात्मक होगा। उदाहरण के लिए, 7 - 4 = 3 (सकारात्मक), 4 - 7 = -3 (नकारात्मक)।
  • ग. (नकारात्मक) (नकारात्मक) उत्तर: (नकारात्मक) (नकारात्मक): दो नकारात्मक संख्याओं को जोड़ने पर हमेशा एक नकारात्मक संख्या प्राप्त होती है। उदाहरण के लिए, -2 + (-3) = -5।
  • घ. (नकारात्मक) - (नकारात्मक) उत्तर: (नकारात्मक) - (नकारात्मक): यह पहले नकारात्मक संख्या में दूसरी संख्या के सकारात्मक समकक्ष को जोड़ने के समान है। यदि पहली नकारात्मक संख्या का परिमाण बड़ा है, तो परिणाम नकारात्मक होगा। हालांकि, यदि पहली नकारात्मक संख्या दूसरी नकारात्मक संख्या से छोटी है, तो परिणाम सकारात्मक होगा। उदाहरण के लिए, -7 + 4 = -3 (नकारात्मक), 4 - 7 = -3 (नकारात्मक)।
  • च. (नकारात्मक) - (सकारात्मक) उत्तर: (नकारात्मक) - (सकारात्मक): यह हमेशा नकारात्मक होगा क्योंकि आप एक सकारात्मक संख्या को एक नकारात्मक संख्या से घटा रहे हैं। उदाहरण के लिए, -4 - 2 = -6।

f. (नकारात्मक) (सकारात्मक) उत्तर: (नकारात्मक) (सकारात्मक): (सकारात्मक) (नकारात्मक) के समान, यह परिमाणों पर निर्भर करता है। यदि सकारात्मक संख्या बड़ी है, तो परिणाम सकारात्मक होगा; यदि नकारात्मक संख्या बड़ी है, तो परिणाम नकारात्मक होगा। उदाहरण के लिए, -3 + 5 = 2 (सकारात्मक) और -5 + 3 = -2 (नकारात्मक)।

प्रश्न 9: इस स्ट्रिंग में कुल 100 टोकन एक विशेष पैटर्न में व्यवस्थित हैं। स्ट्रिंग का मान क्या है? उत्तर: आइए स्ट्रिंग के अनुक्रम का विश्लेषण करते हैं: 3, -2, 3, -2, 3, -2। 5 टोकनों का एक सेट लेते हैं क्योंकि यह दोहराता है, कुल = 3 – 2 = 1। स्ट्रिंग में 100 टोकन हैं। इसलिए कुल सेट = 100/5 = 20 सेट। 1 सेट का कुल = 1। इसलिए, स्ट्रिंग का मान = 1 × 20 = 20।

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पृष्ठ 268

प्रश्न 1: क्या आप ब्रह्मगुप्त के नियमों को बेला के मजेदार निर्माण या एक संख्या रेखा के संदर्भ में समझा सकते हैं? उत्तर: आइए ब्रह्मगुप्त के नियमों को बेला के मजेदार निर्माण और एक संख्या रेखा के अवधारणा का उपयोग करके समझते हैं। ब्रह्मगुप्त के नियम मुख्य रूप से सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं के साथ संचालन से संबंधित हैं। यहाँ हम उन्हें कैसे समझ सकते हैं:

ब्रह्मगुप्त के नियम

  • 1. सकारात्मक संख्याओं का जोड़:
    • नियम: दो सकारात्मक संख्याओं को जोड़ने पर परिणाम एक सकारात्मक संख्या होती है।
    • बेला का निर्माण: यदि बेला 3वीं मंजिल से शुरू करती है और 2 मंजिल ऊपर जाती है, तो वह 5वीं मंजिल पर पहुँचती है।
    • संख्या रेखा: संख्या रेखा पर, 3 से 5 तक 2 जोड़कर जाना।
    • उदाहरण: (3 + 2 = 5)
  • 2. नकारात्मक संख्याओं का जोड़:

नियम: दो नकारात्मक संख्याओं को जोड़ने पर परिणाम एक नकारात्मक संख्या होती है।

  • बेला की इमारत: यदि बेला ज़मीन के स्तर से 3 मंजिल नीचे (-3) शुरू करती है और 2 और मंजिल नीचे जाती है, तो वह 5 मंजिल नीचे (-5) पहुँचती है।
  • संख्या रेखा: -3 से -5 तक जाने के लिए -2 जोड़ना।
  • उदाहरण: (-3 + (-2) = -5)

