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NCERT Exemplar Solutions: मापन (Mensuration) | गणित (गणित प्रकाश ) कक्षा 6 - Class 6 PDF Download

व्यायाम पृष्ठ: 93

प्रश्न 1 से 6 तक, चार विकल्पों में से केवल एक सही है। सही उत्तर लिखें।

प्रश्न 1: दी गई आकृतियाँ छह इकाई वर्गों को जोड़कर बनाई गई हैं। आकृति 6.4 में कौन सी आकृति का परिमाप सबसे छोटा है?

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आकृति (i) का परिमाप सबसे छोटा है। एक बंद आकृति का परिमाप आकृति की सीमा के चारों ओर एक चक्कर में तय की गई दूरी है। हम जानते हैं कि, परिमाप = भुजाओं की संख्या × प्रत्येक भुजा की लंबाई। दी गई आकृतियों पर विचार करें। (i) आकृति (i) का परिमाप 10 इकाई है और प्रत्येक भुजा की लंबाई 1 सेमी है। इसलिए, परिमाप = 10 × 1 = 10 सेमी। (ii) आकृति (ii) का परिमाप 12 इकाई है और प्रत्येक भुजा की लंबाई 1 सेमी है। इसलिए, परिमाप = 12 × 1 = 12 सेमी। (iii) आकृति (iii) का परिमाप 14 भुजाएँ हैं और प्रत्येक भुजा की लंबाई 1 सेमी है। इसलिए, परिमाप = 14 × 1 = 14 सेमी। (iv) आकृति (iv) का परिमाप 14 भुजाएँ हैं और प्रत्येक भुजा की लंबाई 1 सेमी है। इसलिए, परिमाप = 14 × 1 = 14 सेमी। दी गई आकृतियों के सभी परिमापों की तुलना करने पर, आकृति (i) का परिमाप सबसे छोटा है।

प्रश्न 2: एक वर्गाकार पार्क ABCD की भुजा 100 मीटर है, जिसमें दो समान आयताकार फूलों के बाग हैं, प्रत्येक का आकार 10 मीटर × 5 मीटर है (चित्र 6.5)। शेष पार्क की परिधि की लंबाई क्या होगी?

  • (a) 360 मीटर
  • (b) 400 मीटर
  • (c) 340 मीटर
  • (d) 460 मीटर
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उत्तर: (b) हम जानते हैं कि, सीमा की लंबाई = सीमा का परिमाप। दिए गए हैं, दो आयताकार फूलों के बाग प्रत्येक का आकार 10 मीटर × 5 मीटर। इसलिए, शेष पार्क का परिमाप = 100 + 100 + 100 + 100 - (2 × 10 + 2 × 5) = 400 मीटर।

प्रश्न 3: एक वर्ग की भुजा 10 सेमी है। यदि वर्ग की भुजा को दो गुना किया जाए, तो नया परिमाप कितनी बार बढ़ जाएगा?

  • (a) 2 बार
  • (b) 4 बार
  • (c) 6 बार
  • (d) 8 बार

उत्तर: (क) जैसा कि हम जानते हैं, वर्ग का परिमाप = भुजा × 4 = 10 × 4 = 40 सेमी। दिए गए, वर्ग की भुजा = 10 सेमी। वर्ग की भुजा को दोगुना किया गया = 10 + 10 = 20 सेमी। इसलिए, नया परिमाप वर्ग की भुजा के दोगुना होने पर 2 गुना हो जाता है।

प्रश्न 4: एक आयताकार कागज की लंबाई और चौड़ाई क्रमशः 20 सेमी और 10 सेमी है। कागज के टुकड़े को चित्र 6.6 के अनुसार काटा गया है। शेष कागज के लिए निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सही है?

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(क) परिमाप समान रहता है लेकिन क्षेत्र बदलता है। (ख) क्षेत्र समान रहता है लेकिन परिमाप बदलता है। (ग) क्षेत्र और परिमाप दोनों बदल रहे हैं। (घ) क्षेत्र और परिमाप दोनों समान रहते हैं।

उत्तर: (क) (A) परिमाप समान रहता है लेकिन क्षेत्र बदलता है। हम जानते हैं कि, बड़े आयत का क्षेत्र = लंबाई × चौड़ाई = 10 × 20 = 200 सेमी2। छोटे आयत का क्षेत्र = 5 × 2 = 10 सेमी2। आयत का परिमाप = 2 (लंबाई + चौड़ाई) = 2 (20 + 10) = 2 × 30 = 60 सेमी। फिर, नए आकृति का परिमाप = 20 + 8 + 5 + 2 + 15 + 10 = 60। नए आकृति का क्षेत्र = बड़े आयत का क्षेत्र – नए आकृति का क्षेत्र = 200 – 10 = 190 सेमी2। सभी परिणामों की तुलना करने पर, परिमाप समान रहता है लेकिन क्षेत्र बदलता है।

प्रश्न 5: दो नियमित षट्कोण जिनका परिमाप 30 सेमी है, चित्र 6.7 के अनुसार जोड़े गए हैं। नए आकृति का परिमाप क्या होगा? (क) 65 सेमी (ख) 60 सेमी (ग) 55 सेमी (घ) 50 सेमी

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उत्तर: (घ) प्रश्न से दिया गया है कि, प्रत्येक षट्कोण का परिमाप = 30 सेमी। हम जानते हैं कि, षट्कोण में 6 भुजाएँ होती हैं। इसलिए, प्रत्येक भुजा की लंबाई = 30/6 = 5 सेमी। अब, मान लें कि दो षट्कोण एक साथ जुड़े हुए हैं। फिर, नए आकृति का परिमाप = भुजाओं की संख्या × प्रत्येक भुजा की लंबाई = 10 × 5 = 50 सेमी।

