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Class 6 Exam > Class 6 Notes > गणित (गणित प्रकाश ) कक्षा 6 > RD Sharma Solutions: संख्याओं के साथ खेलना (व्यायाम 2.1)

संख्याओं के साथ खेलना (व्यायाम 2.1) RD Sharma Solutions | गणित (गणित प्रकाश ) कक्षा 6 - Class 6 PDF Download

प्रश्न 1: परिभाषित करें

(i) गुणांक (Factor)
(ii) गुणनफल (Multiple)

प्रत्येक के चार उदाहरण दें।

उत्तर:

(i) गुणांक: किसी संख्या का गुणांक वह संख्या है जो उस संख्या का सही विभाजक होता है।
उदाहरण के लिए, 4, 32 को सही रूप से विभाजित करता है। इसलिए, 4, 32 का गुणांक है।
गुणांकों के उदाहरण:

2 और 3, 6 के गुणांक हैं क्योंकि 2 × 3 = 6
2 और 4, 8 के गुणांक हैं क्योंकि 2 × 4 = 8
3 और 4, 12 के गुणांक हैं क्योंकि 3 × 4 = 12
3 और 5, 15 के गुणांक हैं क्योंकि 3 × 5 = 15

(ii) गुणनफल: जब एक संख्या 'a' को दूसरी संख्या 'b' से गुणा किया जाता है, तो उत्पाद दोनों संख्याओं 'a' और 'b' का गुणनफल होता है।
गुणनफलों के उदाहरण:

6, 2 का गुणनफल है क्योंकि 2 × 3 = 6
8, 4 का गुणनफल है क्योंकि 4 × 2 = 8
12, 6 का गुणनफल है क्योंकि 6 × 2 = 12
21, 7 का गुणनफल है क्योंकि 7 × 3 = 21

प्रश्न 2: निम्नलिखित संख्याओं के सभी गुणांक लिखें:

(i) 60
(ii) 76
(iii) 125
(iv) 729

उत्तर:

(i) 60 = 1 × 60
60 = 2 × 30
60 = 3 × 20
60 = 4 × 15
60 = 5 × 12
60 = 6 × 10
∴ 60 के गुणांक हैं: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 और 60।
(ii) 76 = 1 × 76
76 = 2 × 38
76 = 4 × 19
∴ 76 के गुणांक हैं: 1, 2, 4, 19, 38 और 76।
(iii) 125 = 1 × 125
125 = 5 × 25
∴ 125 के गुणांक हैं: 1, 5, 25 और 125।
(iv) 729 = 1 × 729
729 = 3 × 243
729 = 9 × 81
729 = 27 × 27
∴ 729 के गुणांक हैं: 1, 3, 9, 27, 81, 243 और 729।

प्र.3. निम्नलिखित संख्याओं के पहले पांच गुणांक लिखिए:

(i) 25

(ii) 35

(iii) 45

(iv) 40

उत्तर:

(i) 25 के पहले पांच गुणांक इस प्रकार हैं:

25 × 1 = 25
25 × 2 = 50
25 × 3 = 75
25 × 4 = 100
25 × 5 = 125

(ii) 35 के पहले पांच गुणांक इस प्रकार हैं:

35 × 1 = 35
35 × 2 = 70
35 × 3 = 105
35 × 4 = 140
35 × 5 = 175

(iii) 45 के पहले पांच गुणांक इस प्रकार हैं:

45 × 1 = 45
45 × 2 = 90
45 × 3 = 135
45 × 4 = 180
45 × 5 = 225

(iv) 40 के पहले पांच गुणांक इस प्रकार हैं:

40 × 1 = 40
40 × 2 = 80
40 × 3 = 120
40 × 4 = 160
40 × 5 = 200

प्र.4. निम्नलिखित संख्याओं में से कौन सी संख्या 15 का गुणांक है?

(i) 15615

(ii) 123015

उत्तर:

(i) 15,615 का गुणांक 15 है क्योंकि यह 15,615 का भागफल है।

यानी, 1041 × 15 = 15,615

(ii) 1,23,015 का गुणांक 15 है क्योंकि यह 1,23,015 का भागफल है।

यानी, 8,201 × 15 = 1,23,015

इस प्रकार, दिए गए दोनों संख्याओं में 15 एक गुणांक है।

अस्वीकृति: पुस्तक में दिया गया उत्तर गलत है।

प्र.5. निम्नलिखित संख्याओं में से कौन सी संख्या 21 से विभाज्य है?