3. एक सकारात्मक और एक नकारात्मक संख्या का जोड़:

  • नियम: छोटी संख्या के परिमाण को बड़ी संख्या के परिमाण से घटाएँ और बड़ी संख्या के परिमाण का संकेत बनाए रखें।
  • बेला की इमारत: यदि बेला 3rd मंजिल पर है और 5 मंजिल नीचे जाती है, तो वह 2 मंजिल ज़मीन के नीचे (-2) पहुँचती है।
  • संख्या रेखा: 3 से -2 तक जाने के लिए -5 जोड़ना।
  • उदाहरण: (3 + (-5) = -2)

4. एक नकारात्मक संख्या से एक सकारात्मक संख्या की घटाव:

  • नियम: एक नकारात्मक संख्या से सकारात्मक संख्या को घटाना, दो संख्याओं को जोड़ने के समान है और नकारात्मक संकेत बनाए रखना।
  • बेला की इमारत: यदि बेला 3 मंजिल ज़मीन के नीचे (-3) है और 2 और मंजिल नीचे जाती है, तो वह 5 मंजिल नीचे (-5) पहुँचती है।
  • संख्या रेखा: -3 से -5 तक जाने के लिए 2 घटाना।
  • उदाहरण: (-3 – 2 = -5)

5. एक सकारात्मक संख्या से एक नकारात्मक संख्या की घटाव:

नकारात्मक संख्या को सकारात्मक संख्या से घटाना:

  • नियम: एक सकारात्मक संख्या से नकारात्मक संख्या को घटाना, दो संख्याओं को जोड़ने के समान है।
  • बेला की बिल्डिंग: यदि बेला 3rd मंजिल पर है और 2 मंजिल ऊपर जाती है, तो वह 5th मंजिल पर पहुँच जाती है।
  • संख्या रेखा: -2 को घटाकर 3 से 5 तक जाना।
  • उदाहरण: (3 – (-2) = 5)

6. नकारात्मक संख्या से नकारात्मक संख्या को घटाना:

  • नियम: एक नकारात्मक संख्या से दूसरी नकारात्मक संख्या को घटाना, उनकी परम मान को जोड़ने और नकारात्मक चिह्न बनाए रखने के समान है।
  • बेला की बिल्डिंग: यदि बेला भूमि से 3 मंजिल नीचे (-3) है और 2 मंजिल ऊपर जाती है, तो वह 1 मंजिल नीचे (-1) पहुँच जाती है।
  • संख्या रेखा: -2 को घटाकर -3 से -1 तक जाना।
  • उदाहरण: (-3 – (-2) = -1)

प्रश्न 2: प्रत्येक नियम के अपने उदाहरण दें। उत्तर:

  • 1. सकारात्मक संख्याओं का जोड़:
  • उदाहरण: (7 + 4 = 11) बेला की बिल्डिंग: 7th मंजिल से शुरू होकर 4 मंजिल ऊपर 11th मंजिल पर जाना।
  • उदाहरण: (-6 + (-3) = -9) बेला की बिल्डिंग: भूमि से 6 मंजिल नीचे शुरू होकर 3 मंजिल और नीचे जाकर 9 मंजिल नीचे पहुँचना।
  • उदाहरण: (8 + (-5) = 3) बेला की बिल्डिंग: 8th मंजिल से शुरू होकर 5 मंजिल नीचे 3rd मंजिल पर जाना।
  • उदाहरण: (-4 – 3 = -7) बेला की बिल्डिंग: भूमि से 4 मंजिल नीचे शुरू होकर 3 मंजिल और नीचे जाकर 7 मंजिल नीचे पहुँचना।
  • उदाहरण: (5 – (-2) = 7) बेला की बिल्डिंग: 5th मंजिल से शुरू होकर 2 मंजिल ऊपर 7th मंजिल पर जाना।
  • उदाहरण: (-5 – (-3) = -2) बेला की बिल्डिंग: 5 मंजिल भूमि से नीचे शुरू होकर 3 मंजिल ऊपर 2 मंजिल नीचे पहुँचना।
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