प्रश्न 6: चित्र 6.8 में निम्नलिखित में से कौन-सा एक नियमित बहुभुज है? सभी के पक्ष समान हैं, सिवाय (i) (a) (i) (b) (ii) (c) (iii) (d) (iv)

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उत्तर: (b) एक बंद आकृति जिसमें सभी पक्ष और कोण समान होते हैं, उसे नियमित बहुभुज कहा जाता है।

प्रश्न 7: कॉलम I में आकृतियों (प्रत्येक पक्ष का माप 2 सेमी है) को कॉलम II में संबंधित परिमाप के साथ मिलाएं:

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दिया गया, प्रत्येक पक्ष का माप 2 सेमी है। आकृति (A) में 14 पक्ष हैं। आकृति का परिमाप = पक्षों की संख्या × प्रत्येक पक्ष की लंबाई = 14 × 2 = 28 सेमी। आकृति (B) में 8 पक्ष हैं। आकृति का परिमाप = पक्षों की संख्या × प्रत्येक पक्ष की लंबाई = 8 × 2 = 16 सेमी। आकृति (C) में 10 पक्ष हैं। आकृति का परिमाप = पक्षों की संख्या × प्रत्येक पक्ष की लंबाई = 10 × 2 = 20 सेमी। आकृति (D) में 12 पक्ष हैं। आकृति का परिमाप = पक्षों की संख्या × प्रत्येक पक्ष की लंबाई = 12 × 2 = 24 सेमी।

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प्रश्न 8: निम्नलिखित को मिलाएं:

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(A) आयत का परिमाप = 2 × (लंबाई + चौड़ाई) = 2 × (6 + 4) = 2 × 10 = 20

(B) वर्ग का परिमाप = 4 × उसके पक्ष की लंबाई = 4 × 5 = 20

(C) समबाहु त्रिकोण का परिमाप = 3 × एक पक्ष की लंबाई = 3 × 6 = 18

(D) समद्विबाहु त्रिकोण का परिमाप = सभी पक्षों की लंबाई का योग = 4 + 4 + 2 = 10

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प्रश्न 9 से 13 तक, वाक्य सही बनाने के लिए रिक्त स्थान भरें।

प्रश्न 9: चित्र 6.9 में छायांकित भाग का परिमाप है

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AB _ _ _ _ _ _ HA

हमें पता है कि आकृति का परिमाप = सभी पक्षों की लंबाई का योग = AB + BM + MD + DE + EN + NG + GH + HA

प्रश्न 10: एक समतल बंद आकृति द्वारा घेरित क्षेत्र की मात्रा को _________ कहा जाता है।

एक समतल बंद आकृति द्वारा घेरित क्षेत्र की मात्रा को क्षेत्रफल कहा जाता है।

Q11: आयत का क्षेत्रफल, जिसकी लंबाई 5 सेमी और चौड़ाई 3 सेमी है, _________ है।

आयत का क्षेत्रफल, जिसकी लंबाई 5 सेमी और चौड़ाई 3 सेमी है, 15 सेमी² है। आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई = 5 सेमी × 3 सेमी = 15 सेमी²

Q12: एक आयत और एक वर्ग का परिमाण समान है (चित्र 6.10)।

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(a) आयत का क्षेत्रफल _________ है।

आयत का क्षेत्रफल 12 वर्ग इकाई है। चित्र से, आयत की लंबाई 6 है और चौड़ाई 2 है। तो, आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई = 6 × 2 = 12 वर्ग इकाई। आयत का परिमाण = 2 × (लंबाई + चौड़ाई) = 2 × (6 + 2) = 2 × 8 = 16 इकाई।

(b) वर्ग का क्षेत्रफल _________ है।

वर्ग का क्षेत्रफल 16 वर्ग इकाई है। प्रश्न में दिया गया है कि, आयत और वर्ग का परिमाण समान है। तो, वर्ग की प्रत्येक भुजा की लंबाई = 16/4 = 4 इकाई। वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा × भुजा = 4 × 4 = 16 वर्ग इकाई।

Q13: (a) 1 मीटर = _________ सेमी।

1 मीटर = 100 सेमी।

(b) 1 वर्ग सेमी = _________ सेमी × 1 सेमी।

1 वर्ग सेमी = 1 सेमी × 1 सेमी।

(c) 1 वर्ग मीटर = 1 मीटर × _________ मीटर = 100 सेमी × _________ सेमी।

1 वर्ग मीटर = 1 मीटर × 1 मीटर = 100 सेमी × 100 सेमी।

(d) 1 वर्ग मीटर = _________ वर्ग सेमी।

1 वर्ग मीटर = 10000 वर्ग सेमी। हम जानते हैं कि, 1 मीटर = 100 सेमी। तो, 1 वर्ग मीटर = 100 × 100 = 10000 वर्ग सेमी।

प्रश्न 14 से 20 तक, बताएं कि कौन-सी बातें सही हैं और कौन-सी गलत।

Q14: यदि आयत की लंबाई को आधा किया जाता है और चौड़ाई को दोगुना किया जाता है, तो प्राप्त आयत का क्षेत्रफल समान रहता है।

सही।

हम जानते हैं कि, आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई। प्रश्न में दिए गए अनुसार, आयत की लंबाई को आधा किया गया = l/2। चौड़ाई को दोगुना किया गया = 2b। फिर, नया क्षेत्रफल = l/2 × 2b = l × b। इसलिए, यदि आयत की लंबाई को आधा किया जाता है और चौड़ाई को दोगुना किया जाता है, तो प्राप्त आयत का क्षेत्रफल समान रहता है।