(i) 21063

(ii) 20163

उत्तर: हमें पता है कि कोई संख्या 21 से विभाज्य है यदि यह इसके सभी गुणांकों से विभाज्य है।

21 के गुणांक हैं 1, 3, 7 और 21।

(i) दिए गए संख्या के अंकों का योग = 2 + 1 + 0 + 6 + 3 = 12 जो 3 से विभाज्य है।

इसलिए, 21,063 को 3 से विभाजित किया जा सकता है।

फिर से, एक संख्या 7 से विभाजित होती है यदि एकों के अंक को दो गुना करने के बाद अन्य अंकों द्वारा बने संख्या के बीच का अंतर 0 या 7 का गुणांक हो।

2,106 − (2 × 3) = 2,100 जो 7 का गुणांक है।

इसलिए, 21,063 को 21 से विभाजित किया जा सकता है।

(ii) दिए गए संख्या के अंकों का योग = 2 + 0 + 1 + 6 + 3 = 12 जो 3 से विभाजित होता है।

इसलिए, 20,163 को 3 से विभाजित किया जा सकता है।

2016 − (2 × 3) = 2010 जो 7 का गुणांक नहीं है।

इसलिए, 20,163 को 21 से विभाजित नहीं किया जा सकता है।

प्रश्न 6: वास्तविक विभाजन के बिना दिखाएँ कि 11 निम्नलिखित संख्याओं का गुणांक है:

(i) 1111

(ii) 11011

(iii) 110011

(iv) 1100011

उत्तर:

(i) 1,111

असामान्य स्थानों पर अंकों का योग = 1 + 1 = 2

समान्य स्थानों पर अंकों का योग = 1 + 1 = 2

दोनों योगों का अंतर = 2 − 2 = 0

∴ 1,111 को 11 से विभाजित किया जा सकता है क्योंकि योगों का अंतर शून्य है।

(ii) 11,011

असामान्य स्थानों पर अंकों का योग = 1 + 0 + 1 = 2

समान्य स्थानों पर अंकों का योग = 1 + 1 = 2

∴ 11,011 को 11 से विभाजित किया जा सकता है क्योंकि योगों का अंतर शून्य है।

(iii) 1,10,011

असामान्य स्थानों पर अंकों का योग = 1 + 0 + 1 = 2

समान्य स्थानों पर अंकों का योग = 1 + 0 + 1 = 2

∴ 1,10,011 को 11 से विभाजित किया जा सकता है क्योंकि योगों का अंतर शून्य है।

(iv) 11,00,011

अजीब स्थानों पर अंकों का योग = 1 0 0 1 = 2

सम स्थानों पर अंकों का योग = 1 0 1 = 2

∴ 11,00,011 11 से विभाज्य है क्योंकि योग का अंतर शून्य है।

Q.7. बिना वास्तविक विभाजन के दिखाएँ कि निम्नलिखित में से प्रत्येक संख्या 5 से विभाज्य है:

(i) 55

(ii) 555

(iii) 5555

(iv) 50005

उत्तर: एक संख्या 5 से विभाज्य होगी यदि उस संख्या का इकाई अंक या तो 0 या 5 हो।

(i) 55 में, इकाई अंक 5 है। इसलिए, यह 5 से विभाज्य है।

(ii) 555 में, इकाई अंक 5 है। इसलिए, यह 5 से विभाज्य है।

(iii) 5,555 में, इकाई अंक 5 है। इसलिए, यह 5 से विभाज्य है।

(iv) 50,005 में, इकाई अंक 5 है। इसलिए, यह 5 से विभाज्य है।

Q.8. क्या कोई प्राकृतिक संख्या है जिसका कोई भी गुणांक नहीं है?

उत्तर: नहीं, क्योंकि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या अपनी स्वयं की गुणांक होती है।

Q.9. 1 और 100 के बीच ऐसी संख्याएँ खोजें जिनके ठीक तीन गुणांक हों।

उत्तर: 1 और 100 के बीच जिन संख्याओं के ठीक तीन गुणांक हैं वे हैं 4, 9, 25, और 49।

4 के गुणांक हैं 1, 2 और 4।

9 के गुणांक हैं 1, 3 और 9।

25 के गुणांक हैं 1, 5 और 25।

49 के गुणांक हैं 1, 7 और 49।

Q.10. सम और विषम संख्याओं को छांटें:

(i) 42

(ii) 89

(iii) 144

(iv) 321

उत्तर:

एक संख्या जो 2 से ठीक से विभाज्य है उसे सम संख्या कहा जाता है।

इसलिए, 42 और 144 सम संख्याएँ हैं।

एक संख्या जो 2 से ठीक से विभाज्य नहीं है उसे विषम संख्या कहा जाता है।

इसलिए, 89 और 321 विषम संख्याएँ हैं।

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