प्रश्न 15: एक वर्ग का क्षेत्रफल दो गुना हो जाता है यदि वर्ग की भुजा को दो गुना किया जाए।

गलत

हमें पता है कि, वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा × भुजा। प्रश्न में दिए गए अनुसार, यदि वर्ग की भुजा को दो गुना किया जाए = 2 × भुजा। तब, नया क्षेत्रफल = 2 भुजा × 2 भुजा = 4 भुजा2। इसलिए, यदि वर्ग की भुजा को दो गुना किया जाए तो प्राप्त क्षेत्रफल पुरानी क्षेत्रफल का 4 गुना होगा।

प्रश्न 16: एक नियमित अष्टकोण जिसकी भुजा 6 सेमी है, का परिमाप 36 सेमी है।

गलत

नियमित अष्टकोण का परिमाप = भुजाओं की संख्या × प्रत्येक भुजा की लंबाई = 8 × 6 = 48 सेमी।

प्रश्न 17: एक किसान जो अपने खेत को बाड़ लगाना चाहता है, उसे खेत का परिमाप ज्ञात करना चाहिए।

प्रश्न 18: एक इंजीनियर जो एक घर के चारों ओर एक बाउंड्री वॉल बनाना चाहता है, उसे बाउंड्री के क्षेत्रफल का पता लगाना चाहिए।

एक इंजीनियर जो एक घर के चारों ओर एक बाउंड्री वॉल बनाना चाहता है, उसे बाउंड्री का परिमाप ज्ञात करना चाहिए।

प्रश्न 19: एक दीवार को रंगने की लागत ज्ञात करने के लिए हमें दीवार का परिमाप ज्ञात करना होगा।

एक दीवार को रंगने की लागत ज्ञात करने के लिए हमें दीवार का क्षेत्रफल ज्ञात करना होगा।

प्रश्न 20: एक चित्र के फ्रेम की लागत ज्ञात करने के लिए, हमें चित्र का परिमाप ज्ञात करना होगा।

प्रश्न 21: चार नियमित षट्कोण इस तरह बनाए गए हैं कि डिज़ाइन जैसा दिखता है जैसा चित्र 6.11 में दिखाया गया है। यदि डिज़ाइन का परिमाप 28 सेमी है, तो प्रत्येक षट्कोण की भुजा की लंबाई ज्ञात करें।

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प्रश्न से दिया गया है कि, डिज़ाइन का परिमाप 28 सेमी है। दिए गए डिज़ाइन में 14 भुजाएँ हैं, इसलिए प्रत्येक भुजा की लंबाई = 28/14 = 2 सेमी। दिए गए चित्र में, 4 नियमित षट्कोण जुड़े हुए हैं। इसलिए, प्रत्येक षट्कोण की भुजा की लंबाई = 2 सेमी।

प्रश्न 22: एक समद्विबाहु त्रिकोण का परिमाप 50 सेमी है। यदि दो समान भुजाओं में से एक की लंबाई 18 सेमी है, तो तीसरी भुजा ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 23: एक आयत की लंबाई उसकी चौड़ाई का तीन गुना है। आयत का परिमाप 40 सेमी है। इसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

प्रश्न से दिया गया है कि, आयत का परिमाप = 40 सेमी।
आयत की लंबाई उसकी चौड़ाई का तीन गुना है = 3b।
हमें पता है कि, आयत का परिमाप = 2 × (लंबाई + चौड़ाई)।
40 = 2 × (3b + b)
40 = 2 × 4b
40 = 8b
b = 40/8
b = 5 सेमी।
इसलिए, आयत की चौड़ाई = 5 सेमी।
आयत की लंबाई = 3b = 3 × 5 = 15 सेमी।

प्रश्न 24: मीना के घर के सामने 10 मीटर लंबा और 4 मीटर चौड़ा एक आयताकार लॉन है (चित्र 6.12)। इसे दो छोटी भुजाओं और एक लंबी भुजा के साथ बाड़ा गया है, जिसमें प्रवेश के लिए 1 मीटर का गैप है। बाड़े की लंबाई ज्ञात कीजिए।

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प्रश्न से दिया गया है कि,
आयताकार लॉन की लंबाई = 10 मीटर।
आयताकार लॉन की चौड़ाई = 4 मीटर।
फिर, बाड़े का परिमाप = बाड़े की लंबाई।
बाड़े का परिमाप = दो छोटी भुजाएं + एक लंबी भुजा – लंबी भुजा में गैप = 4 + 4 + 10 – 1 = 18 – 1 = 17 मीटर।
इसलिए, बाड़े की लंबाई 17 मीटर है।

प्रश्न 25: चित्र 6.13 में दिए गए क्षेत्र को एक इकाई मानकर मापा गया है। इस क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

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प्रश्न से दिया गया है कि, क्षेत्र को मापने के लिए आयत को एक इकाई माना गया है। दिए गए चित्र में 13 आयत हैं।
इसलिए, क्षेत्र का क्षेत्रफल = 13 × 1 = 13 वर्ग इकाइयां।

प्रश्न 26: ताहिर ने एक वर्गीय खेत के चारों ओर की दूरी को 200 लाठी मापा। बाद में उसे पता चला कि इस लाठी की लंबाई 140 सेमी थी। इस खेत की भुजा मीटर में ज्ञात कीजिए।

प्रश्न में दिया गया है कि, ताहिर ने एक वर्गीय क्षेत्र का चारों ओर का दूरी 200 रॉड मापी। रॉड की लंबाई = 140 सेमी। इसलिए, वर्गीय क्षेत्र की कुल दूरी = 200 × 140 = 28000 सेमी। फिर, वर्गीय क्षेत्र की एक भुजा की लंबाई = 28000/4 = 7000 सेमी। हमें पता है कि, 1 मीटर = 100 सेमी। इसलिए, क्षेत्र की भुजा = 7000/100 = 70 मीटर।

प्रश्न 27: एक आयताकार क्षेत्र की लंबाई उसकी चौड़ाई से दोगुनी है। जमाल ने इसके चारों ओर चार बार दौड़ लगाई और 6 किमी की दूरी तय की। क्षेत्र की लंबाई क्या है?

प्रश्न में दिया गया है कि, एक आयताकार क्षेत्र की लंबाई उसकी चौड़ाई से दोगुनी है = 2b। आयताकार क्षेत्र का परिमाप = 6 किमी/4 = 1.5 किमी। हमें पता है कि, आयत का परिमाप = 2 × (लंबाई + चौड़ाई)।

  • 1.5 = 2 × (2b + b)
  • 1.5 = 2 × 3b
  • 1.5 = 6b
  • b = 1.5/6
  • b = 0.25 किमी

आयताकार क्षेत्र की लंबाई = 2 × 0.25 = 0.5 किमी = 0.5 × 1000 = 500 मीटर।

प्रश्न 28: तीन वर्गों को एक साथ जोड़ा गया है जैसा कि चित्र 6.14 में दिखाया गया है। उनके भुजाएँ 4 सेमी, 10 सेमी और 3 सेमी हैं। आकृति का परिमाप ज्ञात कीजिए।

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हमें पता है कि, आकृति का परिमाप = सभी भुजाओं का योग = AB + BC + CD + DE + EF + FG + GH + HI + JI + JA = 4 + 4 + (10 – 4) + 10 + (10 – 3) + 3 + 3 + 3 + 10 + 4 = 54 सेमी।

प्रश्न 29: चित्र 6.15 में सभी त्रिकोण समबाहु हैं और AB = 8 यूनिट है। अन्य त्रिकोण भुजाओं के मध्य बिंदुओं को लेकर बनाए गए हैं। आकृति का परिमाप क्या है?

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45 यूनिट

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दी गई आकृति का परिमाप = प्रत्येक भुजा की लंबाई का योग = BN + NM + ML + LK + KJ + JI + IA + AH + HV + VG + GF + FE + ED + DC + UC + UT + TS + SR + RQ + PQ + BP = 4 + 2 + 1 + 1 + 1 + 2 + 4 + 4 + 2 + 1 + 1 + 1 + 2 + 4 + 4 + 2 + 1 + 1 + 1 + 2 + 4 = 45 यूनिट।

प्रश्न 30: एक आयताकार क्षेत्र की लंबाई 250 मीटर और चौड़ाई 150 मीटर है। अनुराधा इस क्षेत्र के चारों ओर 3 बार दौड़ती है। उसने कितनी दूरी तय की? उसे 4 किमी की दूरी तय करने के लिए क्षेत्र के चारों ओर कितनी बार दौड़ना चाहिए?

प्रश्न से यह ज्ञात है कि, एक आयताकार क्षेत्र की लंबाई 250 मीटर है। आयताकार क्षेत्र की चौड़ाई = 150 मीटर। आयत का परिधि = 2 × (लंबाई + चौड़ाई) = 2 × (250 + 150) = 2 × 400 = 800 मीटर।

यह दिया गया है कि, अनुराधा इस क्षेत्र के चारों ओर 3 बार दौड़ती है = 3 × 800 = 2400 मीटर। हमें ज्ञात है कि, 1 किमी = 1000 मीटर। अतः, 2400/1000 = 2.4 किमी यानी 2 किमी 400 मीटर।

अनुराधा को 4 किमी की दूरी तय करने के लिए क्षेत्र के चारों ओर दौड़ने की संख्या = 4000/800 = 5 बार। इसलिए, अनुराधा को 4 किमी की दूरी तय करने के लिए क्षेत्र के चारों ओर 5 बार दौड़ना चाहिए।

प्रश्न 31: बजिंदर एक वर्गीय ट्रैक के चारों ओर दस बार दौड़ता है और 4 किमी की दूरी तय करता है। ट्रैक की लंबाई ज्ञात करें।

मान लें कि a वर्गीय ट्रैक की भुजा है। वर्गीय ट्रैक का परिधि = 4a। बजिंदर वर्गीय ट्रैक के चारों ओर दस बार दौड़ता है और 4 किमी की दूरी तय करता है, अर्थात्, 10 × 4a = 4 किमी।

  • 40a = 4 × 1000 मीटर [∵ 1 किमी = 1000 मीटर]
  • a = (4 × 1000) / 40 मीटर = 100 मीटर।
  • ट्रैक की लंबाई = 4a = 4 × 100 मीटर = 400 मीटर।

प्रश्न 32: मोली के घर के सामने का लॉन 12 मीटर × 8 मीटर है, जबकि डॉली के घर के सामने का लॉन 15 मीटर × 5 मीटर है। दोनों लॉनों के चारों ओर बांस की बाड़ बनाई गई है। दोनों के लिए कितनी बाड़ की आवश्यकता है?

दिया गया है, मोली के घर के सामने के लॉन का आकार = 12 मीटर × 8 मीटर। डॉली के घर के सामने के लॉन का आकार = 15 मीटर × 5 मीटर। अब, दोनों के लिए बाड़ की आवश्यकता = 2(12 + 8) + 2(15 + 5) = 40 + 40 = 80 मीटर।

प्रश्न 33: एक नियमित पेंटागन का परिधि 1540 सेंटीमीटर है। प्रत्येक भुजा की लंबाई कितनी है?

दिया गया है, पेंटागन का परिधि = 1540 सेंटीमीटर। पेंटागन में भुजाएँ = 5।

  • 5 × भुजा = 1540।
  • अब, प्रत्येक भुजा की लंबाई = 1540 / 5 = 308 सेंटीमीटर।

प्रश्न 34: एक त्रिभुज का परिमाप 28 सेमी है। इसके एक भुजा की लंबाई 8 सेमी है। इन मापों के साथ संभावित समद्विबाहु त्रिभुजों की सभी भुजाएँ लिखें।

दिया गया, त्रिभुज का परिमाप = 28 सेमी
इसके एक भुजा = 8 सेमी
मान लीजिए कि समद्विबाहु त्रिभुज की दो समान भुजाएँ a हैं।
अब हमारे पास है,
a + a + 8 = 28
2a + 8 = 28
2a = 20
a = 10 सेमी
इस प्रकार, समद्विबाहु त्रिभुज की सभी भुजाएँ 8 सेमी, 10 सेमी और 10 सेमी हैं।

प्रश्न 35: एक एल्यूमिनियम पट्टी की लंबाई 40 सेमी है। यदि लंबाई को प्राकृतिक संख्याओं में से मापा जाए, तो इससे बने सभी संभावित आयताकार फ्रेम की माप लिखें।

दिया गया, एल्यूमिनियम पट्टी की लंबाई = 40 सेमी
इसका अर्थ है, हमारे पास आयताकार फ्रेम का परिमाप = 40 सेमी
अब 2(l + b) = 40
l + b = 20
इस समीकरण से, हम l और b के मान सुझाव दे सकते हैं जैसे 19×1 सेमी, 18×2 सेमी, 16×4 सेमी, और भी बहुत कुछ।

प्रश्न 36: एक टेंट का आधार नियमित षट्कोण है जिसका परिमाप 60 सेमी है। आधार की प्रत्येक भुजा की लंबाई क्या होगी?

दिया गया, षट्कोण का परिमाप = 60 सेमी
षट्कोण में भुजाओं की संख्या = 6
अब, षट्कोण की प्रत्येक भुजा की लंबाई = 60 / 6 = 10 सेमी।

प्रश्न 37: एक प्रदर्शनी हॉल में 24 प्रदर्शन बोर्ड हैं जिनकी लंबाई 1 मीटर 50 सेमी और चौड़ाई 1 मीटर है। एक 100 मीटर लंबी एल्यूमिनियम पट्टी है, जिसका उपयोग इन बोर्डों को फ्रेम करने के लिए किया जाता है। इस पट्टी का उपयोग करके कितने बोर्ड फ्रेम किए जाएंगे? शेष बोर्डों के लिए आवश्यक एल्यूमिनियम पट्टी की लंबाई भी ज्ञात करें।

दिया गया, प्रदर्शन बोर्डों की कुल संख्या = 24
पट्टी की लंबाई = 100 मीटर
प्रत्येक प्रदर्शन बोर्ड की लंबाई = 1.5 मीटर
एक प्रदर्शन बोर्ड की चौड़ाई = 1 मीटर
एक प्रदर्शन बोर्ड का परिमाप = 2(l + b) = 2(1.5 + 1) = 5 मीटर
अब, फ्रेम किए जाने वाले बोर्डों की संख्या = 100 / 5 = 20
इस प्रकार, फ्रेम किए जाने वाले बोर्डों की संख्या = 24 - 20 = 4
शेष बोर्डों के लिए आवश्यक पट्टी की लंबाई = 4 × 5 = 20 मीटर।

Q38: उपरोक्त प्रश्न में, सभी डिस्प्ले बोर्डों को कवर करने के लिए कितने वर्ग मीटर कपड़े की आवश्यकता है? यदि कपड़े की चौड़ाई 120 सेंटीमीटर है, तो उपयोग किए गए कपड़े की लंबाई मीटर में क्या होगी?

जैसा कि दिया गया है, डिस्प्ले बोर्ड की लंबाई = 1 मीटर 50 सेंटीमीटर = 1.5 मीटर
डिस्प्ले बोर्ड की चौड़ाई = 1 मीटर
24 डिस्प्ले बोर्डों का क्षेत्र = 24(l × b) = 24(1.5 × 1) = 24 × 1.5 = 36 वर्ग मीटर।
इसलिए, सभी डिस्प्ले बोर्डों को कवर करने के लिए 36 वर्ग मीटर कपड़े की आवश्यकता है।
अब, कपड़े की चौड़ाई = 120 सेंटीमीटर = 1.2 मीटर
कपड़े की लंबाई = 36 / 1.2 = 30 मीटर।

Q39: चित्र 6.16 में दिखाए गए पार्क की बाहरी सीमा की लंबाई क्या है? इसे घेरने की कुल लागत क्या होगी, यदि दर ₹ 20 प्रति मीटर है? पार्क के केंद्र में एक आयताकार फूलों का बिस्तर है। फूलों के बिस्तर को खाद देने की लागत ₹ 50 प्रति वर्ग मीटर पर खोजें।

पार्क की बाहरी सीमा की लंबाई = (200 + 300 + 80 + 300 + 200 + 260) मीटर = 1340 मीटर
पार्क को घेरने की लागत = ₹ (20 × 1340) = ₹ 26800
फूलों के बिस्तर का क्षेत्र = (100 × 80) = 8000 वर्ग मीटर
फूलों के बिस्तर को खाद देने की लागत = ₹ (50 × 8000) = ₹ 400000।

Q40: चित्र 6.17 में दिखाए गए पार्क की घेराबंदी की कुल लागत ₹ 55000 है। प्रति मीटर घेराबंदी की लागत पता करें।

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दिया गया, दिए गए आकृति का परिमाप = (150 + 100 + 120 + 180 + 270 + 280) = 1100 मीटर
कुल घेराबंदी की लागत = ₹ 55000
प्रति मीटर घेराबंदी की लागत = 55000 / 1100 = ₹ 50।

Q41: चित्र 6.18 में प्रत्येक वर्ग की इकाई लंबाई है। (क) आयत ABCD का परिमाप क्या है? (ख) आयत ABCD का क्षेत्रफल क्या है? (ग) इस आयत को समान क्षेत्र के दस भागों में बाँटें। (यहाँ दो समान क्षेत्र के भाग दिखाए गए हैं) (घ) आपने जो भाग विभाजित किए हैं, उनका परिमाप खोजें। क्या ये सभी समान हैं?

(a) आयत ABCD की परिधि = 2(10 + 6) = 120 इकाइयाँ। (b) आयत ABCD का क्षेत्रफल = 10 × 6 = 60 वर्ग इकाइयाँ। (c) जब आयत को 10 समान भागों में बाँटा जाता है, तो प्रत्येक भाग का क्षेत्रफल 6 वर्ग इकाइयाँ होता है। (d) प्रत्येक भाग की परिधि = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 12 इकाइयाँ। और सभी भागों की परिधि समान होती है।

Q42: एक रसोई की आयताकार दीवार MNOP को 15 सेमी लंबाई के वर्गाकार टाइलों से ढका गया है (चित्र 6.19)। दीवार का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

दी गई जानकारी: वर्गाकार टाइल की लंबाई = 15 सेमी दी गई आकृति में टाइलों की संख्या = 28 अब, प्रत्येक टाइल का क्षेत्रफल = 15 × 15 = 225 वर्ग सेमी इसका अर्थ है कि 28 टाइलों का क्षेत्रफल = 28 × 225 = 6300 वर्ग सेमी। इसलिए, दीवार का क्षेत्रफल = 6300 वर्ग सेमी।

Q43: एक आयताकार खेत की लंबाई इसकी चौड़ाई से 6 गुना है। यदि खेत की लंबाई 120 सेमी है, तो खेत की चौड़ाई और परिधि ज्ञात कीजिए।

दी गई जानकारी: आयताकार खेत की लंबाई = इसकी चौड़ाई का 6 गुना। इसका अर्थ है कि खेत की चौड़ाई = लंबाई / 6। खेत की लंबाई = 120 सेमी। इसलिए, चौड़ाई = 120 / 6 = 20 सेमी। अब, खेत की परिधि = 2(l + b) = 2(120 + 20) = 280 सेमी।

Q44: अनमोल के पास 90 सेमी × 40 सेमी का चार्ट पेपर है, जबकि अभिषेक के पास 50 सेमी × 70 सेमी का एक है। कौन सा टेबल पर अधिक क्षेत्रफल कवर करेगा और कितना?

अनमोल के चार्ट पेपर का क्षेत्रफल = 90 × 40 = 3600 वर्ग सेमी। इसके अलावा, अभिषेक के चार्ट पेपर का क्षेत्रफल = 50 × 70 = 3500 वर्ग सेमी। इसलिए, अनमोल का चार्ट पेपर टेबल पर अधिक क्षेत्रफल कवर करता है = 3600 – 3500 = 100 वर्ग सेमी।

Q45: 60 मीटर लंबा और 3 मीटर चौड़ा एक आयताकार रास्ता 25 सेमी साइड के वर्गाकार टाइलों से ढका गया है। इसकी चौड़ाई के साथ एक पंक्ति में कितनी टाइलें होंगी? ऐसी कितनी पंक्तियाँ होंगी? इस रास्ते को बनाने के लिए कितनी टाइलें उपयोग की गई हैं?

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दिए गए, आयताकार पथ की लंबाई और चौड़ाई = 60 मीटर और 3 मीटर। साथ ही, वर्ग टाइल की भुजा = 25 सेमी। इस प्रकार, एक पंक्ति में टाइलों की संख्या = 3 / 0.25 = 12। अब, पंक्तियों की संख्या = 60 / 0.25 = 240। इसलिए, कुल टाइलों की संख्या = 12 × 240 = 2880।

प्रश्न 46: 81 वर्ग मीटर क्षेत्र को कवर करने के लिए, प्रत्येक की भुजा 90 सेमी की कितनी वर्ग स्लैब की आवश्यकता है?

प्रत्येक वर्ग स्लैब का क्षेत्र = 90 × 90 = 8100 वर्ग सेमी। साथ ही, फर्श का क्षेत्र = 81 वर्ग मीटर = 81 × 10000 = 810000 वर्ग सेमी। आवश्यक वर्ग स्लैब की संख्या = 810000 / 8100 = 100।

प्रश्न 47: एक आयताकार खेत की लंबाई 8 मीटर और चौड़ाई 2 मीटर है। यदि एक वर्गीय खेत का परिमाण इस आयताकार खेत के समान है, तो पता करें कि कौन सा खेत क्षेत्र में बड़ा है।

दिए गए, आयताकार खेत का परिमाण = वर्गीय खेत का परिमाण। इसका मतलब है, 2(8 मीटर + 2 मीटर) = 4 × भुजा। वर्गीय खेत की भुजा = 20 / 4 = 5 मीटर। अब, आयताकार खेत का क्षेत्र = 8 × 2 = 16 मी²। वर्गीय खेत का क्षेत्र = 5 × 5 = 25 मी²। इसलिए, वर्गीय खेत का क्षेत्र आयताकार खेत के क्षेत्र से बड़ा है।

प्रश्न 48: परमिंदर एक वर्ग पार्क के चारों ओर एक बार चलता है और 800 मीटर कवर करता है। इस पार्क का क्षेत्रफल क्या होगा?

दिए गए, पार्क का परिमाण = 800 मीटर। इस प्रकार, यदि वर्ग की भुजा a है, तो 4 × a = 800, a = 200 मीटर। अब, पार्क का क्षेत्र = 200 × 200 = 40000 मी²।

प्रश्न 49: एक वर्ग की भुजा 5 सेमी है। यदि वर्ग की भुजा को डबल किया जाता है, तो क्षेत्र कितनी बार बढ़ता है?

दिए गए, वर्ग की भुजा = 5 सेमी। वर्ग का क्षेत्र = 5 × 5 = 25 सेमी²। अब, वर्ग की भुजा हो जाती है = 5 × 2 = 10 सेमी। अब, वर्ग का क्षेत्र = 10 × 10 = 100 सेमी²। क्षेत्र बढ़ता है = 100 – 25 = 75 सेमी²।

Q50: अमिता आयताकार कार्ड बनाना चाहती है, जिनका माप 8 सेमी × 5 सेमी है। उसके पास 60 सेमी के पक्ष वाला एक वर्गाकार चार्ट पेपर है। वह इस चार्ट से कितने पूर्ण कार्ड बना सकती है? चार्ट पेपर का कितना क्षेत्र शेष रहेगा?

दिया गया है, वर्गाकार चार्ट का क्षेत्र = 60 × 60 = 3600 सेमी²। अब, प्रत्येक कार्ड का क्षेत्र = 8 × 5 = 40 सेमी²। इसका अर्थ है, बनाए जा सकने वाले कार्डों की संख्या = 3600 / 40 = 90 कार्ड।

Q51: एक पत्रिका विज्ञापन के लिए 10 वर्ग सेमी क्षेत्र के लिए 300 रुपये चार्ज करती है। एक कंपनी ने आधे पृष्ठ के विज्ञापन का आदेश देने का निर्णय लिया। यदि पत्रिका का प्रत्येक पृष्ठ 15 सेमी × 24 सेमी है, तो कंपनी को इसके लिए कितना भुगतान करना होगा?

पत्रिका के एक पृष्ठ का क्षेत्र = 15 × 24 = 360 सेमी²। इसलिए, पत्रिका का आधे पृष्ठ का क्षेत्र = 360 / 2 = 180 सेमी²। इसके अलावा, 10 वर्ग सेमी के लिए विज्ञापन का खर्च = 300 रुपये। इसका अर्थ है 180 वर्ग सेमी के लिए विज्ञापन का खर्च = (300 / 10) × 180 = 5400 रुपये।

Q52: एक वर्गाकार बाग का परिधि 48 मीटर है। इस बाग के अंदर एक छोटा फूल बिस्तर 18 वर्ग मीटर क्षेत्र को कवर करता है। उस बाग का क्षेत्रफल क्या है जो फूल बिस्तर द्वारा कवर नहीं किया गया? फूल बिस्तर द्वारा कवर किए गए बाग का भिन्न भाग क्या है? फूल बिस्तर द्वारा कवर किए गए क्षेत्र और शेष क्षेत्र का अनुपात क्या है?

दिया गया है, वर्गाकार बाग की परिधि = 48 मीटर। इसका अर्थ है, 4 × पक्ष = 48 मीटर। पक्ष = 48 / 4 = 12 मीटर। अब, वर्गाकार बाग का क्षेत्र = 12 × 12 = 144 मी²। इसके अलावा, छोटे फूल बिस्तर का क्षेत्र = 18 मी²। इसलिए, बाग का वह क्षेत्र जो फूल बिस्तर द्वारा कवर नहीं किया गया = 144 – 18 = 126 मी²। अब, फूल बिस्तर द्वारा कवर किए गए बाग का भिन्न भाग = 18 / 144 = 1 / 8। इसके अतिरिक्त, फूल बिस्तर द्वारा कवर किए गए क्षेत्र और शेष क्षेत्र का अनुपात = 18 / 126 = 1 / 7 = 1:7।

प्रश्न 53: एक वर्ग और आयत का परिमाप समान है। यदि वर्ग का एक पक्ष 15 सेमी है और आयत का एक पक्ष 18 सेमी है, तो आयत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

दिया गया है, वर्ग का परिमाप = आयत का परिमाप। साथ ही, वर्ग का पक्ष = 15 सेमी, आयत का पक्ष = 18 सेमी। इस प्रकार, 4 × 15 = 2(18 + b), b = 30 – 18 = 12 सेमी। अब, आयत का क्षेत्रफल = 18 × 12 = 216 सेमी²।

प्रश्न 54: एक तार को कई छोटे टुकड़ों में काटा गया है। प्रत्येक छोटे टुकड़े को 2 सेमी के पक्ष वाले वर्ग में मोड़ा गया है। यदि छोटे वर्गों का कुल क्षेत्रफल 28 वर्ग सेमी है, तो तार की मूल लंबाई क्या थी?

मान लीजिए कि तार को काटने वाले छोटे टुकड़ों की संख्या x है। साथ ही, प्रत्येक वर्गाकार टुकड़े का पक्ष = 2 सेमी है। इसलिए, प्रत्येक टुकड़े का क्षेत्रफल = 2 × 2 = 4 सेमी²। दिया गया है कि छोटे वर्गों का कुल क्षेत्रफल = 28 सेमी²। इस प्रकार, 4x = 28, x = 7। तो, टुकड़ों की संख्या = 7। इससे प्रत्येक टुकड़े का परिमाप 2 सेमी के पक्ष के साथ = 4 × 2 = 8 सेमी होगा। इसलिए, तार की कुल लंबाई = 7 × 8 = 56 सेमी।

प्रश्न 55: प्रश्न 40 के चित्र 6.17 में दिखाए गए पार्क को दो आयतों में विभाजित करें। इस पार्क का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। यदि एक पैकेट उर्वरक 300 वर्ग मीटर के लिए उपयोग किया जाता है, तो पूरे पार्क के लिए कितने पैकेट उर्वरक की आवश्यकता है?

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पार्क का कुल क्षेत्रफल = 15000 (270 × 180) = 15000 + 48600 = 63600 मी²। अब एक पैकेट उर्वरक के लिए क्षेत्र = 300 मी² है। इस प्रकार, आवश्यक उर्वरक के कुल पैकेट = 63600 / 300 = 121।

प्रश्न 56: एक आयताकार खेत का क्षेत्रफल 1600 वर्ग मीटर है। यदि खेत की लंबाई 80 मीटर है, तो खेत का परिमाप ज्ञात कीजिए।

दी गई जानकारी: एक आयताकार क्षेत्रफल का क्षेत्रफल = 1600 m2 और क्षेत्रफल की लंबाई = 80m। अब आयताकार क्षेत्रफल का क्षेत्रफल l x b है। इसका मतलब है, 80 x b = 1600, b = 1600 / 80 = 20 m। अब, आयताकार क्षेत्रफल का परिधि = 2(l + b) = 2(80 + 20) = 200 m।

प्रश्न 57: एक शतरंज बोर्ड पर प्रत्येक वर्ग का क्षेत्रफल 4 वर्ग सेंटीमीटर है। बोर्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

दी गई जानकारी: एक शतरंज बोर्ड पर एक वर्ग का क्षेत्रफल = 4 वर्ग सेंटीमीटर। अब शतरंज बोर्ड पर 64 वर्ग हैं। इसका मतलब है कि शतरंज बोर्ड का क्षेत्रफल = 64 × 4 cm2 = 256 cm2

  • (क) खेल की शुरुआत में जब सभी शतरंज के मोहरे बोर्ड पर रखे जाते हैं, तो खाली वर्गों का क्षेत्रफल लिखें। खेल की शुरुआत में, 32 वर्ग खाली रहते हैं। इसलिए, खाली वर्गों का क्षेत्रफल = 32 x 4 cm2 = 128 cm2
  • (ख) शतरंज के मोहरों द्वारा भरे गए वर्गों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। शतरंज के मोहरों द्वारा भरा गया क्षेत्रफल = 32 x 4 cm2 = 128 cm2

प्रश्न 58: (क) 36 सेंटीमीटर की परिधि वाले आयत के सभी संभावित आयाम (प्राकृतिक संख्याओं में) ज्ञात कीजिए और उनके क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (ख) 36 वर्ग सेंटीमीटर के क्षेत्रफल वाले आयत के सभी संभावित आयाम (प्राकृतिक संख्याओं में) ज्ञात कीजिए और उनके परिधि ज्ञात कीजिए।

(क) आयत की परिधि = 36 सेंटीमीटर। 2(length + breadth) = 36 सेंटीमीटर। Length + breadth = 36/2 = 18 सेंटीमीटर। 36 सेंटीमीटर की परिधि वाले आयत के सभी संभावित आयाम (प्राकृतिक संख्याओं में) हैं: 17 x 1 सेंटीमीटर, 16 x 2 सेंटीमीटर, 15 x 3 सेंटीमीटर, 14 x 4 सेंटीमीटर, 13 x 5 सेंटीमीटर, 12 x 6 सेंटीमीटर, 11 x 7 सेंटीमीटर, 10 x 8 सेंटीमीटर, 9 x 9 सेंटीमीटर। इनके संबंधित क्षेत्रफल हैं: 17 cm2, 32 cm2, 45 cm2, 56 cm2, 65 cm2, 72 cm2, 77 cm2, 80 cm2, और 81 cm2

(ख) आयत का क्षेत्रफल = 36 वर्ग सेंटीमीटर है। लंबाई × चौड़ाई = 36 वर्ग सेंटीमीटर।

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प्रश्न 59: निम्नलिखित आकृतियों का क्षेत्रफल और परिमाण खोजें, यदि प्रत्येक छोटे वर्ग का क्षेत्रफल 1 वर्ग सेंटीमीटर है।

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(i) दिए गए आकृति का क्षेत्रफल = 11 x 1 सेंटीमीटर2 = 11 सेंटीमीटर2 दिए गए आकृति का परिमाण = 18 x 1 = 18 सेंटीमीटर

(ii) दिए गए आकृति का क्षेत्रफल = 13 x 1 सेंटीमीटर2 = 13 सेंटीमीटर2 दिए गए आकृति का परिमाण = 28 x 1 = 28 सेंटीमीटर

(iii) दिए गए आकृति का क्षेत्रफल = 13 x 1 सेंटीमीटर2 = 13 सेंटीमीटर2 दिए गए आकृति का परिमाण = 28 x 1 = 28 सेंटीमीटर

प्रश्न 60: यदि पूरे आकृति का क्षेत्रफल 96 वर्ग सेंटीमीटर है, तो चित्र 6.21 में प्रत्येक छोटे वर्ग का क्षेत्रफल क्या है? आकृति का परिमाण खोजें।

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दिए गए आकृति में छोटे वर्गों की कुल संख्या = 24 कुल आकृति का क्षेत्रफल = 96 सेंटीमीटर2
तो, प्रत्येक छोटे वर्ग का क्षेत्रफल = 96 / 24 = 4 सेंटीमीटर2
अब, प्रत्येक छोटे वर्ग की भुजा = 2 सेंटीमीटर आकृति का परिमाण = 34 x 2 = 68 सेंटीमीटर

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